2018-2019数学新学案同步必修三苏教版讲义：第2章 统计2.1.2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.1.2系统抽样学习目标1.了解系统抽样的必要性和适用情境.2。掌握系统抽样的概念和步骤。3。了解系统抽样的公平性．知识点一系统抽样的概念思考当总体中的个体数较多时，为什么不宜用简单随机抽样？答案因为个体较多，采用简单随机抽样如制作号签等工作会耗费大量的人力、物力和时间，而且不容易做到“搅拌均匀”，从而使样本的代表性不强．此时就需要用系统抽样．梳理系统抽样的概念：（1)定义：将总体平均分成几个部分，然后按照一定的规则，从每个部分中抽取一个个体作为样本，这样的抽样方法称为系统抽样．（2）适用条件：①总体个体差异不大；②总体容量较大．知识点二系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,系统抽样的步骤为：(1）采用随机的方式将总体中的N个个体编号．(2）将编号按间隔k分段，当eq\f(N，n）是整数时，取k＝eq\f（N，n）；当eq\f(N，n）不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N′能被n整除,这时取k＝eq\f(N′,n），并将剩下的总体重新编号．（3）在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l。（4)按照一定的规则抽取样本,通常将编号为l，l＋k，l＋2k，…，l＋（n－1）k的个体抽出．1．系统抽样中，当总体容量不能被样本容量整除时,余数是几就剔除前几个数．（×)2．进行系统抽样时，在将总体中的个体均匀分段分的第一段中进行抽样时,采用的是简单随机抽样．(√)3．系统抽样同样是等可能抽样．(√）类型一系统抽样的概念例1下列抽样中不是系统抽样的是________．①从标有1～15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i，以后为i＋5，i＋10(超过15则从1再数起）号入样；②工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验；③某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止；④电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈．答案③解析③不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的比例入样．反思与感悟解决该类问题的关键是掌握系统抽样的特点及适用范围．跟踪训练1下列抽样试验中，最适宜用系统抽样法的是________．（填序号）①某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200个入样；②从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样；③从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样;④从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样．答案③解析①中总体有明显的区别,不适宜用系统抽样法;②中样本容量很小，适宜用随机数表法；③中从2000个电子元件中随机抽取200个入样，适宜采用系统抽样法．④中总体容量很小，适宜用抽签法，故填③。类型二系统抽样的实施例2某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295,为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．解按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5＝59，我们把295名同学分成59组,每组5人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生．采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为k（1≤k≤5），那么抽取的学生编号为k＋5l(l＝0,1,2,…，58），得到59个个体作为样本，如当k＝3时的样本编号为3,8，13，…，288，293.反思与感悟解决系统抽样问题的两个关键步骤:(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．（2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．跟踪训练2为了了解参加某种知识竞赛的1000名学生的成绩,从中抽取一个容量为50的样本,那么采用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程．解适宜选用系统抽样,抽样过程如下：(1)随机地将这1000名学生编号为1，2，3，…，1000。(2)将总体按编号顺序均分成50个部分，每部分包括20个个体．（3)在第一部分的个体编号1，2,3,…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码l.(4)以l为起始号码,每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：l，l＋20，l＋40，…,l＋980。类型三不能整除的分组方法例3某校高中二年级有253名学生,为了了解他们的视力情况，准备按1∶5的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出过程．解(1）先把这253名学生编号为000,001，…，252。（2)用随机数表法任取3个号，从总体中剔除与这三个号对应的学生．