2023年高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布列6事件的相互独立性与条件概率练习含解析

事件的相互独立性与条件概率考试要求1..2会利用全概率公式计算概率．知识梳理1．概念：对任意两个事件A，如果A与事件B相互独立，简称为独立．性质：若事件AB相互独立，那么ABAAB也都相互独立．2．条件概率PAB(1)概念：一般地，设为两个随机事件，且我们称PAA发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．(2)两个公式

为在事件nABnA；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．3．全概率公式AAAAAA(A)>＝1,1 2 n 1 2 n in，则对任意的事件B)．i ii＝1常用结论事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．A发生的条件下事件BB发生的条件下事件A发生的概率．3．计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意两个事件，公式)都成立．(×)(2)若事件相互独立，则)．(√)122枚为正面”为事件若事件A与A是对立事件，则对任意的事件BΩ＝1 2 1 1P(A)P(B|A)．(√)2 2教材改编题1．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率( )A．1C．0答案

B．0.629D．0.740.85()的值是(解析由题意知甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，∴甲、乙两根保险丝都熔断的概率为0.85×0.74＝0.629.()的值是(2．若(|PA2．若(|

1PB

PAB ))＝，()＝，则9 3)＝，()＝，则1 111A.B.C.D.2739答案A解析由P(AB)＝P(A|B)P(B)，P

11 1

)＝×＝93273．已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车和客车中途停车修理的概率别为0.02,0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率( )1 1 1 1A. B.C.D.1006050答案B解析设B表示汽车中途停车修理，A1

表示公路上经过的汽车是货车，A2

表示公路上经过的汽车是客车，PA 2P

1PBA

PBA则()＝，()＝，(|)＝0.02，(|

)＝0.01，1 3 2 3 1 2)1 1 2 22 1 1＝×0.02＋×0.01＝3 3 60题型一条件概率1(1)某公司为方便员工停车，租了62能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A为“员工小王的车停在编号为奇的车位上”，事件B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则等( )1 310A.6 B.101 32C. D.25答案D解析根据条件概率的计算公式可得，33×PAB

PAB

653(|)＝PB

＝ ＝3 56(2)(多选)(2022·滨州模)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题(有3道选择题和2道填空)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的( )PA 3 3A．()＝5 10PBA 1 A)＝1C．(|)＝2 2答案ABCC1 3解析P(A)＝3＝，故A正确；PAB

C1 55C1C1 3()＝32＝，故BC1C1 10543PBA

PAB

101(|)＝PA

＝＝，故C正确；323P(A

5PA 32)＝1－

()＝1－＝，55AB

C1C1 3)＝23＝C1C)＝23＝5433P AB 103A)＝P A

＝＝，故D错误．2425教师备选对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测不放回地依次摸出2件在第次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率( )3252A.B.C.D.559答案D解析记A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由题意知，()＝＝，PA 4 2()＝＝，105

4 6 4×＝，10915×＝，

4152则 ＝()＝2＝.PA 35已知盒中装有3个红球2个白球5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )3 132A.B.C.D.1038答案B解析设A＝{甲第一次拿到白球}，B＝{甲第二次拿到红球}，A1A1

1 C1 1则23＝，

2＝，A2103PBA3

15 C1 510PAB 1

|)＝PA＝.思维升华求条件概率的常用方法PABPA.nABnA.缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解跟踪训练1(1)多选下列说法正确的( )PAB是可能的4C．0≤P(A|B)≤1答案BCD

D．P(A|A)＝1PAB解析由条件概率公式PB

知A当事件B包含事件A时，有PAB，故B故C，D(2)(2022·5名男医生(含一名主任医师)、4323333A.B.C.D.81011答案A解析设事件A表示“有一名主任医师被选派”，事件B则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为P(B|A)＝nAB C2C1 183＝ 43 ＝＝.nA C3C2－C3C2 48854 43题型二相互独立事件的概率2(1)(2021·61,2,3,4,5,61二次取出的球的数字是7”，则()C．答案BP

D．1 P 1 P解析事件甲发生的概率(甲)＝，事件乙发生的概率(乙)＝，事件丙发生的概率(丙)6 6＝，事件丁发生的概率(丁)＝ ＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，＝5 5 ＝，事件丁发生的概率(丁)＝ ＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，6×636 6×66丙)≠P(甲)P(丙)，故A甲丁故B正确事件乙与事件丙同时发生的概率为1 1

