第七章-混凝土的强度裂缝及刚度理论课件

高等桥梁结构理论第七章混凝土的强度、裂缝及刚度理论§7.1.2混凝土破坏准则高等桥梁结构理论第七章混凝土的§7.1.2混凝§7.1.2混凝土破坏准则1、混凝土破坏形态对所有混凝土多轴试验的试件进行分析，可归纳为5种典型破坏形态：

拉断

发生这类破坏的应力状态，除了单轴、双轴和三轴受拉（T，T/T，T/T/T），还有主拉应力较大（）的双轴和三轴拉∕压（T/C，T/C/C，T/T/C）等。

柱状压坏

发生这类破坏的应力状态有单轴受压，以及应力和值不大的双轴和三轴受压或拉∕压（C/C，T/C，T/C/C和T/T/C）等。§7.1.2混凝土破坏准则1、混凝土破坏形态对所有混凝§7.1.2混凝土破坏准则1、混凝土破坏形态对所有混凝土多轴试验的试件进行分析，可归纳为5种典型破坏形态：

片状劈裂

发生这类破坏的应力状态是主压应力和值较大的双轴（C/C）、三轴受压和拉∕压（C/C/C，T/C/C）等。

斜剪破坏

只发生在三轴受压（C/C/C）应力状态，且

挤压流动只发生在三轴受压应力状态（C/C/C），且和值较大。§7.1.2混凝土破坏准则1、混凝土破坏形态对所有混凝§7.1.2混凝土破坏准则1、混凝土破坏形态混凝土的5种典型的破坏形态，主要是从试件破坏后的表面宏观现象加以区分和命定的。如果从混凝土受力破坏的机理和本质出发，即考虑引起破坏的主要应力成份、破坏的过程和特点、变形的发展规律，以及裂缝的物理特征等因素，则可以将混凝土的破坏归结为两种基本的破坏形态，即单轴受拉和单轴受压：§7.1.2混凝土破坏准则1、混凝土破坏形态混凝土的§7.1.2混凝土破坏准则1、混凝土破坏形态

主拉应力作用

产生横向拉断裂缝和破坏，即拉断破坏。

主压应力作用

引起纵向劈裂裂缝和破坏，包括柱状破坏和片状劈裂。斜剪破坏和挤压流动属此特例，侧向压应力、将劈裂裂缝压实，不明显表露。§7.1.2混凝土破坏准则1、混凝土破坏形态主拉应§7.1.2混凝土破坏准则2、混凝土破坏包络面的特点与表达在以主应力为轴的主应力空间中，取拉应力为正，压应力为负，将实验中获得的混凝土多轴强度数据（）标在其中，相邻各点以光滑曲面相连，就可得到一个混凝土的破坏包络面：§7.1.2混凝土破坏准则2、混凝土破坏包络面的特点与§7.1.2混凝土破坏准则在破坏包络面上可找到一些反映特殊应力状态的点。混凝土单轴抗压、抗拉强度和各有3个点，分别位于各主轴上；混凝土双轴等压、等拉强度（）和（）位于坐标平面内的两个坐标轴的等分线上，同样在3个坐标平面内各有一点；混凝土三轴等拉强度（）只有一点，落在静水压力轴的正方向上。2、混凝土破坏包络面的特点与表达§7.1.2混凝土破坏准则在破坏包络面上§7.1.2混凝土破坏准则破坏包络面与坐标平面的交线，即为混凝土的双轴强度包络线。偏平面与破坏包络面的交线为偏平面包络线；不同静水压力下的偏平面包络线构成一族封闭曲线：2、混凝土破坏包络面的特点与表达§7.1.2混凝土破坏准则破坏包络面与坐§7.1.2混凝土破坏准则静水压力轴和个主应力轴（如轴）组成的平面称为拉压子午面，其与破坏包络面的交线定义为拉、压子午线。破坏包络面的三维立体图既不易绘制，更不便于分析和应用，一般改为用偏平面包络线和拉、压子午线来表示。2、混凝土破坏包络面的特点与表达§7.1.2混凝土破坏准则静水压力轴和个主应力轴（如§7.1.2混凝土破坏准则如果将图形坐标原点逆时针方向旋转，得到静水压力轴为横坐标，偏应力

