北师大版九年级数学上册第四章教学课件

第四章图形的相似4.1成比例线段4.1.1成比例线段及其比例的基本性质目录CONTENTS1

学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.认识形状相同的图形，结合实例能识别现实生活中形状相同的图形。2.了解线段比和成比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法。（重点）3.理解并掌握比例线段的性质。（重点、难点）学习目标新课导入情境导入在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图片。新课讲解

知识点1两条线段的比合作探究你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗？这些形状相同的图形有什么不同？新课讲解分析：

形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的。在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”，因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系.新课讲解新课讲解讨论结论如果a=10cm,b=0.2m,c=30mm,d=6cm,则下列比例式成立的是（）A.B.C.D.C1.两条线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n，或写成.其中线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项，如果把表示成比值k，那么＝k或AB＝k·CD，两条线段的比实际上就是两个数的比．新课讲解练一练新课讲解

知识点2成比例线段做一做如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB,AD,EF,EH的长度分别是多少？分别计算的值，你发现了什么？新课讲解分析：1.四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的比，

即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例

线段，简称比例线段．2.要点精析：(1)成比例线段是有顺序的，如果说a，b，c，d是成比

例线段，那么得到的比例式是其中a，d叫

做比例外项，b，c叫做比例内项．(2)特殊比例线段，如果b＝c，即a∶b＝b∶d，那么b

叫做a，d的比例中项．新课讲解例典例分析

下列各组不同长度的线段是成比例线段的是(

)A．3cm,6cm,7cm，9cm

B．2cm,5cm,0.6dm,8cmC．3cm,9cm,1.8dm,6cm

D．1cm,2cm,3cm,4cmC新课讲解分析：根据成比例线段的定义，对各选项进行一一分析．A.故不是成比例线段；B．0.6dm＝6cm，故不是成比例线段；C．1.8dm＝18cm，从小到大排序为3cm，6cm，9cm，18cm，故是成比例线段；D.故不是成比例线段．新课讲解结论(1)在判断是否成比例线段时，长度单位必须相同，若长度单位不同，应先统一单位再判断；(2)在判断是否成比例线段时，应首先将四条线段按长短顺序排列起来，若两条较短线段的长度的比等于两条较长的线段的比，则是成比例线段，否则不是．新课讲解知识点03比例的基本性质议一议如果a,b,c,d四个数成比例，即那么ad=bc吗？反过来，如果ad=bc，那么a,b,c,d四个数成比例吗？与同伴交流.新课讲解例典例分析

如图，一块矩形绸布的长AB=am，宽AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即那么a的值应当是多少？解：根据题意可知，AB=am，AE=am，AD=1m.由得即a2=1.∴a2=3.开平方，得a=(a=－

舍去).课堂小结两条线段的比：比例线段①长度单位统一；

②与单位无关，本身没有单位；③两条线段有顺序要求；①概念：项、比例内项、比例外项；②四条线段有顺序要求；比例线段比例的基本性质①代入法②参数法当堂小练1.下列四条线段能组成成比例线段的是()A.1,1,2,3B.1,2,3,4C.2,2,3,3D.2,3,4,52.如果线段a=2cm,b=10cm,那么a10的值为()A.15B.5C.2D.12CA当堂小练3.如图,在线段AB上有C,D两点,已知AB=7,AC=1,且线段CD是线段AC和BD的比例中项,求线段CD的长.解:∵AB=7,AC=1,∴BD=AB-AC-CD=6-CD.∵线段CD是线段AC和BD的比例中项,∴CD2=AC·BD,即CD2=1×(6-CD),解得CD=2或CD=-3(舍去).∴线段CD的长是2.D拓展与延伸5500第四章图形的相似4.1成比例线段4.1.2比例的其他性质目录CONTENTS1

学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.理解比例的其他性质.2.掌握等比性质、合比性质、分比性质.

