稳态导热的计算与分析课件

第3章

稳态导热的计算与分析第3章

稳态导热的计算与分析1作业：3-3，3-8，3-11，3-14，3-18，3-22作业：3-3，3-8，3-11，3-14，3-18，3-222导热的理论基础：——导热的基本定律——导热微分方程工程中的许多问题，直接利用三维、非稳态的导热微分方程进行求解是没有必要的可根据具体问题的特点进行简化

导热的理论基础：3分析工程问题时，需要作出适当的简化和假设稳态导热是其中最重要也是最常用的简化之一——处于正常运行工况时的物体，可以看作处于稳定状态稳态的特征：物体内各位置处的温度不随时间变化，可以去掉方程中的非稳态项分析工程问题时，需要作出适当的简化和假设4根据导热物体的几何特点和物理过程从空间上做进一步简化由于数学上的困难，本节主要阐述工程上常见的典型几何形状物体——一维物体内的稳态导热分析目的：得到物体内的温度分布及热流量的计算公式

分析方法：理论分析方法3.1通过平壁的一维稳态导热根据导热物体的几何特点和物理过程从空间上做进一步简化3.153.1.1平壁一维稳态导热的数学模型

（1）工程背景——建筑物房间的采暖设计：墙壁、玻璃——冷库的保冷设计：墙壁——油罐的保温设计：罐壁3.1.1平壁一维稳态导热的数学模型6（2）物理模型墙壁、玻璃、罐壁等物体具有相似的几何特征——某一方向的尺寸远远小于其他两个方向的尺寸将高度和宽度远远大于厚度(8～10倍)的物体称为大平壁，简称平壁。基本尺寸有平壁厚度δ和面积A（2）物理模型将高度和宽度远远大于厚度(8～10倍)的物7平壁一维稳态导热简化的基础：——平壁的几何特征——平壁的传热特点：（1）平壁两侧换热均匀（沿高度、宽度方向），忽略边缘效应（2）温度变化发生在平壁的厚度方向上平壁一维稳态导热简化的基础：8（3）数学模型平壁一维稳态导热的控制方程可由导热微分方程简化而来，即这是平壁一维稳态导热最一般的方程，可以根据具体问题的物理条件做进一步的简化（3）数学模型这是平壁一维稳态导热最一般的方9二阶常微分方程，有两个积分常数，需要两个边界条件边界条件分别在平壁的两侧给出，两侧的边界条件可以分别是第一类、第二类或第三类边界条件中的任一个研究平壁导热的目的有两个：（1）确定平壁内的温度分布；（2）计算通过平壁的热流量二阶常微分方程，有两个积分常数，需要两个边界条件10厚度为δ

、侧面积为A的单层平壁没有内热源，导热系数λ为常数两侧表面分别维持均匀稳定的温度tw1、tw2，且tw1>tw2

3.1.2第一类边界条件下的常物性、无内热源的平壁厚度为δ、侧面积为A的单层平壁3.1.2第一类边界条件下11导热问题的数学描述为

边界条件为：积分两次，得到通解为：导热问题的数学描述为边界条件为：积分两次，得到通解为：12得到平壁内的温度分布为：根据傅立叶定律，可求得通过平壁的热流量和热流密度

得到平壁内的温度分布为：根据傅立叶定律，可求得通过平壁的热流13常物性、无内热源平壁稳态导热的计算公式：稳态法测定物质导热系数的基本依据常物性、无内热源的条件下，平壁一维稳态导热的热流量或热流密度为常数由此可以采用另一种方法得到平壁内的温度分布常物性、无内热源平壁稳态导热的计算公式：稳态法测定物质导14对傅里叶定律分离变量积分：从0~δ积分，可以得到热流密度表达式从0~x积分，可以得到温度分布的表达式对傅里叶定律分离变量积分：从0~δ积分，可15单层平壁稳态导热的等效热阻网络图常物性、无内热源的单层平壁一维稳态导热过程类似于渗流力学中单相流体的平面平行流的渗流过程

单层平壁稳态导热的等效热阻网络图16考虑导热系数随温度变化是更一般、更符合实际的情形，无内热源时平壁的导热微分方程可简化为边界条件：物理条件：3.1.3第一类边界条件下的变物性、无内热源的平壁考虑导热系数随温度变化是更一般、更符合实际的情形，无内热源时17分离变量积分并利用边界条件，得到平壁内的温度分布：式中：为平壁平均温度下的导热系数

分离变量积分并利用边界条件，得到平壁内的温度分布：式中：18这表明，当材料的导热系数随温度呈线性规律变化时，平壁内的温度分布是二次曲线方程，该二次曲线的凹凸性主要由温度系数b的正负决定。这表明，当材料的导热系数随温度呈线性规律变化19利用傅里叶定律分析表明：——b>0时，温度分布曲线的开口向下；——b<0时曲线开口向上利用傅里叶定律分析表明：20根据傅立叶定律，通过平壁的热流密度为无源时，即使导热系数随温度变化，通过平壁的热流密度仍然为常数和常物性时的情形相比，热流密度公式形式不变，但需要用平壁算术平均温度下的导热系数λm代替根据傅立叶定律，通过平壁的热流密度为无源时，即使导热系数随21由于热流密度为常数，仍可采用对傅立叶定律分离变量积分的分析方法得到平壁内的温度分布由于热流密度为常数，仍可采用对傅立叶定律分离变量积分的分析方223.1.4第三类边界条件下的常物性、无内热源的平壁