1＝1，P(甲丁)＝6×636P P P＝，(乙丙)≠6×636

(乙)

(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．(2)(5343球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A，AA表示由甲罐取出的球是红球，白1 2 35球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则列结论中正确的( )PB 2A．()＝5)＝51 11事件B与事件A1

相互独立D．A，A，A是两两互斥的事件1 2 3答案BD解析易知A，A

是两两互斥的事件，1 2PBA

35 5×1011 5)＝ 11 PA1

＝ ＝115105)＝×＋×＋×)＝×＋×＋×

5 5 2 4

3 4 9.1 2

10111011

101122延伸探究(多)若将乙罐中球的个数改为“乙罐中有3个红球个白球和3个黑球其他条件不变，则下列选项正确的( )310)＝41 11C．事件B与事件A1

相互独立D．A，A，A是两两互斥的事件1 2 3答案BD解析由题意A，A

是两两互斥的事件，PA 5

1 2 31PA 2 1 ()＝＝，()＝＝，1 102PA 3

2 105()＝，3 10P

1 4×211 4)＝ 11 PA1由此知，B

＝ ＝11121PBA 3 PBA 3(|)＝，(|)＝，2 11 3 111 2 36)＋1PAPBA

1 2 21 4 1 3

3 3 7()(|)＝×＋×＋×＝.由此知A，C3 3 211511101122教师备选1．(多选)若()＝，PAB1．(多选)若()＝，

1PA 2PB 1 A B )()＝，()＝，则事件与的关系错误的是(事件AB互斥()＝，()＝，则事件与的关系错误的是(事件AB对立

9 3 3事件AB相互独立事件AB答案ABD解析由题意可得P(A)＝1－P(A

1)＝，3P

1PB 1因为()＝，()＝，9 3所以P(AB)＝P(A)·P(B)，故事件AB相互独立．121立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为，31投中壶耳的概率为.四支箭投完，以得分多者赢．请问乙赢得这局比赛的概率( 513 3 8 8A.B.C.D.757515答案A解析由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：(1)第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入壶耳，其概率为

11 1P＝×＝；1 3515(2)第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口、壶耳均可，其概率为＝×＋＝，所以乙赢得这局比赛的概率为P11 8其概率为＝×＋＝，所以乙赢得这局比赛的概率为

＝＋PP＝＋

1 8 132 5375

1 2 157575＝＋＝＝＋＝相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．7当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．跟踪训练2安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得21分，答错得0分．在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为，乙队每人回答问题的31232343121解(13分”为事件1分”为事件3PA 222 8其概率

()＝××＝，33327甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余2人都回答错误，其概率PB 2

＋

2

2233 3 ()＝×33 3

×1－

××1－

＋1－

×1－

×＝.故甲队总得分为333 3 3933 3 39分与1分的概率分别为，.2793333(2)记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1分”为事件D.甲队得2分，即甲队三人中有2人回答正确，1人回答错误，3333333PC 22 333

2

2

224则()＝××1－

＋×1－

×＋1－

××＝，339乙队得1分，即乙队三人中只有1人回答正确，其余2人回答错误，339PD 1

2

3123则()＝×1－23

×1－

＋1－

××1－

＋1－2×1－

×＝.4234344由题意得事件C与事件D相互独立，4234344

PCD

PCPD

41121分的概率为(

)＝()

()＝×＝.949题型三全概率公式的应用3(10.05,0.15,0.30保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占5030%，A．0.155C．0.016答案B

B．0.175D．0.0968解析设事件B1

表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2

表示“被保险人是‘一般的’”，B表示“被保险人是‘冒失的’”，则)＝20%，P(B.设事件A3 1 2 3表示“被保险人在一年内发生事故”，则)＝0.05，P(A|B)＝0.15，P(A|B)＝0.30.1 2 33由全概率公式，得P(B)＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175.3i ii＝1(2)人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素比如利率的变化现假设人们经分析估计利率下调的概率为利率不变的概率为根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率．答案0.64解析记“利率下调”为事件A，“价格上涨”为事件A)＝40%，A)＝40%，AA)＝0.48＋0.16＝0.64.教师备选已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现色盲症，其为男子的概率(设男子和女子的人数相)( )10 2011A. B.112111 112C.21 D.12答案B解析设AP(A)＝0.5，P(B)＝0.5，

