2022年北京市昌平临川育人学校九年级数学第一学期期末综合测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，、、是的切线，、、是切点，分别交、于、两点.如，则的度数为（）A． B． C． D．2．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A． B． C． D．3．同时投掷两个骰子，点数和为5的概率是（）A． B． C． D．4．如图的几何体由6个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）A． B． C． D．5．已知实数m，n满足条件m2﹣7m+2=0，n2﹣7n+2=0，则+的值是（）A． B． C．或2 D．或26．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=，则⊙O的半径为（）A． B．2 C． D．7．如图，在△ABC中，∠C=，∠B=，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，作射线AP交BC于点D，下列说法不正确的是（）

A．∠ADC= B．AD=BD C． D．CD=BD8．抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）（m为常数）的顶点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．下列事件是必然事件的（）A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上B．打开电视体育频道，正在播放NBA球赛C．射击运动员射击一次，命中十环D．若a是实数，则|a|≥010．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．在一个不透明的袋子里装有黄色、白色乒乓球共40个，除颜色外其他完全相同．小明从这个袋子中随机摸出一球，放回．通过多次摸球实验后发现，摸到黄色球的概率稳定在15%附近，则袋中黄色球可能有___个．12．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为______元．13．在不透明的袋子中有红球、黄球共个，除颜色外其他完全相同.将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了次后，发现有次摸到红球，则口袋中红球的个数大约是_________________.14．抛物线的对称轴为直线______.15．将点P（-1，2）向左平移2个单位，再向上平移1个单位所得的对应点的坐标为_____．16．计算的结果是_______.17．如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，_．18．二次函数y＝ax1+bx+c（a≠2）的部分图象如图，图象过点（﹣1，2），对称轴为直线x＝1．下列结论：①4a+b＝2；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜2时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+1c＞2．其中正确的结论是_____．三、解答题(共66分)19．（10分）已知，是一元二次方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点，，如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为，试求出点，的坐标，并判断的形状；（3）点是直线上的一个动点（点不与点和点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，点在直线上，距离点为个单位长度，设点的横坐标为，的面积为，求出与之间的函数关系式．20．（6分）如图，点A，C，D，B在以O点为圆心，OA长为半径的圆弧上，AC=CD=DB，AB交OC于点E．求证：AE=CD．21．（6分）一个盒子里有标号分别为1，2，3，4的四个球，这些球除标号数字外都相同．(1)从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的球的概率；(2)甲、乙两人用这四个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．22．（8分）已知二次函数y=x2+4x+k-1.（1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值.23．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PB，PC，且满足∠PCA＝∠ABC（1）求证：PA＝PC；（2）求证：PA是⊙O的切线；（3）若BC＝8，，求DE的长．24．（8分）如图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，，摆动臂可绕点旋转，．（1）在旋转过程中①当、、三点在同一直线上时，求的长，②当、、三点为同一直角三角形的顶点时，求的长．（2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，如图2，此时，，求的长．（3）若连接（2）中的，将（2）中的形状和大小保持不变，把绕点在平面内自由旋转，分别取、、的中点、、，连接、、、随着绕点在平面内自由旋转，的面积是否发生变化，若不变，请直接写出的面积；若变化，的面积是否存在最大与最小?若存在，请直接写出面积的最大值与最小值，（温馨提示）25．（10分）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．26．（10分）一个斜抛物体的水平运动距离为x（m），对应的高度记为h（m），且满足h＝ax1+bx﹣1a（其中a≠0）．已知当x＝0时，h＝1；当x＝10时，h＝1．（1）求h关于x的函数表达式；（1）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】连接OA、OB、OE，由切线的性质可求出∠AOB，再由切线长定理可得出∠COD=∠AOB，可求得答案．【详解】解：连接OA、OE、OB，所得图形如下：由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，∴△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∴∠COD=∠AOB，∵∠APB=40°，∴∠AOB=140°，∴∠COD=70°．【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．2、C【分析】根据完美点的概念令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由题意方程有两个相等的实数根，求得4ac=9，再根据方程的根为=，从而求得a=-1，c=-，所以函数y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．【详解】解：令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，

由题意，△=32-4ac=0，即4ac=9，

又方程的根为=，

解得a=-1，c=-，

故函数y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3，

如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，-3），由对称性，该函数图象也经过点（4，-3）．由于函数图象在对称轴x=2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y=-x2+4x-3的最小值为-3，最大值为1，

∴2≤m≤4，

故选：C．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合的数学思想得出是解题关键．3、B【解析】试题解析：列表如下：