（重点）学习目标新课导入知识回顾如图，(3)

如果(1)

已知(2)

如果那么,11同理,(2)(3)abcd

用“设k法”计算新比例新课讲解

知识点1等比性质合作探究用“设k法”，=k，新课讲解典例分析新课讲解练一练

若则k=________2或-1新课讲解

知识点2合比性质、分比性质特点:分母不变,分子加(或减)分母比例的合比性质(1)(2)可以合写成：课堂小结比例的其他性质等比性质合比性质、分比性质用“设k法”，=k，当堂小练1.若ab=53,则a-ba的值为()A.23B.25C.35D.-232.若xy=23,则下列式子一定成立的是()A.3x=2yB.x=32yC.2x=3yD.xy=6BA当堂小练3.已知x2=y3=z4.(1)求x+2y+3z2x-3y+5z的值;(2)若x-2y+4z=24,求x+y+z的值.解:设x2=y3=z4=k,∴x=2k,y=3k,z=4k.(1)x+2y+3z2x-3y+5z=2k+6k+12k4k-9k+20k=43.(2)∵x-2y+4z=24,∴2k-6k+16k=24,∴k=2.∴x+y+z=2k+3k+4k=9k=18.D拓展与延伸

已知三个数,请你再添上一个(只填一个)数,使它们能构成一个比例式,则这个数是_________________.第四章图形的相似4.2平行线分线段成比例目录CONTENTS1

学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并能够进行简单的计算和推理。（重点）2.能熟练运用平行线分线段成比例的基本事实及其推论计算线段的长度（重点）学习目标新课导入知识回顾推论2平行线等分线段定理的应用把线段n等分证明同一直线上的线段相等平行线等分线段定理新课导入情境导入你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3？ABC新课讲解

知识点1平行线分线段成比例的基本事实合作探究1.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一

组平行线所截，所得的对应线段成比例．数学表达式：如图，∵l3∥l4∥l5，∴可简记为：

∴新课讲解分析：(1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与

这组平行线上的线段无关；(3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离

相等．新课讲解例1

如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是(

)C新课讲解分析：平行线分线段成比例的基本事实除基本图形外，主要还有“A”型和“X”型两种类型的图形，图包含这三种图形，从每种图形中找出比例线段即可判断出错误的选项．∵AB∥CD∥EF，∴故选项A，B，D正确；∵CD∥EF，∴故选项C错误．新课讲解讨论结论如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为(

)A．4B．5C．6D．8C利用平行线分线段成比例的基本事实求线段长的方法：

先确定图中的平行线，由此联想到线段间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，构造出方程，解方程求出待求线段长．新课讲解练一练B

新课讲解

知识点2平行线分线段成比例的基本事实推论

平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.新课讲解例典例分析技巧1中间比代换法证比例式1．如图，已知在△ABC中，点D，E，分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB.(1)求证：

；新课讲解(2)若AD∶DB＝3∶5，求CF∶CB.解：∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8.∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8.∵EF∥AB，∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.新课讲解技巧2等积代换法证比例式2．如图，在△ABC中，D是AB上的一点，E是△ABC内一点，DE∥BC，过点D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P.求证：

新课讲解证明：∵DE∥BC，∴∴PD·PC＝PE·PB.∵DF∥AC，∴∴PD·PC＝PF·PA.∴PE·PB＝PF·PA.∴

新课讲解技巧3等比代换法证比例式3．如图，E为▱ABCD的边CD延长线上的一点，连接BE，交AC于O，交AD于F.求证：BO2＝OF·OE.新课讲解证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC.∴∴即BO2＝OF·OE.新课讲解技巧4平行法证比例式4．如图，已知B，C，E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形．其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F.求证：(1)△ACE≌△BCD；新课讲解证明：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠ACE＝∠BCD.∴△ACE≌△BCD(SAS)．新课讲解技巧5等比例过渡法证线段相等5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥BA交DE的延长线于点F.求证：DE＝EF.新课讲解证明：∵DE∥BC，∴

∵点D为AB的中点，∴AD＝DB，即

＝1.∵CF∥BA，∴∴DE＝EF.课堂小结平行线分线断成比例基本事实推论截得的对应线段成比例两条直线被一组平行线所截对应线段成比例平行于三角形一边的直线与其他两边相交所得的当堂小练1.如图,已知AB∥CD∥EF,BD∶DF=1∶2,那么下列结论正确的是()A.AC∶AE=1∶3B.CE∶EA=1∶3C.CD∶EF=1∶2D.AB∶CD=1∶2

2.如图,已知AB∥CD∥EF,它们依次交直线l1于点A,D,F,交直线l2于点B,C,E,如果AD∶DF=3∶1,BE=10,那么CE等于()A.103B.203C.52D.152AC当堂小练3.如图,AD是△ABC的中线,E是AD上一点,且AE∶ED=2∶3,CE的延长线交AB于点F,若AF=3cm,求AB的长.

