课标版(文理)数学 第一轮专题练习-第八章 立体几何

第第356页2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习第八草立体几何第一讲空间几何体的结构、三视图、表面积和体积夯基出考点练透[20218-1-1所示（单位:cm）,则该几何体的体积（单位:cn?）（A. |B.3C.D.3V2[2020III][:f8-1-2为菜几何体的三视图，则该几何体的表面积是阁8-1-2A. 6+4V2C. 6+2V3D.

B.4+4V2[2022武汉市部分学校质检]某圆柱体的底面直径和岛均与莱球体的直径相等，则该圆柱体表面积与球体表面积的比值为 （）A.2B.4-3

3|

D.5|4[20228n,且圆锥的侧而展开图恰好为半圆，则该圆锥外接球的表面积为 （B. 9nCD.^3 2 3[2018I2,16,8-1-3所示.圆柱表面上的点在正视图上的圆柱表面上的点/V则在此圆柱侧面上，从:1/度为 ()A. 2Vl7B.2V5C.3D.2图8-1-3[2022ABCD-A^aaG0(h与正方体的六个面相切，且球a与球a也相切.设球a,a的半径分别为r„r2,则i ()r2A. V3-V2B.2-V3[20215址中发掘出了玉琮(c6ng).8-1-4(1))是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图8-1-4(2)所示，圆筒内径长2cm,外径长3cm，筒萵4cm，中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为 ()图8-1-4A. 4

B.(24+-)cm34C.(36~^-)cm'D.(18+^-)cm3[20215月三诊]设某空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)得内球相切，则 ()23+V3空心球的内球半径为力-1空心球的外球表面积为(6+6V3)H［2022广州市模拟］若圆台的上、下底面半径分别为2,4,萵为2,则该圆台的侧面积为 .［2022长春市质量监测］某公园供游人休息的石凳如图8-1-5所示，它可以看作是由一个正方体截去八一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长为40cm,则石凳所对应几何体的表面积为 ［2019天津商考］［理］已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为若圆柱的一个底面的圆周经四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .［2021东北三省四市联考］1，ZT6；的中点，则平面也截三棱柱ABC-MQ所得截面图形的面积为 .提能力考法实战［2022郑州一模］7^，a体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则的最大值为 ()A.|B.1C.V3D.28-1-6ABCD-A^GIX正确的是MgZW的最小值为的最小值为I).AP^PCx的最小值为图8-1-6[2021532021桌面和上述三个大球均相切，则该小球的半径为（）.2' 4C.—2

D20213D.2021[20218-1-78-1-7②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.til图8-1-7[2020I2,与侧面BCC的交线长为 .

°.以及为球心，为半径的球面[2022陕西百校联考]欲将一底面半径为75,体积为3n的圆锥体模型打磨成一个圆柱体和一个球体相的模具，如图8-1-8所示，则打磨成的圆柱体和球体的体积之和的最大值为 .[20220为△Ji%?SC且三棱锥产/f况'的外接球半径为4,则的最大值为 .第4页共56页［20215月联考］［科技热点］8-1-9（1）是一款以侦察为主的尤人机,它配备了两台火箭发动38-1-9（2）所示，空间中同时出现了R标（目标和无人机的大小忽略不计），AB=Abkm,6^373km,故＞3km,A,Z?所在平面满足二面角A-BD-C的大小为n，若无人机可以同时侦测到这四个目标，则其最小侦测半径为 km.图8-1-9國创新预测［20215月模拟8-1-101K是水面高度*的函数，记为片/’Cr），若正数6满足於垆则的最小值为（）A. -B.-12

C.-D.-4 3［2022四川模拟］现为菜球状巧克力设计圆锥体样式的包装盒,要求包装盒与巧克力球相切，若该巧克力的半径为3,则其包装盒的体积的最小值为 .第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系夯基｛出考点练［2022苏州市调研］已知瓜为两条不同的直々，r为三个不同的平面，则下列命题正确的是（）若m"a,n//a，则m"naay=m则丄t若mea,nda,m"n//々，则a//P若ml.nffa丄卢，则mA_n［2022泉州市质量监测］己知△/!7与△/仍所在的平面互相垂直，AO=25t

AB=AD=20及则直线必与t直线优'所成角的余弦值为 （）第5页共56页[2021重庆市第三次调考]下列结论中错误的是空间中两两相交于不同点的三条直线确定一个平面正三棱锥的对棱互相垂直垂直于同一条直线的两个平面互相平行1).空间一点与两条界面直线都相交的直线，有且仅有一条[2017I]在下列四个正方体中，及沒为正方体的两个顶点,AQ在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面,WW不平行的是[2021江苏常州7月联考]在空间中，到定线段作的两个端点距离相等的点的轨迹是 (线段松的中点以线段作为直径的圆线段/幻的中垂线线段/汐的中垂而[2021江苏苏北四市联考]已知长方体中，炉4，B=2,尸分别为棱AB,的中点，而I截该长方体所得的截面图形为 边形.提能力考法实战[20228-2-1,ABC-MQ中，AB=AC=1,N在棱O]±,6妒3«，则异面直线及#与a/所成角的正切值为 (1B.孪CiD.孪第6页共56页图8-2-1[20228-2-2ABCG分别是边BC，⑶上的点，且完=芸=$则下列说法正确的是CoCu3①四点共面；②研与餅异面；③ 与仍的交点似可能在直线/16上，也可能不在直线^6?上;④研与仍的交点似一定在直线/16上.A. ®®B.®@C.②③D.②®[20228-2-3,ABCD-A^IX中“斜解”得到_万为的中点，则异面直线做与從'所成的角为 （）第7页共56页［2021安徽四校联考］1E,A分别是棱d氏面M内一点，若平面则线段长度的取值范围是 （）A. ［^,V2］B.［手孕［手争c D［与函数综合］［多选题］1,PIP的轨迹长度为/’O则下列结论正确的有（）C.AV2）=V2n D.A苧畔8-2-4,IX2,、内，点0在线段/LV上，若则作长度的最小值为 .第三讲直线、平面平行的判定及性质1. ［2022贵阳市模拟］8-3-1为折痕

