华师大版九年级上册数学课件(第21章-二次根式)

第二十一章二次根式21.1二次根式第二十一章二次根式21.1二次根式1课堂讲解二次根式的定义、二次根式有意义的条件二次根式的性质：2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解二次根式的定义、2课时流程逐点课堂小结作业提升人造地球卫星要冲出地球，围绕地球运行，发射时就必须达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙速度．计算第一宇宙速度的公式是：其中g为重力加速度，R为地球半径．人造地球卫星要冲出地球，围绕地球运行，发射时就在第11章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个记号表示什么？a应满足什么条件？

在第11章我们学习了平方根和算术平方根的意义，1知识点二次根式的定义回顾当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根．当a是零时，等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．当a是负数时，没有意义．知1－导

1知识点二次根式的定义回顾当a是正数时，1.定义：形如(a≥0)的式子叫做二次根式；其中“”称为二次根号，a称为被开方数(式).2.要点精析：(1)二次根式的定义是从代数式的结构形式上界定的，必须含有二次根号“”；“”的根指数为2，即，“2”一般省略不写．(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子；但前提是a必须大于或等于0.(3)形如(a≥0)的式子也是二次根式．知1－讲

1.定义：形如(a≥0)的式子叫做二次根例1判断下列各式是否为二次根式，并说明理由.

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.知1－讲导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别．例1判断下列各式是否为二次根式，并说明理由.知1－讲导知1－讲解：(1)∵的根指数是3，∴不是二次根式．

(2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴是二次根式．

(3)当－5a≥0，即a≤0时，是二次根式；当a＞0时，－5a＜0，则不是二次根式．∴不一定是二次根式．

(4)只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式．知1－讲解：(1)∵的根指数是3，∴知1－讲(5)当x＝－3时，无意义，∴也无意义；当x≠－3时，，∴是二次根式．∴不一定是二次根式．(6)当a＝4，即a－4＝0时，是二次根式；当a≠4时，－(a－4)2＜0，∴不是二次根式．∴不一定是二次根式．知1－讲(5)当x＝－3时，无意义，

知1－讲(7)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，∴是二次根式．(8)∵|x|≥0，∴是二次根式．知1－讲(7)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋知1－讲总结二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；(2)被开方数(式)为非负数．知1－讲总结二次根式的识别方法：下列式子一定是二次根式的是(

)A.B.C.D.下列式子不一定是二次根式的是(

)A.B.C.D.知1－练

12下列式子一定是二次根式的是()下列式子不一定是二次根式的2知识点二次根式有意义的条件知2－讲二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反之也成立，即：有意义⇔a≥0.2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之也成立，即：无意义⇔a＜0.要点精析：(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；2知识点二次根式有意义的条件知2－讲二次根式有意义的条件是被(2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数；分式的分母不等于0；(3)如果一个式子中含有零指数或负整数指数，那么它有意义的条件是：底数不为0.

知2－讲(2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么知2－讲例2当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；知2－讲例2当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有知2导引：要使二次根式有意义，则被开方数是非负数，如果同时有分式，那么分式中的分母不能为零．解：（1）欲使有意义，则必有∴x≤－3，且x≠－5.

（2）欲使有意义，则必有∴x＞.知2－讲导引：要使二次根式有意义，则被开方数是非负数，知2－讲（3）欲使有意义，则必有∴2≤x≤5.（4）欲使有意义，则必有∴x≥－4且x≠2.

