2018-2019数学新学案同步必修三人教B版全国通用版讲义：第三章 概率3.1.4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3。1.4概率的加法公式学习目标1.理解互斥事件与对立事件的区别与联系.2。会用互斥事件的概率加法公式求概率.3。会用对立事件的概率公式求概率．知识点一事件的运算思考一粒骰子掷一次，记事件C＝｛出现的点数为偶数｝，事件D＝{出现的点数小于3}，当事件C,D都发生时,掷出的点数是多少？事件C，D至少有一个发生时呢？答案事件C，D都发生，即掷出的点数为偶数且小于3，故此时掷出的点数为2。事件C，D至少有一个发生，掷出的点数可以是1,2，4，6.梳理事件的并一般地，由事件A和B至少有一个发生（即A发生，或B发生,或A，B都发生)所构成的事件C，称为事件A与B的并（或和）．记作C＝A∪B.事件A∪B是由事件A或B所包含的基本事件所组成的集合．如图中阴影部分所表示的就是A∪B.知识点二互斥与对立的概念思考一粒骰子掷一次，事件E＝{出现的点数为3｝，事件F＝｛出现的点数大于3｝，事件G＝{出现的点数小于4｝，则E与F是什么事件？G与F是什么事件?答案∵E，F不能同时发生，∴E与F是互斥事件．∵G，F不能同时发生，且G,F必有一个发生，∴G与F既是互斥事件又是对立事件．梳理1．互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）．2．对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A的对立事件记作eq\x\to（A）。由于A与eq\x\to(A)是互斥事件,所以P（Ω)＝P（A∪eq\x\to(A)）＝P(A）＋P(eq\x\to（A）)，又由Ω是必然事件，得到P（Ω)＝1。所以P(A)＋P（eq\x\to(A)）＝1，即P(eq\x\to（A）)＝1－P(A）．知识点三概率的基本性质思考概率的取值范围是什么？为什么？答案概率的取值范围是0～1之间，即0≤P（A)≤1；由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间,因而概率的取值范围也在0～1之间．梳理概率的几个基本性质（1）概率的取值范围为［0，1]．(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。(3）互斥事件的概率加法公式①假定A，B是互斥事件，则P(A∪B)＝P（A)＋P(B)．②一般地，如果事件A1,A2，…,An两两互斥（彼此互斥）,那么事件“A1∪A2∪…∪An”发生（是指事件A1，A2，…,An中至少有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率和,即P（A1∪A2∪…∪An)＝P(A1）＋P（A2）＋…＋P（An）．1．若两个事件是互斥事件,则这两个事件是对立事件．(×)2．若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．(√）3．若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.(√）类型一事件关系的判断例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1～10各10张)中,任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃"；(2)“抽出红色牌"与“抽出黑色牌"；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．解（1）是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃"和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此,二者不是对立事件．（2)既是互斥事件,又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌"与“抽出黑色牌",两个事件不可能同时发生,但其中必有一个发生,所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件．反思与感悟（1）不可能事件记作∅，任何事件都包含不可能事件．（2）事件的包含关系与集合的包含关系相似，不可能事件与空集相似，学习时要注意类比记忆．（3)事件A也包含于事件A，即A⊆A.（4)两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件，相等的事件A，B总是同时发生或同时不发生．跟踪训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球答案D解析根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“3个球都是红球"是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件．类型二互斥事件的概率加法公式例2在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0。51，在70～79分的概率是0。15,在60～69分的概率是0.09,计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率．解分别记小明的考试成绩在90分以上,在80～89分，在70~79分，在60~69分为事件B，C，D,E，这四个事件是彼此互斥的．根据概率的加法公式,小明的考试成绩在80分以上的概率是P（B∪C）＝P(B）＋P（C)＝0.18＋0.51＝0.69。小明考试及格的概率为P（B∪C∪D∪E）＝P(B）＋P(C）＋P（D）＋P(E）＝0。18＋0.51＋0.15＋0.09＝0。93。反思与感悟在求某些较为复杂事件的概率时,先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知（或较容易求出）的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率．因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥"．跟踪训练2假设向三个相邻的军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025,其余两个各为0.1,只要炸中一个,另两个也要发生爆炸,求投掷一枚炸弹,军火库发生爆炸的概率．