2018-2019数学新学案同步必修四北师大版讲义：第一章 三角函数8（二）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§8函数y＝Asin(ωx＋φ）的图像与性质(二)学习目标1.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像。2。能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像,确定其解析式。3.了解y＝Asin（ωx＋φ)的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相。知识点一“五点法"作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图像思考1用“五点法"作y＝sinx,x∈[0,2π］时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值?答案依次为0，eq\f（π，2),π,eq\f（3π，2），2π。思考2用“五点法"作y＝Asin(ωx＋φ)时,五个关键的横坐标取哪几个值？答案梳理用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ）的图像的步骤：第一步:列表：ωx＋φ0eq\f(π,2）πeq\f(3π，2)2πx－eq\f（φ，ω）eq\f（π,2ω)－eq\f（φ，ω)eq\f(π，ω)－eq\f(φ,ω)eq\f（3π,2ω)－eq\f(φ，ω）eq\f（2π，ω）－eq\f（φ,ω）y0A0－A0第二步：在同一坐标系中描出各点.第三步：用光滑曲线连接这些点,形成图像.知识点二函数y＝Asin（ωx＋φ)，A〉0,ω>0的性质名称性质定义域R值域[－A，A］周期性T＝eq\f(2π,ω)对称性对称中心eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（kπ－φ，ω)，0))(k∈Z)对称轴x＝eq\f(π,2ω)＋eq\f（kπ－φ，ω)（k∈Z)奇偶性当φ＝kπ（k∈Z）时是奇函数;当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z）时是偶函数单调性通过整体代换可求出其单调区间知识点三函数y＝Asin(ωx＋φ），A＞0，ω＞0中参数的物理意义1。函数y＝－2sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,5）)）的振幅是－2。(×)提示振幅是2。2.函数y＝eq\f（3,2)sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))）的初相是eq\f(π，4）.（×）提示初相是－eq\f(π,4).3.函数y＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π，4）））的图像的对称轴方程是x＝eq\f（π,4）＋kπ，k∈Z。（√)提示令x＋eq\f（π,4）＝eq\f（π,2)＋kπ，k∈Z，解得x＝eq\f(π，4）＋kπ，k∈Z，即f(x）的图像的对称轴方程是x＝eq\f(π，4）＋kπ，k∈Z。类型一用“五点法"画y＝Asin(ωx＋φ)的图像例1利用五点法作出函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2)x－\f(π,3))）在一个周期内的图像.考点用“五点法"作三角函数的简图题点用“五点法”作三角函数的简图解依次令eq\f(x,2）－eq\f（π，3)＝0，eq\f（π，2)，π，eq\f(3π，2)，2π，列出下表：eq\f（x，2）－eq\f(π,3）0eq\f（π，2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(2π，3）eq\f(5π,3）eq\f(8π，3）eq\f（11π，3）eq\f（14π,3)y030－30描点，连线，如图所示。反思与感悟（1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，eq\f(π，2），π，eq\f（3π，2），2π，解出x，从而确定这五点。(2)作给定区间上y＝Asin（ωx＋φ)的图像时，若x∈［m，n］,则应先求出ωx＋φ的相应范围,在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图像。跟踪训练1已知f(x）＝1＋eq\r（2）sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f（π，4））），画出f（x)在x∈eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f（π，2）,\f(π，2))）上的图像。考点用“五点法”作三角函数的简图题点用“五点法"作三角函数的简图解(1）∵x∈eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（－\f(π,2），\f（π,2）)），∴2x－eq\f（π,4)∈eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f（5,4）π，\f(3，4）π)).列表如下：x－eq\f(π,2)－eq\f（3,8）π－eq\f（π,8)eq\f(π,8）eq\f(3,8）πeq\f(π,2)2x－eq\f(π,4）－eq\f（5，4)π－π－eq\f（π,2)0eq\f(π，2）eq\f(3,4）πf(x)211－eq\r(2)11＋eq\r(2)2（2）描点，连线,如图所示.类型二由图像求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式例2如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜\f(π，2）））的图像，求A，ω,φ的值，并确定其函数解析式。考点由图像求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式题点由图像求函数y＝Asin(ωx＋φ）的解析式解方法一(逐一定参法）由图像知振幅A＝3，又T＝eq\f(5π,6)－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（π,6）））＝π，∴ω＝eq\f（2π,T)＝2。