2018-2019数学新学案同步必修二人教A版全国通用版讲义：第三章 直线与方程3.3.3~3.3.4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离学习目标1.了解点到直线距离公式的推导方法。2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握用解析法研究几何问题。知识点一点到直线的距离思考点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？答案仍然适用，①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0,即y＝－eq\f(C，B)，d＝eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（y0＋\f（C,B))）＝eq\f（｜By0＋C|，|B|），适合公式。②当B＝0,A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－eq\f(C,A)，d＝eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(x0＋\f（C,A)）)＝eq\f(|Ax0＋C｜，|A｜)，适合公式.梳理点到直线的距离（1）定义:点到直线的垂线段的长度。(2)图示:(3）公式：d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|，\r(A2＋B2）)。知识点二两条平行直线间的距离思考直线l1：x＋y－1＝0上有A（1,0），B(0，1)，C(－1，2）三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行,那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？答案点A，B，C到直线l2的距离分别为eq\r（2)，eq\r（2)，eq\r（2）。规律是当两直线平行时,一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等。梳理两条平行直线间的距离（1）定义：夹在两平行线间的公垂线段的长。（2）图示：(3）求法：转化为点到直线的距离.（4)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f（｜C1－C2｜,\r(A2＋B2））.1。点P（x0,y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq\f（｜kx0＋b｜,\r（1＋k2））。（×)2。直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.(√)3.两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离。(√)类型一点到直线的距离例1（1）求点P(2，－3）到下列直线的距离.①y＝eq\f（4,3）x＋eq\f（1，3）；②3y＝4;③x＝3。考点点到直线的距离题点求点到直线的距离解①y＝eq\f（4,3）x＋eq\f(1,3）可化为4x－3y＋1＝0，则点P(2，－3)到该直线的距离为eq\f(｜4×2－3×－3＋1|,\r（42＋－32））＝eq\f（18,5）。②3y＝4可化为3y－4＝0，则点P（2，－3)到该直线的距离为eq\f(|－3×3－4|，\r（02＋32））＝eq\f(13,3)。③x＝3可化为x－3＝0，则点P(2，－3）到该直线的距离为eq\f（|2－3|，1)＝1。(2)求过点M（－1,2），且与点A（2，3），B（－4，5)距离相等的直线l的方程.考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求直线方程解方法一当过点M（－1，2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1,恰好与A(2，3)，B(－4，5)两点距离相等，故x＝－1满足题意;当过点M（－1，2)的直线l的斜率存在时，设l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由点A(2，3)与B（－4，5）到直线l的距离相等，得eq\f(|2k－3＋k＋2|，\r（k2＋1））＝eq\f（|－4k－5＋k＋2|，\r(k2＋1）），解得k＝－eq\f(1，3)，此时l的方程为y－2＝－eq\f(1，3）(x＋1）,即x＋3y－5＝0。综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0。方法二由题意得l∥AB或l过AB的中点，当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB,直线l的斜率为kl，则kAB＝kl＝eq\f(5－3，－4－2)＝－eq\f（1,3)，此时直线l的方程为y－2＝－eq\f（1,3）(x＋1），即x＋3y－5＝0。当l过AB的中点（－1，4）时，直线l的方程为x＝－1.综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.反思与感悟（1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用。③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解.（2）用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意。跟踪训练1(1)若点（4,a）到直线4x－3y＝0的距离不大于3,则a的取值范围是________________。考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求直线方程答案eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（1,3)，\f(31，3））)解析由题意知0≤eq\f（｜4×4－3a｜，\r（42＋－32））≤3，解得eq\f(1,3）≤a≤eq\f(31,3），故a的取值范围为eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(1，3）,\f(31,3)))。（2）已知直线l过点P(3,4）且与点A（－2,2),B（4，－2）等距离，则直线l的方程为________________________.