知2－讲（3）欲使有意1x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？（1）（2）（3）（4）若代数式在实数范围内有意义，则x

的取值范围是(

)A．x≥－2B．x>－2C．x≥2D．x≤2知2－练

1x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？知2－练3函数中自变量x的取值范围是(

)A．x≥－1B．x≠3C．x≥－1且x≠3D．x＜－1知2－练3函数中自知3－讲3知识点二次根式的性质：1.性质1：中a≥0，≥0，即一个非负数的算术平方根是一个非负数；2.性质2：＝a(a≥0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；3.性质3：（1）思考：等于什么？知3－讲3知识点二次根式的性质：1.性质1：中a

知3－讲我们不妨取a的一些值，如2、－2、3、－3等，分别计算对应的的值，看看有什么规律：

……（2）＝|a|＝即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值．这里a的取值有没有限制？取a的一些值，分别计算的值．从中你能发现什么？知3－讲我们不妨取a的一些值，如2、－2、

知3－讲4.要点精析：（1）具有双重非负性：①a≥0;②≥0.(2)与的区别与联系：区别：①取值范围不同：中a为全体实数，中a≥0；②运算顺序不同：是先平方后开方，是先开方后平方；③运算结果不同：＝|a|

＝联系：与均为非负数，且当a≥0时，知3－讲4.要点精析：（1）具有双重非负性：①1要使等式成立，则x＝________．当1＜a＜2时，代数式的值是

(

)A．－1B．1C．2a－3D．3－2a知3－练

1要使等式21.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法第21章二次根式21.2二次根式的乘除第1课时二次根式的第21章1课堂讲解二次根式的乘法法则积的算术平方根的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解二次根式的乘法法则2课时流程逐点课堂小结作业提计算：(1)(2)观察计算的结果，你能发现什么？

试一试计算：观察计算的结果，你能发现什么？试一试1知识点二次根式的乘法法则思考

从计算的结果我们发现：这是什么道理呢？知1－导

用计算器分别计算一下，看看两者是否相等，你能说出道理吗？1知识点二次根式的乘法法则思考事实上，根据积的乘方法则，有并且所以是2×3的算术平方根，即知1－导

事实上，根据积的乘方法则，有知1－导法则：一般地，有这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根．2.要点精析：(1)法则中被开方数a、b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负数；(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为根号外因数(式)，被开方数之积作为被开方数；(3)二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式；(4)如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数．知1－讲法则：一般地，有3.拓展：(1)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即：(2)几个二次根式相乘，可利用交换律、结合律使运算简便．知1－讲注意：在上式中，a、b都表示非负数.在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数.

3.拓展：(1)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指例1计算：

(1)(2)

知1－讲解：例1计算：知1－讲解：例2计算：

(1)(2)(3)(4)

知1－讲导引：(1)(2)两题直接利用公式计算；(3)(4)两题要利用乘法交换律和结合律，将二次根式根号外的因数(式)和两个二次根式分别相乘，同时注意确定积的符号．例2计算：知1－讲导引：(1)(2)两题直接利用公式知1－讲(1)(2)(3)(4)

解：知1－讲(1)解：知1－讲总结(1)两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方；(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式相乘的法则进行运算，如（b≥0,d≥0）即将根号外的因数(式)a、c相乘，被开方数b、d相乘．知1－讲总结(1)两个二次根式相乘，被开方数的积中

＝________等式成立的条件是(

)A．x≥1B．－1≤x≤1C．x≤－1D．x≤－1或x≥1知1－练

＝________等式2知识点积的算术平方根的性质知2－导上面得到的等式也可以写成性质：这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．2知识点积的算术平方根的性质知2－导上面得到的等式知2－讲要点精讲：（1）积的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的乘法法则，它对两个以上的积的算术平方根同样适用；（2）应用积的算术平方根的性质的前提条件是乘积中的每个因数(式)必须是非负数；应用此性质的作用是化简二次根式；（3）在进行化简运算时，先将被开方数进行因数(式)分解，然后将能开得尽方的因数(式)开方后移到根号外．

知2－讲要点精讲：（1）积的算术平方根的性质的实质是逆用例3化简使被开方数不含完全平方的因数.知2－讲解：这里，被开方数12＝22×3，含有完全平方的因数22，通常可根据积的算术平方根的性质，并利用(a≥0)，将这个因数“开方”出来．