当平壁左、右两侧面分别与温度为tf1和tf2（tf1>tf2）的流体进行对流传热时，平壁两侧均处于第三类边界条件设两侧的表面传热系数分别维持为h1和h2，且沿各自壁面保持不变3.1.4第三类边界条件下的常物性、无内热源的平壁23稳态导热的计算与分析课件24第三类边界条件下平壁稳态导热的数学模型为：边界条件分别为：对微分方程积分两次，并利用边界条件确定积分常数，可以得到此时平壁内的温度分布为第三类边界条件下平壁稳态导热的数学模型为：边界条件分别为：25尽管温度分布表达式较为繁琐，但平壁内的温度分布仍为线性的

利用傅立叶定律得到通过平壁的热流密度为：尽管温度分布表达式较为繁琐，但平壁内的温度26实际上，当无内热源的平壁两侧均为第三类边界条件时，整体而言是典型的传热过程包括三个热量传递环节：两侧的对流传热过程和平壁的导热过程通过各环节的热流量或热流密度完全相等，三个过程的热阻显然是串联关系，利用热阻串联原理可以直接写出热流密度的表达式

实际上，当无内热源的平壁两侧均为第三类边界条件时，整体而言是27稳态导热的计算与分析课件28由热流密度相等可求出两侧壁温tw1和tw2：由热流密度相等可求出两侧壁温tw1和tw2：29工程中经常会遇到由不同材料构成的多层平壁——采用耐火砖、保温层和普通砖层叠而成的锅炉炉墙为方便起见，以由三层平壁为例进行分析3.1.5常物性、无内热源的多层平壁工程中经常会遇到由不同材料构成的多层平壁3.1.5常物性、30对多层平壁，更关心的是通过平壁的热流密度三层平壁的稳态导热：——热量由高温侧向低温侧依次以导热方式通过各平壁，共有三个导热环节，且各环节之间属于串联关系对多层平壁，更关心的是通过平壁的热流密度31根据等效热阻网络图，利用串联热阻叠加原则直接写出此时的热流密度：根据等效热阻网络图，利用串联热阻叠加原则直接写出此时的热流密32由热流密度相等的原则可依次求出各层间分界面上的温度，即由热流密度相等的原则可依次求出各层间分界面上的温度，即33对由n层平壁组成的多层平壁，热流密度的计算公式为对由n层平壁组成的多层平壁，热流密度的计算公式为34对两侧处于第三类边界条件下的多层平壁，利用热阻分析法可以得到热流密度的计算公式为：对两侧处于第三类边界条件下的多层平壁，利用热阻分析法可以得到35常物性、无内热源的多层平壁的稳态导热——温度分布曲线为折线——各层内直线斜率取决于材料的导热系数值——每层温降与该层的热阻有关，热阻越大，温降也就越大常物性、无内热源的多层平壁的稳态导热36稳态导热的计算与分析课件37稳态导热的计算与分析课件38稳态导热的计算与分析课件39稳态导热的计算与分析课件40稳态导热的计算与分析课件41稳态导热的计算与分析课件42稳态导热的计算与分析课件43稳态导热的计算与分析课件44稳态导热的计算与分析课件45稳态导热的计算与分析课件46例题3-4例题3-447稳态导热的计算与分析课件48稳态导热的计算与分析课件49稳态导热的计算与分析课件50稳态导热的计算与分析课件51稳态导热的计算与分析课件52稳态导热的计算与分析课件53稳态导热的计算与分析课件543.2.1圆筒壁一维稳态导热的数学模型（1）工程背景由于制造和加工上的便利，圆形通道在工程中的应用更为广泛，如发电厂中的蒸汽管道、化工厂的各种液、气输送管道、供暖热水管道石油工程中的输油管道、注水管道、输气管线、油管、套管等当圆形通道内、外存在温差时，热量以导热的方式通过管壁

3.2通过圆筒壁和球壁的导热3.2.1圆筒壁一维稳态导热的数学模型3.2通过圆筒壁和55（2）物理模型实际上：管壁内的导热是三维的，温度将沿径向、轴向和周向变化物理上：热量传递一般是在管内、外流体之间管内进行的，热量传递沿半径方向（2）物理模型56（2）物理模型可将发生在圆形通道管壁内的导热简化成一维，温度变化仅发生在半径方向上这样的圆形通道称为长圆筒壁，简称圆筒壁只要管长超过圆筒壁外径的5倍，就可认为是长圆筒壁（2）物理模型57（3）数学模型采用柱坐标系分析圆筒壁内的导热问题更方便。对内、外半径为r1、r2、长为l的长圆筒壁（3）数学模型58需要在圆筒壁的内、外两个壁面处给出边界条件，可以分别是第一类、第二类或第三类边界条件——内表面：三类边界条件之一——外表面：三类边界条件之一需要在圆筒壁的内、外两个壁面处给出边界条件，可以分别是第一类59可根据具体问题的特点进一步简化分析圆筒壁的目的是计算通过它的导热量在圆筒壁中遇到的问题类型、分析方法与过程与平壁完全相似这里仅给出几种简单情况下的结果可根据具体问题的特点进一步简化603.2.2第一类边界条件下常物性、无内热源的圆筒壁常物性、无内热源圆筒壁的导热微分方程可简化为：若圆筒壁内、外壁面分别维持均匀的温度tw1和tw2，且tw1>tw2，则其边界条件为3.2.2第一类边界条件下常物性、无内热源的圆筒壁常物性、61对方程积分两次，可得通解为：积分常数c1和c2由边界条件确定，圆筒壁的温度分布为：

