结构力学第八章-影-响-线课件

结构力学简明教程结构力学简明教程1第八章影响线第八章影响线2第八章影响线第一节影响线的概念

第二节用静力法作简支梁的影响线

★第三节结点荷载作用下梁的影响线

第四节用机动法作影响线

第五节影响线的应用

第六节简支梁的内力包络图与绝对最大弯矩

★第七节连续梁的内力包络图第八章影响线第一节影响线的概念

第二节用静力法作简3第一节影响线的概念图8-1荷载，其大小、方向和作用点都是固定不变的，称为固定荷载。第一节影响线的概念图8-1荷载，其大小、方向和作用点都是4第二节用静力法作简支梁的影响线作静定结构的内力或支座反力的影响线有两种基本作法，一静力法，二机动法。静力法是先把单位移动荷载F＝1放在任意位置，以x表示单位移动荷载到所选坐标原点的距离，将单位移动荷载视为固定荷载，通过平衡方程，从而确定所求支座反力和内力的影响函数，作此函数的图像，即为影响线。1.支座反力的影响线

2.剪力影响线作法

3.弯矩影响线作法第二节用静力法作简支梁的影响线作静定结构的内力或支座反力的51.支座反力的影响线(1)支座反力FRB影响线作法如图8-2a所示简支梁，将FP=1放在任意位置，距A点为x。

(2)支座反力FRA影响线作法将FP=1放在任意位置，距A点为x。1.支座反力的影响线(1)支座反力FRB影响线作法如图86(1)支座反力FRB影响线作法如图8-2a所示简支梁，将FP=1放在任意位置，距A点为x。由平衡条件∑MA=0,FRB/（l-1x）=0解得FRB=xl

(0≤x≤l)这就是FRB的影响线方程。由此方程知，FRB的影响线是一条直线。在A点，x=0，FRA=0。在B点，x=1，FRB=1。利用这两个竖距便可以画出FRB的影响线，如图8-2b所示。(1)支座反力FRB影响线作法如图8-2a所示简支梁，将7(2)支座反力FRA影响线作法将FP=1放在任意位置，距A点为x。由平衡条件解得这就是FRA的影响线方程。由此方程知，FRA的影响线也是一条直线。在A点，x=0，FRA=1。在B点，x=1，FRB=0。利用这两个竖距便可以画出FRA的影响线，如图8-2c所示。(2)支座反力FRA影响线作法将FP=1放在任意位置，距8图8-2(2)支座反力FRA影响线作法图8-2(2)支座反力FRA影响线作法92.剪力影响线作法简支梁剪力影响线的简单作法是：在一个简支梁上同时作出FA和-FB的影响线，在所求剪力FQ截面处作一竖线，所截取的两个三角形，即为剪力FQ在此截面的影响线，如图8-2d所示。其他任意截面剪力影响线作法更简便了，将竖线推到什么截面就生成什么截面的剪力影响线。剪力影响线系数为无量纲量。2.剪力影响线作法简支梁剪力影响线的简单作法是：在一个简支梁103.弯矩影响线作法由此得简支梁作弯矩影响线简易作法：先作一基线，在基线对应所作弯矩影响线截面处作一竖线，其值为ab/l，连接A、B两端，即为此截面弯矩的影响线，如图8-2e所示。弯矩影响系数其量纲为L，单位为m3.弯矩影响线作法由此得简支梁作弯矩影响线简易作法：先作一基113.弯矩影响线作法【例8-1】试用静力法绘制图8-3所示外伸梁的FAy、FBy、FQC、MC、FQD、MD的影响线。【解】(1)绘制反力FAy、FBy的影响线。取A点为坐标原点，横坐标x向右为正。当荷载F＝1作用于梁上任一点x时，分别求得反力FAy、FBy的影响线方程为以上两个方程与相应的简支梁的反力影响线方程完全相同，只是x的取值范围有所扩大而已，因此，只需将相应简支梁的反力影响线向两个伸臂部分延长，即可绘出整个外伸梁的反力FAy和FBy的影响线，分别如图8-3b、c所示。3.弯矩影响线作法【例8-1】试用静力法绘制图8-3所示外伸123.弯矩影响线作法(2)绘制剪力FQC、弯矩MC的影响线当F＝1作用于截面C以左时，取截面C右边为隔离体，求得影响线方程为当F＝1作用于截面以右时，取截面C左边为隔离体，求得影响线方程为由上可知，FQC和MC的影响线方程也与简支梁的相同。因而与绘制反力影响线一样，只需将相应简支梁的FQC和MC的影响线向两外伸臂部分延长，即可得到外伸梁的FQC和MC的影响线，分别如图8-3d、e图所示。3.弯矩影响线作法(2)绘制剪力FQC、弯矩MC的影响线133.弯矩影响线作法(3)绘制剪力FQD、弯矩MD的影响线。当F＝1作用于截面D以左时，取截面D右边为隔离体，求得影响线方程为当F＝1作用于截面D以右时，仍取截面D右边为隔离体，求得影响线方程为