夯基｛出考点练），麗）CD-2AB,），把AJ/F折起，使点P不落在平面/汉7'内（如图 8-3-1⑵），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是图8-3-1①67W平面/1仰;②平面既③⑶//平向BEF.A.0B.1C.2D.3第8页共56页第第956页如图8-3-2,J-7?中，At面酮，则四边形淤W々的周长是A.4aB.2aC.^ 1）.周长与截面的位置有关

AC,/fZK不包含端点）上，AB,⑶均平行于平（）［2021大庆铁人中学5月三模］关于空间两条直线a,b和平面a，下列命题正确的是 （）若a//b,bea，则a//a若a//a,/xz则a//ba丄a,/»a，

//ba若a//a,b//a，则a//b［2022青岛市质检］［多选题］ABC-A^Cx中AAh

A^Ch

C、Bh

側的中点，则下列说法正确的是 （）EF,GH四点共面t tABG直线/L4与份异面7与平面/LW平行（）”处都缺少同一个条件，补上这个条件可使这三个命题均为真命题（其中m为两条不同的直线，a，々为两个不同的平面），则此条件是 .ZIIm'j mca①m||a1//a\②I||m1//o\f丄m③mla1//().[20228-3-32C'Ds中，点.1/是该正方体表面及其内部的一第第17页共56动点，且側/#平面A认则动点#的轨迹所形成区域的面积是 .8-3-4所示，四棱锥P-ABCD的底面/腳是直角梯形,MJ/与汐不重合)，交州于況⑴求证:醐BC.⑵若W丄私求^^的值.VPABCD图8-3-48-3-5,ABCD-A^Ga2,f为/^的中点，尸为做的中点.(1) 求证:diF/y平面BC\E.7⑵若及丄平面ABB、A7h

^0=4,求四棱柱ABCD-MGa的表面积.图8-3-5[20228-3-6,2V5的等腰三角形，ZT为的中点.在侧棱况上找一点 A:使份平面_；并证明你的结论；在(1)ZF的体积.图8-3-6提能力考法实战[20228-3-7,P-ABCD的底面必⑶是菱形，及＞60°，ABCD,尸分AD,(7?的中点,为即上一点，且尸料肌⑴证明：平面权淤⑵若PA=AB,三棱锥护從？的体积为#，求PD.［角度创题］8-3-8000且^^=2從;PA点戶是上的一个动点.71所成角的大小：g的值：F的体积.第四讲直线、平面垂直的判定及性质夯基础考点练透［2017III］ABCD-A^CxlX中，厶为棱仍的中点，则（）A.AxEVDCxB.A.ELBDC.AxELBCyD.AxELAC［2022®州市一调］在空间中，a,々是两个不同的平面，/〃，/7是两条不同的直线，下列说法错误的是（若ml.

m//n,ncP,则a丄卢t若a//P,mVa丄冷，则m"n>n若a// a,na冷，则m"n若a丄冷，〃xza，anP=n,则ml.P［数学文化］8-4-1FABCD中，/Am底面/17?F分别为凡;州的中点，则图中的鳖臑有（A.2个B.3个C.4个1）.5个图8-4-1［2021浙江高考］8-4-2,ABCD-A^C^,分别是0沒的中点，则V"ABCDJ/VBD2?V77ABCD1BMR图8-4-2［多选题］8-4-3(1),A4,Z/!120°，礼N分别是份;M的中点.现沿将菱形/f份折起，连接ED,构成三棱柱如图8-4-3(2)所示.若側丄份;记平面/WZVn平面则 ()图8-4-3A.平面/!优)9丄平面ABEF义.醐/1460148Ji［2019北京卨考］［理］a外的两条不同直线.给出下列三个论断：①/丄/; @m//a；③7丄a.以其中的两个论断作为条件，余下的个论断作为结论，写出个正确的命题 : .［2022豫北名校联考］S-ABC^,SA二S74E,A分别是的中点，厶是W上的一点，且若贼则DB= .［2020江苏高考］8-4-4,ABC~A^Q⑴求6；.⑵求证:平曲K丄平面'職.

6*ABC,E6的中点.t图8-4-4[20228-4-5,ABC-AM/!2,BC=CC=4,M的中点.t(1) 的体积.(2〉求证:丄平面從汉图8-4-5提能力考法实战[20228-4-6,a中，AB=A在上底面内的一条直线/满足/丄凡：(1)作出直线1，并说明作法(不必说明理由);⑵当戶是A.C.的中点时，求三棱锥FB'CD的体积.//PDB图8-4-68-4-7,已知菱形/2,Z/^60FA点M,HM，2,3^73-1,DB=^6.FA1CD.7Z求四面体的表面积.［数学探索］8-4-8,S-ASCD已知底面似⑶为矩形，AMP厂是汉'的中点.7<'指出点方的位置并说明理由：在（1）Z57^30A5?汐的距离.第五讲空间向量及其应用夯基｛透［2022海口市名校联考］比萨斜塔是意大利的标志性建筑,因斜而不倒的奇特景象而世界闻名.把地球看成一个球（AOA与地球赤道所在平面所成的角，OAA44附近，经过测量，比萨斜塔朝正南方向倾斜，且其中轴线与竖直方向的夹角约为4°,则中轴线与赤道所在平面所成的角约为 （）A.40°B.42°C.48°D.50°8-5-1C'aF,（7G列各选项中，关于直线与平面EFG的位置关系描述正确的是 （）图8-5-1朋>77WOT7的有且只有②③Z；的有且只有①Z；的有且只有②Z；的有且只有③［2018II］［理］ABCD-MCxIX中，AB=BC=\仞=75,AIX与做所成角的余弦值为y()A-I■?C4<［2022海口市名校联考］［多选题］8-5-2所示的几何体中，底面/17>2的正方形，AAh

BG，CC'，做均与底面J腳垂直，且AA<=CC':DIX:2BG=2,E、F分别为线段BC,CG的中点，则下列说法正确的是 ()直线与平面平行6H46Z?3n6；J处的距离为P6P所成角的取值范围是(0，f］ABCD-M^截正方体所得截面的面积为