为纵坐标的拉、压子午线。于是，空间破坏曲面改为由子午面和偏平面上的包络线表示。破坏面上的任一点的坐标改为（）3个参数（圆柱坐标系）表示。2、混凝土破坏包络面的特点与表达§7.1.2混凝土破坏准则如果将图形坐标原点逆时针方§7.1.2混凝土破坏准则2、混凝土破坏包络面的特点与表达平面

§7.1.2混凝土破坏准则2、混凝土破坏包络面的特点与§7.1.2混凝土破坏准则混凝土的破坏准则是在实验的基础上，考虑混凝土的特点而建立起来的。为了便于对混凝土强度理论的理解，先对古典强度理论作一回顾。

古典强度理论是根据一些材料的强度试验和理论研究成果而提出来的。它们的特点是：对于材料的破坏原因有明确的理论（物理）观点；对一些特定的材料，如金属、岩土等有试验验证；破坏包络面的几何形状简单、规则；计算式简明，只包含一或两个参数，易于标定等。这些古典强度理论应用于实际工程中，在其适用的材料强度分析时取得了较好的效果。3、古典强度理论简介§7.1.2混凝土破坏准则混凝土的破坏准则是在§7.1.2混凝土破坏准则当材料承受的任一方向主拉应力达到一极限值时发生破坏。其表达式为：这一理论的破坏面为在主应力坐标的正方向，与坐标面平行且相距的3个互相垂直的平面，组成以静水压力轴为中心的正直角锥。

适用于混凝土的单轴、双轴和三轴受拉（T，T/T，T/T/T）应力状态，但不能解释双轴和三轴压/拉（T/C，T/C/C，T/T/C）应力状态的强度降低，及多轴受压（C/C，C/C/C）应力状态的破坏。3、古典强度理论——最大拉应力理论（Rankine，1876）§7.1.2混凝土破坏准则当材料承受的任一方向主拉§7.1.2混凝土破坏准则当材料某主方向的最大拉应变达到一极限值时发生破坏。表达式为：3、古典强度理论——最大拉应变理论（Mariotto，1682）或

破坏面为以静水压力轴为中心的角锥。这一理论可适用于混凝土双轴和三轴拉/压（T/C，T/C/C，T/T/C）的部分应力状态。但是在多轴受拉（T/T，T/T/T）应力状态，就导出强度提高的错误结论。§7.1.2混凝土破坏准则当材料某主方向的最大拉§7.1.2混凝土破坏准则当材料承受的最大剪应力达到一极限值时发生屈服，其表达式为：3、古典强度理论——最大剪应力理论（Tresca，1864）

破坏面是以静水压力轴为中心的正六角棱柱面，表面不连续、不光滑。这一理论适用于塑性材料，如软钢。但是，按此理论计算的结果得：单轴抗拉和抗压的强度相等，双轴抗压（C/C）强度与单轴抗压强度相等，三轴抗压（C/C/C）强度与无关等，都与混凝土多轴强度的试验规律大相径庭。§7.1.2混凝土破坏准则当材料承受的最大剪应力§7.1.2混凝土破坏准则当材料的统计平均剪应力或八面体剪应力达到一极限值时发生屈服，其表达式为：3、古典强度理论——统计平均剪应力理论（VonMises，1913）这一破坏面是以静水压力轴为中心的圆柱面。它最适合于软钢类塑性材料，在塑性力学中应用最广。§7.1.2混凝土破坏准则当材料的统计平均剪应力§7.1.2混凝土破坏准则材料的破坏不仅取决于最大剪应力，还受剪切面上正应力的影响，其表达式为：3、古典强度理论——Mohr-Coulomb理论（1900）这一破坏面是以静水压力轴为中心的六角锥面，但拉、压子午线有不同的斜角。因而可以反映材料的抗拉强度和抗压强度不相等的情况，是对最大剪应力理论的重要改善，适用于脆性材料，如岩石、土壤等。

破坏锥面与混凝土的破坏曲面差别很大。此理论也不考虑第二主应力的影响，故与最大剪应力理论同样得出双轴抗压强度与单轴抗压强度相等，三轴抗压强度与无关等错误结论。§7.1.2混凝土破坏准则材料的破坏不仅取决于最§7.1.2混凝土破坏准则3、古典强度理论——Drucker-Prager理论（1952）这是前述两个理论的改进和综合：将VonMises圆柱面的平行子午线改为随变化的斜直子午线；将Mohr-Coulomb在偏平面上的六角形改为连续光滑的圆形，得到以静水压力轴为中心的正圆锥形破坏包络面。