对方程积分两次，可得通解为：积分常数c1和c2由边界条件确62与平壁内的线性温度分布不同，圆筒壁内的温度沿径向按对数规律变化

利用傅立叶定律可以求得通过圆筒壁的热流量：与平壁内的线性温度分布不同，圆筒壁内的温度沿63写成温差—热阻的形式为为长为l的圆筒壁的导热热阻必须记住！！写成温差—热阻的形式为为长为l的圆筒壁的导热热阻必须记住！64通过圆筒壁内任意位置处的热流密度为通过圆筒壁的热流量：可以发现：在稳态无源的条件下，通过圆筒壁的热流量是常数，但因圆筒壁内任意位置的导热面积A为不同，热流密度却不再是常数，而是随着半径的增加而减小通过圆筒壁内任意位置处的热流密度为通过圆筒壁的热流量：可65工程上为了计算方便，通常按单位管长来计算通过圆筒壁的热流量，记作ql，单位是W/m为单位管长圆筒壁的导热热阻工程上为了计算方便，通常按单位管长来计算通过圆筒壁的热流量，66和分析平壁稳态导热一样，在无内热源的条件下，通过对傅立叶定律分离变量积分，也能够得到和前面完全相同的结果通过圆筒壁一维稳态的导热过程类似于渗流力学中单相流体平面径向稳定渗流过程

和分析平壁稳态导热一样，在无内热源的条件下，通过对傅立叶定律673.2.3第一类边界条件下变物性、无内热源的圆筒壁通过圆筒壁的热流量为：λm为圆筒壁内、外壁面平均温度下的导热系数3.2.3第一类边界条件下变物性、无内热源的圆筒壁通过圆683.2.5通过多层圆筒壁的导热

——工程中的许多管道需要敷设保温层或隔热层以降低管线的热损失——锅炉管、注水管线运行一段时间后，会沿管壁在管内形成水垢层——采油或输油管线会沿管壁形成蜡沉积层等这时的圆筒壁称为多层圆筒壁

3.2.5通过多层圆筒壁的导热69以三层圆筒壁为例从内向外各层的半径分别为r1、r2、r3和r4导热系数λ1、λ2和λ3为常数最内层和最外层表面维持均匀温度tw1和tw4（tw1>tw4），各交界面温度分别为tw2和tw3（通常未知）以三层圆筒壁为例70根据热阻串联的原理很容易得到：根据热阻串联的原理很容易得到：71推广到n层圆筒壁，有根据单位长度的热流量相等的原则可以很容易地求出各交界面温度推广到n层圆筒壁，有根据单位长度的热流量相等的原则可以很容72稳态导热的计算与分析课件73稳态导热的计算与分析课件74稳态导热的计算与分析课件75稳态导热的计算与分析课件76稳态导热的计算与分析课件77稳态导热的计算与分析课件78强化对流传热的途径：—增大△t：但受工艺和经济的限制—增大h：强化传热的主要方法—增加A：强化传热的常用方法3.3通过肋片的稳态导热对流传热是工程中最常见的换热情形强化对流传热的途径：3.3通过肋片的稳态导热对流传热是工79在表面上敷设延伸体的方式从某个基体表面延伸出来的固体壁面称为延伸体在表面上敷设延伸体的方式80目的：强化传热，提高传热量方法：提高换热面积，达到强化换热的目的如何实现？采用在换热面上敷设延伸体（肋片）的方法延伸体，又称为肋片、扩展表面、延伸表面、肋、翅片什么是肋片？从某个基体表面延伸出来的固体表面目的：强化传热，提高传热量81生活和工程中采用肋片的例子:——暖气片——汽车的散热水箱——摩托车发动机顶盖的散热片——电机的外壳——计算机CPU上的散热结构——用带套管的温度计测量流体温度的套管等肋片的形式有多种多样的

生活和工程中采用肋片的例子:82稳态导热的计算与分析课件83稳态导热的计算与分析课件84稳态导热的计算与分析课件85微细板翅结构微细板翅结构86稳态导热的计算与分析课件87选用何种形式的肋片取决于使用空间、重量、制造和费用等多种因素肋片可由管子整体轧制或缠绕、嵌套金属薄片通过焊接、浸镀或胀管等加工方法制成研究肋片的目的有两个——确定肋片内的温度分布——通过肋片的散热量，为肋片的设计、分析提供理论依据选用何种形式的肋片取决于使用空间、重量、制造和费用等多种因素883.3.1物理模型等截面直肋—几何参数：肋高L、肋宽b和肋厚δ—物理参数：导热系数为λ3.3.1物理模型89—与环境间作用的参数：肋片与基体表面相交处（称为肋基或肋根）的温度为t0环境流体温度为t∞肋片表面与周围流体间的表面传热系数为h—与环境间作用的参数：90简化假设：1）肋片处于稳态，肋片内无内热源2）肋片的几何参数、热物性参数、肋基温度和流体温度以及肋片表面与流体间的表面传热系数均为常数简化假设：913）忽略沿肋厚的温度变化——肋厚度和肋高、肋宽相比很小，肋片通常是由金属材料制成，导热系数较大3）忽略沿肋厚的温度变化924）忽略温度沿宽度方向的变化——肋基的温度均匀，肋表面沿宽度方向的换热条件相同而且均匀4）忽略温度沿宽度方向的变化935）忽略肋端散热——肋端面积很小5）忽略肋端散热94通过上述假设，将肋片内的三维导热简化为沿高度方向的一维稳态导热——肋片温度变化沿着肋的高度方向

