空间向量坐标表示和运算时课件

共线向量定理:复习：共面向量定理:共线向量定理:复习：共面向量定理:平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyo平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyo回顾

平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示（平面向量基本定理），那么，对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？oijkPQP=xi+yj+zk回顾平面内的任意一个向量p都可以用探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量基本定理：

如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使都叫做基向量探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}，使p=xa

+yb+zc

定理其中{a，b，c}叫做空间的一个基底.（不共面且非零）空间向量基本定理定理其中{a，b，c}叫做空间的（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：

（2）

由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：（1）如何在剧院中寻找自己的座位？（1）如何在剧院中寻找自己的座位？(2)如何确定住户在小区中的位置？(2)如何确定住户在小区中的位置？一、空间直角坐标系一般地：在空间取定一点O从O出发引三条两两垂直的射线选定某个长度作为单位长度(原点)(坐标轴)•Oxyz111右手系XYZ一、空间直角坐标系一般地：在空间取定一点O从O出发引三条两两坐标轴

原点坐标轴原点由坐标轴确定的平面叫作坐标平面。由坐标轴确定的平面叫作坐标平面。x，y轴确定的平面记作xOy平面x，y轴确定的平面记作xOy平面y，z轴确定的平面记作yOz平面y，z轴确定的平面记作yOz平面x，z轴确定的平面记作xOz平面x，z轴确定的平面记作xOz平面

在空间直角坐标系中，xOy平面把空间分为三个部分：xOy平面、z轴的正半轴所在部分，z轴的负半轴所在部分.同样，xOz平面、yOz平面也把空间分别分为三个部分在空间直角坐标系中，xOy平面把空间分为三个部分ⅡⅦ面ⅤⅥⅠ面面ⅢⅣⅧ•O空间直角坐标系共有八个卦限2、空间直角坐标系的划分ⅡⅦ面ⅤⅥⅠ面面ⅢⅣⅧ•O空间直角坐标系共有八个卦限2、空间•P1P2P3yxz••11P•1•3、空间中点的坐标对于空间任意一点P，要求它的坐标方法一：过P点分别做三个平面垂直于x,y,z轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、P3，在其相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z)就叫做点P的空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，三个数值叫做P点的x坐标,y坐标,z坐标。P点坐标为

(x,y,z)•P1P2P3yxz••11P•1•3、空间中点的坐标对于空•111•P•P0xyz方法二：过P点作xy面的垂线，垂足为P0点。点P0在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的x坐标、y坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足P1在z轴上的坐标z就是P点的z坐标。P点坐标为

(x,y,z)P1•111•P•P0xyz方法二：过P点作xy面的垂线，垂足为注意：在建立了空间直角坐标系后，空间中任何一点P就与有序实数组(x,y,z)建立了一一对应关系，(x,y,z)就叫做P的空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)。三个数值x、y、z分别叫做P点的x坐标、y坐标、z坐标。注意：在建立了空间直角坐标系后，空间中任何一点P就与有序实数小提示：坐标轴上的点至少有两个坐标等于0；坐标面上的点至少有一个坐标等于0。点P的位置原点OX轴上AY轴上BZ轴上C坐标形式点P的位置XY面内DYZ面内EZX面内F坐标形式•Oxyz111•A•D•C•B•E•F(0,0,0)(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)4、特殊位置的点的坐标小提示：坐标轴上的点至少有两个坐标等于0；坐标面上的点至少有点P所在卦限ⅠⅡⅢⅣ坐标符号点P所在卦限ⅤⅥⅦⅧ坐标符号(+,+,+)5、点P在各卦限中x、y、z坐标的符号(-,+,+)(-,-,+)(+,-,+)(+,+,-)(-,+,-)(-,-,-)(+,-,-)卦限图卦限图平面直角坐标点P所在卦限ⅠⅡⅢⅣ坐标符号点P所在卦限ⅤⅥⅦⅧ坐标符号(+例题：yx•Oz111•••ABC•DEF••1、在空间直角坐标系中描出下列各点，并说明这些点的位置A（0,1,1）B（0,0,2）C（0,2,0）D（1,0,3）E（2,2,0）F（1,0,0）例题：yx•Oz111•••ABC•DEF••1、在空间直角•A1(1,4,0)•A(1,4,1)•(2,-2,0)B1•B(2,-2,-1)xOyz111••(-1,-3,0)C1•(-1,-3,3)C2、在空间直角坐标系中作出下列各点