若取坐标原点为D，x向右为正，则MD弯矩方程为由上绘出FQD和MD的影响线分别如图8-3f、g所示。

3.弯矩影响线作法(3)绘制剪力FQD、弯矩MD的影响线。143.弯矩影响线作法图8-33.弯矩影响线作法图8-315图8-43.弯矩影响线作法图8-43.弯矩影响线作法163.弯矩影响线作法(1)荷载类型不同绘弯矩的影响线时，所受的荷载是单位移动荷载FP＝1；而绘弯矩图时，所受的荷载则是固定荷载F。

(2)自变量x表示的含义不同弯矩影响线方程的自变量x表示单位移动荷载F＝1的作用位置，而弯矩方程中的自变量x表示的则是截面位置。(3)竖距表示的意义不同MC的影响线中任一点D的竖距表示单位移动荷载F＝1作用于点D时，截面C上弯矩的大小，即MC的影响线只表示C截面上的弯矩MC在单位荷载移动时的变化规律，与其他截面上的弯矩无关。

(4)绘制规定不同MC的影响线中的正弯矩画在基线的上方，负弯矩画在基线的下方，标明正负号。3.弯矩影响线作法(1)荷载类型不同绘弯矩的影响线时，17★第三节结点荷载作用下梁的影响线(1)支座反力FRA和FRB的影响线

(2)MC的影响线C点正好是结点。

(3)MD的影响线MD的影响线如图8-5c所示。

(4)FQCE的影响线在结点荷载作用下，主梁在C、E两点之间没有外力，因此CE一段各截面的剪力都相等，通常称为结间剪力，以FQCE表示。★第三节结点荷载作用下梁的影响线(1)支座反力FRA和FR18★第三节结点荷载作用下梁的影响线图8-5★第三节结点荷载作用下梁的影响线图8-519(1)支座反力FRA和FRB的影响线支座反力FRA和FRB的影响线，与图8-2b、c完全相同，在图8-5中没有画出。(1)支座反力FRA和FRB的影响线支座反力FRA和FRB的20(2)MC的影响线FP=1在C点以右时，利用FRA求MC；FP=1在C点以左时，利用FRB求MC。由此可知，MC的影响线作法与图8-2e完全相同，如图8-5b所示。C点的竖距为(2)MC的影响线FP=1在C点以右时，利用FRA求MC；21(3)MD的影响线先假设FP=1直接加于主梁AB，则MD的影响线为一三角形(其中CE段为虚线)。D点的竖距为由比例可知，C、E两点的竖距为将C、E两点的竖距连一直线，就得到结点荷载作用下MD的影响线，如图中实线所示。(3)MD的影响线先假设FP=1直接加于主梁AB，则MD22(3)MD的影响线为了证明上述作法的正确性，只需注意以下两点：1)如果单位荷载加在C点或E点，则结点荷载与直接荷载完全相同，所以在结点荷载作用下MD影响线在C点的竖距yC和E点的竖距yE与直接荷载作用下相应的竖距相等。