解因为只投掷了一枚炸弹，故炸中第一、第二、第三个军火库的事件是彼此互斥的．令A，B，C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库，则P(A)＝0。025,P（B）＝P（C）＝0。1。令D表示军火库爆炸这个事件，则有D＝A∪B∪C,又因为A，B，C是两两互斥事件，故所求概率为P（D)＝P(A）＋P（B)＋P(C）＝0。025＋0。1＋0.1＝0。225.类型三用互斥、对立事件求概率例3甲、乙两人下棋，和棋的概率是eq\f(1，2），乙获胜的概率为eq\f（1，3），求:（1）甲获胜的概率;（2）甲不输的概率．解(1）“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件,所以“甲获胜"的概率为1－eq\f(1，2）－eq\f(1,3)＝eq\f（1，6）.(2)方法一“甲不输”可看成是“甲获胜"“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(甲不输)＝eq\f(1，6)＋eq\f（1，2)＝eq\f（2,3).方法二“甲不输”可看成是“乙获胜"的对立事件，所以P(甲不输）＝1－eq\f（1，3）＝eq\f(2，3）,故甲不输的概率为eq\f（2,3）.反思与感悟（1)只有当A，B互斥时，公式P(A∪B)＝P（A)＋P(B)才成立；只有当A，B互为对立事件时,公式P(A)＝1－P(B)才成立．(2）复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P（A）＝1－P(eq\x\to(A)）求解．跟踪训练3从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品"，事件C＝“抽到三等品”．已知P(A)＝0。65，P(B）＝0。2，P（C）＝0.1,则事件“抽到的不是一等品"的概率为()A．0。20B．0.39C．0。35D．0.90答案C解析∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0。65＝0。35.1．从1，2，…,9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述各对事件中,是对立事件的是(）A．①B．②④C．③D．③④答案C解析从1,2，…，9中任取两数,包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A．0。42B．0.28C．0。3D．0。7答案C解析∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0。42－0.28＝0。3，故选C.3．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为eq\f（3，7），乙夺得冠军的概率为eq\f(1,4),那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．答案eq\f（19,28）解析由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军"包括事件“甲夺得冠军"和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为eq\f(3,7)＋eq\f(1，4)＝eq\f（19,28).4。如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别为0.35、0。30、0.25，则不命中靶的概率是______．答案0.10解析设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ"为事件C，“不中靶"为事件D，则A,B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P（A)＋P（B）＋P(C）＝0.35＋0.30＋0。25＝0。90。因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D）＝1－P(A∪B∪C)＝1－0。90＝0.10。5．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0。3,0。2，0。1,0.4.求:(1)他乘火车或飞机去的概率；(2)他不乘轮船去的概率．解设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘汽车去开会为事件C,乘飞机去开会为事件D，它们彼此互斥．（1）P(A∪D）＝P(A)＋P（D)＝0。3＋0。4＝0.7.(2)P＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8。1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生,但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立,它们一定互斥．2．互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥,只有互斥事件才能用概率的加法公式P（A∪B）＝P（A)＋P(B）．3．求复杂事件的概率通常有两种方法:（1）将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．一、选择题1．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”,其中i＝0，1,2,3.那么A＝A1∪A2∪A3表示（）A．全部击中 B．至少击中1发C．至少击中2发 D．以上均不正确答案B解析A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发,2发或3发，故选B.2．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是(）A．A与B B．B与CC．A与D D．B与D答案C解析A与D互斥，但不对立．故选C。3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4。8g的概率为0.3，质量不小于4。85g的概率是0。32，那么质量在［4。8，4。85)内的概率是（)A．0。62 B．0.38C．0.70 D．0.68答案B解析利用对立事件的概率公式可得P＝1－（0.3＋0.32)＝0.38.

