高中数学高考 2020-2021学年下学期高三5月月考卷 文科数学（A卷）-教师版

此卷此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号文科数学（A）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设且，，则α是β成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】若“且”则“”成立；当，时，满足，但且不成立，故且”是“”的充分非必要条件，故选A．2．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，所以，故选D．3．已知数列为等差数列，首项，公差，前n项和，则（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】由题意及等差数列前n项和公式，知，∴，故选C．4．下列函数中，既是奇函数，又是减函数的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，反比例函数为奇函数，在和都为减函数，但在整个定义域内不是减函数，所以A不合题意；对于B，因为，所以（）为奇函数，令，则，所以在上为减函数，所以在上为减函数，所以B正确；对于C，为奇函数，在为增函数，所以C不合题意；对于D，因为，所以为奇函数，因为在上为增函数，所以在和都为减函数，但在整个定义域内不是减函数，所以D不合题意，故选B．5．设z1、z2为复数，下列命题一定成立的是（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，a是正实数，那么D．如果，a是正实数，那么【答案】D【解析】选项A，若，则有，但，故A不正确；选项B，若，则有，但，故B不正确；选项C，若为虚数，显然不可能有，故C不正确；选项D，因为，则，若，即，而，故D正确，故选D．6．已知向量，且，则（）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由题意：，，又，所以，解得，故选A．7．勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛（1829﹣1905）首先发现，所以以他的名字命名．其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，设，以B为圆心的扇形的面积为，∴的面积为，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，即为，故勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为，故选B．8．若直线被圆所截弦长最短，则（）A．4 B．2 C． D．【答案】C【解析】直线过定点，因这直线被圆所截弦长最短，所以点为弦的中点，故圆心与点连线与直线垂直，则，解得，故选C．9．定义在上的奇函数满足，且在上为增函数，若方程在区间上有四个不同的根，，，，则的值为（）A．8 B． C．0 D．【答案】B【解析】因为，所以，所以，周期为8，又因为是奇函数，在上为增函数，作出函数的大致图象如图所示：由图象可知在区间上的四个不同的根，，，，两个关于直线对称，两个关于直线对称，所以，故选B．10．直线分别与及交于两点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解法一：设，，则，，即，记，则，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，当时，，即的最小值为．解法二：过向直线做垂线，垂足为，，要使最小，则最小，即到直线的距离最小，将直线平移至与曲线相切，切点即为所求点．设切点为，由，可得，解得，切点为，，，，即最小值为．故选B．11．设点P在内且为的外心，，如图，若，，的面积分别为，x，y，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，设外接圆半径为r，所以，解得，设，，则，，，故，当时，等号成立．故选B．12．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动．如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点，，，满足，，则该“鞠”的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得，均为等边三角形．如图所示，设球心为，的中心为，取的中点，连接，，，，，，则，，得平面，且可求得，而，所以．在平面中过点作的垂线，与的延长线交于点，由平面，得，故平面，过点作于点，则四边形是矩形，则，，，．设球的半径为，，则由，，得，，解得，，故三棱锥外接球的表面积，故选B．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某口罩生产工厂为了了解口罩的质量，现利用随机数表对生产的50只口罩进行抽样检测，先将50个零件进行编号为01，02，03，…，50，从中抽取10个样本，下图提供随机数表的第2行到第4行，若从表中第3行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本编号是__________．322118342978645407325242064438122343567735789056428442155331345786013625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345【答案】【解析】从表中第3行第4列开始向右读取数据，依次为所以得到的第5个样本编号是，故答案为．14．将函数的图象向右平行移动个单位长度得到函数的图象，若，则___________．