考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求直线方程答案2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0解析过点P(3，4)且斜率不存在时的直线方程为x＝3，与A，B两点的距离不相等，故可设所求直线方程为y－4＝k(x－3）,即kx－y＋4－3k＝0，由已知得eq\f（|－2k－2＋4－3k|，\r（1＋k2))＝eq\f（｜4k＋2＋4－3k｜，\r（1＋k2）),∴k＝2或k＝－eq\f（2，3），∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0。类型二两平行线间的距离例2（1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行,则它们之间的距离为____________.考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求直线方程答案eq\f（\r（10),4）解析由题意，得eq\f（6,3）＝eq\f(m,1),∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，由两平行线间的距离公式，得eq\f(｜－1＋6｜,\r(62＋22))＝eq\f(5，\r(40)）＝eq\f(\r（10）,4).(2）已知直线l与两直线l1:2x－y＋3＝0和l2:2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________.考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求直线方程答案2x－y＋1＝0解析设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意,得eq\f(｜3－C|,\r(22＋12））＝eq\f(｜C＋1｜,\r（22＋12）），解得C＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0。反思与感悟求两平行线间的距离,一般是直接利用两平行线间的距离公式,当直线l1：y＝kx＋b1，l2:y＝kx＋b2,且b1≠b2时，d＝eq\f（|b1－b2|,\r(k2＋1))；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0,l2：Ax＋By＋C2＝0，且C1≠C2时,d＝eq\f(|C1－C2｜，\r(A2＋B2）)。但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等。跟踪训练2（1）求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程;考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求直线方程解设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，由两平行直线间的距离公式，得2＝eq\f(｜C－6|,\r(52＋－122）),解得C＝32或C＝－20，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0。(2)两平行直线l1，l2分别过P1（1，0），P2(0，5）两点，若l1与l2的距离为5，求两直线方程.考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求直线方程解由题意知,两直线的斜率都存在，设l1：y＝k（x－1），即kx－y－k＝0，l2:y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0。因为l1与l2的距离为5，所以eq\f（｜－k－5｜，\r(k2＋1))＝5，解得k＝0或eq\f（5，12）.所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0。类型三利用距离公式求最值eq\x（命题角度1由点到直线的距离求最值）例3已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则eq\r(x2＋y2－2y＋1)的最小值为________.考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题答案eq\f（7,10）解析∵eq\r(x2＋y2－2y＋1）＝eq\r(x－02＋y－12）,∴上式可看成是一个动点M(x,y)到定点N（0,1）的距离，即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M（x，y)的距离,∴｜MN｜的最小值应为点N到直线l的距离，即|MN｜min＝d＝eq\f（|8－1|,\r（62＋82))＝eq\f(7，10).反思与感悟解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形"，从而利用图形的直观性加以解决。跟踪训练3(1)动点P（x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点,求|OP|最小时P点的坐标；考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题解直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，∴OP所在直线方程为y＝x。由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，，x＋y－4＝0，)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,,y＝2.))∴P点坐标为(2,2）.（2)求过点P（1，2）且与原点距离最大的直线方程.考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题解由题意知过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵kOP＝2，∴所求直线方程为y－2＝－eq\f(1，2）（x－1），即x＋2y－5＝0.eq\x（命题角度2有关两平行线间距离的最值）例4两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B（－3,－1），并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d。(1）求d的取值范围；(2）求d取最大值时,两条直线的方程。