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∵从列表中可以看出，所有可能出现的结果共有36种，且这些结果出现的可能性相等，其中点数的和为5的结果共有4种，∴点数的和为5的概率为：．故选B．考点：列表法与树状图法．4、A【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．【详解】从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，故A符合题意，故选A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．5、D【分析】①m≠n时，由题意可得m、n为方程x2﹣7x+2=0的两个实数根，利用韦达定理得出m+n、mn的值，将要求的式子转化为关于m+n、mn的形式，整体代入求值即可；②m=n，直接代入所求式子计算即可.【详解】①m≠n时，由题意得：m、n为方程x2﹣7x+2=0的两个实数根，∴m+n=7，mn=2，+====；②m=n时，+=2.故选D.【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，分析出m、n是方程的两个根以及分类讨论是解题的关键.6、A【解析】试题分析：连接OA，设⊙O的半径为r，由于AB垂直平分半径OC，AB=，则AD=，OD=，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（）2+（）2，解得r=．考点:（1）垂径定理；（2）勾股定理．7、C【分析】由题意可知平分，求出，，利用直角三角形角的性质以及等腰三角形的判定和性质一一判断即可．【详解】解：在中，，，，由作图可知：平分，，故A正确，故B正确，，，，，故C错误，设，则，，故D正确，故选：C．【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8、C【分析】根据二次函数的性质求出抛物线的顶点坐标，根据偶次方的非负性判断．【详解】抛物线y＝3（x+2）2﹣（m2+1）的的顶点坐标为（﹣2，﹣（m2+1）），∵m2+1＞0，∴﹣（m2+1）＜0，∴抛物线的顶点在第三象限，故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标的确定方法、偶次方的非负性是解题的关键．9、D．【解析】试题解析：A、是随机事件，不符合题意；B、是随机事件，不符合题意；==C、是随机事件，不符合题意；D、是必然事件，符合题意．故选D．考点：随机事件．10、D【分析】由三角函数定义即可得出答案．【详解】如图所示：由图可得：AD=3，CD=4，∴tanA．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形．构造直角三角形是解答本题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：设袋中黄色球可能有x个．根据题意，任意摸出1个，摸到黄色乒乓球的概率是：15%=，解得：x=1．∴袋中黄色球可能有1个．故答案为：112、3【解析】试题分析：设最大利润为w元，则w=（x﹣30）（30﹣x）=﹣（x﹣3）3+3，∵30≤x≤30，∴当x=3时，二次函数有最大值3，故答案为3．考点：3．二次函数的应用；3．销售问题．13、【分析】根据利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为0.3，然后根据概率公式计算袋中红球的个数.【详解】解：设袋中红球个数为x个，∵共摸了100次球，有30次是红球，∴估计摸到红球的概率为0.3，∴，解得，x=12.∴口袋中红球的个数大约是12个.故答案为：12.【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，频率越来越稳定，这个固定的频率值近似等于这个事件的概率.14、【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的对称轴．【详解】∵抛物线y=x2+8x+2=(x+1)2﹣11，∴该抛物线的对称轴是直线x=﹣1．故答案为：x=﹣1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15、(-1，1)【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【详解】原来点的横坐标是-1，纵坐标是2，向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到新点的横坐标是-1−2＝-1，纵坐标为2+1＝1．即对应点的坐标是(-1，1)．故答案填：(-1，1)．【点睛】解题关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．16、【分析】根据分式的加减运算法则，先通分，再加减.【详解】解：原式====.故答案为：.【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序.17、．【分析】根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积，本题得以解决．【详解】联立得，解得，或，∴点的坐标为，点的坐标为，∴，作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小，点的坐标为，点的坐标为，设直线的函数解析式为，，得，∴直线的函数解析式为，当时，，即点的坐标为，将代入直线中，得，∵直线与轴的夹角是，∴点到直线的距离是：，∴的面积是：，故答案为．【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18、①④⑤．【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．【详解】解：抛物线过点（﹣1，2），对称轴为直线x＝1．∴x＝＝1，与x轴的另一个交点为（5，2），即，4a+b＝2，故①正确；当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜2，即，9a+c＜3b，因此②不正确；当x＜1时，y的值随x值的增大而增大，因此③不正确；抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，2），（5，2），又a＜2，因此当函数值y＜2时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，故④正确；当x＝3时，y＝9a+3b+c＞2，当x＝4时，y＝16a+4b+c＞2，∴15a+7b+1c＞2，又∵a＜2，∴8a+7b+c＞2，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①④⑤，故答案为：①④⑤．【点睛】本题主要考查二次函数图像性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图像性质.三、解答题(共66分)19、（1）；（2），，是直角三角形；（3）当时，，当或时，．【分析】（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与轴的交点，再判断出和都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出，再分两种情况，当点在点上方和下方，分别计算即可．【详解】解（1），，，，是一元二次方程的两个实数根，且，，，抛物线的图象经过点，，，，抛物线解析式为，（2）令，则，，，，，顶点坐标，过点作轴，，，和都是等腰直角三角形，，，是直角三角形；（3）如图，，，直线解析式为，点的横坐标为，轴，点的横坐标为，点在直线上，点在抛物线上，，，过点作，是等腰直角三角形，，，当点在点上方时，即时，，，如图3，当点在点下方时，即或时，，．综上所述：当点在点上方时，即时，，当点在点下方时，即或时，．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质和判定，解本题的关键是利用等腰直角三角形判定和性质求出，．20、证明见解析【解析】试题分析：连接OC，OD，根据弦相等，得出它们所对的弧相等，得到=,再得到它们所对的圆心角相等，证明得到又因为即可证明.试题解析：证明：方法一：连接OC，OD，∵AC=CD=DB，=,∴，∴，∵，∴，，，，，，，．方法二：连接OC，OD，∵AC=CD=DB，=,∴，∴，∵，∴，∵∠CAO=∠CAE+∠EAO，∠AEC=∠AOC+∠EAO，∴∠CAO=∠AEC，在中，∴∠ACO=∠CAO，∴∠ACO=∠AEC，，，.方法三：连接AD，OC，OD，∵AC=DB，=,∴∠ADC=∠DAB，∴CD∥AB，∴∠AEC=∠DCO，∵AC=CD，AO=DO，∴CO⊥AD，∴∠ACO=∠DCO，∴∠ACO=∠AEC，∴AC=AE，∵AC=CD，∴AE=CD．21、(1)；(2)这个游戏对甲、乙两人公平，理由见解析.【解析】（1）根据四个球中奇数的个数，除以总个数得到所求概率即可；