解:如答图,过点D作DH∥CF交AB于点H,则FHHB=CDBD=1,AFFH=AEED=23,∴FH=HB,3FH=23,解得FH=4.5.∴AH=AF+FH=7.5,HB=FH=4.5,∴AB=AH+HB=12.故AB的长为12cm.D拓展与延伸如图，有一块形状为直角梯形的草地，周围均为水泥直道，两个拐角A、B处均为直角，草地中间另有一条水泥直道EF垂直于AB，垂足为E.已知AE长a米，EB长b米，DF长c米.求CF.第四章图形的相似4.3相似多边形目录CONTENTS1

学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.理解相似多边形和相似比的定义。2.会根据条件判断出两个多边形是否为相似多边形，会求两个相似多边形的相似比。（重点）3.掌握相似多边形的性质，根据此进行简单的（重点）学习目标新课导入情境导入我们在生活中，常会看到这样一些的图片观察下列各组图片，你发现了什么？你能得出什么结论？(1)(2)(3)(5)(4)(6)新课讲解

知识点1相似多边形的定义合作探究图中的两个多边形分别是计算机显示屏上的多边形ABCDEF和投射到银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1,它们的形状相同吗？（1）在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜测.（2）在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？新课讲解分析：判定相似多边形的条件：(1)所有的角分别相等；(2)所有的边成比例．以上的角分别相等，边成比例这两个条件是判定相似多边形必备的条件，缺一不可．新课讲解B

新课讲解讨论结论D

相似多边形的定义：

图中的六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的多边形，其中∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1,∠E与∠E1，∠F与∠F1分别相等，称为对应角；AB与A1B1，

BC与B1C1,CD与C1D1,DE与D1E1,EF与E1F1,FA与F1A1的比都相等，称为对应边.新课讲解

知识点2相似多边形的性质

相似多边形的性质：相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．

作用：常用来求相似多边形中未知的边的长度和角的度数．新课讲解例典例分析已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′，AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12，∠C＝60°.(1)求梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k的值；(2)求A′B′和BC的长；(3)求∠D′的大小．新课讲解分析(1)相似比就是对应边的比，根据图形可知AD与A′D′是对应边；(2)由相似多边形的性质可知对应边的比相等，都等于相似比．已知对应边中的一条边的长度就能求出另一条边的长度．(3)根据相似多边形的性质，可知对应角相等，要求∠D′的度数，可求其对应角∠D的度数．新课讲解解：(1)相似比k＝(2)∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，且由(1)知相似比k＝∴∵AB＝6，B′C′＝12，∴A′B′＝9，BC＝8.(3)由题意知，∠D′＝∠D.∵AD∥BC，∠C＝60°，∴∠D＝180°－∠C＝120°.∴∠D′＝120°.新课讲解知识点03相似比相似多边形的概念：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形（Similarpolygons）.例如，在上图中六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1，“∽”读作“相似于”．相似比的概念：相似多边形对应边的比叫做相似比（Similarityratio）.新课讲解1.要点精析：

(1)相似比的值与两个多边形的前后顺序有关；(2)相似比为1的两个相似多边形为全等多边形．2.想一想

(1)任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正n边形呢？(2)任意两个菱形相似吗？新课讲解3.做一做一块长3m、宽1.5m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？课堂小结相似多边形各边成比例各角分别相等定义既是判定方法又是性质定义性质相似比相似多边形对应边的比当堂小练1.若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似,AB与A′B′,AD与A′D′分别是对应边,AB=8cm,A′B′=6cm,AD=5cm,则A′D′等于()A.152cmB.154cmC.203cmD.485cm2.如图,在长为8cm,宽为6cm的矩形中,截去一个矩形(图中阴影部分),如果剩下的矩形与原矩形相似,那么剩下的矩形的面积是()A.28cm2B.27cm2C.21cm2D.20cm2BB当堂小练3.如图,四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似,求边x,y的长度和α的大小.

解:∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似,∴x8=y11=96,∠C=α,∠D=∠D′=140°.∴x=12,y=332,α=∠C=360°-∠A-∠B-∠D=360°-62°-75°-140°=83°.D拓展与延伸D拓展与延伸第四章图形的相似4.４探索三角形相似的条件4.４.1用角的关系判定两三角形相似目录CONTENTS1

学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.理解相似三角形的定义.2.掌握用角的关系判定两三角形相似定理.（重点）学习目标新课导入复习提问相似多边形的定义是什么？

新课导入观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°,或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？

一定相似新课讲解

知识点1相似三角形的定义合作探究1.相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．数学表达式：如图，在△ABC和△A′B′C′中，

⇔△ABC∽△A′B′C′.新课讲解分析：

(1)判定两个三角形相似的必备条件：三角分别相等，

三边成比例；(2)两个三角形相似又为解题提供了条件；(3)相似三角形具有传递性，即若

△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″；(4)相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形．新课讲解3．易错警示：(1)表示两个三角形相似时，要注意对应性，即要把对应顶点写在对应位置上．(2)求两个相似三角形的相似比，要注意顺序性．若当△ABC∽△A′B′C′时，则当△A′B′C′∽△ABC时，

新课讲解练一练1.下列说法中错误的是(

)A．两个全等三角形一定相似B．两个直角三角形一定相似C．两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D．相似的两个三角形不一定全等2.如图，△ABC与△ADE相似，且∠ADE＝∠B，则下列比例式中正确的是(

)BD新课讲解

知识点2用角的关系判定两个三角形的相似定理

如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？如果有两个角分别相等呢？与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A′B′C′,使得∠A和∠A′都等于∠α，∠B和∠B′都等于∠β，此时∠C与∠C′相等吗？三边的比相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试.想一想做一做新课讲解例典例分析

如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC,AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.

解：∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）.新课讲解归纳1.相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似．数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，∠B

＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.2.常见的相似三角形类型：(1)平行线型：如图①，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.(2)相交线型：如图②，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC.(3)“子母”型：如图③，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC.(4)“K”型：如图④，若∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，则△ACB∽△DEC，整体像一个横放的字母K，可以称为“K”型相似．新课讲解练一练如图所示的三个三角形中，相似的是(

)A．(1)和(2)B．(2)和(3)C．(1)和(3)D．(1)和(2)和(3)A新课讲解练一练如图，点P是四边形ABCD边AB上一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有(

)A．0对B．1对C．2对D．3对D课堂小结相似三角形三边分别成比例三角分别相等两角分别相等的两个三角形相似．定义用叫判定两个三角形相似当堂小练1.下列条件一定能判定两个等腰三角形相似的是()A.都含有一个40°的内角B.都含有一个50°的内角C.都含有一个60°的内角D.都含有一个70°的内角2.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,∠ACD=∠B,那么下列结论不正确的是()A.△ADE∽△ABCB.△CDE∽△BCDC.△ADE∽△ACDD.△ADE∽△DBCCD当堂小练3.如图,在△ABC中,CF⊥AB于点F,ED⊥AB于点D,∠1=∠2,求证:△AFG∽△ABC.证明:∵CF⊥AB,ED⊥AB,∴∠EDB=∠CFA=90°,∴∠1+∠B=∠2+∠AFG=90°.又∵∠1=∠2,∴∠AFG=∠B.又∵∠FAG=∠BAC,∴△AFG∽△ABC.D拓展与延伸拓展与延伸第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件4.4.2用边角关系判定两三角形相似目录CONTENTS1

学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.用边角关系判定两三角形相似定理2.用边角关系判定两三角形相似的应用

（重点）学习目标新课导入两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？与同伴交流.小明认为，两边成比例的两个三角形不一定相似.如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？我们先来考虑增加一角相等的情况.相等的角可以是其中一边的对角，也可以是两边的夹角.新课讲解

知识点1用边角关系判定两三角形相似定理合作探究画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，都等于给定的值k.设法比较。∠B与∠B′(或∠C与∠C′)的大小.△ABC和△A′B′C′相似吗？改变k值的大小，再试一试.新课讲解分析：1.相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的

两个三角形相似．数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，且∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.2.易错警示：运用该定理证明相似时，一定要注意边角

的关系，角一定是两组对应边的夹角．类似于判定三

角形全等的SAS方法．新课讲解想一想

如果△ABC与△A′B′C′两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？小明和小颖分别画出了如图所示的三角形.由此你能得到什么结论？新课讲解例典例分析

如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，AE=1.5，AC=2,BC=3，且求DE的长.新课讲解解：∵AE=1.5，AC=2.