（3）把余下的250名学生重新编号1，2,3，…,250.（4）分段．取分段间隔k＝5，将总体均分成50段，每段含5名学生．(5）从第一段即1～5号中用简单随机抽样抽取一个号作为起始号，如l.（6）从后面各段中依次取出l＋5，l＋10,l＋15，…，l＋245这49个号．这样就按1∶5的比例抽取了一个样本容量为50的样本．反思与感悟(1）当总体容量不能被样本容量整除时，要先从总体中随机剔除整除后余数个个体且必须是随机的，即每个个体被剔除的机会均等．剔除个体后使总体中剩余的总体容量能被样本容量整除．（2）剔除个体后需对样本重新编号．（3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．跟踪训练3某工厂有1003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施．解(1）将每个工人编一个号，由0001至1003。(2)利用随机数表法任取3个号将这3名工人剔除．(3）将剩余的1000名工人重新编号0001至1000。(4)分段，取间隔k＝eq\f(1000,10)＝100，将总体均分为10组，每组100个工人．（5）从第一段即0001号到0100号中随机抽取一个号l。（6)按编号将l，100＋l,200＋l，…,900＋l,共10个号选出．这10个号所对应的工人组成样本.1．为了解1200名学生对学校食堂饭菜的意见，打算从中抽取一个样本容量为40的样本，考虑采用系统抽样，则分段间隔k为________．答案30解析分段间隔k＝eq\f（1200，40)＝30.2．下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是________．（填序号）①从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动；②一个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家,小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本；③从参加模拟考试的1200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况．答案③解析①中总体容量较小，样本容量也较小,可采用抽签法；②中总体中的个体有明显的差异，也不适宜采用系统抽样．3．为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,那么总体中应随机剔除的个体数目是________．答案2解析由1252＝50×25＋2知，应随机剔除2个个体．4．有20个同学，编号为1～20，现在从中抽取4人的作文卷进行调查,用系统抽样方法确定所抽的编号间隔为______．答案5解析将20分成4个组,每组5个号，间隔等距离为5。5．某班级有50名学生，现要采用系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生,将这50名学生随机编号为1~50号,并均匀分组,第一组1～5号，第二组6~10号,…，第十组46～50号,若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．答案37解析因为12＝5×2＋2，所以第n组中抽得号码为5（n－1）＋2的学生．所以第八组中抽得号码为5×7＋2＝37的学生.1．体会系统抽样的概念，其中关键因素是“分组”，否则不是系统抽样．系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况,因为这时采用简单随机抽样不方便．2．解决系统抽样问题的关键步骤为：用系统抽样法抽取样本,当eq\f（N，n)不为整数时，取k＝eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（N,n）)),即先从总体中用简单随机抽样法剔除N－nk个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．3．系统抽样的优点是简单易操作，当总体个数较多的时候也能保证样本的代表性;缺点是对存在明显周期性的总体，选出来的个体,往往不具备代表性．从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决,从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想．一、填空题1．某公司有52名员工，要从中抽取10名员工参加国庆联欢活动，若采用系统抽样，则该公司每个员工被抽到的机会是________．答案eq\f(5,26)解析采用系统抽样,需先剔除2名员工,确定间隔k＝5，但每名员工被剔除的机会相等，即每名员工被抽到的机会也相等，故虽然剔除了2名员工，但这52名员工中每名员工被抽到的机会仍相等，且均为eq\f（10,52）＝eq\f（5，26).2．总体容量为524，若采用系统抽样，下列的抽取间隔不需要剔除个体的是________．①3；②4；③5；④6.答案②解析因为eq\f(524，4）＝131，所以当间隔为4时，不需要剔除个体．3．要从160名学生中抽取容量为20的样本,用系统抽样法将160名学生从1~160编号．按编号顺序平均分成20组(1~8号，9~16号,…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是________．答案5解析由系统抽样知第一组确定的号码是125－15×8＝5。4．为了调查某产品的销售情况,销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况．若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为________．答案3，2解析因为92÷30不是整数，因此必须先剔除部分个体数，因为92÷30＝3……2,故剔除2个即可，而间隔为3.5．