考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求直线方程解（1）设经过A点和B点的直线分别为l1，l2,显然当eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（l1⊥AB，,l2⊥AB))时，l1和l2的距离最大,且最大值为|AB|＝eq\r(－3－62＋－1－22)＝3eq\r（10），∴d的取值范围为(0,3eq\r(10）］。(2)由(1)知dmax＝3eq\r（10），此时k＝－3，两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0。反思与感悟两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值。跟踪训练4已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点,则｜PQ|的最小值为(）A.3B。eq\r(3）C.eq\f（\r（3)，2)D.eq\f(3，2)考点两条平行直线间的距离公式及应用题点求两条平行直线间的距离答案D解析两平行线间的距离就是|PQ｜的最小值，3x＋4y－5＝0可化为6x＋8y－10＝0，则|PQ|＝eq\f(|5－－10|，\r(62＋82)）＝eq\f(3,2）.1。已知点（a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为（)A.1B.－1C。eq\r(2）D.±eq\r（2)考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求参数的值答案D解析由题意知eq\f（｜a－1＋1｜,\r(12＋12））＝1，即|a｜＝eq\r（2），∴a＝±eq\r(2)。2.直线x－2y－1＝0与直线x－2y－C＝0的距离为2eq\r（5)，则C的值为（）A.9 B.11或－9C。－11 D。9或－11考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求参数的值答案B解析两平行线间的距离为d＝eq\f(｜－1－－C|,\r(12＋－22))＝2eq\r(5)，解得C＝－9或11.

3。已知点M（1，2），点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上,则|MP｜的最小值是(）A.eq\r（10)B。eq\f（3\r(5),5)C.eq\r（6)D。3eq\r（5)考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题答案B解析点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为｜MP|的最小值,所以｜MP｜的最小值为eq\f（｜2＋2－1|,\r(22＋12））＝eq\f(3\r(5)，5）。4。两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d,则a＋d＝________。考点两条平行直线间的距离公式及应用题点求两条平行直线间的距离答案10解析由两直线平行知,a＝8,6x＋8y＋30＝0可化为3x＋4y＋15＝0,∴d＝eq\f（|15－5｜,5)＝2，∴a＋d＝10.5．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________________．考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题答案(5，－3)解析由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M,则｜MP|最小，直线MP的方程为y－1＝－eq\f（4,3)（x－2）,解方程组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(3x－4y－27＝0，,y－1＝－\f（4，3)x－2,））得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝5，，y＝－3，))∴所求点的坐标为(5，－3）．1。点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式。当直线与坐标轴垂直时可直接求之。2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形,数形结合，使问题更清晰.3.已知两平行直线,其距离可利用公式d＝eq\f（｜C1－C2｜，\r（A2＋B2））求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离.一、选择题1.点(1,－1)到直线y＝1的距离是（)A。eq\r(2) B.eq\f(\r(2）,2）C.3 D.2考点点到直线的距离题点求点到直线的距离答案D解析d＝eq\f（|－1－1｜，\r（1＋0))＝2，故选D.2.已知点A(1,3)，B（3,1)，C（－1,0），则△ABC的面积等于()A.3B.4C。5D。6考点点到直线的距离题点求点到直线的距离答案C解析设AB边上的高为h，则S△ABC＝eq\f(1,2）｜AB|·h，｜AB｜＝eq\r(3－12＋1－32)＝2eq\r(2)，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离,AB边所在的直线方程为eq\f(y－3，1－3)＝eq\f(x－1,3－1),即x＋y－4＝0。点C到直线x＋y－4＝0的距离为eq\f（|－1＋0－4|,\r（2))＝eq\f（5，\r(2）)，因此，S△ABC＝eq\f（1,2)×2eq\r（2)×eq\f(5，\r（2）)＝5.3.已知点A(－3，－4)，B(6,3）到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于()A。eq\f（7,9) B。－eq\f（1,3）C.－eq\f（7，9)或－eq\f(1，3） D.－eq\f（7，9）或eq\f（1,3)考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求参数的值答案C解析由点到直线的距离公式可得eq\f（｜－3a－4＋1｜,\r（a2＋1））＝eq\f（|6a＋3＋1｜,\r（a2＋1）），化简得|3a＋3｜＝|6a＋4｜，解得实数a＝－eq\f(7，9)或－eq\f（1,3)。故选C。4。到直线2x＋y＋1＝0的距离等于eq\f（\r(5），5)的直线方程为（)A.2x＋y＝0B。2x＋y－2＝0C.2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D。