破坏面外凸、连续、光滑和计算简单是本理论的优点。但是，直线子午线、圆形偏平面包络线等仍与混凝土破坏包络面有很大差别。§7.1.2混凝土破坏准则3、古典强度理论——Druc§7.1.2混凝土破坏准则古典强度理论的计算式中只包含一个或两个参数，破坏曲面的形状都太简单，与复杂的混凝土包络面相差很大，不可能反映其主要几何特点。故从整体上估计，古典强度理论不适用于混凝土，只是在很小的局部应力范围内经过修正，才可勉强应用。3、古典强度理论

§7.1.2混凝土破坏准则古典强度理论的计算式中只包§7.1.2混凝土破坏准则随着混凝土多轴试验研究工作的开展和试验数据的积累，混凝土包络曲面的形状越显清楚，为建立经验回归公式和数学模型创造了条件。一些拟合混凝土破坏包络面较好的、具有代表性的准则如下：（1）Willam-Warnke五参数准则（1975年）（2）Ottoson四参数准则（1977年）（3）Kotsovos五参数准则（1979年）（4）Podgorski五参数准则（1985年）（5）王传志、过镇海五参数准则4、混凝土破坏准则§7.1.2混凝土破坏准则随着混凝土多轴试验研究工作§7.1.2混凝土破坏准则这一理论的主要特点是将偏平面上的包络线看作由6段圆弧曲线连接而成，各段在和处都符合连续条件。按照椭圆方程推导得偏平面上应力随得变化方程：4、混凝土破坏准则____Willam-Warnke五参数准则当，；，，分别为同一偏平面上拉、压子午线点至静水压力轴的距离。§7.1.2混凝土破坏准则这一理论的主要特点是将偏§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则____Willam-Warnke五参数准则

拉、压子午线的方程分别为式中有6个参数，即和，但拉、压子午线在静水压力轴相交于一点，独立参数减为5个。标定参数值取用5个特征强度值：单轴抗拉强度、双轴等压强度和高静水压力状态下的两点，即，，和，，。§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则____W§7.1.2混凝土破坏准则

采用薄膜比拟法，当薄膜均匀受拉发生外凸变形时，其几何方程可由二阶偏微分方程求解。经转换后可得到混凝土破坏包络面的方程，其以应力不变量表达为：4、混凝土破坏准则____Ottoson四参数准则§7.1.2混凝土破坏准则采用薄膜比拟法，当薄膜均§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则____Ottoson四参数准则薄膜法模拟破坏包络面§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则____O§7.1.2混凝土破坏准则当，或时4、混凝土破坏准则____Ottoson四参数准则当，或时式中共有4个参数。其中a和b决定子午线的形状，k1和k2则分别决定偏平面包络线大小和形状。本准则的破坏包络面为光滑外凸的抛物曲面，完全符合混凝土包络面的几何特性。§7.1.2混凝土破坏准则当§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则____Kotsovos五参数准则

偏平面包络线引用Willam-Warnke的椭圆组合曲线，但将子午线改为幂函数表示：其中式中的5个参数a、b、c、d和e的数值，不是选用特征强度值加以标定，而是用最小二乘法拟合的试验数据求得。

破坏包络面是椭圆组合截面的指数形曲面。§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则____K§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则____Podgorski五参数准则这一准则表达式与Ottoson准则基本相同，只是将其中的主应力不变量改为相应的八面体应力表示：其中式中的5个参数和，由5个特征强度值标定。

破坏包络面的形状也与Ottoson准则的相近。§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则____P§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则____王传志、过镇海五参数准则在试验基础上，清华大学的王传志、过镇海等提出了以八面体应力表示的五参数准则，其中子午线为幂函数形式：§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则____王§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则____王传志、过镇海五参数准则五个参数都有明确的几何意义：─子午线与横坐标的交点坐标，；─当时，导数在处为无穷大，即切线垂直于横坐标，拉、压子午线在此点连续，破坏曲面光滑外凸；─时的极限值，即偏平面上极限包络线圆的半径；─不同偏平面夹角处的子午线参数。§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则____王§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则