物理模型：一维肋片的稳态导热通过上述假设，将肋片内的三维导热简化为沿高度方向的一维稳态导953.3.2数学模型以肋基为坐标原点，沿肋高坐标轴正方向在距肋基x处取长为dx的微元肋片段3.3.2数学模型96根据能量守恒，有Φx为x处以导热方式进入微元体的热量；Φx＋dx为x＋dx处以导热方式离开微元体的热量；Φc为由微元体侧面以对流传热方式离开微元体的热量根据能量守恒，有Φx为x处以导热方式进入微元体的热量；97式中，A为肋片的导热截面面积；P为导热截面的周长式中，A为肋片的导热截面面积；P为导热截面的周长98将三项能量代入到能量守恒关系式中，整理得到：定解条件在肋基x=0处：在肋端x=L处：将三项能量代入到能量守恒关系式中，整理得到：定解条件在肋基993.3.3求解与分析关于温度的二阶非齐次常微分方程引入过余温度θ=t-t∞

：为了将方程齐次化3.3.3求解与分析关于温度的二阶非齐次常微分方程引入100过余温度θ=t-t∞过余温度θ=t-t∞101齐次化后的数学模型：二阶线性齐次常微分方程通解：代入边界条件：齐次化后的二阶线性齐次常微分方程通解：代入边界条件：102肋片内的温度分布为：对散热肋片而言，从肋基到肋端的温度是按双曲余弦函数的规律下降的，而且肋片内的温度梯度也是随肋高的增加而减小肋片内的温度分布为：对散热肋片而言，从肋基103肋片内的温度分布为：肋基附近温度变化剧烈，肋端附近温度变化平缓，这就是人的耳朵、手容易冻伤的原因原因：肋片表面的对流传热损失使肋片内的导热热流沿肋高而减小的结果肋片内的温度分布为：肋基附近温度变化剧烈，肋端附近温度变化104稳态导热的计算与分析课件105令x=L就可以得到肋端的温度：令x=L就可以得到肋端的温度：106肋片的散热量：（1）直接计算肋片表面的对流散热量。由于肋片温度沿肋高方向不断变化，沿肋高方向积分才能计算出总散热量肋片的散热量：107（2）根据能量守恒关系和傅里叶定律计算散热量稳态时通过肋片表面散失的热量全部来自肋基，由傅里叶定律，有（2）根据能量守恒关系和傅里叶定律计算散热量1083.3.4关于肋片导热的进一步说明忽略肋端散热只是一种理想的情况严格地讲，肋端表面与流体之间同样存在着对流传热以第三类边界条件代替前面的肋端绝热的边界条件3.3.4关于肋片导热的进一步说明109考虑肋端散热的数学模型：定解条件：在肋基x=0处在肋端x=L处采用相同的求解方法求解之考虑肋端散热的数学模型：定解条件：在肋基x=0处在肋端x110肋片内的温度分布和散热量：肋片内的温度分布和散热量：111考虑肋端散热的情形更接近于实际，但温度分布和散热量的表达式过于繁琐，实际应用并不多计算表明：将肋端简化为绝热的情形在大多数应用中都能得到足够精度的结果对于需要考虑肋端绝热的情形，可以采用一种巧妙的简化处理方法代替上述复杂的结果考虑肋端散热的情形更接近于实际，但温度分布和散热量的表达式过112目的：既考虑肋端散热、又想采用绝热时的计算公式基本思想：将肋片端部的散热折算到肋片的侧面做法：用假想的肋片高度Lc代替实际的肋片高度L:

Lc=L+ΔL

其中，ΔL是将肋端散热折算到侧面后增加的长度这样得到的结果和精确解几乎相同

目的：既考虑肋端散热、又想采用绝热时的计算公式做法：用113对厚为δ的等截面直肋，假想肋片高度为：肋片散热量：对厚为δ的等截面直肋，假想肋片高度为：肋片散热量：114近似分析：忽略了肋片温度沿厚度方向的变化实际中的肋片总是具有一定的厚度，在厚度方向上总是存在着一定的温降分析表明，对大多数实际应用的肋片，只要满足这种近似引起的误差不会超过1％，都可以看作是满足一维条件近似分析：忽略了肋片温度沿厚度方向的变化这种近似引起的误差不115需要采用数值方法计算的情形：——对短而厚的肋片，必须考虑温度沿肋片厚度方向的变化，肋片内的温度场是二维的，前面计算公式不再适用——表面传热系数h在整个肋片表面是变化的，很难保证沿肋高方向上h为常数需要采用数值方法计算的情形：1163.3.5肋片效率采用肋片的目的主要是为了通过增加换热面积而增加散热量，工程设计和计算最关心的是肋的散热量对像等截面直肋等的简单肋片，可以采用数学分析的方法得到肋片内温度分布及散热量的解析表达式对于工程中常用的形状复杂的肋片，采用数学分析的方法是困难的引入肋效率（finefficiency）3.3.5肋片效率117肋效率定义为：式中：肋片的理想散热量指肋的导热热阻趋于零时的理想散热量对于等截面直肋，肋片效率可表示为：肋效率定义为：式中：肋片的理想散热量指肋的导热热阻趋于零时的118肋效率表征了肋片散热的有效程度根据肋效率，可以很容易地求出肋的实际散热量对于工程中常用的各种形状肋片，如等厚环肋、三角形直肋等，都已经得到了肋片效率曲线应用时，通常是根据肋片型式，查相关手册得到肋片效率，再计算出肋片的实际散热量肋效率表征了肋片散热的有效程度119稳态导热的计算与分析课件120稳态导热的计算与分析课件121套管内的热量传递：——受散热影响，容器器壁或管壁(也就是套管根部、肋基)温度t0低于流体温度tf——忽略套管内表面与流体间传热的影响，受高温流体的加热作用，套管顶端的温度tL必定大于套管根部的温度t0套管内部存在着由端部到根部的导热