（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出标号数字同为奇数或偶数的情况数，以及一奇一偶的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可．【详解】(1)∵标号分别为1，2，3，4的四个球中奇数为1，3，共2个，∴P（摸到标号数字为奇数）==(2)列表如下：12341（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）所有等可能的情况数有16中，其中同为偶数或奇数的情况有：（1，1），（3，1），（2，2），（4，2），（1，3）（3，3），（2，4），（4，4），共8种情况；一奇一偶的情况有：（2，1），（4，1），（1，2），（3，2），（2，3），（4，3），（1，4），（3，4），共8种，∴P（甲获胜）=P（乙获胜）==，则这个游戏对甲、乙两人公平.【点睛】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22、k＜1；k=1．【解析】试题分析：(1)、当抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＞0，从而求出k的取值范围；(2)、顶点在x轴上则说明顶点的纵坐标为0.试题解析：(1)、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2-4ac＞0，即16-4k+4＞0.解得k＜1.(2)、∵抛物线的顶点在x轴上，∴顶点纵坐标为0，即=0.解得k=1.考点：二次函数的顶点23、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝1．【分析】（1）根据垂径定理可得AD＝CD，得PD是AC的垂直平分线，可判断出PA＝PC；（2）由PC＝PA得出∠PAC＝∠PCA，再判断出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠PAC＝90°，即可得出结论；（2）根据AB和DF的比设AB＝3a，DF＝2a，先根据三角形中位线可得OD＝4，从而得结论．【详解】（1）证明∵OD⊥AC，∴AD＝CD，∴PD是AC的垂直平分线，∴PA＝PC，（2）证明：由（1）知：PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°．又∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA+∠CAB＝90°，∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，∴PA是⊙O的切线；（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，∴OD∥BC，OD＝BC＝＝4，∵，设AB＝3a，DF＝2a，∵AB＝EF，∴DE＝3a﹣2a＝a，∴OD＝4＝﹣a，a＝1，∴DE＝1．【点睛】本题考查的是圆的综合，难度适中，需要熟练掌握线段中垂线的性质、圆的切线的求法以及三角形中位线的相关性质.24、（1）①或；②长为或；（2）；（3）的面积会发生变化；存在，最大值为：，最小值为：【分析】（1）①分两种情形分别求解即可；

②显然不能为直角；当为直角时，根据计算即可；当为直角时，根据计算即可；（2）连接，，证得为等腰直角三角形，根据SAS可证得，根据条件可求得，根据勾股定理求得，即可求得答案；（3）根据三角形中位线定理，可证得是等腰直角三角形，求得，当取最大时，面积最大，当取最小时，面积最小，即可求得答案．【详解】（1）①，或；②显然不能为直角；当为直角时，，即，解得：；当为直角时，，即，；综上：长为或；（2）如图，连接，，根据旋转的性质得：为等腰直角三角形，∴，，，，，，，在和中，，，，又∵，，，；（3）发生变化，存在最大值和最小值，理由：如图，点P，M分别是，的中点，，，点N，P分别是，的中点，，，，，是等腰三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形；∴，当取最大时，面积最大，∴，当取最小时，面积最小，∴故：的面积发生变化，存在最大值和最小值，最大值为：，最小值为：．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，有一定的难度．25、(1)抛物线的解析式为：y=﹣x1+x+1(1)存在，P1（，2），P1（，），P3（，﹣）(3)当点E运动到（1，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．【解析】试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；（1）根据二次函数的解析