03-02一维单原子链讲解课件

固体物理

SolidStatePhysics§3.2一维单原子链第三章晶格振动固体物理

SolidStatePhysics§3.2§3.2一维单原子链

绝热近似——用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来描述电子对离子运动的影响晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式——格波格波的研究——先计算原子之间的相互作用力——根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程

——将电子的运动和离子的运动分开

§3.2一维单原子链绝热近似晶格具有周期性，晶一维无限原子链——每个原子质量m，平衡时原子间距a

——原子之间的作用力

——第n个原子离开平衡位置的位移——第n个原子和第n＋1个原子间的相对位移第n个原子和第n＋1个原子间的距离一维无限原子链——每个原子质量m，平衡时原子间距a——平衡位置时，两个原子间的互作用势能发生相对位移后，相互作用势能——常数——平衡条件平衡位置时，两个原子间的互作用势能发生相对位移简谐近似——振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项相邻原子间的作用力——恢复力常数简谐近似——振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项相邻原子原子的运动方程只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力第n个原子的运动方程——每一个原子运动方程类似——方程的数目和原子数相同原子的运动方程只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力第方程解和振动频率

设方程组的解naq—第n个原子振动相位因子得到应用三角公式方程解和振动频率设方程组的解naq—第n个原子振动相位连续介质中的机械波波数格波方程格波的意义：晶体中的格波——格波和连续介质波具有完全类似的形式——一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动波长连续介质中的机械波波数格波方程格波的意义：晶体中的格波————格波的波形图——简谐近似下，格波是简谐平面波——向上的箭头代表原子沿X轴向右振动——向下的箭头代表原子沿X轴向左振动——格波的波形图——简谐近似下，格波是简谐平面波——向格波波长格波波矢格波相速度不同原子间相位差格波方程相邻原子的相位差格波波长格波波矢格波相速度不同原子间相位差格波方程相邻原子的波矢的取值和布里渊区：格波相邻原子相位差——原子的振动状态相同格波1的波矢相邻原子相位差波矢的取值和布里渊区：格波相邻原子相位差——原子的振动状态格波格波2的波矢相邻原子的位相差——两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同格波格波2的波矢相邻原子的位相差——两种波矢q1和q2的格波矢的取值——相邻原子的相位差取值——第一布里渊区——只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题——其它区域不能提供新的物理内容波矢的取值——相邻原子的相位差取值——第一布里渊区——玻恩－卡曼（Born-Karman）周期性边界条件一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动形式都一样

实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述玻恩－卡曼（Born-Karman）周期性边界条件——N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点——处理问题时考虑到环链的循环性——N很大，原子运动近似为直线运动设第n个原子的位移再增加N个原子之后第N+n个原子的位移——N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点——处则有要求——h为整数波矢的取值范围则有要求——h为整数波矢的取值范围h—N个整数值，波矢q——取N个不同的分立值——第一布里渊区包含N个状态每个波矢在第一布里渊区占的线度第一布里渊区的线度第一布里渊区状态数波矢h—N个整数值，波矢q——取N个不同的分立值——格波的色散关系频率是波数的偶函数格波相速度—不同波长的格波传播速度不同色散关系格波的色散关系频率是波数的偶函数格波相速度—不同波长——q空间的周期频率极小值频率极大值只有频率在之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减——低通滤波器色散关系——q空间的周期频率极小值频率极大值只有频率在格波——长波极限情况

当——格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致格波——长波极限情况当——格波的色散关系与连续介质中格波——短波极限情况——格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致——不同频率的格波传播速度不同格波——短波极限情况——格波的色散关系与连续介质中弹性长波极限下短波极限下相邻两个原子振动相位差——晶格可看作是连续介质——相邻原子的振动相位相反长波极限下短波极限下相邻两个原子振动相位差——晶格可看作是原子位移和简正坐标的关系第q个格波引起第n个原子位移第n个原子总的位移令原子位移和简正坐标的关系第q个格波引起第n个原子位移第n个原子坐标和简正坐标的变换——线性变换为幺正变换——有3N个取值原子坐标和简正坐标的变换——线性变换为幺正变换——有3N动能和势能的形式

——N项独立的模式动能的正则坐标表示势能的正则坐标表示原子位移为实数——正交性动能和势能的形式——N项独立的模式动能的正则坐标表示势能势能势能——系统复数形式的简正坐标哈密顿量将代入得到系统势能——系统复数形式的简正坐标哈密顿量将——实数形式的简正坐标令哈密顿量——实数形式的简正坐标令哈密顿量能量本征值本征态函数当这种振动模处于时，说明有个声子——一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数