2)如单位荷载作用在C、E两点之间，其到C点的距离以x表示，则纵梁CE的反力如图8-5d所示。由此可得结论如下：

1)在结点荷载作用下，结构任何影响线在相邻两结点之间为一直线。

2)先作直接荷载作用下的影响线，用直线连接相邻两结点的竖距，就得到结点荷载作用下的影响线。(3)MD的影响线为了证明上述作法的正确性，只需注意以下23(4)FQCE的影响线在结点荷载作用下，主梁在C、E两点之间没有外力，因此CE一段各截面的剪力都相等，通常称为结间剪力，以FQCE表示。FQCE的影响线如图8-5e所示，是按照上述结论1作出的。

(4)FQCE的影响线在结点荷载作用下，主梁在C、E两24第四节用机动法作影响线机动法是以虚功原理为基础，把作内力或支座反力影响线的静力问题转化为作位移图的几何问题。机动法有一个优点：不需经过计算就能很快地绘出影响线的轮廓。因此，对于某些问题，用机动法处理特别方便，例如在确定荷载最不利位置时，往往只需知道影响线的轮廓，而无需求出其数值。另外，用静力法作出的影响线也可用机动法来校核。第四节用机动法作影响线机动法是以虚功原理为基础，把作内力或25第四节用机动法作影响线机动法作静定内力或支座反力的影响线的步骤如下：1)撤去与Z相应的约束，代以未知力Z。

2)使体系沿Z的正方向发生位移，作出荷载作用点的竖向位移图(δP图)，由此可定出Z的影响线的轮廓。

3)令δZ=1，可进一步定出影响线各竖距的数值。

4)横坐标以上的图形，影响系数取正号；横坐标以下的图形，影响系数取负号。第四节用机动法作影响线机动法作静定内力或支座反力的影响线的26第四节用机动法作影响线图8-6第四节用机动法作影响线图8-627图8-7第四节用机动法作影响线图8-7第四节用机动法作影响线28【例8-2】试用机动法作图8-7a所示简支梁弯矩和剪力的影响线。【解】(1)弯矩MC的影响线撤去与弯矩MC相应的约束(即在截面C处改为铰接)，代以一对等值反向力偶MC。这时，铰C的两侧的刚体可以相对转动。给体系以虚位移，如图8-7b所示。这里，与MC相应的位移δZ就是铰C两侧截面的相对转角。利用δZ可以确定位移图中的竖矩。由于δZ是微小转角，可先求得BB1=δZb。按几何关系，可求出C点竖向位移为ab/lδZ。这样，得到的位移图即代表MC的影响线的轮廓。第四节用机动法作影响线【例8-2】试用机动法作图8-7a所示简支梁弯矩和剪力的影响29为了求得影响系数的数值，再将图8-7b中的位移图除以δZ，即得到MC影响线如图8-7c所示，其中C点的影响系数为ab/l。应当指出，由于虚位移δZ是微小值，因此这里只说将δP，而不说令相对转角δZ=1rad。换句话说，如果仍采用“令δZ=1”的说法，则应理解为令竖向位移中的参数δZ等于1，而不是直接令相对转角δZ等于1rad。(2)剪力FQC的影响线撤去截面C处相应于剪力的约束，代以剪力FQC，得图8-7d所示的机构。此时，在截面C处能发生相对的竖向位移，但不能发生相对的转动和水平移动。因此，切口两边的梁在发生位移后保持平行，切口的相对竖向位移即为δZ。令δZ=1，由三角形几何关系即可确定影响线的各控制点数值(图8-7e)。第四节用机动法作影响线为了求得影响系数的数值，再将图8-7b中的位移图除以δZ，即30第五节影响线的应用影响线是处理移动荷载效应的工具，在此只研究利用影响线求支反力和内力值，确定荷载的最不利位置及最不利荷载等。第五节影响线的应用影响线是处理移动荷载效应的工具，在此只研31第五节影响线的应用一、求各荷载作用下的影响