4．袋内装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个,则互斥而不对立的两个事件是(）A．至少有一个白球与都是白球B．至少有一个白球与至少有一个红球C．恰有一个红球与一个白球一个黑球D．至少有一个红球与红、黑球各一个答案C解析直接依据互斥事件和对立事件的概念判断即可．5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.eq\f(1,8）B。eq\f（3,8)C。eq\f（5，8）D。eq\f(7，8）答案D解析由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，其中4位同学都选周六的概率为eq\f(1，16)，4位同学都选周日的概率为eq\f（1，16），故周六、周日都有同学参加公益活动的概率P＝1－eq\f（1,16）－eq\f（1,16)＝eq\f(7,8），故选D.6．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛,则下列各对事件中是互斥事件的有（）①恰有一名男生和全是男生；②至少有一名男生和至少有一名女生;③至少有一名男生和全是男生；④至少有一名男生和全是女生．A．①③④B．②③④C．②③D．①④答案D解析①是互斥事件．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生,它与全是男生不可能同时发生；②不是互斥事件；③不是互斥事件；④是互斥事件．至少有一名男生与全是女生不可能同时发生．7．一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件,有如下事件：①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”；②“至少有1件次品”和“都是次品”;③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”;④“至少有1件次品”和“都是正品”．其中互斥事件有()A．1组B．2组C．3组D．4组答案B解析对于①,“恰有1件次品”就是“1件正品,1件次品"，与“2件都是次品”显然是互斥事件；对于②,“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”,与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件；对于③，“至少有1件正品"包括“恰有1件正品”和“2件都是正品",与“至少有1件次品”不是互斥事件；对于④，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品"和“2件都是次品”，与“都是正品”显然是互斥事件，故①④是互斥事件．二、填空题8．若A，B为互斥事件，P（A)＝0.4，P（A∪B）＝0。7，则P(B）＝________。答案0.3解析因为A，B为互斥事件，所以P（A∪B)＝P(A)＋P（B)．所以P(B）＝P（A∪B)－P(A）＝0.7－0.4＝0。3.9．在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，已知所取的2瓶全在保质期内的概率为eq\f（351，435），则至少取到1瓶已过保质期的概率为________．答案eq\f（28，145）解析事件“至少取到1瓶已过保质期的饮料”与事件“没有取到已过保质期的饮料"是对立事件,根据对立事件的概率公式得P＝1－eq\f（351，435）＝eq\f（28,145）。10．抛掷一枚骰子两次,若至少有一个1点或2点的概率为eq\f（5,9)，则没有1点或2点的概率是________．答案eq\f（4,9)解析记事件A为“没有1点或2点"，B为“至少有一个1点或2点”，则A与B是互斥事件，且A与B是对立事件，故P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(5，9)＝eq\f(4,9）。11．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为eq\f(4，9），则5点或6点至少出现一个的概率是________．答案eq\f（5,9)解析记“既不出现5点也不出现6点"的事件为A,则P（A)＝eq\f（4,9),“5点或6点至少出现一个"的事件为B。因为A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,所以A与B是对立事件，则P（B）＝1－P(A)＝1－eq\f(4，9)＝eq\f(5,9）.故5点或6点至少出现一个的概率为eq\f(5,9）。三、解答题12．根据以往的成绩记录，某队员击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示：(1）确定图中a的值;(2）该队员进行一次射击，求击中环数大于7的概率(频率看成概率使用）．解(1)由题图可得0.01＋a＋0.19＋0。29＋0。45＝1，所以a＝0。06。(2）设事件A为“该队员射击，击中环数大于7”,它包含三个两两互斥的事件:该队员射击，击中环数为8，9,10.所以P（A)＝0。29＋0。45＋0.01＝0。75.13．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：命中环数10987概率0.320.280。180。12求该射击队员在一次射击中：(1)命中9环或10环的概率；(2）至少命中8环的概率;（3)命中不足8环的概率．解记事件“射击一次，命中k环”为Ak（k∈N,k≤10)，则事件Ak之间彼此互斥．（1)设“射击一次,命中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件概率的加法公式得P（A)＝P(A9)＋P（A10）＝0.28＋0。32＝0.6.（2)设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8,A9，A10之一发生时，事件B发生,由互斥事件概率的加法公式得P（B)＝P(A8）＋P（A9)＋P（A10)＝0。18＋0.28＋0.32＝0.78。（3)设“射击一次命中不足8环”为事件C，由于事件C与事件B互为对立事件,故P（C)＝1－P（B)＝1－0。78＝0。22.四、探究与拓展14．对一批产品的长度（单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间［20，25）上的为一等品,在区间[15，20）和区间[25，30)上的为二等品