又∵∠EAD=∠CAB,∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).

∵BC=3，∴DE=新课讲解

知识点2用边角关系判定两三角形形似的应用如图，在△ABC中，AB＝16，AC＝8，在AC上取一点D，使AD＝3，如果在AB上取点E，使△ADE和△ABC相似，求AE的长．错解：设AE的长为x.∠DAE与∠BAC是公共角，要使△ADE

和△ABC相似，则有，即.

解得x＝6.所以AE的长为6.新课讲解错解分析：已知有一对角相等，要使这两个三角形相似，夹这个角的两边的比必须相等．但两边的对应关系无法确定，所以应分两种情况考虑．设AE的长为x.∠DAE与∠BAC是公共角，要使△ADE和△ABC相似，则有或者，即或者.解得x＝6或x＝1.5.所以AE的长为6或1.5.正解：新课讲解练一练如图，已知，AD＝3cm，AC＝6cm，BC＝8cm，则DE的长为________cm.4新课讲解练一练如图，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，

如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为_______________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(不包括全等)．(-1,0)或(1，0)课堂小结用边角关系判定两三角形相似1．“相似于(∽)”和“谁和谁相似”的区别：虽

然它们都表示两个图形相似，但前者对应关系

固定，后者对应关系不固定．2．如果已知两个三角形相似，当边的对应关系不

明确时，从对应角入手，相等的角或公共角为

对应角，则夹对应角的两边成比例，根据对

应分两种情况讨论．当堂小练C

D拓展与延伸

如图，在平面直角坐标系中，A(0，6)，B(8，0)．动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为ts.(1)求直线AB对应的函数表达式；D拓展与延伸【点拨】设直线AB对应的函数表达式为y＝kx＋b，用待定系数法求出k，b的值即可；第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件4.4.3用三边关系判定两三角形相似目录CONTENTS1

学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.用三边关系判定两三角形相似定理．2.网格中相似三角形的判定．（重点）学习目标新课导入复习提问上几节课我们学习了哪些三角形相似的判定方法？新课讲解

知识点1一元二次方程的定义合作探究如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？画△ABC与△A′B′C′，使都等于给定的值k.设法比较∠A与∠A′的大小.△ABC和△A′B′C′相似吗？说说你的理由.改变k值的大小，再试一试.新课讲解1.相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似．数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，∴△ABC∽△A′B′C′.2.要点精析：由三边成比例判定两个三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边对应成比例即可．新课讲解例典例分析

如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.解：

∴△ABC∽△ADE（三边成比例的两个三角形相似）.∴∠BAC=∠DAE.∴∠BAC—∠DAC=∠DAE—∠DAC

，即∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.新课讲解结论利用三角形三边成比例判定两个三角形相似的方法：

首先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大边的比，最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似．特别地，若三个比相等且等于1，则两个三角形全等．新课讲解练一练1若△ABC和△A′B′C′满足下列条件，其中使△ABC与△A′B′C′相似的是(

)A．AB＝2.5cm，BC＝2cm，AC＝3cm；A′B′＝3cm，

B′C′＝4cm，A′C′＝6cmB．AB＝2cm，BC＝3cm，AC＝4cm；A′B′＝3cm，B′C′＝6cm，A′C′＝cmC．AB＝10cm，BC＝AC＝8cm；A′B′＝cm，B′C′＝

A′C′＝cmD．AB＝1cm，BC＝cm，AC＝3cm；A′B′＝cm，B′C′＝2cm，A′C′＝cmB新课讲解

知识点2网格中相似三角形的判定议一议如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？新课讲解例典例分析

如图，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举．导引：此题是探索性问题，由相似三角形的判定方法可知△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使这两个三角形相似，只要根据相似三角形的判定方法寻找条件即可．

新课讲解

解：如图.当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC.条件1：∠1＝∠B；条件2：∠2＝∠ACB；条件3：即AC2＝AD·AB.