例3化简使被开方数不含完全平方的例4化简：知2－讲导引：二次根式乘法运算化简的目的：转化为没有二次根式的乘法运算，且将二次根式被开方数中能开得尽方的因数(式)从根号中开出来．例4化简：知2－讲导引：二次根式乘法运算化简的目的解：(1)方法一：方法二：知2－讲解：(1)方法一：知2－讲

知2－讲知2－讲知2－讲总结二次根式的乘法运算过程的实质是二次根式的乘法法则的正用与逆用的一个综合过程，它不仅是简单地将两个被开方数相乘，而且更重要的是将所得的积化简，因此解形如的过程如下：方法一：方法二：当被开方数是数时，用方法二更简便

知2－讲总结二次根式的乘法运算过程的1下列计算正确的是(

)A.B.C.D.计算：

知2－练

1下列计算正确的是()知2－练运用二次根式的乘法法则时注意被开方数都必须是非负数，否则公式不成立．逆用公式时必须将被开方数(式)进行因数(式)分解，再进行计算，将开得尽方的因数(式)移到根号外．化简时注意题目中隐含的条件．3．把根号外的因式移到根号内的方法：先要根据题意确定根号外因式的符号，当根号外因式的符号为正时，直接平方后移到根号内，当根号外因式的符号为负时，只能将正因式平方后移到根号内，负号留在根号外．运用二次根式的乘法法则时注意被开方数都必须是非负数，否21.2二次根式的乘除第2课时二次根式的除法第21章二次根式21.2二次根式的乘除第2课时二次根式的第21章1课堂讲解二次根式的除法法则商的算术平方根的性质最简二次根式2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解二次根式的除法法则2课时流程逐点课堂小结作业两个二次根式相除，怎样进行运算呢？商的算术平方根又等于什么？试参考上面的研究，和同伴讨论，提出你的见解．

讨论两个二次根式相除，怎样进行运算呢？讨论1知识点二次根式的除法法则概括一般的，有

____知1－导这就是说，两个算术平方根的商，等于____________________________________________．

这里为什么要求1知识点二次根式的除法法则概括一般的，有知1－导这就是说，法则：一般地，有(a≥0，b＞0)．这就是说，两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根．

2.要点精析：(1)法则中的被开方数a、b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的且b不为0；(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算；将根号外因数(式)之商作为根号外商的因数(式)；被开方数之商作为被开方数．易错警示：(1)在(a≥0，b＞0)中，特别注意b＞0，若b＝0，则代数式无意义；知1－讲法则：一般地，有(a≥0(2)二次根式的运算结果要尽量化到最简；(3)如果被开方数是带分数，应先将它化成假分数；以免出现类似这样的错误；(4)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算；也可以把除法运算转化为乘法运算来计算．知1－讲

(2)二次根式的运算结果要尽量化到最简；知1－讲例1计算：

(1)(2)

知1－讲解：题(2)也可先将分子化简为从而容易算得结果．例1计算：知1－讲解：题(2)也可先将分子化简为例2计算：

(1)(2)(3)(4)

知1－讲导引：(1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；

(2)(4)要注意根号外的因数与因数相除，同时要注意结果的符号；(3)进行计算时需先把带分数化成假分数．例2计算：知1－讲导引：(1)直接利用二次根式的除法知1－讲解：(1)(2)(3)(4)

知1－讲解：(1)知1－讲归纳利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简．知1－讲归纳利用二次根式的除法法则进行计算，被计算的结果是__________．成立的条件是(

)A．a≠1B．a≥1且a≠3C．a＞1D．a≥3知1－练

计算的结果是____性质：这就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．要点精析：(1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法法则；

(2)应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负数，除式是正数；

(3)商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分母中的根号化去．2知识点商的算术平方根的性质知2－导性质：知2－讲分母有理化：

(1)定义：要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式就可以了，通常这种化简过程称为分母有理化；