套管内的热量传递：122——高温流体以对流传热的方式将热量传给套管，然后再由导热导向套管的根部套管的热量传递由两个环节组成：——高温流体与套管表面的对流传热——套管内部的导热过程——高温流体以对流传热的方式将热量传给套管，然后再由导热导向123简化分析：——套管管壁很薄，忽略套管内温度沿壁厚方向(即径向)的变化——高温流体与套管表面均匀接触并换热，忽略温度沿周向的变化这样，套管内的温度只沿套管轴线变化简化分析：124简化分析：——当温度计读数不再发生变化时，可认为过程达到稳态将套管内的导热过程简化为沿套管长度方向的一维稳态导热问题

简化分析：125套管温度计的相关参数：——由容器器壁或管壁插入流体中的套管长为L——套管外径为d，壁厚为δ被测高温流体温度为tf，流体与套管表面的表面传热系数为h套管温度计的相关参数：126稳态导热的计算与分析课件127稳态导热的计算与分析课件128稳态导热的计算与分析课件129稳态导热的计算与分析课件130稳态导热的计算与分析课件131稳态导热的计算与分析课件132稳态导热的计算与分析课件133作业：3-3，3-8，3-11，3-14，3-18，3-22作业：3-3，3-8，3-11，3-14，3-18，3-22134第3章

稳态导热的计算与分析第3章

稳态导热的计算与分析135作业：3-3，3-8，3-11，3-14，3-18，3-22作业：3-3，3-8，3-11，3-14，3-18，3-22136导热的理论基础：——导热的基本定律——导热微分方程工程中的许多问题，直接利用三维、非稳态的导热微分方程进行求解是没有必要的可根据具体问题的特点进行简化

导热的理论基础：137分析工程问题时，需要作出适当的简化和假设稳态导热是其中最重要也是最常用的简化之一——处于正常运行工况时的物体，可以看作处于稳定状态稳态的特征：物体内各位置处的温度不随时间变化，可以去掉方程中的非稳态项分析工程问题时，需要作出适当的简化和假设138根据导热物体的几何特点和物理过程从空间上做进一步简化由于数学上的困难，本节主要阐述工程上常见的典型几何形状物体——一维物体内的稳态导热分析目的：得到物体内的温度分布及热流量的计算公式

分析方法：理论分析方法3.1通过平壁的一维稳态导热根据导热物体的几何特点和物理过程从空间上做进一步简化3.11393.1.1平壁一维稳态导热的数学模型

（1）工程背景——建筑物房间的采暖设计：墙壁、玻璃——冷库的保冷设计：墙壁——油罐的保温设计：罐壁3.1.1平壁一维稳态导热的数学模型140（2）物理模型墙壁、玻璃、罐壁等物体具有相似的几何特征——某一方向的尺寸远远小于其他两个方向的尺寸将高度和宽度远远大于厚度(8～10倍)的物体称为大平壁，简称平壁。基本尺寸有平壁厚度δ和面积A（2）物理模型将高度和宽度远远大于厚度(8～10倍)的物141平壁一维稳态导热简化的基础：——平壁的几何特征——平壁的传热特点：（1）平壁两侧换热均匀（沿高度、宽度方向），忽略边缘效应（2）温度变化发生在平壁的厚度方向上平壁一维稳态导热简化的基础：142（3）数学模型平壁一维稳态导热的控制方程可由导热微分方程简化而来，即这是平壁一维稳态导热最一般的方程，可以根据具体问题的物理条件做进一步的简化（3）数学模型这是平壁一维稳态导热最一般的方143二阶常微分方程，有两个积分常数，需要两个边界条件边界条件分别在平壁的两侧给出，两侧的边界条件可以分别是第一类、第二类或第三类边界条件中的任一个研究平壁导热的目的有两个：（1）确定平壁内的温度分布；（2）计算通过平壁的热流量二阶常微分方程，有两个积分常数，需要两个边界条件144厚度为δ

、侧面积为A的单层平壁没有内热源，导热系数λ为常数两侧表面分别维持均匀稳定的温度tw1、tw2，且tw1>tw2

3.1.2第一类边界条件下的常物性、无内热源的平壁厚度为δ、侧面积为A的单层平壁3.1.2第一类边界条件下145导热问题的数学描述为

边界条件为：积分两次，得到通解为：导热问题的数学描述为边界条件为：积分两次，得到通解为：146得到平壁内的温度分布为：根据傅立叶定律，可求得通过平壁的热流量和热流密度