课堂小结用三边关系判定两三角形相似1．判定两个三角形相似的思路：(1)平行于三角形一边的直线，找两个三角形；(2)已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边成比例；(3)已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边成比例；(4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应成比例．(5)已知直角三角形，找一组锐角相等，或两组直角边对应成比例，或斜边、一组直角边对应成比例．当堂小练1.如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE与BC不平行.下列条件能判定△ADE与△ACB相似的是()A.ADAC=AEABB.ADAE=ABACC.DEBC=AEABD.DEBC=ADACA当堂小练2.如图,AF⊥BC,CE⊥AB,垂足分别是F,E,连接EF.试证明:(1)△BAF∽△BCE;(2)△BEF∽△BCA.

证明:(1)∵AF⊥BC,CE⊥AB,∴∠AFB=∠CEB=90°.∵∠B=∠B,∴△BAF∽△BCE.(2)由(1)知△BAF∽△BCE,∴BFBE=BABC,∴BFBA=BEBC.∵∠B=∠B,∴△BEF∽△BCA.D拓展与延伸D拓展与延伸第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件4.4.4黄金分割目录CONTENTS1

学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.理解黄金分割的概念及黄金比.2.能作出线段的黄金分割点.并会求满足黄金分割的线段的长，体会黄金分割的美

（重点）学习目标新课导入复习提问上几节课我们学习了哪些三角形相似的判定方法？新课导入情境导入新课导入新课讲解

知识点1黄金分割的定义合作探究一个五角星如图所示.(1)从图中找出相等的角、相等的线段.(2)在图中找出两对相似比不同的相似三角形.小亮认为，你同意他的看法吗？说说你的理由.新课讲解黄金分割的定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图)，如果那么称线段AB被点C黄金分

割，点C叫做线段AB的黄金分割点，

AC与AB的比叫做黄金比.新课讲解分析：

计算黄金比.解：由得AC2=AB·BC.设AB=1，AC=x，则BC=1-x.∴x2=1×(1-x).即x2+x-1=0.解这个方程，得

x1=x2=(不合题意，舍去).所以，黄金比新课讲解结论(1)应用黄金分割比时，如果精确计算就要使用如果要求精确到小数点后某位，那么注意在结果的

最后再代入估计值0.618，这样能够最大限度地保证

结果的精确度．(2)易错警示：一条线段有两个黄金分割点，在实际问

题中应明确哪条是较长线段，哪条是较短线段．新课讲解练一练已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是(

)A．如果，那么线段AB被点C黄金分割B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比

叫做黄金比D．0.618是黄金比的近似值C新课讲解

知识点2黄金分割的应用想一想如图是古希腊时期的巴台农神庙（ParthenomTemple),如果把图中用虚线表示的矩形画成图中的ABCD,以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD,那么我们可以惊奇地发现，点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？新课讲解例典例分析

美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士的身高为160cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为(

)A．6cmB．10cmC．4cmD．8cmD新课讲解归纳黄金分割：(1)一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.(2)应用黄金分割比时，如果精确计算就要使用如果要求精确到小数点后某位，那么注意在结果的最后再代入估计值0.618，这样能够最大限度地保证结果的精确度．课堂小结黄金分割点C在线段AB上线段AB被点C黄金分割当堂小练1.下列说法正确的是()A.每条线段有且仅有一个黄金分割点B.黄金分割点分一条线段为两条线段,其中较长的线段约是这条线段的0.618C.若点C把线段AB黄金分割,则AC2=AB·BCD.以上说法都不对2.如图,点C是线段AB的黄金分割点,则下列各式正确的是()A.ACBC=ABACB.BCAB=ACBCC.ACAB=ABBCD.BCAB=ACABBB当堂小练3.要设计一座高2m的雕像(如图),使雕像的上半部分AC(肚脐以上)与下半部分BC(肚脐以下)的高度比等于下半部分与全高AB的比,即点C(肚脐)就叫作AB的黄金分割点,试求出该雕像下半部分设计的高度.(结果精确到0.001m)

解:设该雕像下半部分设计的高度为xm,那么雕像上半部分的高度为(2-x)m.依题意,得2-xx=x2.解得x1=-1+5≈1.236,x2=-1-5(不合意题,舍去).经检验,x=-1+5是原方程的根.答:该雕像下半部分设计的高度约为1.236m.D拓展与延伸第四章图形的相似4.7相似三角形的性质目录CONTENTS1