6^的中点，则过且与.秘V平行的平面，CE和该截面所成角的正弦值为 .［2020天津高考］8-5-3,ABC-^CxABC,ACVBC,AC=BC=2,分别在tAAx上，且为棱M的中点.(I)求证..CM_B、D.B-RE-D的正弦值.求直线与平面々茂五所成角的正弦值.第18页共56第第PAGE2156c［2021北京高考］如图8-5-4,己知正方体点为 錄的中点，直线队交平面CDE千魚F.F6］的中点.M~CFE的余弦值为图8-5-4［2022湖南名校联考］如图8-5-5,在四棱锥产/7?底面/!77为直角梯形，ACDA=A8A0°F分别为项份的中点.⑴求证:6F/7平面PAD.(2)PA的长度.4提能力考法实战[2022广西名校联考]如图8-5-6,在直三棱柱ABC-A^Cy中点分别为况和 的点.M4PA⑵求二面角A-BE-D的余弦值.[2021ABCD-AMDs2,CC上，似上.⑴若A、E=CF(如图8-5-7(1)),求证:汉F，久四点共面.⑵若为的中点，过a8-5-7(2)),a将正图8-5-7[20218-5-8(1),/1Z?将△腳沿劝翻折，使得平面ACDX.平面ABD,如图8-5-8(2)所示.⑴求证:AB1CD.8-5-8(2)中，万是即上一点，连接犯以当必与底面＞4所成角的正弦值.图8-5-8國创新预测［与函数综合］8-5-9,P~A8Ca经过棱/T分别交于点AP，且优W平面a、PA"平面a.a.若点在直线汾'上，求平面拗6与平面份 6所成锐二面角的余弦值的最大值.图8-5-9［20215月质检］［开放题］8-5-10,ABC-A^GABCVJACC^Ax.证明：A4,Iti'ABC.1，30°，616■与所成角的余弦值为$U的余弦值.第22页共56答案第八章立体几何第一讲空间几何体的结构、三视图、表面积和体积@夯基础考点练透A2V2,1,所以该儿何体的体积（V2+2V2）X^X1=|.A.解法二由三视图可知，该几何体是由底面为等腰直角三角形（腰长为2）的直三棱柱截去一个底面为等腰直角三角形（腰长为1）的直三棱柱后得到的，所以该几何体的体积I^X^X1-1X12X1^.故选A.C由三视图知该几何体为图D8-1-1所示的三棱锥其中州丄平面ABC,所以PB^POBC^Ti、故其表面积5^（|X2X2）X3+|X（2V2）2Xsin60°=6+2^3.图D8-1-1第23页共56C设圆柱体的底面半径为/<IT/?+2n/?.2浩6。/f,球体的表面积5«=4n所以#=^=|,故选C.Dr，AJirJ=Snn1=2Jir②.（圆维侧面展开图的弧长等于圆雊的底而圆的周长）z-2,7=4,所以Vl6^4=2V3.画出轴截面图，如图D8-1-2勾股定理得解得4nD.图D8-1-2BD8-1-3D8-1-4鐵则2,5：^4,则从.4/到;V的路径中最短路径为空间问题平而化〉故选B.閉D8-1B2,a4为公共顶点的三个面相切，球afta,a和两球的切点均在体对角线/IGD8-1-5所示，（空间问题平面化）过分别作aQIAR于Q,0>PVAB于则0>F=0>P=r^\AO^=V3,所以又｛ yAP=Aa^a^y[3r^n,因此G/5+1）71=75-1，解得n=2-芯，所以^2-75,故选B.r2图D8-1-5第24页共56AnX[(|)z-l2]X4=5n(cm3),3X3X3-nX(|)2X3=27-^JT(cm3),n+27-^n(27-^)(cm3).14的空心圆1个正方体挖去一个圆柱)故选A.Br，疋则止2r,2又由题意可知^=1,由解得1^，所以该正方体的棱长为V5+1，体对角线长为3+V3,故A,C错误，B正kR-r=1, 2 2确外球的表面积朵4n n(=(12+6V3)n，故D错误故选B.r12^n2=2,AM,髙//=2,7=J(^则该圆台的侧面积货nr1(痛=艾X2V2X(2+4)=12V2Ji.10.4800+1600V3由题意，该石凳可以看作是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，且该正三棱锥的底面20V2cm6X(20V2)2+8X^X(20^2)2=(4800+1600V3)(cm2).j2,75^1=2,故圆柱的高为1,所以圆柱的体积为nX(i)2Xl-i.^ZTAxQEF,AFABEFt为所求截面图形，且四边形为等腰梯形，(根据“特征点”确定平行关系，进而确定截面图形的形状〉易知ER^AB=^t

AP=BB=12+(|2=y,则等腰梯形的尚为JF的面积为

) 1I2II

即所求截面图形的面积为#.0

2 4 16 16DV^，V5.D8-1-6H:可还原成棱长蝉：的正方体a的正四面体的外接球的直径等于=今所以今adaa2.第25页共5614.1）D8-1-7,AM沒的边扁沒上的高.（把/＞的最小值转化为点P到直线45的距离）AZHA由等面积法得}V2x^=ixV5XA,解得错误.D8-1-7,A

图D8-1-7BC、，得A4從;，以所在直线为轴，将△/!：优;旋转到平面A職上，设点6的新位置{h为C’，如图D8-1-8,连接AC\则W即AhPC、的最小值.在八扃及/中，易知A脚C’=芯，A'C'=收则cosZBA、C’=^，sinZ财6*’=^.又cosZ/I/li^^,sinZ.AA\B~t

