用曲线积分求旋转曲面的面积课件

作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。1作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用先看特殊的情形旋转轴为坐标轴2先看特殊的情形旋转轴为坐标轴2设L是上半平面内的一条平面曲线。

将L绕x轴旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积Ax。我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。L3设L是上半平面内的一条平面曲线。

将L在曲线L的(x,y)处取一弧微分它到x轴的距离是y（如图）。该弧微分绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积约为：（面积元素）于是整个曲线绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：4L在曲线L的(x,y)处取一弧微分它到x轴的距离是y（命题1：上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：L5命题1：上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为命题2：右半平面内一条曲线L绕y轴旋转而成的旋转曲面的面积为：同理L6命题2：右半平面内一条曲线L绕y轴旋转而成的旋转曲面的面积为下面针对不同的曲线方程

将曲线积分化为定积分

得到熟悉的旋转曲面的面积公式7下面针对不同的曲线方程

将曲线积分化为定积分

得到熟悉的旋转直角坐标方程8直角坐标方程8y=f(x)如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：9y=f(x)如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：9y=f(x)如果L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：10y=f(x)如果L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：10参数方程11参数方程11如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：12如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：12如果则L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：13如果则L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：13极坐标方程14极坐标方程14如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：15如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：15我们来推导一个有关曲线L的形心(质心)和

旋转曲面面积之间的关系的定理：古尔丁定理PaulGuldin（古尔丁）1577–1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.

16我们来推导一个有关曲线L的形心(质心)和

旋转曲面面积之间的L上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积等于该曲线的形心所经过的路程与L的弧长s的乘积。古尔丁定理形心17L上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积等于该曲如果你很容易求得曲线L的弧长和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。L形心18如果你很容易求得曲线L的弧长和形心，用古尔丁定理就很容求得旋下面来看一般的情形一般的曲线&一般的旋转轴19下面来看一般的情形一般的曲线19设L是xOy坐标平面内的一条曲线。L在直线l的一侧（如图）。

将L绕直线

l旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积A。

我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。Ll20设L是xOy坐标平面内的一条曲线。L在直线lL在曲线L的(x,y)处取一弧微分它到直线l的距离是：该弧微分绕l旋转而成的旋转曲面的面积约为：于是整个曲线L绕直线

l旋转而成的旋转曲面的面积为：设直线l的方程为ax+by+c=0。l21L在曲线L的(x,y)处取一弧微分它到直线l的距离是：命题3曲线L绕直线

ax+by+c=0旋转而成的旋转曲面的面积为：Ll22命题3曲线L绕直线ax+by+c=0旋转而成的旋转曲面下面举几个例子来说明

命题中的公式的应用由于其中积分较难计算用数学软件Maple完成23下面举几个例子来说明

命题中的公式的应用由于其中积分较难23例1求曲线y=x2(0<x<2)绕直线y=2x旋转的

旋转曲面的面积A。y:=x->x^2;f:=(x,y)->2*x-y;a:=0:b:=2:(2*Pi/sqrt(5))*Int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b)=(2*Pi/sqrt(5))*int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b);evalf(%);with(plots):quxian:=plot([x^2,2*x],x=-1..3,y=-1..5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);24例1求曲线y=x2(0<x<2)绕直线y=2x旋转的

例2求y=x2(0<x<1)绕直线y=x-1旋转的

旋转曲面的面积A。y:=x->x^2;f:=(x,y)->y-x+1;a:=0:b:=1:sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b)=sqrt(2)*Pi*int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b);evalf(%);25例2求y=x2(0<x<1)绕直线y=x-1旋转的

作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。26作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用先看特殊的情形旋转轴为坐标轴27先看特殊的情形旋转轴为坐标轴2设L是上半平面内的一条平面曲线。

将L绕x轴旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积Ax。我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。L28设L是上半平面内的一条平面曲线。

将L在曲线L的(x,y)处取一弧微分它到x轴的距离是y（如图）。该弧微分绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积约为：（面积元素）于是整个曲线绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：29L在曲线L的(x,y)处取一弧微分它到x轴的距离是y（命题1：上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：L30命题1：上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为命题2：右半平面内一条曲线L绕y轴旋转而成的旋转曲面的面积为：同理L31命题2：右半平面内一条曲线L绕y轴旋转而成的旋转曲面的面积为下面针对不同的曲线方程

将曲线积分化为定积分

得到熟悉的旋转曲面的面积公式32下面针对不同的曲线方程

将曲线积分化为定积分

得到熟悉的旋转直角坐标方程33直角坐标方程8y=f(x)如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：34y=f(x)如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：9y=f(x)如果L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：35y=f(x)如果L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：10参数方程36参数方程11如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：37如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：12如果则L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：38如果则L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：13极坐标方程39极坐标方程14如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：40如果L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：15我们来推导一个有关曲线L的形心(质心)和

旋转曲面面积之间的关系的定理：古尔丁定理PaulGuldin（古尔丁）1577–1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.

41我们来推导一个有关曲线L的形心(质心)和

旋转曲面面积之间的L上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积等于该曲线的形心所经过的路程与L的弧长s的乘积。古尔丁定理形心42L上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积等于该曲如果你很容易求得曲线L的弧长和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。L形心43如果你很容易求得曲线L的弧长和形心，用古尔丁定理就很容求得旋下面来看一般的情形一般的曲线&一般的旋转轴44下面来看一般的情形一般的曲线19设L是xOy坐标平面内的一条曲线。L在直线l的一侧（如图）。

将L绕直线

l旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积A。

我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。Ll45设L是xOy坐标平面内的一条曲线。L在直线lL在曲线L的(x,y)处取一弧微分它到直线l的距离是：该弧微分绕l旋转而成的旋转曲面的面积约为：于是整个曲线L绕直线

l旋转而成的旋转曲面的面积为：设直线l的方程为ax+by+c=0。l46L在曲线L的(x,y)处取一弧微分它到直线l的距离是：命题3曲线L绕直线

ax+by+c=0旋转而成的旋转曲面的面积为：Ll47命题3曲线L绕直线ax+by+c=0旋转而成的旋转曲面下面举几个例子来说明

命题中的公式的应用由于其中积分较难计算用数学软件Maple完成48下面举几个例子来说明

命题中的公式的应用由于其中积分较难23例1求曲线y=x2(0<x<2)绕直线y=2x旋转的

旋转曲面的面积A。y:=x->x^2;f:=(x,y)->2*x-y;a:=0:b:=2:(2*Pi/sqrt(5))*Int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b)=(2*Pi/sqrt(5))*int(f(x,y(x))*sqrt(1+D(y)(x)^2),x=a..b);evalf(%);with(plots):quxian:=plot([x^2,2*x],x=-1..3,y=-1..5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);49例1求曲线y=x2(0<x<2)绕直线y=2x旋