(2)依据：分式的基本性质及

(3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．拓展：(1)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式；(2)常用的有理化因式：

知2－讲分母有理化：例3化简使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母．知2－讲解：

这里，二次根式的被开方数中含有分母，通常可利用分数(或分式)的基本性质将分母“配”成完全平方，再“开方”出来．例3化简使分母中不含二次根式，并且例4将下列各式化简：知2－讲导引：(1)先将带分数化为假分数，然后应用性质化简；

(2)需要将分子、分母同时乘以2，将分母化成一个完全平方数，然后应用性质化简；

(3)方法一，先用性质化简，再分母有理化；方法二，先将被开方数的分子、分母同乘以a，再应用进行化简．例4将下列各式化简：知2－讲导引：(1)先将带解：知2－讲(3)方法一：方法二：解：知2－讲(3)方法一：知2－讲总结利用商的算术平方根化简二次根式的方法：（1）若被开方数的分母是一个完全平方数(式)，则可以直接利用商的算术平方根的性质，先将分子、分母分别开平方，然后求商；（2）若被开方数的分母不是完全平方数(式)，可根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同时乘以一个不等于0

的数或整式，使分母变成一个完全平方数(式)，然后利用商的算术平方根进行化简．

知2－讲总结利用商的算术平方根化简二次根式的1下列各式计算正确的是(

)知2－练

2下列结果正确的有(

)

A．1个B．2个C．3个D．4个1下列各式计算正确的是()知2－练21.定义：二次根式被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．要点精析：最简二次根式必须满足：(1)被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数(式)；(2)被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2；即每个因数(式)的指数都是1.3知识点最简二次根式知3－讲1.定义：二次根式被开方数中不含分母，并且被开方3知识知3－讲2.将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：

(1)“一分”，即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式；(2)“二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；(3)“三化”，即将分母有理化——化去被开方数中的分母．

知3－讲2.将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：例5下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由．知3－讲导引：根据最简二次根式的定义进行判断．解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母．

(2)是最简二次根式．

(3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)．例5下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最知3知3－讲（4）不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数4，4＝22.（5）不是最简二次根式，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x

＋9)＝x(x＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式．

知3－讲（4）不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开知3－讲归纳判断一个二次根式是最简二次根式的方法：利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断：(1)被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；(2)被开方数不含能开得尽方的因数(式)，即被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2；另外还要具备分母中不含二次根式．知3－讲归纳判断一个二次根式是最简二次根式的方法：1下列式子为最简二次根式的是(

)知3－练

2计算:1下列式子为最简二次根式的是()知3－练21.运用二次根式的除法法则时，一是注意成立的条件，二是结果一定要化为最简二次根式或整式．2．逆用二次根式的除法法则时，一是注意成立的条件，二是注意二次根式有意义的隐含条件．3．进行二次根式混合运算时要注意运算顺序．1.运用二次根式的除法法则时，一是注意成立的条件，二是21.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减第21章二次根式21.3二次根式的加减第1课时二次根式的第211课堂讲解同类二次根式二次根式的加减法2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解同类二次根式2课时流程逐点课堂小结作业提升计算：（1）（2）试一试联想整式加减运算中的合并同类项，你会做吗？

计算：试一试联想整式加减运算中的合并同类项，你会做吗？1知识点同类二次根式概括与整式中同类项相类似，我们把像这样的几个二次根式，称为同类二次根式.也是同类二次根式．知1－导

1知识点同类二次根式概括与整式中同类项要点精析：(1)同类二次根式必须符合两个条件：①最简二次根式；②被开方数相同．(2)判断是否为同类二次根式时，先将二次根式都化为最简二次根式，然后比较被开方数，它与根号前面的系数无关．知1－讲

要点精析：知1－讲例1下面的二次根式中与是同类二次根式的是(

)

知1－讲导引：将四个选项中的二次根式先分别化成最简二次根式，得只有选项D中的被开方数是3，故选D.