从而在△/L4ir'中，cosZAA\C，=CQS=~^-又M=2,A'C’=收所以AC'=J4+2-2X2X^X（一芸）=（利用余弦定理求得此'的长度.即AhPC的最小值〉C错误，D正确.故选D.BR=2021ABC,易知a,a,a,AB,ri）8-1-9、高为斤的正三棱柱，则小球球心0在底而J况'上的射影必为△/!及7的中心H.OH,AH,0OD"AHM易得四边形/!OD-AH.设小球0的半径为r,则0H^AD=r,OxD^aA-DA=R-r.因为//为底面三角形的中心，第26页共56所以AI^OD^-R,又oa=/^r,a)l=o/f+aif,+所以(^r)2=(^2(^-7')z,+2入，得即小球的半径为$B.为题图④或⑤.当俯视图为题图④时，右侧棱在左侧看不到，所以为虚线，此时题图③为侧视图：当俯视图为题图⑤时，左侧棱在左侧可看到，所以为实线，此时题图②为侧视图.故填③④或②⑤.^-如图D8-1-10,连接易知△ 为正三角形，所以分别取CQ的中点G,连接则易得勝餅>/22+I2=V5,与

且认垆>/1G,Z/连接则

=J(V3)2+(V2)2=V5,连接易得 MG-MH=42故呵知以.!/为圆心，VI为半径的圆弧67/为球面与侧面yBCGRZM509057)的长为!X2nXy[241-4 2图D8-1-10作出截面图如图1)8-1-11所示，设球体的半枰为r,圆锥的卨为由题意可知 X/F3Ji，所以的，綱C2AJ优;八/!/^0为△/!z-1,所以T0<Kl.FH=D^yf3i'所以V5r,£7^3-3r,K/')=9n戶(I)4nTt=-^n7^+9n?(0<2<l),r(2-)=-23n?+18nr,令广(/，)=0r'W>0,「⑺单调递增，当芸〈2<1时，^W<0,3时，r(r)有最大值，最大值为第27页共56第第29页共56图D8-1-1132如图D8-1-12连接A0并延长交從于I)连接PD,P0..顶点戶在底面的射影 0为△/!及7的垂心:.ADYBC,⑼丄平面 ABC,:.POVBC又Al)C\⑽AD,POa平面ADP.:.BCL平面ADP,:.BCA.PA,BCVPD同理可得AC丄/^由得A/).又:.LPOD^L鵬.供Z/W90°，.仰丄 W乂pBC6平面PBC,..州丄平面 PBC,..州丄尸 州丄做又且PA^AC=A6tPA,/1O=平PACt

:.PBVPC,:.PA,PB,两两垂直...三棱锥户/IZTPA,PB,为棱的长方体的外接球，又三棱锥户/!优■的外接球半径为4,:.P^P^PC^:iPB^PCPB^PA.PC)_+/^)=32,:的最大值为32,当且仅当PA=PB=PC^^i等号成立.图D8-1-124Y3当无人机位于四面体/LOT7ZU6kin,AB=ABsin60o=3^3(km)，取△/!AE上，(km).因为 km,BG=3kin,BD^km,所以 所以所以万为△如7的外心.过五作烈/，腸F0J7?外接球的球心.A/4Ara的外心，分别过外心作所在平面的垂线，两垂战的交点即外接球球心)A-BD-CZ^n-±EF=OE-cosj,专，3 3Zo o L所以0巨2km所以

+

=Vl3(km).A1,所以容器中水的体积^/U)^nZ因为a^b=\,所以垆l-a(OCXl)，Aa)+/U)=|n^3+|n(l-a)3=jna3+|n(l-3a+3a2-^)=JT^2-nn,(将权变量问题转化为单变量问题，注意恨制条件)易知函数尸(OCX1)的图象开口向上，且对称轴方程为所以当_时，Aa)+/U)取得最小值，最小值为$"n+1n=-1.故选A.4 2 3 1272nrr,1)8-1-13,作出巧克力与包装盒截面示意图，其中，0取等号.(基本不等式的应用，注意芩号成立的条件)0

图D8-1-13第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系BA，m//a,n//w与/7AB，a丄戶，ya

BC,a，/7Ca,mrmm

,n//P,则a与卢平行或相交，因此C不正确;对于选项D，若m.Lo,n// a丄々，则与/7平行、相交或异面，因此D不正确.综上，选B.DA所以AB±BC,ADV.图D8-2-1所示，过i?作BOVAC交JC于点连接易得因为平面J优丄平面 平面平面ACD=AC,平面所以做丄平面ODaOB,OD,/k；0为坐标原点，OD,轴，y轴，zO-xyz.因为/IC=25, BC=C1^\^所以易得0臣0\2,/RM6,所以鐵-16,0)，0,0,12)，6*(0,9,0),/?(12,0,0),故而=(12,16,0)，BC=(0,9,-12)，故cos<AD, =12x0::(_12H.(也可将葯.表示为_(沉-励进行计算)\AD\ \BC\ 20X15 25故选D.3.1)对于A,空间中两两相交于不同点的三条直线确定一个平面，故A正确;对于B，如图D8-2-2,在正三棱锥A~BCD6)9Et

连接AE，從AEC\BB=EABE,乂ABcACDBC1.AD,fBC，如果两个平面垂直于同一条直线，则由线面垂直的性质知这两个平面互相平行，故CD，II).AB,D8-2-30中AB//MQ,乂J历平面拗=平面所以必#平面C,D中均有/!从7平面，WW.图D8-2-3 图D8-2-4第30页共56第第32页共56A,D8-2-4所示），MA.DAa，a，aa称为线a，则n所以P,0aD.五对平面’进行延展，延长 ar交DA的延长线于G连接奶交于汉延长仍交做的延长线于K,IXQA；连接根掘由平行关系确定截面形状）0提能力考法实战D解法一如图D8-2-5,在上取点使得连接易知砂脱所以四边形A'DCN是平行四边形，所以 则ZZO为异面直线W与□/所成的角或其补角.（易忽略/娜也可能是异直线＞4,/V与氓所成角的补角〉易得_1.f/^V2T4V6,可判断出是锐角，就是异面直线/LVa/所成的角.设规的中点为'C,E,连接DE,则DELMC,DE=^,所以sinZOTAZDCJf^,所以'C,图D8-2-5解法二以A为坐标原点，AB,AC,Mx轴，y轴，zD8-2-6系，图D8-2-6则Ml,0,2)，MO,1,3),Ax(0,0,4),f(0,1,0),则巧=(0,1,-1),CM=(1,-1,2),所以cos<A^N,CA?>^=jj=[=爪V与所成的角为0,则cos