得到平壁内的温度分布为：根据傅立叶定律，可求得通过平壁的热流147常物性、无内热源平壁稳态导热的计算公式：稳态法测定物质导热系数的基本依据常物性、无内热源的条件下，平壁一维稳态导热的热流量或热流密度为常数由此可以采用另一种方法得到平壁内的温度分布常物性、无内热源平壁稳态导热的计算公式：稳态法测定物质导148对傅里叶定律分离变量积分：从0~δ积分，可以得到热流密度表达式从0~x积分，可以得到温度分布的表达式对傅里叶定律分离变量积分：从0~δ积分，可149单层平壁稳态导热的等效热阻网络图常物性、无内热源的单层平壁一维稳态导热过程类似于渗流力学中单相流体的平面平行流的渗流过程

单层平壁稳态导热的等效热阻网络图150考虑导热系数随温度变化是更一般、更符合实际的情形，无内热源时平壁的导热微分方程可简化为边界条件：物理条件：3.1.3第一类边界条件下的变物性、无内热源的平壁考虑导热系数随温度变化是更一般、更符合实际的情形，无内热源时151分离变量积分并利用边界条件，得到平壁内的温度分布：式中：为平壁平均温度下的导热系数

分离变量积分并利用边界条件，得到平壁内的温度分布：式中：152这表明，当材料的导热系数随温度呈线性规律变化时，平壁内的温度分布是二次曲线方程，该二次曲线的凹凸性主要由温度系数b的正负决定。这表明，当材料的导热系数随温度呈线性规律变化153利用傅里叶定律分析表明：——b>0时，温度分布曲线的开口向下；——b<0时曲线开口向上利用傅里叶定律分析表明：154根据傅立叶定律，通过平壁的热流密度为无源时，即使导热系数随温度变化，通过平壁的热流密度仍然为常数和常物性时的情形相比，热流密度公式形式不变，但需要用平壁算术平均温度下的导热系数λm代替根据傅立叶定律，通过平壁的热流密度为无源时，即使导热系数随155由于热流密度为常数，仍可采用对傅立叶定律分离变量积分的分析方法得到平壁内的温度分布由于热流密度为常数，仍可采用对傅立叶定律分离变量积分的分析方1563.1.4第三类边界条件下的常物性、无内热源的平壁

当平壁左、右两侧面分别与温度为tf1和tf2（tf1>tf2）的流体进行对流传热时，平壁两侧均处于第三类边界条件设两侧的表面传热系数分别维持为h1和h2，且沿各自壁面保持不变3.1.4第三类边界条件下的常物性、无内热源的平壁157稳态导热的计算与分析课件158第三类边界条件下平壁稳态导热的数学模型为：边界条件分别为：对微分方程积分两次，并利用边界条件确定积分常数，可以得到此时平壁内的温度分布为第三类边界条件下平壁稳态导热的数学模型为：边界条件分别为：159尽管温度分布表达式较为繁琐，但平壁内的温度分布仍为线性的

利用傅立叶定律得到通过平壁的热流密度为：尽管温度分布表达式较为繁琐，但平壁内的温度160实际上，当无内热源的平壁两侧均为第三类边界条件时，整体而言是典型的传热过程包括三个热量传递环节：两侧的对流传热过程和平壁的导热过程通过各环节的热流量或热流密度完全相等，三个过程的热阻显然是串联关系，利用热阻串联原理可以直接写出热流密度的表达式

实际上，当无内热源的平壁两侧均为第三类边界条件时，整体而言是161稳态导热的计算与分析课件162由热流密度相等可求出两侧壁温tw1和tw2：由热流密度相等可求出两侧壁温tw1和tw2：163工程中经常会遇到由不同材料构成的多层平壁——采用耐火砖、保温层和普通砖层叠而成的锅炉炉墙为方便起见，以由三层平壁为例进行分析3.1.5常物性、无内热源的多层平壁工程中经常会遇到由不同材料构成的多层平壁3.1.5常物性、164对多层平壁，更关心的是通过平壁的热流密度三层平壁的稳态导热：——热量由高温侧向低温侧依次以导热方式通过各平壁，共有三个导热环节，且各环节之间属于串联关系对多层平壁，更关心的是通过平壁的热流密度165根据等效热阻网络图，利用串联热阻叠加原则直接写出此时的热流密度：根据等效热阻网络图，利用串联热阻叠加原则直接写出此时的热流密166由热流密度相等的原则可依次求出各层间分界面上的温度，即由热流密度相等的原则可依次求出各层间分界面上的温度，即167对由n层平壁组成的多层平壁，热流密度的计算公式为对由n层平壁组成的多层平壁，热流密度的计算公式为168对两侧处于第三类边界条件下的多层平壁，利用热阻分析法可以得到热流密度的计算公式为：对两侧处于第三类边界条件下的多层平壁，利用热阻分析法可以得到169常物性、无内热源的多层平壁的稳态导热——温度分布曲线为折线——各层内直线斜率取决于材料的导热系数值——每层温降与该层的热阻有关，热阻越大，温降也就越大常物性、无内热源的多层平壁的稳态导热170稳态导热的计算与分析课件171稳态导热的计算与分析课件172稳态导热的计算与分析课件173稳态导热的计算与分析课件174稳态导热的计算与分析课件175稳态导热的计算与分析课件176稳态导热的计算与分析课件177稳态导热的计算与分析课件178稳态导热的计算与分析课件179稳态导热的计算与分析课件180例题3-4例题3-4181稳态导热的计算与分析课件182稳态导热的计算与分析课件183稳态导热的计算与分析课件184稳态导热的计算与分析课件185稳态导热的计算与分析课件186稳态导热的计算与分析课件187稳态导热的计算与分析课件1883.2.1圆筒壁一维稳态导热的数学模型（1）工程背景由于制造和加工上的便利，圆形通道在工程中的应用更为广泛，如发电厂中的蒸汽管道、化工厂的各种液、气输送管道、供暖热水管道石油工程中的输油管道、注水管道、输气管线、油管、套管等当圆形通道内、外存在温差时，热量以导热的方式通过管壁

