初一奥数讲解

第一章三角形第一节概念理解与应用一、知识点梳理三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形的分类.三角形(按边分)三角形三角形(按边分)三角形(按角分)三角形的三边关系：三角形任意两边之与大于第三边,任意两边之差小于第三边.三角形的重要线段=1\*3①三角形的中线：顶点及对边中点的连线,三条中线交点叫重心=2\*3②三角形的角平分线：内角平分线及对边相交,顶点与交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心=3\*3③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点与垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形与直角三角形的交点的位置不同)（5）三角形具有稳定性（6）三角形的内角与定理及性质定理：三角形的内角与等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的与。推论3：三角形的一个外角大于及它不相邻的任何一个内角。（7）多边形的外角与恒为360°。二、典例分析例1一个三角形的两边长分别为2与9,第三边为奇数,则此三角形的周长是多少？（三边关系：判定能否成三角形；求线段的取值范围；证明线段的不等关系）针对性练习：若一个等腰三角形的周长为17，一边长为3,则它的另一边长是。例2如图,已知中,的角平分线相交于点O,且求。（内角与定理）OOADCE思考：若，则的度数为多少？例3如图，平分∠，平分∠，∠40°求∠的度数。AACEPB4213F例4如图是的中线2.若AAEBDC例5：已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的1/4，求这个多边形的边数。（内角与及外角与、用方程解）一个正多边形的每一个内角与都等于1200，求它的边数。正多边形及镶嵌例6用正三角形、正方形、正六边形能否进行镶嵌？思路分析：可以进行镶嵌的条件是：一个顶点各个内角与是360°。三、本章思想方法：1、方程思想例7已知：在中，∠∠，⊥，是正三角形，求∠C的度数。针对性练习：1、能把一个任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是三角形的（）A、角平分线B、中线C、高D、两边中点连线图22、如图2，在中，点D、E、F分别是、、的中点，且，则的值为。图2A.22.12C223、中.周长为16边上的中线将分成周长之差为2的两个三角形.求的各边长.反馈练习：1、下面四个图形中，线段是⊿的高的图是（）A．B．C．D．2．如图所示,在△中,∠90°,把△沿直线翻折180°,使点B落在点B′的位置,则线段具有性质()A.是边′上的中线B.是边′上的高C.是∠′的角平分线D.以上三种3、有下列长度的三条线段,能组成三角形的是()A.1,2,3B.1,2,4;C.2,3,4D.2,3,64、已知等腰三角形的两边长分别为3与6,则它的周长为()A.9B.12C.15D.12或155、如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是()A.锐角三角形B.钝角三角形;C.直角三角形D.钝角或直角三角形6、已知△中,∠2(∠∠C),则∠A的度数为()A.100°B.120°C.140°D.160°7、在△中,∠B,∠C的平分线交于点O,若∠132°,则∠度.8、如图所示,在△中⊥于平分∠,且∠36°,∠76°,求∠的度数。9、如图，已知分别交△的边、于点D、E，交的延长线于点F，∠63°，∠75°，∠46°,求∠的度数。第二节稍复杂的角度转化知识要点：1内角与定理2外角定理3角平分线定义一例题解析1.如图，四边形中，∠A＝∠C＝90°，、分别是∠、∠的平分线.（1）∠1及∠2有何关系，为什么（2）及有何关系请说明理由.2.已知：∠∠90°.(1)如图，若平分∠平分∠的外角,问及的位置关系，并证明；(2)如图，若、分别平分∠、∠的外角，问及的位置关系并证明.4在△中，∠的平分线及∠的平分线相交于点P,求证：∠P＝90°+∠A5如图，∠是△的外角，平分∠，平分∠，且、交于点P.求证：∠P＝∠A.61}一个等腰三角形的一个外角等于110˚，则这个三角形的三个角应该为。2}在⊿中，=，周长为20，D是上一点，⊿及⊿面积相等且周长差为3，⊿各边的长为。7如图1－37所示．平面上六个点A，B，C，D，E，F构成一个封闭折线图形．求：∠∠∠∠∠∠F．8如图1-41所示．∠10°，∠90°，∠∠，∠∠，∠∠．求∠F的度数．巩固练习1如图，△中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，∠＝50°，∠C＝60°，求∠及∠．2如图，∠A＝60°，⊥于F，∥交于G，∥交于E。求∠的度数。解：∵⊥（）∴∠＝90°（）∴∠1＝＝（）∠＝180°－∠＝180°－90°＝90°（）∴∠2＝＝（）3如图1－46所示．∠∠∠∠∠E的大小．4如图1－47所示．求∠∠∠∠∠E的大小．5在△中，、分别是∠、∠的列角平分线，试说明∠90°-∠A。6如图，已知：∥，是∠的平分线，∠B＝70°，∠＝50°，求∠与∠的度数．7如图，，则n＝．第二章全等三角形与应用第一节全等初步知识要点：1全等三角形的性质;对应边相等，对应角相等。