(1)、A（1,4,1）；

(2)、B（2,-2,-1）；

(3)、C（-1,-3,3）；•A1(1,4,0)•A(1,4,1)•(2,-2,0)•C'D'B'A'COABzyx例1：如图例2：在空间直角坐标系中标出下列各点：

A（0，2，4）B（1，0，5）

C（0，2，0）D（1，3，4）C'D'B'A'COABzyx例1：如图例2：在空间直角坐标结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞示意图（可看成是八个棱长为1/2的小正方体堆积成的正方体），其中红色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图：建立空间直角坐标系后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。例3：yzx结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞示意图（可看成是八个练习1：点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标(1)与点M关于x轴对称的点(2)与点M关于y轴对称的点(3)与点M关于z轴对称的点(4)与点M关于原点对称的点(5)与点M关于xOy平面对称的点(6)与点M关于xOz平面对称的点(7)与点M关于yOz平面对称的点(x,-y,-z)(-x,y,-z)(-x,-y,z)(-x,-y,-z)(x,y,-z)(x,-y,z)(-x,y,z)关于谁对称谁不变，其余都相反练习1：点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，练习2

正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10，建立恰当的空间直角坐标系(1)写出正四棱锥P-ABCD各顶点坐标(2)写出棱PB的中点M的坐标OABCDPxyz练习2正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱练一练在空间直角坐标系中描出下列各点，并指出各点所在的位置：A（0,3,1）,B（0,0,5）,C（0,3,0）在空间直角坐标系中作出下列各点：(1)、（-1,-4,1）；(2)、（-3,3,4）；练一练在空间直角坐标系中描出下列各点，并指出各点所在的位置：小结：空间直角坐标系1、空间直角坐标系的建立(三步)2、空间直角坐标系的划分(八个卦限)3、空间中点的坐标(一一对应)4、特殊位置的点的坐标(表格)5、点P在各卦限中x、y、z坐标的符号(表格)小结：空间直角坐标系1、空间直角坐标系的建立(三步)2、空间空间向量坐标表示和运算时课件空间向量坐标表示和运算时课件空间向量运算

的坐标表示空间向量运算

的坐标表示,则设一、向量的直角坐标运算,则设一、向量的直角坐标运算若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)

=(x2-x1,

y2-y1,

z2-z1)空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则二、距离与夹角的坐标表示1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。二、距离与夹角的坐标表示1.距离公式（1）向量的长度（模）公在空间直角坐标系中，已知、，则（2）空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，已知、（2）空间两点间的距离2.两个向量夹角公式注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。2.两个向量夹角公式注意：空间向量坐标表示和运算时课件解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则

例1如图,在正方体中，，求与所成的角的余弦值.

解：设正方体的棱长为1，如图建例1如图,在正方体空间向量坐标表示和运算时课件证明:设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系xyzA1D1C1B1ACBDFE证明:设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系xyzA1空间向量坐标表示和运算时课件小结：1、空间向量的坐标运算；2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。小结：共线向量定理:复习：共面向量定理:共线向量定理:复习：共面向量定理:平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyo平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyo回顾

平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示（平面向量基本定理），那么，对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？oijkPQP=xi+yj+zk回顾平面内的任意一个向量p都可以用探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量基本定理：

如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使都叫做基向量探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}，使p=xa

+yb+zc

定理其中{a，b，c}叫做空间的一个基底.（不共面且非零）空间向量基本定理定理其中{a，b，c}叫做空间的（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：

（2）

由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：（1）如何在剧院中寻找自己的座位？（1）如何在剧院中寻找自己的座位？(2)如何确定住户在小区中的位置？(2)如何确定住户在小区中的位置？一、空间直角坐标系一般地：在空间取定一点O从O出发引三条两两垂直的射线选定某个长度作为单位长度(原点)(坐标轴)•Oxyz111右手系XYZ一、空间直角坐标系一般地：在空间取定一点O从O出发引三条两两坐标轴

原点坐标轴原点由坐标轴确定的平面叫作坐标平面。由坐标轴确定的平面叫作坐标平面。x，y轴确定的平面记作xOy平面x，y轴确定的平面记作xOy平面y，z轴确定的平面记作yOz平面y，z轴确定的平面记作yOz平面x，z轴确定的平面记作xOz平面x，z轴确定的平面记作xOz平面