学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.理解并掌握相似三角形的性质，并能运用这个性质解决简单的问题.2.类比相似三角形的周长与面积比，猜想相似多边形的周长与面积比，体验类比思想．（重点）学习目标新课导入

如图，小王依据图纸上的△ABC,以1︰2的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱.（1）△ACD和△A′

C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.（2）如果CD=1.5m,那么模型房的房梁立柱有多高？新课讲解

知识点1相似三角形对应线段的比想一想

已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k,它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论.新课讲解例典例分析

如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当SR=BC时，求DE的长.如果SR=BC呢？新课讲解分析：解：∵SR⊥AD，BC⊥AD,∴SR∥BC.∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.∴△ASR∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似）.(相似三角形对应高的比等于相似比），当SR=BC时，得解得DE=h.当SR=BC时，得解得DE=h.新课讲解

如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D,E在BC边上，点D′,E′在B′C′边上.(1)若∠BAD=∠BAC,∠B′A′D′=∠B′A′C′,则等于多少？（2）若BE=BC,B′E′=B′C′,则等于多少?（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流.讨论新课讲解结论1.性质定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．即：相似三角形对应线段的比等于相似比．2.要点精析：对应高、对应角平分线与对应中线是指相似三角形对应边上的高、对应内角的平分线与对应边上的中线．新课讲解练一练12

已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4∶1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为________．如图，若△ADE∽△ACB，且,DE＝10，则BC＝________．4∶115新课讲解

知识点2相似三角形周长的比下面是小明同学提供的作法：如图，由已知，得性质定理：相似三角形的周长比等于相似比．新课讲解例典例分析如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为(

)A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5A新课讲解知识点03相似三角形面积的比练一练1．性质定理：相似三角形的面积比等于相似比的平方；反之，相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根．2．易错警示：在利用相似三角形的性质解决问题时，常出现面积比等于相似比或由面积比求相似比时不进行开方，反而平方的错误．为了避免这些错误，在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意结合图形，搞清面积比与相似比的关系．新课讲解例典例分析解：根据题意，可知EG∥AB.

∴∠GEC=∠B，∠EGC=∠A.∴△GEC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形

相似）.

如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，

求△ABC平移的距离.新课讲解（相似三角形的面积

比等于相似比的平方），∴EC2=2.∴EC=∴BE=BC－EC=2－即△ABC平移的距离为2－课堂小结相似三角形的性质对应角平分线的比对应中线的比对应高的比相关线段周长比等于相似比周长面积等于相似比面积比等于相比的平方相似多边形也有此性质当堂小练1.如果△ABC∽△DEF,且相似比为2∶3,则它们对应边上的高之比为()A.2∶3B.4∶9C.3∶5D.9∶42.若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则这两个三角形对应角平分线的比为()A.2∶3B.3∶2C.4∶9D.9∶4AB当堂小练3.如图,△ABC∽△A′B′C′,AD,A′D′分别是它们的中线,求证:AD∶A′D′=AB∶A′B′.

证明:∵AD,A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线,∴BD=12BC,B′D′=12B′C′.∵△ABC∽△A′B′C′,∴∠B=∠B′,ABA′B′=BCB′C′=2BD2B′D′=BDB′D′,∴△ABD∽△A′B′D′,∴AD∶A′D′=AB∶A′B′.D拓展与延伸D拓展与延伸第四章图形的相似4.8图形的位似4.8.1位似图形及其性质目录CONTENTS1

学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.理解位似图形、位似中心的定义及相关性质.2.了解位似与相似的区别于联系，能熟练的利用图形的位似将一个图形放大或缩小.

