《高职应用数学》教案 第6课 极限的概念

第6课极限的概念课题极限的概念课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：1．理解函数的极限2．会计算函数的极限，包括函数在某点的左极限、右极限3．能够判断无穷小量和无穷大量思政育人目标：通过数学史和数学文化的记载，提出极限思想，让学生充分感觉到我国深厚的文化底蕴，激发学生的爱国情怀；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：计算函数的极限、左极限和右极限教学难点：判断无穷小和无穷大教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第一节课：课前任务→考勤（2min）→问题导入（10min）→讲授新课（33min）第二节课：讲授新课（20min）→课堂测验（10min）→互助指导（12min）→课堂小结（3min）→课后拓展教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课课前任务【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同学做完作业，在指定时间内交齐【学生】做完作业，在指定时间内交齐【教师】通过文旌课堂APP或其他学习软件，布置课前任务：（1）了解我国古代数学家刘徽和哲学家庄子关于极限思想的记载（2）了解古希腊哲学家芝诺关于悖论的记载【学生】提前上网搜索了解，查阅资料，了解问题，熟悉教材通过课前的预热，让学生了解所学科目的大概方向，充分感觉到我国深厚的文化底蕴，激发学生的爱国情怀和学习欲望考勤（2min）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况问题导入（10min）【教师】讲述《阿基里斯追龟（芝诺悖论）》，并提问：什么是极限？我们为什么要学极限？【学生】聆听、思考、举手发言通过问题导入，吸引学生关注，调动学生的主观能动性讲授新课（33min）【教师】通过引用我国古代数学家刘徽的“割圆术”和哲学家庄子的“截丈问题”，激发学生的爱国情怀，引发学生对极限的学习兴趣极限思想产生于求某些实际问题的精确值，在数学灿烂的历史长河中，有很多典型范例．例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）的“割圆术”，是利用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，这里就用到了极限的思想；又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元前4世纪）在《庄子·天下篇》中对“截丈问题”有一段名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其中就隐含了深刻的极限思想．现在，用极限思想分析问题的方法广泛应用于社会生活和科学研究的各个方面．例如，一杯100℃的水，放在20℃的恒温房间里，水温会怎样变化呢？本章我们将带领大家走进极限的世界．【教师】讲解数列的定义，并通过例题介绍数列极限的判断及求法定义1在某一法则下，当依次取

时，对应的实数排成一列数

，这列数就称为数列，记作．数列中的每一个数称为数列的项，第n项称为数列的一般项或通项．数列可看作自变量为整数n的函数，它的定义域是全体正整数．当自变量n依次取等一切正整数时，对应的函数值就排列成数列．截丈问题若对1m长的木棒，每天截取一半，则剩余棒的长度可表示为如下数列：．可见，随着截取的天数n增多，剩余棒的长度越来越短．当天数n无限增大时，数列无限趋近于0．定义2对于数列，当n无限增大时，若数列的一般项无限地接近于某一确定的数值a，则称常数a是数列的极限，或称数列收敛于a，记作．若数列没有极限，则称数列是发散的．例1讨论下列数列的变化趋势，说明极限是否存在，若存在，请写出它们的极限例1（1）； （2）； （3）；（4）．解（1）的项依次为，当n无限增大时，无限接近于1，所以．（2）的项依次为，当n无限增大时，交替为0和1，不趋近于某一个常数，所以该数列的极限不存在．（3）

（4）为常数数列，无论n取怎样的正整数，始终为8，所以．例2某单位购置一批价格为100万元的设备，该设备每年的折旧费是当年价格的，那么随着时间的推移，这批设备的价格如何变化？例2解这批设备的价格（单位：万元）第一年为100，第二年为，第三年为，第四年为，……，第n年为．当n无限增大（即）时，由数列极限的定义可知．因此，随着时间的推移，这批设备的价格无限接近于0．【教师】由数列的极限归纳出函数的极限，并通过例题介绍函数极限的判断及求法数列是一种特殊的函数，对其主要研究当自变量时函数值的变化趋势．对于一般函数，也可讨论自变量在某一变化过程中函数的变化趋势．函数自变量的变化过程可分为两种情况：的绝对值无限增大；无限接近．为了方便起见，我们规定：（1）的绝对值无限增大用记号表示；小于0且绝对值无限增大用记号表示；大于0且绝对值无限增大用记号表示．（2）无限接近用记号表示；从的左侧（即）无限接近用记号表示；从的右侧（即）无限接近用记号表示．一杯水温为100℃的水，放在20℃的恒温房间里，随着时间t的推移，水的温度H将逐渐降低，即二者之间具有函数关系，且水温会越来越接近房间内的温度20℃，我们把20℃称为水的极限温度．下面分两种情况来讨论函数的极限．1．当时，函数的极限图2图2-1例3画出函数的图形，在的前提下，讨论当时，该函数的变化趋势，并说出它的极限．例3解所作图形如图2-1所示．从图中可以看出，当x沿x轴的正方向无限增大时，曲线无限接近于x轴，但始终不与x轴相交．因此，当时，函数以0为极限．对于这种当时函数的变化趋势，给出下面的定义．定义3当x的绝对值无限增大，即时，如果函数值无限趋近于某一个确定的常数A，那么A就称为函数当时的极限，记作或．类似地，可定义和．例4讨论是否存在．例4解如图2-2所示，有及