3.2通过圆筒壁和球壁的导热3.2.1圆筒壁一维稳态导热的数学模型3.2通过圆筒壁和189（2）物理模型实际上：管壁内的导热是三维的，温度将沿径向、轴向和周向变化物理上：热量传递一般是在管内、外流体之间管内进行的，热量传递沿半径方向（2）物理模型190（2）物理模型可将发生在圆形通道管壁内的导热简化成一维，温度变化仅发生在半径方向上这样的圆形通道称为长圆筒壁，简称圆筒壁只要管长超过圆筒壁外径的5倍，就可认为是长圆筒壁（2）物理模型191（3）数学模型采用柱坐标系分析圆筒壁内的导热问题更方便。对内、外半径为r1、r2、长为l的长圆筒壁（3）数学模型192需要在圆筒壁的内、外两个壁面处给出边界条件，可以分别是第一类、第二类或第三类边界条件——内表面：三类边界条件之一——外表面：三类边界条件之一需要在圆筒壁的内、外两个壁面处给出边界条件，可以分别是第一类193可根据具体问题的特点进一步简化分析圆筒壁的目的是计算通过它的导热量在圆筒壁中遇到的问题类型、分析方法与过程与平壁完全相似这里仅给出几种简单情况下的结果可根据具体问题的特点进一步简化1943.2.2第一类边界条件下常物性、无内热源的圆筒壁常物性、无内热源圆筒壁的导热微分方程可简化为：若圆筒壁内、外壁面分别维持均匀的温度tw1和tw2，且tw1>tw2，则其边界条件为3.2.2第一类边界条件下常物性、无内热源的圆筒壁常物性、195对方程积分两次，可得通解为：积分常数c1和c2由边界条件确定，圆筒壁的温度分布为：

对方程积分两次，可得通解为：积分常数c1和c2由边界条件确196与平壁内的线性温度分布不同，圆筒壁内的温度沿径向按对数规律变化

利用傅立叶定律可以求得通过圆筒壁的热流量：与平壁内的线性温度分布不同，圆筒壁内的温度沿197写成温差—热阻的形式为为长为l的圆筒壁的导热热阻必须记住！！写成温差—热阻的形式为为长为l的圆筒壁的导热热阻必须记住！198通过圆筒壁内任意位置处的热流密度为通过圆筒壁的热流量：可以发现：在稳态无源的条件下，通过圆筒壁的热流量是常数，但因圆筒壁内任意位置的导热面积A为不同，热流密度却不再是常数，而是随着半径的增加而减小通过圆筒壁内任意位置处的热流密度为通过圆筒壁的热流量：可199工程上为了计算方便，通常按单位管长来计算通过圆筒壁的热流量，记作ql，单位是W/m为单位管长圆筒壁的导热热阻工程上为了计算方便，通常按单位管长来计算通过圆筒壁的热流量，200和分析平壁稳态导热一样，在无内热源的条件下，通过对傅立叶定律分离变量积分，也能够得到和前面完全相同的结果通过圆筒壁一维稳态的导热过程类似于渗流力学中单相流体平面径向稳定渗流过程

和分析平壁稳态导热一样，在无内热源的条件下，通过对傅立叶定律2013.2.3第一类边界条件下变物性、无内热源的圆筒壁通过圆筒壁的热流量为：λm为圆筒壁内、外壁面平均温度下的导热系数3.2.3第一类边界条件下变物性、无内热源的圆筒壁通过圆2023.2.5通过多层圆筒壁的导热

——工程中的许多管道需要敷设保温层或隔热层以降低管线的热损失——锅炉管、注水管线运行一段时间后，会沿管壁在管内形成水垢层——采油或输油管线会沿管壁形成蜡沉积层等这时的圆筒壁称为多层圆筒壁