2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0考点两条平行直线间的距离公式及应用题点利用两条平行直线间的距离求直线方程答案D解析根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋C＝0，因为两直线间的距离等于eq\f(\r(5),5），所以d＝eq\f（|C－1｜，\r（22＋12）)＝eq\f（\r(5),5），解得C＝0或C＝2，故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.5。若P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为eq\r(2)，则点P的坐标为(）A。（1,2) B.(2,1）C.（1,2）或（2，－1） D。（2，1）或(－1，2）考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求参数的值答案C解析设点P的坐标为（x，5－3x),则由点到直线的距离公式,得eq\f(|x－5＋3x－1｜，\r(12＋－12))＝eq\r(2），即|4x－6｜＝2，∴4x－6＝±2，∴x＝1或x＝2，∴点P的坐标为（1,2）或（2，－1).6.过两直线x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有()A.0条B。1条C。2条D。3条考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求直线方程答案B解析联立eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，，x＋y－1＝0,）)得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1。）)∴两直线交点坐标为(0，1),∵交点到原点的距离为1可知，只有1条直线符合条件.7.若动点A（x1，y1），B(x2,y2)分别在直线l1:x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动,则AB的中点M到原点距离的最小值是()A.3eq\r(2)B。2eq\r(3）C。3eq\r(3)D。4eq\r（2)考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题答案A解析由题意知,M点的轨迹为平行于直线l1,l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0,∴M到原点的距离的最小值为d＝eq\f（6，\r（2)）＝3eq\r（2）.8.已知定点P(－2,0)和直线l：（1＋3λ）x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ（λ∈R），则点P到直线l的距离的最大值为（)A。2eq\r(3）B.eq\r(10）C。eq\r(14）D.2eq\r(15)考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题答案B解析将（1＋3λ)x＋（1＋2λ）y＝2＋5λ变形，得(x＋y－2）＋λ（3x＋2y－5）＝0，所以l是经过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点的直线系。设两直线的交点为Q，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋y－2＝0，,3x＋2y－5＝0，））得交点Q（1,1），所以直线l恒过定点Q(1，1），所以点P到直线l的距离d≤｜PQ|＝eq\r（10)，即点P到直线l的距离的最大值为eq\r(10).二、填空题9。设点P在直线x＋3y＝0上，且点P到原点的距离与点P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，则点P的坐标是________。考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求参数的值答案eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(3，5)，\f(1,5）))或eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（3，5）,－\f(1,5)）)解析设P（－3a,a)，由题意得eq\r(－3a2＋a2)＝eq\f(｜－3a＋3a－2|,\r（10））,即10a2＝eq\f（2，5），解得a＝±eq\f(1,5）,∴Peq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（3，5），\f（1，5)）)或eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3，5)，－\f(1，5）））。10。点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________。考点点到直线的距离题点与点到直线的距离有关的最值问题答案8解析由x2＋y2的实际意义可知，它代表直线x＋y－4＝0上的点到原点的距离的平方,它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，所以（x2＋y2）min＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（|1×0＋1×0－4｜，\r(2)）))2＝8。11.经过点P（－3，4），且与原点的距离等于3的直线l的方程为________________。考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求直线方程答案x＝－3或7x＋24y－75＝0解析(1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3,满足题意；(2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋4＝0.原点到直线l的距离d＝eq\f（｜3k＋4｜,\r(k2＋－12）)＝3，解得k＝－eq\f(7,24）。直线l的方程为7x＋24y－75＝0.综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.三、解答题12。已知三角形的三个顶点分别是A(4,1)，B（7,5），C（－4,7)，求角A的平分线的方程。考点点到直线的距离题点利用点到直线的距离求直线方程解设P(x，y)为角A的平分线上任一点，则点P到直线AB与到直线AC的距离相等,因为直线AB,AC的方程分别是4x－3y－13＝0和3x＋4y－16＝0，所以由点到直线的距离公式，有eq\f（|4x－3y－13｜，\r（42＋－32）)＝eq\f(|3x＋4y－16|