D例1下面的二次根式中与是同类二次根式知1－讲总结判断几个二次根式是否为同类二次根式的步骤是：(1)将各二次根式化为最简二次根式；(2)看被开方数是否相同．

知1－讲总结判断几个二次根式是否为同类二次根式的步骤是下列二次根式中的最简二次根式是(

)下列各组二次根式化简成最简二次根式后是同类二次根式的是(

)知1－练

下列二次根式中的最简二次根式是()下列各组二次根式化简成2知识点二次根式的加减法知2－导思考计算：这里三个“加数”中有同类二次根式吗？将它们化简以后看一看，再完成本题的解答．2知识点二次根式的加减法知2－导思考计算：这里三个“加数”

解：分析：先将各二次根式化简知2－导解：分析：先将各二次根式化简知2－导知2－讲

1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并．即：二次根式加减运算的步骤：

(1)“化”：将每个二次根式化成最简二次根式；

(2)“找”：找出同类二次根式；

(3)“并”：将同类二次根式合并成一项．知2－讲1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化4.易错警示：

(1)合并同类二次根式时，根号外的因数与因数合并，剩下的部分保持不变，一定不要丢掉；

(2)不能合并的二次根式不能丢掉，因为它们也是结果的一部分；

(3)二次根式根号外的因数是带分数的要化为假分数．知2－讲

3.整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则在二次根式的运算中仍然适用．4.易错警示：知2－讲3.整式加减运算中的交例2计算：知2－讲解：

例2计算：知2－讲解：例3计算：知2－讲导引：题目中的每个二次根式都不是最简二次根式，因此应按化、找、并的步骤进行．解：

例3计算：知2－讲导引：题目中的每个二次根式都不是最知2－讲归纳二次根式的加减法运算的步骤：将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，则要化成分数，进而化为最简二次根式；(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式进行合并．

知2－讲归纳二次根式的加减法运算的步骤：1下列根式中，不能与合并的是(

)知2－练

2计算：1下列根式中，不能与合并的是()知2－练2二次根式加减运算的步骤：（1）化简：将二次根式化成最简二次根式；（2）判别：找出被开方数相同的二次根式；（3）合并：类似于合并同类项，将被开方数相同的二次根式合并．

二次根式加减运算的步骤：21.3二次根式的加减第2课时二次根式的混合运算第二十一章二次根式21.3二次根式的加减第2课时二次根式的第二十1课堂讲解二次根式的混合运算2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解二次根式的混合运算2课时流程逐点课堂小结作业提升1、二次根式的乘除法则是什么？2、什么是同类二次根式？3、二次根式加减运算的法则是什么？复习提问1、二次根式的乘除法则是什么？复习提问知识点二次根式的混合运算1.二次根式的混合运算：

(1)运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算．

(2)运算顺序：先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．知1－讲

1知识点二次根式的混合运算1.二次根式的混合运算：知1要点精析：

(1)二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式

(或整式)的形式，并且分母中不含二次根式；

(2)进行二次根式的开方运算时应使开出的因数(式)

是非负数(式)．3．二次根式的运算律：

(1)实数运算中的运算律(交换律、结合律、分配律)

和整式乘法中的乘法公式(平方差公式和完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用．

(2)在进行计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时注意合理地运用运算律．知1－讲

要点精析：知1－讲例1计算：知1－讲解：

例1计算：知1－讲解：例2计算：知1－讲例2计算：知1－讲知1－讲导引：(1)可以类比单项式乘多项式的运算法则进行计算；(2)可以类比多项式除以单项式的运算法则进行计算；先转化为乘法运算(除以一个数等于乘它的倒数)然后将分母有理化；(4)可以类比多项式乘多项式的运算法则进行计算；(5)可用完全平方公式进行计算；(6)既可用完全平方公式又可用平方差公式进行计算．知1－讲导引：解：知1－讲解：知1－讲知1－讲(6)方法一：知1－讲(6)方法一：知1－讲方法二：

