浅谈数形结合思想在初中数学中的应用

浅谈数形结合思想在初中数学中的应用

作者：邢矛

来源：《新课程研究·基础教育》2022年第07期

数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想。在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。因此，笔者结合数学教学实际，探讨数形结合思想在初中数学中的应用。

在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等。”所谓数形结合，就是指把代数的精确刻画与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。

数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进。在解决数学问题时，我们要把它们有机的结合起来，并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题，应用代数、三角函数等知识进行讨论，或者把数量关系问题转化为图形问题，借助几何知识加以解决，使学生看到“形”能想到“数”，而看到“数”则能想到“形”，最终达到优化解题途径的目的。著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离。”

初一学生就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系。进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应。到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系。正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的。

那么作为最基本的数学思想之一的数形结合思想，又是怎样体现在数学的具体应用中呢？下面笔者结合以下几个方面浅谈一下。

一、以形助数，化难为易

一些问题中的代数式，比如方程或不等式，若以图形的形式直观地表示出来，问题的结果便可一目了然。

1.在不等式中的应用。

例1：如图1，直线y1=kx+b过点A（0，2），且与直线y2=mx交于点P（1，m），则不等式mx>kx+b的解集是。

分析：这是一个解不等式的问题，如果直接去解不等式，是做不出的，因为将现有的已知点都代入解析式中，无法求出参数k、b，以及m的值。所以，这个题必须借助图像，利用图像观察交点以及交点两侧的图像，来判断当x在什么范围时，y1>y2或者y2>y1。

解：不等式mx>kx+b即y2>y1，通过观察图像，结合p点横坐标，在交点p的右侧，即当x>1时，y2>y1。

∴mx>kx+b的解集是x>1。

（1）在方程或方程组中的应用。

例2：①求方程x2-2x+1=-1的实数根的个数；②求方程x2-2x+1=的实数根的个数。

分析与解答：我们学习了“用函数的观点看方程”，知道一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况，可以看成是y=ax2+bx+c（抛物线）与y=0（x轴）的交点的情况，我们既可以通过计算方程的判别式来判断，又可以通过函数图像的交点很形象、直观的判断。所以，①问中，我们可以把方程左边看成抛物线y=x2-2x+1，右边看成直线y=-1，然后通过图2观察，会很快的发现，抛物线与直线没有交点，故原方程就没有实数根。②问中，如果直接去解方程，势必会得到一个三次方程，解起来很困难。若利用数形结合的方法，就简单直观了。求方程根的问题，转化成求函数y=x2-2x+1与y=的图像的交点问题，通过观察图3，知道两图像只有一个公共点，所以原方程只有一个根。

（2）函数与函数图像中的应用。

例3：抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴是直线x=2，且经过点p（3，0），试判断a-b+c的符号。

分析：此题如果直接求a，b，c的话，根据已有的条件，a，b，c三个值是无法一一求出的，只能用一个字母表示出其他两个字母，然后代入可以将a-b+c求出。如果能从函数图像着手，以形助数的话，就很简单了。当x=-1时，y=a-b+c。如图4所示，很容易判断a-b+c是大于0的。

2.应用题中的应用。

例4：一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，当行驶1.5小时时，两车相距70千米，再过半个小时，两车相遇，求甲乙两地的距离。

分析：此题如果用代数的解法，需要设三个未知数列方程组求解，可能还得用上整体代入的思想。但是如果能将两车的距离（y）与时间（t）的图像画出，如图5，再借助解析几何或平面几何的知识，会变得简单。

解法1：利用待定系数法将直线AB的解析式求出，y=-140x+280，甲乙两地的距离实际就是A点的纵坐标，故令x=0求出y=280。

解法2：设点（1.5，70）为C点，过C作CD⊥x轴于D，因为△AOB∽△CDB，

，所以OA=280。

二、以数解形，化繁为简

几何图形中的问题转化为代数的知识来解，这种数形结合的解题方法贯穿在教材中，也是几何计算与证明中常常采用的方法。

1.解几何计算题。

例5：如图6，直线y=-x+b与y轴交于点A，与双曲线y=在第一象限交于B、C两点，且AB·AC=4，则k=。

解：设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1、x2是方程-x+b=的两根，∴x1x2=k。

又AB·AC=x1·x2=4，∴k=

此题将反比例函数图像与代数相结合，利用直线解析式，先算出AB=x1，AC=x2，然后联立直线与双曲线的解析式，得到关于x的一个一元二次方程，再利用根与系数的关系，求出k的值。用代数的知识解决几何问题，体现了数形结合的思想。

例6：如图7，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为多少？

分析与解答：连CP交圆P于H点，连DE，DH，则∠H=∠A=60°。

∴DE=EH×sin60°=EH

所以，求DE的最大值，就是求EH的最大值。由于EH是动圆P的直径，AP是半径，所以再转化为求AP的最大值。因为A点固定，P是动点，由图可知当P运动到AO的延长线上时，AP最大，求出此时的AP即可。∵∠OAF=30°∴AO=2OF=2∴AP最大为3，∴EH最大值为6，DE的最大值就为3。

2.解几何证明题。

例7：证明：圆内接矩形以正方形的面积最大。

分析：如果用几何问题去解，解题方法不容易找到，所以把它转化为代数中求最值的方法来解答。利用配方法，可以把最值很快求出。

解：如图8，设圆的半径为R，矩形的一边长为x，则其邻边长为4R2-x2。所以矩形的面积为S=x4R2-x2。所以S2=-x4+4R2x2=-（x2-2R2）2+4R2。当x2=2R2时，S2有最大值4R4，S有最大值2R2，此时x=R，矩形为正方形。

例8：如图9，以线段AB为直径作一个半圆，O点为圆心，C为半圆上一动点，已知AB=1，设AC=a，BC=b，证明a+b的最大为。

分析：由于AC与BC长度都是变化的，而且在此图形中无法进行线段的转化。但是由于AB是定值，a2+b2=1，故可以用代数的方法进行探讨。

解：∵a2+b2=1，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab。∴a+b=1+2ab

所以要求a+b的最大值，即求ab的最大值。过C点往AB上作高，设其长度为h，则由面积法可得，ab=1×h。即当h