．由于当和时，函数不是无限接近于同一个确定的常数，所以不存在．图2-2由上面的例子可以看出，如果和都存在并且相等，那么也存在并且与它们相等．如果和都存在但不相等，那么不存在．定理1的充分必要条件是

．图2-3例5讨论函数及当时的极限．图2-3例5解如图2-3所示为这两个函数的图形．因为

，所以不存在．又因为，所以不存在．2．当时，函数的极限先看下面的例子．对于函数和，当时，和的变化趋势如图2-4所示．从图像容易看出，当时，和都无限接近于2．（a）（b）图2-4定义4设函数在点的附近有定义（在处可以无定义），如果存在一个常数A，当x无限趋于时，函数的值无限趋于A，那么A就称为函数当时的极限，记作或．如果当从的左边趋于（通常记作）时，无限接近某常数A，则常数A称为函数当时的左极限，记作或．如果当x从的右边趋于（通常记作）时，无限接近某常数A，则常数A称为函数当时的右极限，记作或．左极限与右极限统称为单侧极限．根据当时函数的极限定义，以及左极限和右极限的定义，容易得出类似于定理1中极限存在的充分必要条件．定理2当时，以A为极限的充分必要条件是在点处的左、右极限存在且都等于A，即．例6设试判断是否存在．例6解按题意，当时，的左、右极限分别为，．因为，所以存在，且．例7设讨论极限是否存在．例7解如图2-5所示，，

．因为，所以不存在．图2-5【学生】体会数学概念是源于实际生活的，数学与我们生活是息息相关的。理解数列极限的概念，理解函数的概念，体会数学推理的归纳法，掌握函数极限的求法学习数列的极限、函数的极限。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化第二节课讲授新课（20min）【教师】通过引例归纳出无穷小量的定义和性质，并通过例题介绍无穷小量的求法图2-6在实际中，我们经常遇到一类变量，它们的绝对值变得越来越小且趋向于零．图2-6引例单摆离开铅直位置的偏度用角来度量，如图2-6所示．如果让单摆自己摆动，由于受到机械摩擦力和空气阻力的影响，因此其摆动幅度会不断地减小，角逐渐趋向于零．对于这种变量趋于零的情形，我们给出如下定义．引例定义5在自变量x的某一变化过程中，若函数的极限为0，即，则称为该变化过程中的无穷小量，简称无穷小．例如，因为当时，的极限为0，所以当时，为无穷小；因为当时，的极限为0，所以当时，为无穷小．由无穷小的定义，可得到如下性质（证明略）．性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小．性质2有限个无穷小的乘积仍是无穷小．性质3有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小．例8求．例8解因为，所以是时的无穷小．又因为，所以是有界函数．因此，由性质3知，．【教师】通过例题介绍无穷大量的概念例如，当时，的绝对值无限增大，因此在这

个变化过程中，是无穷大量；当时，函数是无穷大量；当时，是无穷大量．【教师】讲解无穷小量和无穷大量之间的关系和判定定理3若(或)，则有(或0)．例如，因为，所以．【学生】理解无穷小量和无穷大量的概念，以及它们之间的关系；会判定无穷小和无穷大学习无穷小量和无穷大量的相关知识。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10min）☞教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家的学习情况【学生】做测试题目通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象互助指导（12min）☞选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点【教师】公布题目的正确答案，每组指定一名答题准确率最高的同学，辅导本组的未答对同学掌握答题知识，实现组内互助【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识点课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家理解了函数的极限，掌握了其计算方法，还掌握了无穷小量和无穷大量的概念，以及两者之间的关系和判定，课后要多加练习，巩固认知【学生】总结回顾知识点【教师】布置课后作业：习题2-