知1－讲方法二：知1－讲总结

二次根式的混合运算顺序与整式运算类似，先乘方，再乘除，最后加减．在二次根式混合运算中，每一个二次根式可看成一个“单项式”，多个非同类二次根式之和可以看成一个“多项式”，因此整式运算法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用．

知1－讲总结

二次根式的混合运算顺序下列计算正确的是(

)计算：知1－练

下列计算正确的是()计算：知1－练二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别：运算二次根式的乘除法二次根式的加减法根号外的因数(式)根号外的因数(式)相乘除根号外的因数(式)相加减被开方数被开方数相乘除被开方数不变化简结果化成最简二次根式先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别：运算二次根式的1.师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：

(1)=a(a≥0)；

(2)当a≥0时，=a；当a＜0时，=-a.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.1.师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：第二十一章二次根式21.1二次根式第二十一章二次根式21.1二次根式1课堂讲解二次根式的定义、二次根式有意义的条件二次根式的性质：2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解二次根式的定义、2课时流程逐点课堂小结作业提升人造地球卫星要冲出地球，围绕地球运行，发射时就必须达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙速度．计算第一宇宙速度的公式是：其中g为重力加速度，R为地球半径．人造地球卫星要冲出地球，围绕地球运行，发射时就在第11章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个记号表示什么？a应满足什么条件？

在第11章我们学习了平方根和算术平方根的意义，1知识点二次根式的定义回顾当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根．当a是零时，等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．当a是负数时，没有意义．知1－导

1知识点二次根式的定义回顾当a是正数时，1.定义：形如(a≥0)的式子叫做二次根式；其中“”称为二次根号，a称为被开方数(式).2.要点精析：(1)二次根式的定义是从代数式的结构形式上界定的，必须含有二次根号“”；“”的根指数为2，即，“2”一般省略不写．(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子；但前提是a必须大于或等于0.(3)形如(a≥0)的式子也是二次根式．知1－讲

1.定义：形如(a≥0)的式子叫做二次根例1判断下列各式是否为二次根式，并说明理由.

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.知1－讲导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别．例1判断下列各式是否为二次根式，并说明理由.知1－讲导知1－讲解：(1)∵的根指数是3，∴不是二次根式．

(2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴是二次根式．

(3)当－5a≥0，即a≤0时，是二次根式；当a＞0时，－5a＜0，则不是二次根式．∴不一定是二次根式．

(4)只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式．知1－讲解：(1)∵的根指数是3，∴知1－讲(5)当x＝－3时，无意义，∴也无意义；当x≠－3时，，∴是二次根式．∴不一定是二次根式．(6)当a＝4，即a－4＝0时，是二次根式；当a≠4时，－(a－4)2＜0，∴不是二次根式．∴不一定是二次根式．知1－讲(5)当x＝－3时，无意义，

知1－讲(7)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，∴是二次根式．(8)∵|x|≥0，∴是二次根式．知1－讲(7)∵x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋知1－讲总结二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；(2)被开方数(式)为非负数．知1－讲总结二次根式的识别方法：下列式子一定是二次根式的是(

)A.B.C.D.下列式子不一定是二次根式的是(

)A.B.C.D.知1－练

12下列式子一定是二次根式的是()下列式子不一定是二次根式的2知识点二次根式有意义的条件知2－讲二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反之也成立，即：有意义⇔a≥0.2．二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之也成立，即：无意义⇔a＜0.要点精析：(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；2知识点二次根式有意义的条件知2－讲二次根式有意义的条件是被(2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数；分式的分母不等于0；(3)如果一个式子中含有零指数或负整数指数，那么它有意义的条件是：底数不为0.

知2－讲(2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那么知2－讲例2当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；知2－讲例2当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有知2导引：要使二次根式有意义，则被开方数是非负数，如果同时有分式，那么分式中的分母不能为零．解：（1）欲使有意义，则必有∴x≤－3，且x≠－5.