设异面直线=cos<^N,CM>II~I=y.(易忽略异面直线所成角的范围)tan0=^,所以异面直线与6^所成角的正切值为#，故选D.B依题意，可得份/7四点共面，所以①正确，②错误;因为tV是梯形，份’与似必相交，设交点为ACB上，同理，点在平面<4J/在平面/!仍与平面/!6汐的交线上，又是这两个平面的交线，所以点,1/B.t图1)8-2-7A1)易知在堑堵-DCCZGEB由正方体的性质可知，BC、=敝Z故异面直线AR与份'所成的角为+BD8-2-8AAM，祕，:尸均为所在棱的中点，:觀"BlEF//:.MN//EF又私W平面BDEER^平面BDEF,:I平面BDEF连接NF,AN,AM则NF//紙N^ABxh、"A^AB,AVJ平面BDEF,平面BDEF,又^¥05^..平面/!77又尸是上底面MC'IA内一点，且/!戶/7平面BDE.点 P在线段餅上在RtAJ/l.J/中，A^AAi+A2= =y,同理，在RtA^i/V中，得则△/IWV2当戸与似或，V電合吋，/!fJB.Bl)7动点戶在正方体表面上运动，PA=x,/J体的表面的交线.图D8-2-90<^1PD8-2-9则Ax)=3xix2nA=^-x,今故A错误，B正确.D8-2-10AV2)=3xAx2nXl=C错误./D8-2-11心角为+，・・/'(旱)=3X+x1，D正确.BD.

=，易得圆弧所对的圆^-1D8-2-12,GOM,正方ABCD-A^QIX2,;VIXCx0为圆心，1力半径的位于平面ID8-2-13,0V是长度的最小值MO作OHLAxN交瓜V于//则Ai4i/=0X2-|x2Xl-|x1Xl-|x2Xl=p所以^4uV・0^解得0/^f,所以作长度的最小值为#-1.第33页共560

图D8-2-12 图D8-2-13第三讲直线、平面平行的判定及性质CCF//AB,ABC例平面所以⑽平面结论①正确:对于②，取你’的中点连接EG,EG^AF,AF//BC,Ta;的ac所以做与平面相交，结论②不正确；对于③，连接则//EH//CD,m6Z?#平面C.B设因为必/7平面ABCQMNP所以同理可得酬紙MQNP//所以醐PQ,故四边形姗汐为平行四边形，所以：=哭=士，哭=~=去■因为所以所以四边72（B.CA,a//b,bea,a//a或水=a，A错误：（线面平行判定定理的应用，需强调直伐在平面外）对B,a//H3与/,8错误；对于C,若a丄a，/?丄a，则a"b，故C正确：D,a/7a,b//a，a与/DC.图D8-3-1第34页共56ABCD8-3-1,A平面规，BGa平面/l^，所以EH//AB,故平面ABC所以份/7GHC\EH=H所h t7正确;/，人尸三点确定一个平面，7/C正确:取兑沒的中n则削队所以_乂点尸在平面/AF所以直线付/与平面/1M与平面不可能平行，D错误.拉1a外的一条直线”，即“Ma”，“MaMa2V3由面面平行的性质可得，当側/始终在一个与平面平行的平面内，可满足初///AD8-3-2，连接械A则沉;及其内部为动点奴的轨迹所形成区域，易知△扁见为h等边三角形，且边长为2V2,所以SA4iBCi(1)在梯形 中况Q平面平面PAD,所以况V7平面PAD.BCaBCMNQPAD^MN,所以拗汐汉：(线面T行的性质定理)⑵MK//M交/!PA；BK.MKVAC.又BM,平面BMK,所以丄平而BMK,所以AC1BK.在平面/17?AC,所以8K//BC//Z况是平行四边形.所以BODK^AK,Y是必的中点，所以是即的中点，所以.VPA设连接CN,第35页共56第第PAGE4456^PBCMN_2Vp.

_2V.

_Vp.ABC__ "BCN

CBPNVPABCDVPABCDVPABCDVPABCDVPABCDKHiABCD3xx2,所以四棱柱的所有面都是菱形.如图D8-3-3,取B、C、的中点G,连接M,FG、则A、G"EC、、FG"BC、.ycBQE所以所/7平面yGC\正明面面平行时，一定要;i意是一个平面内的两奈相交直线与另一个平面平行）所以平面MF//平面优；：A^FcBGE.解法二因为四棱柱ABCD-A^Ga的所有棱长均为2,所以四棱柱ABCD-M^a的所有面都是菱形.所以四边形是平行四边形，则A.F//EH.因为份t平面KE,及舛平面BC、E，所以AA/7平面及ABCD-A^M2,所以J2的正方形和为4X22=16.连接械则BCYA'B，在Rt7中，B(=2,AxC=^则A^y/A^-BC^y/S.AB=AAr2ZJU^120，t所以侧面A腿A、与侧面的面积之和为2X2X2Xsin120°=4^3,所以四棱柱ABCD-A^M的表面积为16+4V3.(1)AK证明如下：如图D8-3-5,取必的中点H,连接關，HF,则酬VD,/ 平面VDE,平面VDE,:.HF//平面VDE.V四边形/1及7?为正方形，五为/1沒的中点，:-BITDH,.四边形從 ZW是平行四边形，:.BH//DE,: DEC平面B/flVDE,平面VDE.又HFC\BH^H,..平面側 M平面VDE,又BF［平面BHF,:.BF"平面VDE.⑵由题意易知，正方m縦I)，.尸为 FT的中点，易知四棱锥 V-ABCD为正四棱锥，A点r在底面的射影为朋的中点，设为0,连接V0,VB=y［ Sy