【答案】【解析】将函数的图象向右平行移动个单位长度，得到函数的图象，因为，所以，则，故答案为．15．若x，y满足约束条件，则的最大值是_________．【答案】2【解析】由题意作出可行域，如图所示：由得点，所以，当时，，故答案为2．16．设为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为__________．【答案】【解析】由抛物线的方程可得焦点，由题意可知，显然直线存在斜率，设直线的方程为，设，，联立，整理可得，，由抛物线的性质可得，，所以，故答案为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设为等差数列的前项和．已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，解得，，所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，当时，，所以；当时，，所以，故．18．（12分）现代信息技术给我们的生活带来了革命性的变化，手机已成为人们生活中的必备品，但使用手机上网玩游戏已成为一个严重的社会问题，特别是在校学生过度玩手机，已严重影响了其身心和学业的发展，某校为了解学生使用手机的情况，随机调查了100名学生，对他们每天使用手机上网的时间进行了统计分析，得到如下的统计表：时间人数20252515105（1）以样本估计总体，在该校中任取一名学生，则该生使用手机上网时间不低于1小时的概率约是多少？（2）对样本中使用手机上网时间不低于小时的学生，采用分层抽样的方法抽取人，再在这人中随机抽取人，求抽取的人使用手机上网时间均低于小时的概率；（3）进一步的统计分析发现，在使用手机上网低于1小时的学生中，综合素质考核为“优”的有人，在使用手机上网不低于1小时的学生中，综合素质考核为“优”的有人，问：能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为综合素质考核为“优”与使用手机上网时间有关？附，，．01000500250010000500012706384150246635787910828【答案】（1）；（2）；（3）在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为综合素质考核为“优”与使用手机上网时间有关．【解析】（1）在样本中使用手机上网时间不低于1小时的频率为，以样本估计总体，在该校学生中取一人，其使用手机上网时间不低于1小时的概率约是．（2）用手机上网时间不低于小时的学生共30人，使用分层抽样，则上网时间在区间内的有3人，记；在区间内的有2人，记作A，B；在区间内的有1人，记作．从这6人中抽取2人，基本事件为，，，，，，，，，，，，，，共15个，其中抽取的人使用手机上网时间均低于小时的个，故所求的概率为．（3）统计结果列联表为低于1小时不低于1小时合计优252045非优203555合计4555100，所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为综合素质考核为“优”与使用手机上网时间有关．19．（12分）已知四边形是直角梯形，，，，，，分别为，的中点(如图1)，以为折痕把折起，使点到达点的位置且平面平面(如图2)．（1）求证：；（2）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：连接，因为，为的中点，所以，因为四边形是直角梯形，，所以是矩形，所以，又，，所以，所以四边形是正方形，是等腰直角三角形，又为的中点，所以，又，所以与都是等腰直角三角形，所以，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．（2）设的中点为，连接，因为平面平面，所以点到的距离，又，所以，由（1）可知，，所以，设点到平面的距离为，由等体积法可得，所以，解得，所以点到平面的距离为．20．（12分）已知椭圆，离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线上有一点P，且与x轴交于Q点，过Q的直线l交椭圆C于A，B两点，交直线于M点，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）只有当直线l与x轴重合时存在，此时．【解析】（1）由题意得，解得，，所以椭圆C方程为．（2）①当直线l的斜率为零时，根据椭圆的对称性，不妨设点，，则，设点，则，，有，所以；②当直线l的斜率不为零时，设直线l的方程为，，，，联立，可得，则，，故，易得，则，假设存在实数，则，即不是常数，无解，综上，只有当直线l与x轴重合时，．21．（12分）已知函数（其中为自然对数的底数），是函数的导函数．（1）求函数的单调区间；（2）设，如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）．【解析】（1），由，得，即；由，得，即，所以函数的递增区间为，递减区间为．（2）由，所以在上恒成立等价于恒成立，即，令，所以，由（1）的结论知在上为增函数，∴，．①当，即时，恒成立，所以在上为增函数，即，符合题意；②当时，即时，恒成立，所以在上为减函数，即，不符合题意；③当时，存在，使，当时，，即在上为减函数；当时，，即在上为增函数，所以，不合题意，综上：实数的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线与直线的普通方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，点，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由曲线的参数方程为，（为参数），消去曲线的参数方程中的参数，可得，所以曲线的普通方程为，由直线的极坐标方程为，化简得，因为，，代入可得直线的普通方程为．（2）将直线的普通方程化为参数方程为（为参数），代入曲线，整理可得