PAPPAPC|A＋PBPC|B0.05×0.5 20＝ ＝.0.5×0.05＋0.5×0.002521思维升华利用全概率公式的思路按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai求)和所求事件B在各个互斥事件A发生条件下的概率)；i i i i9代入全概率公式计算．跟踪训练3(1)某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为()A．0.625C．0.5答案A

B．0.75D．0解析用A表示事件“考生答对了”，用BB表示“考生不知道正确答案”，BB)＝0.25，B)BB)＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.(2)葫芦ft庄襟渤海之辽阔仰天角之雄奇勘葫芦之蕴涵显人文之魅力是渤海湾著名的人文景区，是葫芦岛市“葫芦文化与关东民俗文化”代表地和中小学综合实践教育基地．ft庄中葫芦品种分为亚腰、瓢、长柄锤、长筒、异型、花皮葫芦等系列．其中亚腰胡芦具有天然迷彩花纹，果实形状不固定，观赏性强，每株亚腰葫芦可结出果20～80个.2021年初葫芦ft庄播种用的一等亚腰葫芦种子中混有2%的二等种子的三等种子的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结50颗以上果实的概率分别为则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率．答案0.4825A，则Ω1 2 3 4＝A∪A∪A∪A，且A两两互斥，设B表示“从这批种子中任选一颗，所生长出1 2 3 4 1 2 3 4的葫芦秧结出50颗以上果实”，)1 1 2 2 3 3 4 4＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.4825.课时精练101 11．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其3 615互不影)( 4 1 45A.B.C.D.9905答案B111 1解析各项均合格的概率为××＝.36590开封模)某盏吊灯上并联着4个灯泡如果在某段时间内每个灯泡能正常照明概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率( )A．0.8192C．0.9744答案B

B．0.9728D．0.9984解析41所以至少有两个能正常照明的概率是1－0.0016－0.0256＝0.9728.已知B)＝1，则事件A与事件)互斥C．答案C解析依题意，

对立D．B则P(B|A)＝P(B)，PAB即PA

＝P(B)，于是得P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与事件B相互独立．4．某道数学试题含有两问，当第一问正确做答时，才能做第二问，为了解该题的难度，调了100名学生的做题情况做对第一问的学生有80人既做对第一问又做对第二问的学生有72人，以做对试题的频率近似作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率( )11A．0.72C．0.9答案C

B．0.8D．0.28072事件，则PB

PAB 0.72率(|

)＝PA

＝0.8＝0.9.5．(多下列各对事件中是相互独立事件的( )掷1枚质地均匀的骰子一次，事件出现的点数为奇数”，事件偶数”51次摸到红球”，事件B＝“第2次摸到红球”2枚相同的硬币，事件1枚为正面”，事件D．一枚硬币掷两次，事件第一次为正面”，事件第二次为反面”答案CD解析在ABCPM 1PN 1P

1PMN PM PN MN中，()＝，()＝，()＝，()＝()·()，因此，是相互独立事件；在D2 2 4中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此是相互独立事件．6．(多选)(2022·316%，2,31,2,325%,30%,45%，则下列选项正确的有()A．1B．任取一个零件是次品的概率为0.05252C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为72D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为7答案BC解析记AB为事件“任取一个零件为次i品”，)＝0.25，P(A)＝0.3，P(A)＝0.45，1 2 3A，即)＝0.25×0.06＝0.015，A1 1 1)1 1 2 2 3 312＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525，B正确；对于C，PAB