BG=2、:V^VB2-BO2=^3,*^«ZF|X2'X-\/3=5 5 b@提能力考法实战(1)D8-3-6,0,连接ai^OD.乂底面J优汐为菱形，所以敝2OD^Od).又平面EFM,队仗：平面EFM,所以作#平面EFM.⑵由⑴可知的面积为△/a?又所以么A8C.由乃1丄底面ABCD,且晋=+可知，顶点J/到底面從F的距离d^PA,t则V S隱吟 乂 x臺X必XBCXsin60oXPA=^Aff=^得AB-\.t因为州丄底面ABCD,ADc.底面ABCD,所以作丄/W,所以PD^y/PA2+AD2=4>/2.(1)0ABC.W为BC［平而ABC,所以BC1PC.,7PAC,又PA［平面PAC,所以8C1PA，于是异面直线ZT和州所成角的大小为90°.连接況因为份＞7ABC,EFa，術认EF"OC.PPA0是似的中点，所以厶为△片於的重心，从而Ara?所以^=^-3rCcU所以g的值为3.rCA/W中，由(2)知方为△/_/'为/T所以筠=4,于是|APEFPEXPF211 = =-X-=■舰POXPC323所BEF_V.p_S&PEF_1B EFVPBOCVBPOCS^POC3在直角△胤'中，AB-2,AC=2BCt

可得所以S^^S^ABC=^XBCX从而f^BEF

所以45第四讲直线、平面垂直的判定及性质@夯基础考点练透C由正方体的性质得及屆丄亂，BCH又所以從;丄平面織AEa级A^±BCh故选C.Czd_m/f得/?a，又/xza丄々，Aa//,丄a，又/?丄々，所以mn,Ba//々，/»ca,zz?，/?可能平行或异面，CD正确.故选C.C因为即丄底面ABCD,DC,BC,Bt底面所以J7?BCLCD,因为PDC\P6t平面DEcBCLDE.点五是尸6的中点，所以 DEYPC,PCnBC-C,PC,D9是-个鳖臑.M理可得，四面体和四面体柯朋也是鳖臑.故选C.AAA1X所以1乂ABDM=/1f

AB,AlXa所以/LPBIX异面且垂直.在△观^中，由中位线定理可得醐W平面ABCD,V7易知直线与平面WVBBM)不垂直.所以选AA.Px轴，/A则Ax(2,0,2)，M0,0,0)，以(0,0,2),M2,2,0),所以Ml,0,1)，A’(l,1，1),所以A^D=(~2,0,-2),^5=(2,2,-2),MW=(0,1,所以;瓦§=-4+0+4=0,Ad)VM.乂由题图易知直线AP做是异面4P所以拗77B_a=(-l,1,0),所以sin^=|cosMN,a1=^^--^^V9A.ABA项，因为ADVAB,ADVBF, 所以似丄平面ABEF,乂/!ZAz平面所以平面/I及7?丄平面选项A正确.B项在菱形中因为为份'的中点,所以#为淤的中点因为为M的中点所以醐EC.在三棱柱AFD~BEC中易知平面狐77平面平面所以汉＞7平面ADF.乂ECc平面AEC,平面AECC\EC"1.乂汉;所以B正确.C项,AELBF,ADA.BF,ADQAE=AAFEM为直线尿与平面//於所成的角.(抓住直线与平而所成角的定义〉因为Z/1^120Z/®^60Z地决30即直线研与平面/!從'所成的角为30选项C不正确.1中，/1242/1in(iZ/L?0=2X4Xsin604＞/3.由正弦定理可得△/從'的外接圆半径x—^―|x-^=4.A1，所以四面体D的外接球半径isinZ/lSEisinl20R=Jr2(|?1D)2V42l2Vl7.(利用球rd三者之间5^4n^=4JiX17-68nDAB.若/丄历，/a，则历//a.Ym"a,lA.ni,m"则1//a或/a7a，则/aa内必存在与平行的直线，m所以可推出/丄％故②③=＞①正确.V7:SA=SH=SCi

及?为正三角形，..三棱锥 S-ABC为正三棱锥正三棱惟的对棱相互垂直)在及7中，研为中位线，则EF//SB..USD,:.SBA-SD,又 SDC\A(^D,平面 SAC,又 SAc平面 SAC,在等腰直角三角形义沒中，S/)=SA=^A/i=2V2,.知汾丄平面义 6；由做=平面义；知 EFLDE.在直角三角形腳中，DE=y]DF2-EF2=」32-(榔=V7.AC,B^C的中点，所以AA所以份’/7ARC.⑵因为茂C丄平面ABC,ABc平面ABC,所以8、C1AR又平面ARC,ACc平面所以/L?丄平面做6：ABc平面JC(1)ABC-MAAM.在底面姚ACCM由已知得A^AOy/22+42-2>/5,由等面积法可得=諼=竽。姗M綱=IX⑽)X275^675,所以^^=1X675X^8.⑵由已知可得2又所以ByDYBl).因为CI}=A^A^+(2V5)2=24,^^^+^=42+42=32,所以B^Cff=Bxd,则B^DVCD.又CDC\BD=D，所以汉汐丄平面BCD.@提能力考法实战(1)D8-4-1，TO1.图D8-4-1 图D8-4-2(2)解法一如图D8-4-2,连接AC,BD,祕，设交仰于点H,因为在长方体ABCD-A^GIX中，J^/1/tl,所以CHVBD,CH^.ncBBM,所以67丄平面BBM即67是三棱锥C-PBxD的高，所以V.CD=VCPB.D=X2T=?PBl即三棱锥P-RCD的体积为解法二如图D8-4-3,连接眼，AC,说），设/^交做于点H,连接賊则D电PimM//PD.mzm7平面则^B-r因为在长方体ABCD-A^GIX中，做丄底面ABCD,所以易得点尸到底面70的距离等于DD、，又Vp-B^D