声子——晶格振动的能量量子；

或格波的能量量子能量本征值本征态函数当这种振动模处于——声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用——晶格振动的问题声子系统问题的研究——每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的——声子系统是无相互作用的声子气组成的系统——声子具有能量_动量，看作是准粒子晶格振动——声子体系——声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用——晶格固体物理

SolidStatePhysics§3.2一维单原子链第三章晶格振动固体物理

SolidStatePhysics§3.2§3.2一维单原子链

绝热近似——用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来描述电子对离子运动的影响晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式——格波格波的研究——先计算原子之间的相互作用力——根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程

——将电子的运动和离子的运动分开

§3.2一维单原子链绝热近似晶格具有周期性，晶一维无限原子链——每个原子质量m，平衡时原子间距a

——原子之间的作用力

——第n个原子离开平衡位置的位移——第n个原子和第n＋1个原子间的相对位移第n个原子和第n＋1个原子间的距离一维无限原子链——每个原子质量m，平衡时原子间距a——平衡位置时，两个原子间的互作用势能发生相对位移后，相互作用势能——常数——平衡条件平衡位置时，两个原子间的互作用势能发生相对位移简谐近似——振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项相邻原子间的作用力——恢复力常数简谐近似——振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项相邻原子原子的运动方程只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力第n个原子的运动方程——每一个原子运动方程类似——方程的数目和原子数相同原子的运动方程只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力第方程解和振动频率

设方程组的解naq—第n个原子振动相位因子得到应用三角公式方程解和振动频率设方程组的解naq—第n个原子振动相位连续介质中的机械波波数格波方程格波的意义：晶体中的格波——格波和连续介质波具有完全类似的形式——一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动波长连续介质中的机械波波数格波方程格波的意义：晶体中的格波————格波的波形图——简谐近似下，格波是简谐平面波——向上的箭头代表原子沿X轴向右振动——向下的箭头代表原子沿X轴向左振动——格波的波形图——简谐近似下，格波是简谐平面波——向格波波长格波波矢格波相速度不同原子间相位差格波方程相邻原子的相位差格波波长格波波矢格波相速度不同原子间相位差格波方程相邻原子的波矢的取值和布里渊区：格波相邻原子相位差——原子的振动状态相同格波1的波矢相邻原子相位差波矢的取值和布里渊区：格波相邻原子相位差——原子的振动状态格波格波2的波矢相邻原子的位相差——两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同格波格波2的波矢相邻原子的位相差——两种波矢q1和q2的格波矢的取值——相邻原子的相位差取值——第一布里渊区——只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题——其它区域不能提供新的物理内容波矢的取值——相邻原子的相位差取值——第一布里渊区——玻恩－卡曼（Born-Karman）周期性边界条件一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动形式都一样

实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述玻恩－卡曼（Born-Karman）周期性边界条件——N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点——处理问题时考虑到环链的循环性——N很大，原子运动近似为直线运动设第n个原子的位移再增加N个原子之后第N+n个原子的位移——N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点——处则有要求——h为整数波矢的取值范围则有要求——h为整数波矢的取值范围h—N个整数值，波矢q——取N个不同的分立值——第一布里渊区包含N个状态每个波矢在第一布里渊区占的线度第一布里渊区的线度第一布里渊区状态数波矢h—N个整数值，波矢q——取N个不同的分立值——格波的色散关系频率是波数的偶函数格波相速度—不同波长的格波传播速度不同色散关系格波的色散关系频率是波数的偶函数格波相速度—不同波长——q空间的周期频率极小值频率极大值只有频率在之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减——低通滤波器色散关系——q空间的周期频率极小值频率极大值只有频率在格波——长波极限情况

当——格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致格波——长波极限情况当——格波的色散关系与连续介质中格波——短波极限情况——格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致——不同频率的格波传播速度不同格波——短波极限情况——格波的色散关系与连续介质中弹性长波极限下短波极限下相邻两个原子振动相位差——晶格可看作是连续介质——相邻原子的振动相位相反长波极限下短波极限下相邻两个原子振动相位差——晶格可看作是原子位移和简正坐标的关系第q个格波引起第n个原子位移第n个原子总的位移令原子位移和简正坐标的关系第q个格波引起第n个原子位移第n个原子坐标和简正坐标的变换——线性变换为幺正变换——有3N个取值原子坐标和简正坐标的变换——线性变换为幺正变换——有3N动能和势能的