（2）欲使有意义，则必有∴x＞.知2－讲导引：要使二次根式有意义，则被开方数是非负数，知2－讲（3）欲使有意义，则必有∴2≤x≤5.（4）欲使有意义，则必有∴x≥－4且x≠2.

知2－讲（3）欲使有意1x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？（1）（2）（3）（4）若代数式在实数范围内有意义，则x

的取值范围是(

)A．x≥－2B．x>－2C．x≥2D．x≤2知2－练

1x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？知2－练3函数中自变量x的取值范围是(

)A．x≥－1B．x≠3C．x≥－1且x≠3D．x＜－1知2－练3函数中自知3－讲3知识点二次根式的性质：1.性质1：中a≥0，≥0，即一个非负数的算术平方根是一个非负数；2.性质2：＝a(a≥0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；3.性质3：（1）思考：等于什么？知3－讲3知识点二次根式的性质：1.性质1：中a

知3－讲我们不妨取a的一些值，如2、－2、3、－3等，分别计算对应的的值，看看有什么规律：

……（2）＝|a|＝即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值．这里a的取值有没有限制？取a的一些值，分别计算的值．从中你能发现什么？知3－讲我们不妨取a的一些值，如2、－2、

知3－讲4.要点精析：（1）具有双重非负性：①a≥0;②≥0.(2)与的区别与联系：区别：①取值范围不同：中a为全体实数，中a≥0；②运算顺序不同：是先平方后开方，是先开方后平方；③运算结果不同：＝|a|

＝联系：与均为非负数，且当a≥0时，知3－讲4.要点精析：（1）具有双重非负性：①1要使等式成立，则x＝________．当1＜a＜2时，代数式的值是

(

)A．－1B．1C．2a－3D．3－2a知3－练

1要使等式21.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法第21章二次根式21.2二次根式的乘除第1课时二次根式的第21章1课堂讲解二次根式的乘法法则积的算术平方根的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解二次根式的乘法法则2课时流程逐点课堂小结作业提计算：(1)(2)观察计算的结果，你能发现什么？

试一试计算：观察计算的结果，你能发现什么？试一试1知识点二次根式的乘法法则思考

从计算的结果我们发现：这是什么道理呢？知1－导

用计算器分别计算一下，看看两者是否相等，你能说出道理吗？1知识点二次根式的乘法法则思考事实上，根据积的乘方法则，有并且所以是2×3的算术平方根，即知1－导

事实上，根据积的乘方法则，有知1－导法则：一般地，有这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根．2.要点精析：(1)法则中被开方数a、b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负数；(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为根号外因数(式)，被开方数之积作为被开方数；(3)二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式；(4)如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数．知1－讲法则：一般地，有3.拓展：(1)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即：(2)几个二次根式相乘，可利用交换律、结合律使运算简便．知1－讲注意：在上式中，a、b都表示非负数.在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数.

3.拓展：(1)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指例1计算：

(1)(2)

知1－讲解：例1计算：知1－讲解：例2计算：

(1)(2)(3)(4)

知1－讲导引：(1)(2)两题直接利用公式计算；(3)(4)两题要利用乘法交换律和结合律，将二次根式根号外的因数(式)和两个二次根式分别相乘，同时注意确定积的符号．例2计算：知1－讲导引：(1)(2)两题直接利用公式知1－讲(1)(2)(3)(4)

解：知1－讲(1)解：知1－讲总结(1)两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方；(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式相乘的法则进行运算，如（b≥0,d≥0）即将根号外的因数(式)a、c相乘，被开方数b、d相乘．知1－讲总结(1)两个二次根式相乘，被开方数的积中