^Br

Vi'-itat,AD^,Wi-/L4i-2,所以^p-BiCD=即三棱锥

DD\^X^X2=^,6⑴cosZZZ4^^^yZZ24/F6O°,AJZ2所以所以丄/fZ?,CD,ADC\t

（两直线相交不能省略〉所以M丄平而ABCD.⑵由⑴知没丄平面ABCD,为咫的中点过点J/作^fNLAD交必于点则所以船丄平面 ABCD.连接CN,则MN^CN.在△.船r中,MN=CN=43,^=^+C^=6所以；I/OV6.ZUO中，边脱'上的高的长为^一(^)2=又zu/a超△<>!，所以&wF5^F^X2X2Xsin60°=V5.所以四面体拗6)9的表面积^^^+^w+5^o+^«.)f=2V3+V15.(1)点厶为的中点.ABCD是矩形，所以/L?丄FEF//AB,所以ADLEF.又Al为等腰直角三角形，SA=SD,所以SE上AD.因为SEHE/^E,所以及9丄平面SEF.ADcIABCD.图D8-4-4(2)如图D8-4-4,过点5作S0LFE,交/^的延长线于点0.由⑴知平面1丄平面ABCD,平面SEFC\平面ABCD=EF,所以5ZZL平面ABCD.AMP为等腰直角三角形，SSD=2所以A賊SE=2,又EF=AB-^所以2X5^为等腰三角形.因为Z57^30o,故Z5^120°,Z5Zi>60°，故03=1,5^73.连接AF,DF、设尸到平面5^9的距离为d,由 Vs-FAD可得iX XSOXS^FAD,易知5^5^=|X2V2X2V2=4,^/F|X2X4=4,所以d=S0=yf3.A到平面的距离为0夯基础考点练透

第五讲空间向量及其应用AD8-5-1所示，(根据題意正确作出示意图是解答本題的关键)J戶为比萨斜塔的中轴线，0为赤道所在平面上一点,AC//0A延长线上一点，则由题意可知，AAOl)^44°tZBA/^4°,所以o-4°-40°,即中轴线与赤道所在平面所成的角约为40°.图I)8-5-1A因为；Ft

G均为所在棱的中点，所以BD//GE.Dl)、"EF，乂脚平面EFG,GE[平面EFG,EFcEFG所以平面胭平面EFG又®c平y y面_，所以朋#平面EFG.对于题图②，连接m 设正方体的棱长为1因为6均为所在棱的中点，所以而；GE=(D-DB) (全万石)=|(万瓦~DA[-DB DX)=|(lxV2Xcos45°-Wx々Xcos60o)=0,即BIA上连後、则両.(^DC^)=^(DDl'DC^DCI)=|(1X^XCOS45°-^xV2Xcos60°)=0,即朋丄灰又EGQEF^E,所以做丄平面EFG.1,DB,E,F,(7均为所在棱的中点，所以@励(DG -DE)=(DDl~DB)(DC+^'DD^-^DA)=^'DD2-DB-~DC+^D=|-V2X1Xy+|xV2X1X^=0,即朋丄况■.连接J/；贝(AF-AE^CDD^-DB).(DD^+^DC+^DA)=DD^-'DC-^DB.V2XlX^-ixV2XlXy=0,EGC\E庐A.CZ?DIX所在直线分别为/轴，/轴，/I)8-5-2所示.由条件可知0,0)，J(l,0,0),^(0,0,V3),«(l,1,^),所以^-(-1,0,V3)，DK=(1,1,V3),则由呵〉-=^=v>MC.图D8-5-2 图D8-5-3D8-5-3,DM,0为朋的中点，所以仙//ZJO?为异面直线/1、认中，AB=BC=\,A=V3,t

++

=y,

+

+DD^75,所以成角的余弦值为故选C.AC由题意知，该几何体是由一个正方体截去一个三棱锥得到的.A，1)8-5-4,因为；尸分别为优;沉的中点，所以由正方体的性质可得府四点共面.M//GFA^=GF又及卬平面/Fc、，t所以平面A職，即直线与平面平行，故A正确.图D8-5-4 图D8-5-5hB,1)8-5-5,AAmABCD~MGFN为长方体，三棱锥h6\4⑶的外接球即四棱锥G-ABCI)的外接球，亦即长方体ABCD~MGh'\饱外接球，所以三棱锥G-ACI)的外接球的半径戶2+了+卯2=2,外接球的表面积乒4n於=9JT，故B不正确.对于C，如图D8-5-6,连接GA,易得

+

=V5,

+FC2=3t

+

=V2,第45页共56cosZ

2AEAF2V5X3

所以sinEA/^ll-coZEAF=_，所以5 y 5膝狀.AF-sinZ4x

夸=易知S^3XCiEF3X

|xGFXEC=^X1X1=|,G到平面娜的距离

.CI

EF=VA-CEF>itjXX

xS^CiEF

XAB,(点到平面的距离问題通常转化为几何体的体枳问題，借助等体枳法解决)B|^x|x/F|xix2,解得故C正确.hI)，AIXWAIX6FPJ或点及重合时，直线似与所成的角为^■，CPLADEFh与所成角的取值范围为［f，f］，DAC.DPDC,D~xyz.t对于A,易得A(20,0)，Ml,2,0)，F(0,2,1)，G(2,2,1)，A,(2,0,2),所以tA^G=(0,2,-1)，而=(-1，2,0)，AF=(-2,2,1).设平面I的法向量为ZFU7,则(n-AE^=-x+2y=0令片，得沪,“，所以项沪0X2+2X1-bi AF=-2x+2y+z=0,(2 2)1X2=0,g丄/?，OT61与平面/研平行，(如果平面外一条直线的方向向的法向量垂直，则该直找与平面平行)第46页共56故A正确.对于B,易得＜7(0,2,0)，识0,0,0)，设三棱锥6H469的外接球的球心为0、彻，/。，汾)，则\OA\=\OC\=\OD\=\OG\(多面体外接球的球心到各顶点的距离相等〉所以(Ab-2)2+)^+zl=xg+(yo-y2)2+z^=x^+y^+z^Ab-2)2+(j^-2)2+(z-l)2x=y=l,2b=|,所以三棱0 0 0锥G-ACD的外接球的半径萨J(l-2)2+l2+(l)2=所以三棱锥的外接球的表面积n^=9ir,故B不正确.对于C，易得(0,2,2),所以AC^=(-2,2,2),因为平面/份'的一个法向量为n=(2,1,2)，所以点1到平面AEF的距离= = 正确.对于D,EF=(-l,0,1),设PU,0,2-f)Ue[0,2])，异面直线砂与 a所成的角为0(0e(0,f])，则CP=(t,-2,2-z)，所以cos