王传志、过镇海准则是拟合国内外众多研究者的试验结果而提出的，因而适用于一切应力范围和各种试验条件，总体计算准确度较高。如果取此准则确定参数选用的强度值，比较发现：以Ottoson、Podgorski准则最好，它们的三轴受压、三轴拉压及双轴应力状态下的偏平面包络线与试验结果规律一致，但高静水压力时给出偏高的计算强度。Bresler-Pister准则适用范围最小，因为其在静水压力很小时抛物线子午线与横轴相交。§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则王传志§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则根据子午线和偏平面包络线的形状将这些混凝土破坏准则，连同古典强度理论进行分类列表。§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则根据子§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则

左上黑框内为古典强度理论，破坏曲面形状简单、规则，参数少；

右下黑框内各破坏准则能较好地拟合混凝土的破坏包络曲面。其余准则属于过渡，曲面近似，在一定应力范围内适用。§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则

混凝土的破坏准则包含4个或5个参数足以准确地模拟曲面的形状，比较合理。参数太少（1个~3个），则曲面形状过于简单，不能准确模拟破坏曲面，即不适用于全部应力范围。

过多的参数（个），虽然有可能提高模拟曲面的精细程度，但由于混凝土材性和多轴强度的离散性，数学意义上的精细并不一定能真正提高计算的精确度，反而失之于计算繁复，不值得。§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则混凝土的第七章---混凝土的强度裂缝及刚度理论课件高等桥梁结构理论第七章混凝土的强度、裂缝及刚度理论§7.1.2混凝土破坏准则高等桥梁结构理论第七章混凝土的§7.1.2混凝§7.1.2混凝土破坏准则1、混凝土破坏形态对所有混凝土多轴试验的试件进行分析，可归纳为5种典型破坏形态：

拉断

发生这类破坏的应力状态，除了单轴、双轴和三轴受拉（T，T/T，T/T/T），还有主拉应力较大（）的双轴和三轴拉∕压（T/C，T/C/C，T/T/C）等。

柱状压坏

发生这类破坏的应力状态有单轴受压，以及应力和值不大的双轴和三轴受压或拉∕压（C/C，T/C，T/C/C和T/T/C）等。§7.1.2混凝土破坏准则1、混凝土破坏形态对所有混凝§7.1.2混凝土破坏准则1、混凝土破坏形态对所有混凝土多轴试验的试件进行分析，可归纳为5种典型破坏形态：

片状劈裂

发生这类破坏的应力状态是主压应力和值较大的双轴（C/C）、三轴受压和拉∕压（C/C/C，T/C/C）等。

斜剪破坏

只发生在三轴受压（C/C/C）应力状态，且

挤压流动只发生在三轴受压应力状态（C/C/C），且和值较大。§7.1.2混凝土破坏准则1、混凝土破坏形态对所有混凝§7.1.2混凝土破坏准则1、混凝土破坏形态混凝土的5种典型的破坏形态，主要是从试件破坏后的表面宏观现象加以区分和命定的。如果从混凝土受力破坏的机理和本质出发，即考虑引起破坏的主要应力成份、破坏的过程和特点、变形的发展规律，以及裂缝的物理特征等因素，则可以将混凝土的破坏归结为两种基本的破坏形态，即单轴受拉和单轴受压：§7.1.2混凝土破坏准则1、混凝土破坏形态混凝土的§7.1.2混凝土破坏准则1、混凝土破坏形态

主拉应力作用

产生横向拉断裂缝和破坏，即拉断破坏。

主压应力作用

引起纵向劈裂裂缝和破坏，包括柱状破坏和片状劈裂。斜剪破坏和挤压流动属此特例，侧向压应力、将劈裂裂缝压实，不明显表露。§7.1.2混凝土破坏准则1、混凝土破坏形态主拉应§7.1.2混凝土破坏准则2、混凝土破坏包络面的特点与表达在以主应力为轴的主应力空间中，取拉应力为正，压应力为负，将实验中获得的混凝土多轴强度数据（）标在其中，相邻各点以光滑曲面相连，就可得到一个混凝土的破坏包络面：§7.1.2混凝土破坏准则2、混凝土破坏包络面的特点与§7.1.2混凝土破坏准则在破坏包络面上可找到一些反映特殊应力状态的点。混凝土单轴抗压、抗拉强度和各有3个点，分别位于各主轴上；混凝土双轴等压、等拉强度（）和（）位于坐标平面内的两个坐标轴的等分线上，同样在3个坐标平面内各有一点；混凝土三轴等拉强度（）只有一点，落在静水压力轴的正方向上。2、混凝土破坏包络面的特点与表达§7.1.2混凝土破坏准则在破坏包络面上§7.1.2混凝土破坏准则破坏包络面与坐标平面的交线，即为混凝土的双轴强度包络线。偏平面与破坏包络面的交线为偏平面包络线；不同静水压力下的偏平面包络线构成一族封闭曲线：2、混凝土破坏包络面的特点与表达§7.1.2混凝土破坏准则破坏包络面与坐§7.1.2混凝土破坏准则静水压力轴和个主应力轴（如轴）组成的平面称为拉压子午面，其与破坏包络面的交线定义为拉、压子午线。破坏包络面的三维立体图既不易绘制，更不便于分析和应用，一般改为用偏平面包络线和拉、压子午线来表示。2、混凝土破坏包络面的特点与表达§7.1.2混凝土破坏准则静水压力轴和个主应力轴（如§7.1.2混凝土破坏准则如果将图形坐标原点逆时针方向旋转，得到静水压力轴为横坐标，偏应力