在空间直角坐标系中，xOy平面把空间分为三个部分：xOy平面、z轴的正半轴所在部分，z轴的负半轴所在部分.同样，xOz平面、yOz平面也把空间分别分为三个部分在空间直角坐标系中，xOy平面把空间分为三个部分ⅡⅦ面ⅤⅥⅠ面面ⅢⅣⅧ•O空间直角坐标系共有八个卦限2、空间直角坐标系的划分ⅡⅦ面ⅤⅥⅠ面面ⅢⅣⅧ•O空间直角坐标系共有八个卦限2、空间•P1P2P3yxz••11P•1•3、空间中点的坐标对于空间任意一点P，要求它的坐标方法一：过P点分别做三个平面垂直于x,y,z轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、P3，在其相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z)就叫做点P的空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，三个数值叫做P点的x坐标,y坐标,z坐标。P点坐标为

(x,y,z)•P1P2P3yxz••11P•1•3、空间中点的坐标对于空•111•P•P0xyz方法二：过P点作xy面的垂线，垂足为P0点。点P0在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的x坐标、y坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足P1在z轴上的坐标z就是P点的z坐标。P点坐标为

(x,y,z)P1•111•P•P0xyz方法二：过P点作xy面的垂线，垂足为注意：在建立了空间直角坐标系后，空间中任何一点P就与有序实数组(x,y,z)建立了一一对应关系，(x,y,z)就叫做P的空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)。三个数值x、y、z分别叫做P点的x坐标、y坐标、z坐标。注意：在建立了空间直角坐标系后，空间中任何一点P就与有序实数小提示：坐标轴上的点至少有两个坐标等于0；坐标面上的点至少有一个坐标等于0。点P的位置原点OX轴上AY轴上BZ轴上C坐标形式点P的位置XY面内DYZ面内EZX面内F坐标形式•Oxyz111•A•D•C•B•E•F(0,0,0)(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)(x,y,0)(0,y,z)(x,0,z)4、特殊位置的点的坐标小提示：坐标轴上的点至少有两个坐标等于0；坐标面上的点至少有点P所在卦限ⅠⅡⅢⅣ坐标符号点P所在卦限ⅤⅥⅦⅧ坐标符号(+,+,+)5、点P在各卦限中x、y、z坐标的符号(-,+,+)(-,-,+)(+,-,+)(+,+,-)(-,+,-)(-,-,-)(+,-,-)卦限图卦限图平面直角坐标点P所在卦限ⅠⅡⅢⅣ坐标符号点P所在卦限ⅤⅥⅦⅧ坐标符号(+例题：yx•Oz111•••ABC•DEF••1、在空间直角坐标系中描出下列各点，并说明这些点的位置A（0,1,1）B（0,0,2）C（0,2,0）D（1,0,3）E（2,2,0）F（1,0,0）例题：yx•Oz111•••ABC•DEF••1、在空间直角•A1(1,4,0)•A(1,4,1)•(2,-2,0)B1•B(2,-2,-1)xOyz111••(-1,-3,0)C1•(-1,-3,3)C2、在空间直角坐标系中作出下列各点

(1)、A（1,4,1）；

(2)、B（2,-2,-1）；

(3)、C（-1,-3,3）；•A1(1,4,0)•A(1,4,1)•(2,-2,0)•C'D'B'A'COABzyx例1：如图例2：在空间直角坐标系中标出下列各点：

A（0，2，4）B（1，0，5）

C（0，2，0）D（1，3，4）C'D'B'A'COABzyx例1：如图例2：在空间直角坐标结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞示意图（可看成是八个棱长为1/2的小正方体堆积成的正方体），其中红色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图：建立空间直角坐标系后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。例3：yzx结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞示意图（可看成是八个练习1：点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标(1)与点M关于x轴对称的点(2)与点M关于y轴对称的点(3)与点M关于z轴对称的点(4)与点M关于原点对称的点(5)与点M关于xOy平面对称的点(6)与点M关于xOz平面对称的点(7)与点M关于yOz平面对称的点(x,-y,-z)(-x,y,-z)(-x,-y,z)(-x,-y,-z)(x,y,-z)(x,-y,z)(-x,y,z)关于谁对称谁不变，其余都相反练习1：点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，练习2

正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10，建立恰当的空间直角坐标系(1)写出正四棱锥P-ABCD各顶点坐标(2)写出棱PB的中点M的坐标OABCDPxyz练习2正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱练一练在空间直角坐标系中描出下列各点，并指出各点所在的位置：A（0,3,1）,B（0,0,5）,C（0,3,0）在空间直角坐标系中作出下列各点：(1)、（-1,-4,1）；(2)、（-3,3,4）；练一练在空间直角坐标系中描出下列各点，并指出各点所在的位置：小结：空间直角坐标系1、空间直角坐标系的建立(三步)2、空间直角坐标系的划分(八个卦限)3、空间中点的坐标(一一对应)