|tx(-l|-2xO+(2-0/1| _ |l-t|~\CP\\EF\Vt2+(-2)2+(2-t)z.、/(-1)2+02+12Vt2-2f+4［0,|］,J所成角的取值范围为［+，+］，DAC.2V2 D8-5-8,ABCD-MM优的中点分别为/Z易知ME//NH,ME=NH，所以四边形她7/V是平行四边形，所饮MN〃HE.W为納0平面EFHG，HE［平面EFHG，所以此V/7平面EFHG,所以过份'且与淤V平行的平面为平面EFHG，易知平面份做；截正方体所得截面为矩形_，^V2,敝，所以截面份抓的面积为2XV2=2V2.连接AC,交伙7于点I,易知CI1HG，平面漏7丄平面ABCD，平面EFHGd平面ABCD^HG,所以67丄平面EFHG,连接仪第47页共56因为Elc平面EFHG所以67丄打，所以Z6：7为I'l线化和截而例/6J.在RtAOT中，易知C8=>/T+27=V5,rMjOy,所以sinZ6F7=丢=帶.6为原点,分别以乙5,CB,A轴，/轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（D8-5-9）,可得6*(0,0,0)，A(2,0,0)，0),61(0,0,3),A^(2,0,3),(0,2,3),M2,0,1),溅0,2),Ml,1,3).（I）依题意，巧=（1，1,0），瓦5=（2,-2,所以C、Mm）.(II) 依题意，CA=(2,0,0)是平面撕的一个法向量，EB{=(0,2,1),ED=(2,0,-1).设沪（不/,z）J::g设^1，可得77=（1,-1,2）.因此有cos<CA,n〉-品:=夸，于是sin<CA,n>=^-.所以二面角的正弦值为6（III）依题意，AB=（-2,2,0）.由（II）77-（1,-1,2）cos所以直线/1沒与平面做5所成角的正弦值为（丨ABCD-M^aCD//乂平面平面所以67Z7CDa平面m所以CD//EF,所以EF"dfM的中点.(II)PZH/轴，z1)8-5-10系.第48页共56第第50页共56设正方体的棱长为2,则6X0,2,0),£(1，0,2),Ml,2,2).设級(，则re[0,2],M2,t，2).设平面的法向量为FCYU幻).因为？?=(1,0,2),EF=(0,2,0),所以:n=(-2,0,1).

二&即=Q'得尸0,令z,=l,则^=-2,所以平面娜的设平面的法向量为妒(处,乃，^),XMF=(-1,2-f,0)，所以&:;:三即ft2^2§:jy2=0，令Z2=1>则沿=-2，乃所以平面，优F的一个法向量为於2,士2—C Z—C因为二面角M-CI^E的余弦值为所以I⑺—〉卜品(1)D8-5-11,PA0中出现中点时.解答平行问題往往通过构造中位线求解).尸是湖的中点， :.QF"且QF^AB..底面 /肥9为直角梯形，ZCDA=ABAI，AB^2DC=2收/.CD//AB,且CD^AB，:.QF//CD,且QF^CD,..四边形 4¥切是平行四边形证线面平行的关键是在平面外找到一条直线与该平面内的一条直平行)又67C平面PAD,QDci平而PAD，:.CF//平面PAD.AA轴，/轴，zD8-5-11所示，则疏0,0)，觀2V2,0)，r(2V2,V2,0),设则«V2,0,營),HO,V2,警),CE=(-V2,-V2,營)，CF=(~2>/2,0,昏).易知平面/4肥9的一个法向量功=(0,0,1).设平面6^’的法向量为y,z)，.n2=0,Hn-V2x-V2y+^z=0,、厂 fl2n=0, -2V2x+-z=0,2y取则x=a,即y

a,4V2),乂喊仿〉 ^^3= 解得沪4,即州的长度为4.0提能力考法实战(1)PA^.D8-5-12,AAPA^A、t tA,尸四点共面.AB-BC,Z?MABCrA^GACGAh平面ABCC\平面ACGA^AC,BDc平面所以朋丄平面ACM,所以BDVAF.因为tanZ/iZV^=y,tanZ/fHt^=y,ZADP与乙AFl)都是锐角，所以^ADP=ZAFD,因为ZJ^Z厂4华90°，所以ZADP^ZFA^O，则AFA.PD又PDC\BD^D所以/尸丄平面PBD注意一条直线与平面内的两条相交直线均垂直时，该直线才会垂直于这个平面)因为/Me平面AB，所以平面/W丄平面ABE.(2)由题意，以汐为坐标原点，DB,A轴，/轴，zD12,则靡，0,0)，0,0)，J(0,~0)，专，1)，所以蔽(-$，y,1),^5=(|,y,0)，DB=(|,0,0).m =-^-x+^-y+z45F(Ay,_旧

取尸2,得IZF(-2V3,2,-V3).mAB=^x+^y=0V3),

f同理可求得平面泣於的一个法向量为/F(0,4,则cos〈岛n>=^-= (两平面法向量的夹角与所求二面角可能相等也可能互补，需要结合形进行|m||n| V1Z+4+3XV16+319直現判断或根据两法向量的方向进行判断)由图可知二面角A-Bt^D为锐角，所以二面角A-B^D的余弦值为(1)D8-5-13,BGH,EH.图D8-5-13易得四边形帆］斤是平行四边形，所以BF//HQ.因为A^CF=ByH,所以EH"姚且份M成又C^//M,C'Dx=M、，所以EH//EH^GDi,所以四边形E_是平行四边形，所以EIA//HQ.i正明四点共面问题转化为证明汽綫平行)B.FAE四点共面.(2)如图D8-5-14,连接從;卻，则V^VB-CTC^V^.(不规则空间几何体的体枳常利用分别法求解)第51页共561^x^X2X2+ixiil±x2X2-2(/+l)>5=4解得畤以沒为坐标原点，BC,做做所在直线分别为A轴，