由点eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(π,6），0）)可知,－eq\f（π,6)×2＋φ＝0，得φ＝eq\f(π,3），∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π，3)）)。方法二（待定系数法）由图像知A＝3，又图像过点eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，3)，0)）和eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(5π，6)，0)），根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点），有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(π，3)·ω＋φ＝π，，\f（5π,6）·ω＋φ＝2π，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（ω＝2,，φ＝\f(π，3）。）)∴y＝3sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,3））)。方法三(图像变换法）由T＝π,点eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π，6)，0）），A＝3可知，图像是由y＝3sin2x向左平移eq\f(π,6）个单位长度而得到的,∴y＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，6）)）)），即y＝3sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,3）））.反思与感悟若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图像的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ。(1）由函数图像上的最大值、最小值来确定｜A|.(2）由函数图像与x轴的交点确定T,由T＝eq\f（2π，｜ω|），确定ω.(3)确定函数y＝Asin（ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法①代入法：把图像上的一个最高点或最低点代入(此时A，ω已知）或代入图像与x轴的交点求解.（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）②五点对应法：确定φ值时,往往以寻找“五点法"中的第一个零点eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（φ，ω),0))作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”（即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点"）为ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三点”（即图像下降时与x轴的交点）为ωx＋φ＝π;“第四点”（即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝eq\f（3π,2);“第五点”为ωx＋φ＝2π。跟踪训练2(2017·贵州贵阳一中期末考试）已知函数f（x)＝sin（ωx＋φ)(ω>0）的部分图像如图所示，则ω＝。考点求三角函数的解析式题点根据三角函数的图像求解析式答案eq\f（3，2）解析由图，知eq\f（T，4）＝eq\f(2π，3）－eq\f(π,3）＝eq\f（π,3），∴T＝eq\f(4π,3），又T＝eq\f（2π，ω）＝eq\f(4π,3）,∴ω＝eq\f（3，2）.类型三函数y＝Asin（ωx＋φ)性质的应用例3已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(A〉0，ω〉0,｜φ|≤\f（π,2)))上最高点为（2，eq\r（2）)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点(6，0）.(1）求函数的解析式；(2）求函数在x∈[－6,0］上的值域。考点三角函数图像的综合应用题点三角函数图像的综合应用解(1)由题意可知A＝eq\r（2），eq\f（T,4)＝6－2＝4，∴T＝16,即eq\f(2π,ω)＝16，∴ω＝eq\f（π，8)，∴y＝eq\r(2）sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，8）x＋φ))。又图像过最高点（2，eq\r（2）），∴sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，8）×2＋φ）)＝1,故eq\f（π，4)＋φ＝eq\f(π，2)＋2kπ，k∈Z，φ＝eq\f（π,4）＋2kπ,k∈Z，由｜φ｜≤eq\f(π，2），得φ＝eq\f(π，4），∴y＝eq\r（2)sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π,8）x＋\f（π,4））).（2）∵－6≤x≤0，∴－eq\f（π，2)≤eq\f（π，8)x＋eq\f（π,4）≤eq\f(π,4)，∴－eq\r（2)≤eq\r(2）sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,8）x＋\f(π，4)））≤1.即函数在x∈[－6，0］上的值域为[－eq\r（2)，1].跟踪训练3设函数f（x）＝sin(2x＋φ）(－π＜φ＜0）,函数y＝f(x）的图像的一条对称轴是直线x＝eq\f(π，8).（1)求φ的值；（2)求函数y＝f（x)的单调区间及最值。考点函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质题点函数y＝Asin（ωx＋φ)性质的应用解(1）由2x＋φ＝kπ＋eq\f（π,2)，k∈Z,得x＝eq\f（kπ,2）＋eq\f（π,4)－eq\f（φ，2)，令eq\f(kπ，2)＋eq\f（π，4)－eq\f(φ,2)＝eq\f（π，8)，得φ＝kπ＋eq\f（π，4），k∈Z。∵－π＜φ＜0，∴φ＝－eq\f(3π,4）.