PA·PB|A

0.3×0.05(|)＝ 2 2 ＝2 PB 0.05252＝，C正确；7对于D，PAB

PA·PB|A

0.45×0.05(|)＝ 3 3 ＝3 PB 0.05253＝，D错误．7更UV2②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为，且各生产环节相互独立．则成3功生产出质量合格的发热膜的概率8答案27解析由题意，要成功生产出质量合格的发热膜，则制作石墨烯发热膜的三个环节都必须合格，∴成功生产出质量合格的发热膜的概率为P222 8＝××＝.33327某学校有两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天A餐厅那么第二天去A餐厅的概率为如果第一天去B餐厅那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的概率．答案0.7A＝“1A餐厅用餐”，1B＝“1天去B餐厅用餐”，1A＝“2天去A餐厅用餐”，2∪B，且A与B互斥，1 1 1 1根据题意得：)＝0.5，P(A|A)＝0.6，1 1 2 1|B)＝0.8，2 1由全概率公式，得13|A|B)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.2 1 2 1 1 2 1“西北狼联盟”学校为了让同学们树立自己的学习目标，特进行了“生涯规划”知识竞赛．已知甲、乙两队参赛，每队32 221零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回3 332答正确与否相互之间没有影响．0，2(2)21解(1)记“甲队总得分为0分”为事件A，“甲队总得分为2分”为事件B， 2 1327甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率()1－3＝；327甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，2 2 4339其概率()＝321－＝.3393233232181分”为事件21分”为事件，事件C21323323218PC

2

2

1 5 3则()＝1－3

××1－

＋×1－

×1－

＋1－3×1－

×＝，21同时发生，PD PBP

4 5 10则()＝(

)()＝×＝.91881两台车床加工同样的零件0.0求任意取出的零件是合格品的概率；如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．解设Ai表示“出现合i格品”．1 2 1 2)1 1 2 22 1＝×(1－0.03)＋×(1－0.02)≈0.973.3 3PAB(2)P(A22 PB＝PA1

PA2P1

P2＋PA2

P2141×0.023＝2 1

＝0.25.×0.03＋×0.023 3115名男生和2名女生中任选3的机会均等)，记APA 3 9A．()＝7 35PB 2 PBA 3C．()＝7

D．(|)＝5答案ABDC2 153解析由题意得P(A)＝6＝＝，故A正确；PAB

C37C1·C1＋1 9

357C()＝2 4C37

＝，故B正确；35PB C3 105()＝1－5＝1－＝，故C错误；PBA

C37PAB

3579353(|)＝PA

＝＝，故D正确．353712．(2022·张家口模某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为1 12，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为，假设该同学经过考核通过这三个社团选拔25成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率( 133 3A.B.C.D.254 答案D1解析由题意知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为，5则ab

1

b 1 a 1·1－＋a(1－)＋b(1－)＝，2 2 2 51ab 1 1所以(＋)－ab＝，2 2 515abab2所以＋－＝，5所以该同学一个社团都不进入的概率P a b

＝(1－)(1－)·1－21 ab ab＝[1－(21

＋)＋]ab ab＝{1－[(＋)－]}2251 25＝×1－3＝.10AB 1 A B )设两个相互独立事件，

都不发生的概率为，则与9

都发生的概率可能为(8252A.B.C.D.939答案D解析因为是相互独立事件，设A不发生的概率为不发生的概率为则xy1 xy＝，0<9

，≤1，xyx1

x1 2

x1 xy1xx

＋9

·9x＝，当且仅当

＝x，即

＝＝时，等号成立，所以3 33 3

xy xy4＝(1－

)(1－

)＝1－(＋)＋≤.9某病毒会造成“持续的人传人”，即存在A传又传又传D的传染现象，那么就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第代、第三代传播者感染的概率分别为0.9,0.8，0.7.已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者名第二代传播者名第三代传播者若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率．答案0.83解析设事件E＝“小明与第一代传播者接触”，事件F＝“小明与第二代传播者接触”，事件G＝“小明与第三代传播者接触”，事件D＝“小明被感染”，则P(E)＝0.5，P(F)＝0.3，P(G)＝0.2，P(D|E)＝0.9，P(D|F)＝0.8，P(D|G)＝0.7，16所以＝P(D|E)P(E＝0.9×0.5＋0.8×0.3＋0.7×0.2＝0.83.所以所求概率为0.83.15X1nn1X这X个整数中随机抽取的一个整数，( )n PX Y 1A．当

＝2

＝2，

＝1)＝4B．当7241C．当＝(≥2且N*＝＝＝2k 2－1D．当＝2(≥2且N

P(X＝2i，Y＝1)＝

22ki＝1答案ACD解析对于A，当PX Y

111(＝2，＝1)＝×＝，故A正确；224对于B，当n＝4时，∵X≥Y，则由X＋Y＝4可得X＝3，Y＝1或X＝2，Y＝2，PXY

PX Y

PX Y

1111 5，故B错误；∴(＋

＝4)＝(

＝3，

＝1)＋(

＝2，

＝2)＝×＋×＝434224对于，当＝(≥2且∈N)时，PXkY

111则(＝，

＝)＝