（重点）学习目标新课导入相似图形这种相似有什么特征？新课导入情境导入如图是一幅宣传海报，它由一组形状相同的图片组成.在图片①和图片②上任取一组对应点A，A′，可以发现：直线AA′都经过镜头中心点O，且都等于一个固定值.请你实际试一试.新课导入思考在幻灯机放映图片的过程中，这些图片有什么关系？2.幻灯机在哪儿呢？3.我们能给这种有特殊位置的相似图形一个名称吗？新课讲解

知识点1图形的位似定义合作探究如图是两个相似五边形，设直线AA′与BB′相交于点O，那么直线CC′，DD′，EE′是否也都经过点O？新课讲解1.位似多边形的定义：

一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的

直线都经过同一个点O，且有OP′＝k·OP(k≠0)，那么这样的

两个多边形叫做位似多边形．点O叫做位似中心．k就是这两

个相似多边形的相似比．要点精析：(1)位似图形必须同时满足：①两个图形是相似图

形；②两个相似图形的每组对应点的连线都经过同一点．二

者缺一不可．新课讲解(2)位似中心可能在两个位似图形的一侧，也可能在两个位似图形之间．(3)常见的位似构成如图所示：新课讲解结论2．位似与相似的关系：

(1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应顶点的连线相交于一点．(2)如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此位似是相似的特殊情况．新课讲解例典例分析

判断如图所示的各图中的两个图形是否是位似图形，如

果是，请指出其位似中心．解：①是位似图形，位似中心为点A；②是位似图形，位似

中心为点P；③不是位似图形；④是位似图形，位似中

心为点O；⑤不是位似图形．新课讲解练一练12图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(

)A．点MB．点NC．点OD．点P

如图，在下列四种图形变换中，该图案不包括的变换是(

)A．平移B．轴对称

C．旋转D．位似DA新课讲解

知识点2位似图形的性质1.位似图形对应顶点的连线必过位似中心．2.位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于

相似比．3.位似图形的对应线段平行(或在一条直线上)，且对

应线段之比相等．4.两个图形位似，则两个图形必相似，其周长比等于相

似比，面积比等于相似比的平方．注：利用位似图形的性质可将图形放大或缩小．新课讲解例典例分析△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是(

)

A.3B.6C.9D.12导引：

∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1∶4.∵△ABC的面积是3，∴△A′B′C′的面积是12.D新课讲解知识点03位似图形的画法1.画位似图形的步骤：第一步：确定位似中心O(位似中心可以在图形外部，也

可以在图形内部，还可以在图形的边上，还可以在某一

个顶点上)；第二步；画出图形各顶点与位似中心O的连线；第三步：按相似比取点；第四步：顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形．新课讲解例典例分析

如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2.新课讲解解：如图，画射线OA，OB，OC；

在射线OA，OB，OC上分别取点D，E，F，使OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC；

顺次连接D，E，F，则△DEF与△ABC位似，相似比为２．满足条件的△DEF可以在点Ｏ的另一侧吗？课堂小结图形的位似2、作图形各定点与位似中心的连线和延长线3、取点并连线1、确定位似中心位两个相似多边形任意一组对应点所在的直线都经过同一个点画法定义当堂小练1.如图,点O是等边三角形PQR的中心,P′,Q′,R′分别是边OP,OQ,OR的中点,则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形,此时△P′Q′R′与△PQR的位似比,位似中心分别是()

A.2,点PB.12,点OC.2,点OD.12,点PB当堂小练2.在如图的网格中(每个小正方形的边长均为1),△O1A1B1与△OAB是以点P为位似中心的位似图形.(1)在图中标出位似中心P的位置,并写出点P的坐标,△O1A1B1与△OAB的位似比.(2)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出△OAB的另一个位似三角形OA2B2,使它与△OAB的位似比为2∶1,并写出点B的对应点B2的坐标.解:(1)点P的位置如答图,点P的坐标为(-5,-1).PA1∶PA=6∶3=2∶1,所以△O1A1B1与△OAB的位似比为2∶1.(2)△OA2B2如答图,点B2的坐标为(2,6).D拓展与延伸第四章图形的相似4.8图形的位似4.8.2平面直角坐标系中的位似变换目录CONTENTS1

学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.掌握位似图形的坐标变换规律，会利用这个规律求某些特殊点的坐标．2.能够利用图形的位似解决一些简单的实际问题，增强数学的应用意识．（重点）学习目标新课导入

如图所示的是幻灯机的工作情况，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm．幻灯片到屏幕的距离是1.5m，幻灯中的小树的高度是10cm，请你利用相似三角形的知识，算出屏幕上小树的高度?事实上，幻灯机工作的实质是将图片中的图形放大．本节知识将对上述问题作系统的讲解．新课讲解

知识点1平面直角坐标系中的位置变换合作探究如图(1)，在直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0).以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化，