＝________等式成立的条件是(

)A．x≥1B．－1≤x≤1C．x≤－1D．x≤－1或x≥1知1－练

＝________等式2知识点积的算术平方根的性质知2－导上面得到的等式也可以写成性质：这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．2知识点积的算术平方根的性质知2－导上面得到的等式知2－讲要点精讲：（1）积的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的乘法法则，它对两个以上的积的算术平方根同样适用；（2）应用积的算术平方根的性质的前提条件是乘积中的每个因数(式)必须是非负数；应用此性质的作用是化简二次根式；（3）在进行化简运算时，先将被开方数进行因数(式)分解，然后将能开得尽方的因数(式)开方后移到根号外．

知2－讲要点精讲：（1）积的算术平方根的性质的实质是逆用例3化简使被开方数不含完全平方的因数.知2－讲解：这里，被开方数12＝22×3，含有完全平方的因数22，通常可根据积的算术平方根的性质，并利用(a≥0)，将这个因数“开方”出来．

例3化简使被开方数不含完全平方的例4化简：知2－讲导引：二次根式乘法运算化简的目的：转化为没有二次根式的乘法运算，且将二次根式被开方数中能开得尽方的因数(式)从根号中开出来．例4化简：知2－讲导引：二次根式乘法运算化简的目的解：(1)方法一：方法二：知2－讲解：(1)方法一：知2－讲

知2－讲知2－讲知2－讲总结二次根式的乘法运算过程的实质是二次根式的乘法法则的正用与逆用的一个综合过程，它不仅是简单地将两个被开方数相乘，而且更重要的是将所得的积化简，因此解形如的过程如下：方法一：方法二：当被开方数是数时，用方法二更简便

知2－讲总结二次根式的乘法运算过程的1下列计算正确的是(

)A.B.C.D.计算：

知2－练

1下列计算正确的是()知2－练运用二次根式的乘法法则时注意被开方数都必须是非负数，否则公式不成立．逆用公式时必须将被开方数(式)进行因数(式)分解，再进行计算，将开得尽方的因数(式)移到根号外．化简时注意题目中隐含的条件．3．把根号外的因式移到根号内的方法：先要根据题意确定根号外因式的符号，当根号外因式的符号为正时，直接平方后移到根号内，当根号外因式的符号为负时，只能将正因式平方后移到根号内，负号留在根号外．运用二次根式的乘法法则时注意被开方数都必须是非负数，否21.2二次根式的乘除第2课时二次根式的除法第21章二次根式21.2二次根式的乘除第2课时二次根式的第21章1课堂讲解二次根式的除法法则商的算术平方根的性质最简二次根式2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解二次根式的除法法则2课时流程逐点课堂小结作业两个二次根式相除，怎样进行运算呢？商的算术平方根又等于什么？试参考上面的研究，和同伴讨论，提出你的见解．

讨论两个二次根式相除，怎样进行运算呢？讨论1知识点二次根式的除法法则概括一般的，有

____知1－导这就是说，两个算术平方根的商，等于____________________________________________．

这里为什么要求1知识点二次根式的除法法则概括一般的，有知1－导这就是说，法则：一般地，有(a≥0，b＞0)．这就是说，两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根．

2.要点精析：(1)法则中的被开方数a、b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的且b不为0；(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算；将根号外因数(式)之商作为根号外商的因数(式)；被开方数之商作为被开方数．易错警示：(1)在(a≥0，b＞0)中，特别注意b＞0，若b＝0，则代数式无意义；知1－讲法则：一般地，有(a≥0(2)二次根式的运算结果要尽量化到最简；(3)如果被开方数是带分数，应先将它化成假分数；以免出现类似这样的错误；(4)如果是几个二次根式相除，应按除法法则依次计算；也可以把除法运算转化为乘法运算来计算．知1－讲

(2)二次根式的运算结果要尽量化到最简；知1－讲例1计算：

(1)(2)

知1－讲解：题(2)也可先将分子化简为从而容易算得结果．例1计算：知1－讲解：题(2)也可先将分子化简为例2