为纵坐标的拉、压子午线。于是，空间破坏曲面改为由子午面和偏平面上的包络线表示。破坏面上的任一点的坐标改为（）3个参数（圆柱坐标系）表示。2、混凝土破坏包络面的特点与表达§7.1.2混凝土破坏准则如果将图形坐标原点逆时针方§7.1.2混凝土破坏准则2、混凝土破坏包络面的特点与表达平面

§7.1.2混凝土破坏准则2、混凝土破坏包络面的特点与§7.1.2混凝土破坏准则混凝土的破坏准则是在实验的基础上，考虑混凝土的特点而建立起来的。为了便于对混凝土强度理论的理解，先对古典强度理论作一回顾。

古典强度理论是根据一些材料的强度试验和理论研究成果而提出来的。它们的特点是：对于材料的破坏原因有明确的理论（物理）观点；对一些特定的材料，如金属、岩土等有试验验证；破坏包络面的几何形状简单、规则；计算式简明，只包含一或两个参数，易于标定等。这些古典强度理论应用于实际工程中，在其适用的材料强度分析时取得了较好的效果。3、古典强度理论简介§7.1.2混凝土破坏准则混凝土的破坏准则是在§7.1.2混凝土破坏准则当材料承受的任一方向主拉应力达到一极限值时发生破坏。其表达式为：这一理论的破坏面为在主应力坐标的正方向，与坐标面平行且相距的3个互相垂直的平面，组成以静水压力轴为中心的正直角锥。

适用于混凝土的单轴、双轴和三轴受拉（T，T/T，T/T/T）应力状态，但不能解释双轴和三轴压/拉（T/C，T/C/C，T/T/C）应力状态的强度降低，及多轴受压（C/C，C/C/C）应力状态的破坏。3、古典强度理论——最大拉应力理论（Rankine，1876）§7.1.2混凝土破坏准则当材料承受的任一方向主拉§7.1.2混凝土破坏准则当材料某主方向的最大拉应变达到一极限值时发生破坏。表达式为：3、古典强度理论——最大拉应变理论（Mariotto，1682）或

破坏面为以静水压力轴为中心的角锥。这一理论可适用于混凝土双轴和三轴拉/压（T/C，T/C/C，T/T/C）的部分应力状态。但是在多轴受拉（T/T，T/T/T）应力状态，就导出强度提高的错误结论。§7.1.2混凝土破坏准则当材料某主方向的最大拉§7.1.2混凝土破坏准则当材料承受的最大剪应力达到一极限值时发生屈服，其表达式为：3、古典强度理论——最大剪应力理论（Tresca，1864）

破坏面是以静水压力轴为中心的正六角棱柱面，表面不连续、不光滑。这一理论适用于塑性材料，如软钢。但是，按此理论计算的结果得：单轴抗拉和抗压的强度相等，双轴抗压（C/C）强度与单轴抗压强度相等，三轴抗压（C/C/C）强度与无关等，都与混凝土多轴强度的试验规律大相径庭。§7.1.2混凝土破坏准则当材料承受的最大剪应力§7.1.2混凝土破坏准则当材料的统计平均剪应力或八面体剪应力达到一极限值时发生屈服，其表达式为：3、古典强度理论——统计平均剪应力理论（VonMises，1913）这一破坏面是以静水压力轴为中心的圆柱面。它最适合于软钢类塑性材料，在塑性力学中应用最广。§7.1.2混凝土破坏准则当材料的统计平均剪应力§7.1.2混凝土破坏准则材料的破坏不仅取决于最大剪应力，还受剪切面上正应力的影响，其表达式为：3、古典强度理论——Mohr-Coulomb理论（1900）这一破坏面是以静水压力轴为中心的六角锥面，但拉、压子午线有不同的斜角。因而可以反映材料的抗拉强度和抗压强度不相等的情况，是对最大剪应力理论的重要改善，适用于脆性材料，如岩石、土壤等。

