交错级数及其判别法课件

一、交错级数及其判别法定义:正、负项相间的级数§3一般项级数为交错级数

定理12.11（莱布尼茨判别法）设

满足以下两个条件1）数列单调递减

2）

则收敛

一、交错级数及其判别法定义:正、负项相间的级数§3一1证明证明2所以数列收敛

所以数列收敛3推论若级数满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数的余项估计式为推论若级数满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数的余项估计式4二、绝对收敛与条件收敛若级数收敛，则称级数绝对收敛

若级数收敛，但是级数不收敛，则称级数为条件收敛。

定理12.12若级数收敛，则级数收敛

对任何正数总存在正数N，使得n>N和任意正数r,有证

二、绝对收敛与条件收敛若级数收敛，则称级数绝对收敛若级数收5由于因此由柯西准则知级数也是收敛的。由于因此由柯西准则知级数也是收敛的。6例1证明级数绝对收敛.证由于对任何实数有，所以对所考察的级数对任何实数级数都绝对收敛

例1证明级数绝对收敛.证由于对任何实数有，所以对所考察7绝对收敛级数的两个重要性质1.级数的重排定义:把正整数列到它自身的一一映射称为正整数列的重排,相应地对于数列按映射所得到的数列称为原级数的重排,相应也称级数是级数的重排.绝对收敛级数的两个重要性质1.级数的重排定义:把正整数列8则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的定理12.13设级数绝对收敛,且其和等于和数.注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何事先指定的数.如：则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的定理12.13设92.级数的乘积设为收敛级数，他（1）与（2）中每一项所有可能的乘积列成下表：2.级数的乘积设为收敛级数，他（1）与（2）中每一项所有10这些乘积可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相加，于是分别有：和定理12.14(柯西定理)若级数(1)、（2）都绝对收敛，则对（3）中所有乘积按任意顺序排列所得到的级数也绝对收敛，且其和等于这些乘积可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序或11例2等比级数＜1

是绝对收敛的，将按的顺序排列，则得到=1+2

例2等比级数＜1是绝对收敛的，将按的顺序排列，则得到12三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法引理（分部求和公式）设为两组实数，若令则有如下分部求和公式成立：证：以分别乘以整理后就得所要证的公式。三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法引理（分部求和公式）设为两组13推论（阿贝耳引理）若（1）是单调数组；（2）对任一正整数有则记时，有：证：由（1）知都是同号的，于是由分部求和公式及条件（2）推得推论（阿贝耳引理）若（1）是单调数组；（2）对任一正整数有14以下讨论级数的收敛性。以下讨论级数的收敛性。15定理12.15(阿贝尔判别法)

若为单调有界数列,且级数收敛,则级数收敛.定理12.16(狄利克雷判别法)若单调递减,又级数部分和数列有界,则级数收敛.且定理12.15(阿贝尔判别法)若为单调有界数列,且16例3若数列具有性质:则级数和对任何都收敛.解:因为当时,故得到例3若数列具有性质:则级数和对任何都收敛.解:因为当时,17所以级数的部分和数列当时有界,由狄利克雷判别法推得级数收敛.同理可证级数也是收敛的.特别地,级数和对一切都成立.所以级数的部分和数列当时有界,由狄利克雷判别法推得级数收敛.18一、交错级数及其判别法定义:正、负项相间的级数§3一般项级数为交错级数

定理12.11（莱布尼茨判别法）设

满足以下两个条件1）数列单调递减

2）

则收敛

一、交错级数及其判别法定义:正、负项相间的级数§3一19证明证明20所以数列收敛

所以数列收敛21推论若级数满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数的余项估计式为推论若级数满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数的余项估计式22二、绝对收敛与条件收敛若级数收敛，则称级数绝对收敛

若级数收敛，但是级数不收敛，则称级数为条件收敛。

定理12.12若级数收敛，则级数收敛

对任何正数总存在正数N，使得n>N和任意正数r,有证

二、绝对收敛与条件收敛若级数收敛，则称级数绝对收敛若级数收23由于因此由柯西准则知级数也是收敛的。由于因此由柯西准则知级数也是收敛的。24例1证明级数绝对收敛.证由于对任何实数有，所以对所考察的级数对任何实数级数都绝对收敛

例1证明级数绝对收敛.证由于对任何实数有，所以对所考察25绝对收敛级数的两个重要性质1.级数的重排定义:把正整数列到它自身的一一映射称为正整数列的重排,相应地对于数列按映射所得到的数列称为原级数的重排,相应也称级数是级数的重排.绝对收敛级数的两个重要性质1.级数的重排定义:把正整数列26则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的定理12.13设级数绝对收敛,且其和等于和数.注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何事先指定的数.如：则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的定理12.13设272.级数的乘积设为收敛级数，他（1）与（2）中每一项所有可能的乘积列成下表：2.级数的乘积设为收敛级数，他（1）与（2）中每一项所有28这些乘积可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相加，于是分别有：和定理12.14(柯西定理)若级数(1)、（2）都绝对收敛，则对（3）中所有乘积按任意顺序排列所得到的级数也绝对收敛，且其和等于这些乘积可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序或29例2等比级数＜1

是绝对收敛的，将按的顺序排列，则得到=1+2

例2等比级数＜1是绝对收敛的，将按的顺序排列，则得到30三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法引理（分部求和公式）设为两组实数，若令则有如下分部求和公式成立：证：以分别乘以整理后就得所要证的公式。三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法引理（分部求和公式）设为两组31推论（阿贝耳引理）若（1）是单调数组；（2）对任一正整数有则记时，有：证：由（1）知都是同号的，于是由分部求和公式及条件（2）推得推论（阿贝耳引理）若（1）是单调数组；（2）对任一正整数有32以下讨论级数的收敛性。以下讨论级数的收敛性。33定理12.15(阿贝尔判别法)

若为单调有界数列,且级数收敛,则级数收敛.定理12.16(狄利克雷判别法)若单调递减,又级数部分和数列有界,则级数收敛.且定理12.15(阿贝尔判别法)若为单调有界数列,且34例3若数列具有