要从已有编号(1～50）的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射的试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是下列中的________．(填序号）①5，10,15,20,25;②1，2,3，4，5；③2,4，8，16，22；④3，13，23,33，43。答案④解析系统抽样方法抽取到的导弹编号应该是k,k＋d，k＋2d，k＋3d，k＋4d，其中d＝eq\f(50,5）＝10，k是1~10中用简单随机抽样方法得到的数．6．某班级共有学生52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本,已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号为______．答案16解析用系统抽样的方法是等距离的．42－29＝13，故3＋13＝16。7．某学校有30个班级,每班50名学生，上级要到学校进行体育达标验收．需要抽取10％的学生进行体育项目的测验．如果按学号用系统抽样法抽取，则只需要在第一个班前________名中随机抽取一名，其他人选就随之确定．答案10解析该校共有1500名学生,需抽取容量为1500×10％＝150的样本．抽样的实施步骤:可将每个班的学生按学号分成5段,每段10名学生．用简单随机抽样的方法在1～10中抽取一个起始号码l,则每个班的l,10＋l，20＋l,30＋l，40＋l(如果l＝6，即6,16，26，36，46）号学生入样,即组成一个容量为150的样本．8．某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间［481,720］的人数为________．答案12解析由抽样间隔eq\f（840，42）＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间［481，720]的人数为eq\f（720－480，20）＝eq\f(240,20)＝12.9．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…，960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9。抽到的32人中,编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为________．答案10解析由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为eq\f(960，32)＝30，抽取的号码依次为9，39，69,…，939.落入区间[451,750］的有459,489,…，729，所以做问卷B的有10人．10．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是________．答案20解析由系统抽样的原理可知，抽样的间隔k＝eq\f（52，4）＝13，故抽取的样本的编号分别为7，7＋13，7＋13×2，7＋13×3，从而可知答案为20.11．采用系统抽样从含有8000个个体的总体（编号为0000，0001，…,7999)中抽取一个容量为50的样本，则最后一段的编号为____________，已知最后一个入样编号是7894，则开头5个入样编号是__________________．答案7840～79990054，0214,0374，0534,0694解析因为8000÷50＝160，所以最后一段的编号为编号最后的160个编号，即从7840到7999共160个编号．从7840到7894共55个数,所以从0000到第55个编号应为0054，然后逐个加上160得，0214,0374，0534，0694.二、解答题12．某学校有8000名学生，需从中抽取100个进行健康检查，采用何种抽样方法较好，并写出过程．解总体中个体个数达8000，样本容量也达到100，用简单随机抽样中的抽签法与随机数表法都不易进行操作,所以采用系统抽样方法较好．于是，我们可以用系统抽样法进行抽样．具体步骤是：(1)将总体中的个体编号为1,2,3，…，8000；（2）把整个总体分成100段，每段长度为k＝eq\f（8000,100）＝80；(3）在第一段1~80中用简单随机抽样确定起始编号l，例如抽到l＝25；（4）将编号为l，l＋80，l＋160，l＋240，…，l＋80×99（即25,105,185，…，7945）的个体抽出，得到样本容量为100的样本．13．某工厂有工人1021人，其中高级工程师20人，现抽取普通工人40人，高级工程师4人组成代表队去参加某项活动,应怎样抽样？解（1)将1001名普通工人用随机方式编号；（2）从总体中剔除1人(剔除方法可用随机数表法)，将剩下的1000名职工重新编号（分别为0001,0002,…，1000)，并平均分成40段,其中每一段包含eq\f(1000，40）＝25个个体；（3)在第一段0001,0002，…,0025这25个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如0003）作为起始号码；（4）将编号为0003,0028,0053,…，0978的个体抽出；（5）将20名高级工程师用随机方式编号为1,2,…，20；（6)将这20个号码分别写在大小、形状相同的小纸条上,揉成小球，制成号签；(7)将得到的号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀；（8）从容器中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号;（9)从总体中将与所抽号签的编号相一致的个体取出．以上得到的个体便是代表队成员．三、探究与拓展14．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600