判定定理12345特别注意不能用边边角证题例1如果△的三边长分别为3，5，7，△的三边长分别为3，3x－2，2x－1，若这两个三角形全等，则x等于（）DCEBA例2如图，，DCEBAABCDE例3已知：如图，ABCDE求证：△≌△．例4已知：如图，⊥，，．求证：∠∠90°；例5如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，＝，求证：＝例6如图，为△的高，E为上一点，交于点F，且有，．ABCDABCDEFAABCDEF（第6题）例7如图，△中，∠90°，是△的角平分线，⊥于E，．（1）求证：；EACDB（2EACDB例8求证等腰三角两腰相等三线合一若一个三角形有两个角相等求证这个三角形是等腰三角形例9求证30度角所对直角边等于斜边的一半例10求证直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半巩固练习1如图，△≌△，9，4，求的长．2如图，，，则∠B及∠C是否相等？为什么？ABABCD（第6题）ABCD3已知：如图，⊥，，∠∠90°，求证：4如图，A，C，D，B在同一条直线上，，，∥.求证：∥．DDCFBAE5如图，在△中，＝，D、E、F分别在、、上，且＝，∠＝∠B，图中是否存在与△全等的三角形？并证明．6如图，∥，∠的平分线及∠的平分线交于点P，过点P的直线垂直于，垂足为点D，交于点C．试问：（1）点P是线段的中点吗？为什么？ABCDABCDP第二节全等三角形的简单应用例1如图2-1所示．∠1=∠2，∠∠．求证：．例2例3如图，在△中，为∠的平分线，⊥于E，⊥于F。求证：．AEBDCF例4AEBDCF例5已知：如图，，，，垂足分别为D、E，、相交于点F，求证：．AACBDEF例6在△中，，，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①≌②；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.（1）

例7三角形中，∠90度，过B、C作经过A直线的垂线、，垂足为D、E。证明：例8已知三角形，在、、上各有一点D、E、F，且。证明：若三角形是正三角形，则三角形也是正三角形例9已知△为等边三角形，点D、E分别在、边上，且，及相交于点F．(1)求证：≌△；(2)求∠的度数．例10如图，∠90o，，⊥，⊥，垂足分别为A、B，试说明＝.例11如图，⊥且，⊥且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）巩固练习1已知:如图是上的中线,且．求证∥．2已知：如图,,,,C,D在边上．求证：∠∠．3已知：如图，＝，⊥，⊥，E，F是垂足，．求证：．AADECBF4如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：5如图2-13所示．△的高及相交于H，且．求证：∠∠．6如图2-5所示．在等边三角形中，，，交于P点，⊥于Q．求证：2．第三节全等中难题1已知、是△的高，点P在的延长线上，＝，点Q在上，＝。求证：＝；⊥。2在中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于F，求3求证三角形三条内角平分线交于一点。4求证三角形三条中垂线交于一点5如图2-83所示．在△中，∠90°，⊥于D，平分∠，平分∠．求证：∥．6如图，，分别是∠，∠的平分线．若，则∠的度数为．7以直角三角形的两直角边、为一边，分别向外作等边三角形△与等边△，连结、。试说明：（1）＝；（2）⊥巩固练习1已知：，∠∠，，，求证：∠∠CDDCBAFE2如图，在△中，，∠1=∠2，求证：⊥．

3如图①，E、F分别为线段上的两个动点，且⊥于E，⊥于F，若，，交于点M．（1）求证：，（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

4如图所示，已知⊥，⊥，，。求证：（1）；（2）⊥AAEBMCF5如图：⊥，⊥，，。求证：（1）；（2）⊥。6已知⊥，⊥，＝，＝，试猜想线段及的大小及位置关系，并证明你的结论.AACEDB7如图，正方形的对角线、相交于点O，∠∠．求证：．且⊥8已知：如图，点E为正方形的边上一点，连接，过点A作⊥，垂足为H，延长交于点F．求证：．9如图，正方形中，E、F分别是、边上的点，且，求证：⊥．第三章代数式及方程知识要点：1主元思想2条件求值代入3配对意识一方程中的主元思想1解关于x的方程2关于x的方程有无穷个解求k3关于x的方程无论k为何值总有1为解求方程1的解4解关于x的方程15解关于x的方程6解关于x的方程7关于x的方程a(1)=27有正实数解求a的范围综合问题1m都是正整数且8m2解关于x的一元一次方程（大于0）3解关于x的方程（不为0）巩固练习1关于x的方程3（2）=4()解为3求a27(2)=234与7（）+46-3()解相同求a3解是2求方程2[2(3)-3()]=3a的解4解关于x的方程m(1)=325解关于x的方程236解关于x的方程2a(1)=(5)3b7解关于x的方程35关于x的方程解恒为1求8解关于x的方程（为正数）9一个长方形的长与宽都为正整数且周长与面积的值相等。求长与宽第四章方程与方程组应用题知识要点：常用的3个等量关系1多及少，局部合成整体2倍数或比例3不变量例1、海滩上有一堆核桃，第一天猴子吃了这堆核桃的2/5，又将4个扔到大海里；第二天猴子吃掉的核桃数加上3个就是第一天所剩核桃数的5/8。若第二天剩下6个核桃。问海滩上原有多少个核桃？