(2）由(1）知，f（x)＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4)))。由2kπ－eq\f(π,2）≤2x－eq\f(3π,4）≤2kπ＋eq\f(π，2)(k∈Z),得kπ＋eq\f（π，8）≤x≤kπ＋eq\f(5π，8）(k∈Z)，故函数的递增区间是eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(kπ＋\f（π,8），kπ＋\f（5π，8））)(k∈Z)。同理可得函数的递减区间是eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f（5π，8),kπ＋\f（9π,8)))（k∈Z）当2x－eq\f（3π，4）＝2kπ＋eq\f(π，2）(k∈Z)，即x＝kπ＋eq\f(5π,8）（k∈Z）时,函数取得最大值1；当2x－eq\f（3π，4）＝2kπ－eq\f(π,2）(k∈Z），即x＝kπ＋eq\f(π,8)(k∈Z)时，函数取得最小值－1.1。函数y＝Asin（ωx＋φ）(A〉0,0〈φ<π)的图像的一段如图所示，它的解析式可以是(）A。y＝eq\f（2，3)sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（2π，3))） B。y＝eq\f（2,3）sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,3)))C。y＝eq\f(2，3）sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，3））） D.y＝eq\f(2，3）sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))考点由图像求函数y＝Asin（ωx＋φ)的解析式题点由图像求函数y＝Asin（ωx＋φ)的解析式答案A解析由图像可得A＝eq\f(2，3)，eq\f(T,2）＝－eq\f（π,12）－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（7π,12）)）＝eq\f（π,2)，所以T＝π,所以ω＝eq\f（2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2，所以y＝eq\f(2，3)sin(2x＋φ).将点eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（π，12），\f(2，3)））的坐标代入y＝eq\f(2,3）sin（2x＋φ)，得eq\f(2,3)＝eq\f(2,3）sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（2×\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(π，12)))＋φ）)，则sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋φ）)＝1，所以－eq\f（π，6)＋φ＝eq\f(π，2）＋2kπ（k∈Z),即φ＝eq\f(2π,3）＋2kπ（k∈Z）.又0<φ<π，令k＝0，则φ＝eq\f（2π,3）.所以解析式可以是y＝eq\f(2，3)sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（2π,3）))。2。函数y＝Asin(ωx＋φ）＋k的图像如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是(）A.A＝3，T＝eq\f(5π，6） B。A＝3，T＝eq\f(5π，3）C。A＝eq\f(3,2），T＝eq\f(5π，6） D.A＝eq\f（3,2)，T＝eq\f（5π,3）考点三角函数图像的综合应用题点三角函数图像的综合应用答案D解析由题图可知A＝eq\f（1,2)×(3－0）＝eq\f(3，2)，设周期为T,则eq\f（1，2）T＝eq\f（π,2)－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(π,3）))＝eq\f（5π，6)，得T＝eq\f(5π,3）.3。下列表示函数y＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，3)）)在区间eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（－\f（π,2），π)）上的简图正确的是(）考点用“五点法”作三角函数的简图题点用“五点法”作三角函数的简图答案A解析将y＝sinx的图像上所有点的横坐标缩短为原来的eq\f（1，2)，再将所有点向右平移eq\f（π，6）个单位长度即可得到y＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f（π，3）)）的图像，依据此变换过程可得到A中图像是正确的.也可以分别令2x－eq\f（π，3)＝0,eq\f(π，2),π，eq\f（3π，2)，2π得到五个关键点,描点连线即得函数y＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，3））)的图像。4.已知函数f(x)＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（ωx＋\f(π,3）)）（ω>0）的最小正周期为π,则该函数的图像（)A。关于点eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,3)，0））对称 B.关于直线x＝eq\f（π,4）对称C。关于点eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π,4)，0)）对称 D。关于直线x＝eq\f（π,3)对称考点函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质题点函数y＝Asin(ωx＋φ）性质的应用答案A解析ω＝eq\f(2π,π)＝2，所以f（x)＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π，3)））.将x＝eq\f（π,3）代入f(x)＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π，3))），得f

eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,3)）)＝0，故选A.5。已知函数f(x)＝Asin（ωx＋φ）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(A＞0,ω＞0,－\f(π，2）＜φ＜\f(π,2）)）的部分图像如图所示。（1）求f（x)的解析式；（2)写出f(x）的递增区间。考点三角函数y＝Asin（ωx＋φ)的综合问题题点三角函数y＝Asin(ωx＋φ）的综合问题解(1）易知A＝eq\r（2），T＝4×[2－（－2)]＝16，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π，8)，∴f（x）＝eq\r（2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，8）x＋φ)），将点(－2，0)代入得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋φ）)＝0，令－eq\f（π，4)＋φ＝0，∴φ＝eq\f（π，4）,∴f（x)＝eq\r（2）sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,8）x＋\f（π，4))）。(2)由－eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(π,8）x＋eq\f（π,4)≤eq\f(π，2)＋2kπ，k∈Z，解得16k－6≤x≤16k＋2,k∈Z，∴f（x）的递增区间为［16k－6，16k＋2],k∈Z.1.利用“五点”法作函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像时,要先令“ωx＋φ”这一个整体依次取0，eq\f（π,2）,π,eq\f(3，2)π，2π，再求出x的值,这样才能得到确定图像的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“ωx＋φ”的值.2。由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像确定解析式关键在于确定参数A,ω，φ的值.(1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|。(2)因为T＝eq\f(2π，ω)，所以往往通过求得周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为eq\f(T,2);相邻的两个最高点（或最低点）之间的距离为T.（3)从寻找“五点法”中的第一个零点eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（φ，ω）,0）)(也叫初始点）作为突破口,以y＝Asin（ωx＋φ）3.在研究y＝Asin(ωx＋φ）（A>0，ω〉0）的性质时,注意采用整体代换的思想，如函数在ωx＋φ＝eq\f（π，2）＋2kπ(k∈Z）时取得最大值，在ωx＋φ＝eq\f（3π,2）＋2kπ（k∈Z)时取得最小值。一、选择题1。若函数f(x)＝3sin（ωx＋φ)对任意x都有f

eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π,6)＋x))＝f

eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,6）－x))，则有f

eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，6）））等于（）A。3或0 B.－3或0C。0 D.－3或3考点函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质题点函数y＝Asin（ωx＋φ)性质的应用答案D解析由f

eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,6）＋x））＝f

eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,6)－x））知，x＝eq\f(π，6)是函数的对称轴，解得f

eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，6)))＝3或－3，故选D.2。如图所示，函数的解析式为（）A.y＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6））) B.y＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(2x－\f（π,6))）C。y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f（π，3))) D。y＝coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，6）)）考点由图像求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式题点由图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式答案D解析由图知T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，12）＋\f（π,6）))＝π，∴ω＝eq\f（2π,T)＝2。又当x＝eq\f（π,12)时，y＝1，经验证,可得D项解析式符合题目要求。3.函数f(x)＝Asin（ωx＋φ)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（A〉0，ω〉0，｜φ|〈\f(π，2）））的部分图像如图所示，为了得到g（x)＝sin3x的图像，则只要将f（x)的图像（）A.向右平移eq\f（π,4）个单位长度 B.向右平移eq\f(π，12)个单位长度C。向左平移eq\f(π,4）个单位长度 D.向左平移eq\f（π，12)个单位长度考点三角函数图像的综合应用题点三角函数图像的综合应用答案B解析由图像知，函数f(x）的周期T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(5π，12)－\f（π，4)）)＝eq\f(2π，3）＝eq\f(2π,ω)，所以ω＝3.因为函数f（x）的图像过图中最小值点eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5π，12），－1)),所以A＝1且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f（5π，12)＋φ）)＝－1，又因为｜φ｜〈eq\f（π,2),所以φ＝eq\f(π,4），所以f（x)＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(3x＋\f（π，4)）).因为g(x)＝sin3x,所以g(x）＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f（π,12）)）.为了得到g(x）＝sin3x的图像，只需将f(x)的图像向右平移eq\f(π，12）个单位长度，故选B.4.把函数f(x）＝2cos（ωx＋φ)（ω〉0,0<φ<π）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，然后再向左平移eq\f(π,6)个单位,得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为（)A。1，eq\f(π，3)B.2，eq\f(π,3)C.eq\f(1，2），eq\f（π,6)D.eq\f（1，2），eq\f(π，3）考点函数y＝Acos（ωx＋φ)的性质题点函数y＝Acos（ωx＋φ)性质的应用答案B解析依题意得f（x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（ω，2)x＋φ））,则函数g(x)＝2coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（ωx，2）＋\f（ωπ，12)＋φ)).因为函数g（x）的最小正周期为2π,所以ω＝2，则g（x）＝2coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（π，6)＋φ)）。又因为函数为奇函数,0〈φ<π，所以φ＋eq\f（π,6)＝kπ＋eq\f（π，2)（k∈Z），则φ＝eq\f（π,3).5。函数f(x）＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f（x)的递减区间为（）A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（kπ－\f（1,4)，kπ＋\f（3,4)))，k∈ZB.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2kπ－\f(1,4），2kπ＋\f（3,4)）），k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（k－\f(1，4），k＋\f(3，4)）)，k∈ZD。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,4)，2k＋\f（3,4)）)，k∈Z考点函数y＝Acos(ωx＋φ)的性质题点函数y＝Acos(ωx＋φ)性质的应用答案D解析由图像知，周期T＝2×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(5,4）－\f(1,4)））＝2，∴eq\f(2π，ω）＝2，∴ω＝π。由π×eq\f(1,4）＋φ＝eq\f（π，2)＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝eq\f(π，4），∴f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（πx＋\f（π,4）））.由2kπ〈πx＋eq\f（π,4)〈2kπ＋π，k∈Z，得2k－eq\f（1，4)〈x〈2k＋eq\f（3，4）,k∈Z,∴f（x）的递减区间为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2k－\f（1，4)，2k＋\f（3，4)））,k∈Z.故选D。6.已知函数f（x）＝Acos(ωx＋φ）(A>0,ω〉0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图像如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f(1)的值为()A.－eq\f（\r(3）,2) B.－eq\f（\r（6)，2)C。eq\r（3) D。－eq\r（3)考点函数y＝Acos（ωx＋φ)的性质题点函数y＝Acos(ωx＋φ）性质的应用答案D解析由函数f（x）是奇函数，且0<φ〈π，可得φ＝eq\f(π,2）。由图像及已知可得函数的最小正周期为4，得ω＝eq\f(π,2）。由△EFG的边FG上的高为eq\r（3），可得A＝eq\r（3），所以f(x)＝eq\r(3）coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,2）x＋\f（π，2)）），所以f（1)＝eq\r(3）cosπ＝－eq\r(3).二、填空题7.把函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f（2π，3)））的图像向左平移m个单位长度，所得的图像关于y轴对称，则m的最小正值是。考点函数y＝Asin（ωx＋φ)的性质题点函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的应用答案eq\f(5π，6)解析把y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(2π,3)）)的图像向左平移m个单位长度，则y＝2sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋m＋\f（2π，3）))，其图像关于y轴对称，∴m＋eq\f（2π,3)＝kπ＋eq\f(π，2），即m＝kπ－eq\f(π,6)，k∈Z。∴取k＝1，则m的最小正值为eq\f（5π，6）。8。已知函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>0，－π≤φ<π)的图像如图所示，则φ＝。考点由图像求函数y＝Asin(ωx＋φ）的解析式题点由图像求函数y＝Asin(ωx＋φ）的解析式答案eq\f（9π，10)解析由图像知函数y＝sin（ωx＋φ)的周期为2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(3π，4)））＝eq\f（5π,2)，∴eq\f（2π，ω)＝eq\f(5π,2)，∴ω＝eq\f（4,5)。∵当x＝eq\f(3π,4)时，y有最小值－1，∴eq\f（4,5）×eq\f（3π，4）＋φ＝2kπ－eq\f(π，2)（k∈Z），即φ＝－eq\f(11π,10）＋2kπ（k∈Z)。∵－π≤φ〈π，∴φ＝eq\f(9π，10)。9.已知函数f(x）＝Acos（ωx＋φ)的图像如图所示,f

eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，2)））＝－eq\f(2，3)，则f(0）＝.考点三角函数图像的综合应用题点三角函数图像的综合应用答案eq\f(2,3）解析由题图可知eq\f（T,2）＝eq\f(11π,12）－eq\f（7π，12)＝eq\f（π，3)，T＝eq\f(2π，3),∴f(0）＝f

eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(2π,3）))，注意到eq\f（\f（π,2)＋\f(2π，3），2）＝eq\f（7π，12），也即eq\f(π,2)和eq\f（2π，3）关于eq\f(7π,12）对称，于是f（0）＝f

eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2π，3））)＝－f

eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π，2）)）＝eq\f(2,3）。10。关于f（x）＝4sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x＋\f（π,3）））(x∈R)，有下列命题：①由f（x1)＝f（x2）＝0可得x1－x2是π的整数倍;②y＝f（x）的表达式可改写成y＝4coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(2x－\f（π，6)）);③y＝f（x）图像关于eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（π,6），0))对称;④y＝f（x）图像关于x＝－eq\f（π,6）对称.其中正确命题的序号为。考点函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质题点函数y＝Asin(ωx＋φ）性质的应用答案②③解析对于①，由f(x）＝0，可得2x＋eq\f（π，3)＝kπ（k∈Z），∴x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6）(k∈Z），∴x1－x2是eq\f(π,2）的整数倍，∴①错；对于②，f(x)＝4sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π，3)）)利用公式，得f（x）＝4coseq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(π，2)－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π，3））))）＝4coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2x－\f（π,6)))，∴②对；对于③，f（x）＝4sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,3）））的对称中心满足2x＋eq\f(π,3）＝kπ，k∈Z，∴x＝eq\f(kπ,2)－eq\f（π，6)，k∈Z.∴eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))是函数y＝f(x)的一个对称中心,∴③对；对于④，函数y＝f（x）的对称轴满足2x＋eq\f(π，3）＝eq\f(π，2）＋kπ，k∈Z，∴x＝eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2),k∈Z，∴④错.三、解答题11.已知曲线y＝Asin(ωx＋φ）（A〉0，ω>0）上的一个最高点的坐标为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，8）,\r(2)）)，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3π,8）,0))，若φ∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(π，2），\f(π，2）)）。(1）试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1）中函数在[0，π]上的图像.考点函数y＝Asin（ωx＋φ)的综合问题题点函数y＝Asin(ωx＋φ）的综合问题解(1)由题意知A＝eq\r（2），T＝4×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3π,8）－\f（π，8）））＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝2,∴y＝eq\r(2)sin（2x＋φ).又∵sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，8）×2＋φ）)＝1，∴eq\f(π,4）＋φ＝2kπ＋eq\f（π,2)，k∈Z，∴φ＝2kπ＋eq\f(π，4），k∈Z.又∵φ∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（π,2）,\f（π,2））)，∴φ＝eq\f(π，4）,∴y＝eq\r（2)sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π，4））).(2）列出x，y的对应值表：x0eq\f（π,8)eq\f(3，8)πeq\f(5,8)πeq\f（7，8）ππ2x＋eq\f（π,4)eq\f(π,4)eq\f(π,2)πeq\f(3，2)π2πeq\f(9π,4)y1eq\r（2）0－eq\r(2)01描点，连线，如图所示。12.已知函数f（x)＝2sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(ωx＋φ－\f(π，6））)＋1（0〈φ<π，ω>0)为偶函数，且函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为eq\f（π,2）。（1）求f

eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π，8）））的值；（2)将函数f（x）的图像向右平移eq\f(π,6）个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g（x)的图像,求函数g（x）的递减区间.考点函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质题点函数y＝Asin（ωx＋φ）性质的应用解(1）∵f（x）为偶函数,∴φ－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π，2)(k∈Z），∴φ＝kπ＋eq\f(2π，3）（k∈Z).又0<φ<π，∴φ＝eq\f（2π，3),∴f（x)＝2sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（ωx＋\f（π，2））)＋1＝2cosωx＋1。又函数f（x）的图像的两相邻对称轴间的距离为eq\f（π，2)，∴T＝eq\f（2π，ω)＝2×eq\f(π,2)，∴ω＝2，∴f（x)＝2cos2x＋1，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π,8)）)＝2coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（2×\f(π，8)))＋1＝eq\r(2)＋1。（2）将f（x)的图像向右平移eq\f(π，6）个单位长度后,得到函数f

eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π，6)))的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f

eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（x,4）－\f(π,6）))的图像.所以g（x）＝f

eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(x,4)－\f（π，6)))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（x，4）－\f（π,6））)＋1＝2coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（x,2）－\f(π,3））)＋1.当2kπ≤eq\f(x，2)－eq\f（π，3)≤2kπ＋π（k∈Z），即4kπ＋eq\f(2π,3）≤x≤4kπ＋eq\f(8π，3)（k∈Z)时,g(x）是减函数.∴函数g(x)的递减区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（4kπ＋\f（2π,3)，4kπ＋\f(8π，3)）)（k∈Z)。四、探究与拓展13.设函数f(x）＝Asin（ωx＋φ）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（A>0,ω>0，|φ|<\f(π，2）)）的部分图像如图所示，若x1,x2∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(π，6)，\f(π,3））)，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于（)A.1B.eq\f(1,2）C。eq\f（\r（2），2）D.eq\f（\r（3）,2）考点函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质题点函数y＝Asin（ωx＋φ）性质的应用答案D解析由图像可得A＝1，eq\f（T,2)＝eq\f（2π,2ω）＝eq\f(π,3)－eq\b\lc