破坏锥面与混凝土的破坏曲面差别很大。此理论也不考虑第二主应力的影响，故与最大剪应力理论同样得出双轴抗压强度与单轴抗压强度相等，三轴抗压强度与无关等错误结论。§7.1.2混凝土破坏准则材料的破坏不仅取决于最§7.1.2混凝土破坏准则3、古典强度理论——Drucker-Prager理论（1952）这是前述两个理论的改进和综合：将VonMises圆柱面的平行子午线改为随变化的斜直子午线；将Mohr-Coulomb在偏平面上的六角形改为连续光滑的圆形，得到以静水压力轴为中心的正圆锥形破坏包络面。

破坏面外凸、连续、光滑和计算简单是本理论的优点。但是，直线子午线、圆形偏平面包络线等仍与混凝土破坏包络面有很大差别。§7.1.2混凝土破坏准则3、古典强度理论——Druc§7.1.2混凝土破坏准则古典强度理论的计算式中只包含一个或两个参数，破坏曲面的形状都太简单，与复杂的混凝土包络面相差很大，不可能反映其主要几何特点。故从整体上估计，古典强度理论不适用于混凝土，只是在很小的局部应力范围内经过修正，才可勉强应用。3、古典强度理论

§7.1.2混凝土破坏准则古典强度理论的计算式中只包§7.1.2混凝土破坏准则随着混凝土多轴试验研究工作的开展和试验数据的积累，混凝土包络曲面的形状越显清楚，为建立经验回归公式和数学模型创造了条件。一些拟合混凝土破坏包络面较好的、具有代表性的准则如下：（1）Willam-Warnke五参数准则（1975年）（2）Ottoson四参数准则（1977年）（3）Kotsovos五参数准则（1979年）（4）Podgorski五参数准则（1985年）（5）王传志、过镇海五参数准则4、混凝土破坏准则§7.1.2混凝土破坏准则随着混凝土多轴试验研究工作§7.1.2混凝土破坏准则这一理论的主要特点是将偏平面上的包络线看作由6段圆弧曲线连接而成，各段在和处都符合连续条件。按照椭圆方程推导得偏平面上应力随得变化方程：4、混凝土破坏准则____Willam-Warnke五参数准则当，；，，分别为同一偏平面上拉、压子午线点至静水压力轴的距离。§7.1.2混凝土破坏准则这一理论的主要特点是将偏§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则____Willam-Warnke五参数准则

拉、压子午线的方程分别为式中有6个参数，即和，但拉、压子午线在静水压力轴相交于一点，独立参数减为5个。标定参数值取用5个特征强度值：单轴抗拉强度、双轴等压强度和高静水压力状态下的两点，即，，和，，。§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则____W§7.1.2混凝土破坏准则

采用薄膜比拟法，当薄膜均匀受拉发生外凸变形时，其几何方程可由二阶偏微分方程求解。经转换后可得到混凝土破坏包络面的方程，其以应力不变量表达为：4、混凝土破坏准则____Ottoson四参数准则§7.1.2混凝土破坏准则采用薄膜比拟法，当薄膜均§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则____Ottoson四参数准则薄膜法模拟破坏包络面§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则____O§7.1.2混凝土破坏准则当，或时4、混凝土破坏准则____Ottoson四参数准则当，或时式中共有4个参数。其中a和b决定子午线的形状，k1和k2则分别决定偏平面包络线大小和形状。本准则的破坏包络面为光滑外凸的抛物曲面，完全符合混凝土包络面的几何特性。§7.1.2混凝土破坏准则当§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则____Kotsovos五参数准则

偏平面包络线引用Willam-Warnke的椭圆组合曲线，但将子午线改为幂函数表示：其中式中的5个参数a、b、c、d和e的数值，不是选用特征强度值加以标定，而是用最小二乘法拟合的试验数据求得。

破坏包络面是椭圆组合截面的指数形曲面。§7.1.2混凝土破坏准则4、混凝土破坏准则____K§7.1.2