例2、古希腊数学家丢番图的墓志铭上记载：“坟中安葬着丢番图，多幺令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。”请你算算，丢番图活了多大年龄？例3、A、B两地距离126，甲每小时前进20，乙每小时前进16km，甲乙二人同时由A地出发前往B地，甲到B地后立即返回，问从A出发后几小时，乙在去的路上与甲返回时相遇？例4、一架飞机飞行在两个城市之间，顺风飞行需h，逆风飞行需3h，风速每小时24，求两个城市的距离。例5、有含盐8%的盐水60，要不要配成含盐20%的盐水，需加盐多少？例6一农场工人要将两片草地上的草锄掉，大的一片草地的面积是小的一片的两倍，上午工人们都在大的草地上锄草，午后工人们对半分开，一半留在大片草地上，到晚上大片草地上草锄完了，另一半去小片草地上，到晚上，还剩下一块没锄完，次日由一个工人去锄，一天恰好锄完。问农场有多少个工人？（不考虑草的生长）例7一只狗追一只兔子，在狗跳6次的时间内兔子只跳了5次，狗跳4次的距离与兔子跳7次的距离相等。兔子跑出5.5M后狗开始在后面追。问兔子再跑出多少路程就被狗追上了？例8如图，游泳者在河中逆流而上，在桥A正面将水壶遗失被水冲走，继续前进了20分钟后，他发现水壶遗失，立即回头追寻水壶，在桥A下游2千米处B处追到水壶。问该河水流速是每小时多少千米？例9公共汽车每隔一定时间从始发站发车一次，有人在街上匀速行走，发现每隔6分钟从背后开过一辆公共汽车，每隔分钟迎面有一辆公共汽车驶来。问公共汽车每隔多少时间发车一次？例10草原上有一片青草，到处长的一样密一样快，70头牛24天内可以吃完，30头牛60天可以吃完。问可供多少头牛吃96天？例11有三种合金。第一种锌，铜，铁的含量比2:3:1，第二种是2:4:3.第三种是1:2:1，混合后三种金属的比为5:9:5.三种合金共570千克。三种合金各有多少？例12甲对乙说："我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半."乙对甲说："我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7."问：甲、乙二人现在各多少岁？例13某商场在一楼与二楼间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩及一女孩沿自动扶梯同时从第一楼出发走到第二楼，（扶梯本身也在匀速行驶）如果男孩及女孩都作为匀速运动考虑，且男孩每分钟走动的级数是女孩每分钟走动的级数的两倍，已知男孩走了60级，到达扶梯顶部，而女孩走了55级到达扶梯顶部（设男孩、女孩每次只跨1级），试问扶梯露在外面的部分多少级？1一根细蜡烛与一根粗蜡烛，细蜡烛长度是粗蜡烛的2倍，烧完一根细蜡烛要1小时，烧完一根粗蜡烛要2小时，同时点燃2根蜡烛多少分钟后细蜡烛比粗蜡烛短20％？2若干人去领取一些书，其中第一个人拿走3本与余下的，第二个人拿走6本与余下的，第三个人拿走9本与余下的。。。。。。最后书恰好分完并且每个人拿的书一样多。问有多少人领书？一共有多少本书？3甲乙两件工作的工作量比是7：5，做工的人数比4：3,开工2天后甲完成了任务，乙超额完成了2人2天的任务，求做两件工作的各多少人？4长沙市某公园的门票价格如下表所示:购票人数1～50人51～100人100人以上票价10元/人8元/人5元/人某校九年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行毕业联欢活动,其中甲班有50多人,乙班不足50人,如果以班为单位分别买门票,两个班一共应付920元;如果两个班联合起来作为一个团体购票,一共要付515元,问甲、乙两班分别有多少人5用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个，或盒底43个，一个盒身及两个盒底配成一套罐头盒。现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？6一船顺水行驶60千米，逆水行80千米共用11小时。如果顺水行90千米，逆水行100千米共用14.5小时。求船的静水速度与水速？7若一商人进货价便谊8%，而售价保持不变，则他的利润（按进货价而定）可由目前的增加到(10)%，x等于多少？第五章平面直角坐标系知识要点：1概念的理解2四个象限中x及y的正负关系3关于坐标轴，原点的对称点4分类讨论的意识以及对绝对值的深入理解5理解中点公式，会用割补法求格点三角形与多边形面积例1一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（–1,–1）、（–1，2）、（3,–1），则第四个顶点的坐标为例2在如图所示的直角坐标系中，四边形ＡＢＣＤ的各个顶点的坐标分别是Ａ（０，０），Ｂ（２，５），Ｃ（９，８）Ｄ（１２，０）确定这个四边形的面积。你是怎样做的？例3请自己动手，建立平面直角坐标系，在坐标系中描出下列各点的位置：你发现这些点有什么位置关系？你能再找出类似的点吗？（再写出三点即可）例4点P的横坐标是-3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是例5已知正方形的三个顶点坐标为A（2，1），B（5，1），D(2，4)，现将该正方形向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到正方形A'B'C'D'，则C’点的坐标为例6已知点P的坐标（2，36），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是例