3.2.5通过多层圆筒壁的导热203以三层圆筒壁为例从内向外各层的半径分别为r1、r2、r3和r4导热系数λ1、λ2和λ3为常数最内层和最外层表面维持均匀温度tw1和tw4（tw1>tw4），各交界面温度分别为tw2和tw3（通常未知）以三层圆筒壁为例204根据热阻串联的原理很容易得到：根据热阻串联的原理很容易得到：205推广到n层圆筒壁，有根据单位长度的热流量相等的原则可以很容易地求出各交界面温度推广到n层圆筒壁，有根据单位长度的热流量相等的原则可以很容206稳态导热的计算与分析课件207稳态导热的计算与分析课件208稳态导热的计算与分析课件209稳态导热的计算与分析课件210稳态导热的计算与分析课件211稳态导热的计算与分析课件212强化对流传热的途径：—增大△t：但受工艺和经济的限制—增大h：强化传热的主要方法—增加A：强化传热的常用方法3.3通过肋片的稳态导热对流传热是工程中最常见的换热情形强化对流传热的途径：3.3通过肋片的稳态导热对流传热是工213在表面上敷设延伸体的方式从某个基体表面延伸出来的固体壁面称为延伸体在表面上敷设延伸体的方式214目的：强化传热，提高传热量方法：提高换热面积，达到强化换热的目的如何实现？采用在换热面上敷设延伸体（肋片）的方法延伸体，又称为肋片、扩展表面、延伸表面、肋、翅片什么是肋片？从某个基体表面延伸出来的固体表面目的：强化传热，提高传热量215生活和工程中采用肋片的例子:——暖气片——汽车的散热水箱——摩托车发动机顶盖的散热片——电机的外壳——计算机CPU上的散热结构——用带套管的温度计测量流体温度的套管等肋片的形式有多种多样的

生活和工程中采用肋片的例子:216稳态导热的计算与分析课件217稳态导热的计算与分析课件218稳态导热的计算与分析课件219微细板翅结构微细板翅结构220稳态导热的计算与分析课件221选用何种形式的肋片取决于使用空间、重量、制造和费用等多种因素肋片可由管子整体轧制或缠绕、嵌套金属薄片通过焊接、浸镀或胀管等加工方法制成研究肋片的目的有两个——确定肋片内的温度分布——通过肋片的散热量，为肋片的设计、分析提供理论依据选用何种形式的肋片取决于使用空间、重量、制造和费用等多种因素2223.3.1物理模型等截面直肋—几何参数：肋高L、肋宽b和肋厚δ—物理参数：导热系数为λ3.3.1物理模型223—与环境间作用的参数：肋片与基体表面相交处（称为肋基或肋根）的温度为t0环境流体温度为t∞肋片表面与周围流体间的表面传热系数为h—与环境间作用的参数：224简化假设：1）肋片处于稳态，肋片内无内热源2）肋片的几何参数、热物性参数、肋基温度和流体温度以及肋片表面与流体间的表面传热系数均为常数简化假设：2253）忽略沿肋厚的温度变化——肋厚度和肋高、肋宽相比很小，肋片通常是由金属材料制成，导热系数较大3）忽略沿肋厚的温度变化2264）忽略温度沿宽度方向的变化——肋基的温度均匀，肋表面沿宽度方向的换热条件相同而且均匀4）忽略温度沿宽度方向的变化2275）忽略肋端散热——肋端面积很小5）忽略肋端散热228通过上述假设，将肋片内的三维导热简化为沿高度方向的一维稳态导热——肋片温度变化沿着肋的高度方向

物理模型：一维肋片的稳态导热通过上述假设，将肋片内的三维导热简化为沿高度方向的一维稳态导2293.3.2数学模型以肋基为坐标原点，沿肋高坐标轴正方向在距肋基x处取长为dx的微元肋片段3.3.2数学模型230根据能量守恒，有Φx为x处以导热方式进入微元体的热量；Φx＋dx为x＋dx处以导热方式离开微元体的热量；Φc为由微元体侧面以对流传热方式离开微元体的热量根据能量守恒，有Φx为x处以导热方式进入微元体的热量；231式中，A为肋片的导热截面面积；P为导热截面的周长式中，A为肋片的导热截面面积；P为导热截面的周长232将三项能量代入到能量守恒关系式中，整理得到：定解条件在肋基x=0处：在肋端x=L处：将三项能量代入到能量守恒关系式中，整理得到：定解条件在肋基2333.3.3求解与分析关于温度的二阶非齐次常微分方程引入过余温度θ=t-t∞

：为了将方程齐次化3.3.3求解与分析关于温度的二阶非齐次常微分方程引入234过余温度θ=t-t∞过余温度θ=t-t∞235齐次化后的数学模型：二阶线性齐次常微分方程通解：代入边界条件：齐次化后的二阶线性齐次常微分方程通解：代入边界条件：236肋片内的温度分布为：对散热肋片而言，从肋基到肋端的温度是按双曲余弦函数的规律下降的，而且肋片内的温度梯度也是随肋高的增加而减小肋片内的温度分布为：对散热肋片而言，从肋基237肋片内的温度分布为：肋基附近温度变化剧烈，肋端附近温度变化平缓，这就是人的耳朵、手容易冻伤的原因原因：肋片表面的对流传热损失使肋片内的导热热流沿肋高而减小的结果肋片内的温度分布为：肋基附近温度变化剧烈，肋端附近温度变化238稳态导热的计算与分析课件239令x=L就可以得到肋端的温度：令x=L就可以得到肋端的温度：240肋片的散热量：（1）直接计算肋片表面的对流散热量。由于肋片温度沿肋高方向不断变化，沿肋高方向积分才能计算出总散热量肋片的散热量：241（2）根据能量守恒关系和傅里叶定律计算散热量稳态时通过肋片表面散失的热量全部来自肋基，由傅里叶定律，有（2）根据能量守恒关系和傅里叶定律计算散热量2423.3.4关于肋片导热的进一步说明忽略肋端散热只是一种理想的情况严格地