二、求荷载的最不利位置

三、临界位置的判定第五节影响线的应用一、求各荷载作用下的影响

二、求荷载的最32一、求各荷载作用下的影响设有一组集中荷载FP1、FP2、FP3加于简支梁，位置已知如图8-8a所示。如FQC的影响线在各荷载作用点的竖距为y1、y2、y3，则由FP1产生的FQC等于FP1y1，FP2产生的FQC等于FP2y2，FP3产生的FQC等于FP3y3。根据叠加原理，可知，在这组荷载作用FQC的数值为一般说来，设有一组集中荷载FP1，FP2,…，FPn加于结构，而结构某量Z的影响线在各荷载作用处的竖距为y1，y2，…，yn,则一、求各荷载作用下的影响设有一组集中荷载FP1、FP2、FP33一、求各荷载作用下的影响如果结构在AB段承均布荷载q(图8-8b)作用,则微段dx上的荷载qdx可看做集中荷载,它所引起的Z值为y·qdx。因此，在AB段均布荷载作用下的Z值为这里，A0表示影响线图形在受载段AB上的面积。上式表示，均布荷载引起的Z值等于荷载集度乘以受载段的影响线面积。应用此式时，要注意面积A0的正负号。一、求各荷载作用下的影响如果结构在AB段承均布荷载q(图8-34一、求各荷载作用下的影响图8-8一、求各荷载作用下的影响图8-835第五节影响线的应用【例8-3】图8-9所示为一简支梁，全跨受均布荷载作用。试利用截面C的剪力FQC影响线计算FQC的数值。【解】FQC的影响线正号部分的面积以A1表示，负号部分的面积以A2表示，则由式(8-5)得第五节影响线的应用【例8-3】图8-9所示为一简支梁，全跨36一、求各荷载作用下的影响图8-9一、求各荷载作用下的影响图8-937第五节影响线的应用【例8-4】利用影响线求图8-10a所示简支梁在图示荷载作用下截面C上剪力FQC的数值。【解】绘出剪力FQC的影响线，如图8-10b所示。设影响线正号部分的面积为A1，负号部分的面积为A2，则有剪力FQC的影响线在力F作用点处的竖标y=12。由式(8-4)和式(8-5)，截面C上剪力FQC的数值为第五节影响线的应用【例8-4】利用影响线求图8-10a所示38一、求各荷载作用下的影响图8-10一、求各荷载作用下的影响图8-1039第五节影响线的应用如果荷载移动到某个位置，使某量Z达到最大值，则此荷载位置称为最不利位置。影响线的一个重要作用，就是用来确定荷载的最不利位置。对于以下简单情况，只需对影响线和荷载特性加以分析和判断，就可定出荷载的最不利位置。其判断的原则是：(1)应当把数量大、排列最密的荷载放在影响线竖距较大的部位；(2)如果移动荷载是单个集中荷载，则最不利位置就是这个集中荷载作用在影响线的竖距最大处；(3)如果移动荷载是一组集中荷载，则在最不利位置时，必有一个集中荷载作用在影响线的顶点，如图8-11示；(4)如果移动荷载是均布荷载，而且可以按任意方式分布，则其最不利位置是在影响线正号部分布满荷载(求最大正号值)，或者在负号部分布满荷载(求最大负号值)，如图8-12示。第五节影响线的应用如果荷载移动到某个位置，使某量Z达到最大40二、求荷载的最不利位置图8-11二、求荷载的最不利位置图8-1141二、求荷载的最不利位置图8-12二、求荷载的最不利位置图8-1242第五节影响线的应用【例8-5】图8-13a所示为两台吊车的轮压和轮距，试求吊车梁AB在截面C的最大正剪力。【解】先作出FQC的影响线，并标出荷载对应的系数(图8-13c)。要使FQC为最大正号剪力，首先，荷载应放在FQC影响线的正号部分。其次，应将排列较密的荷载(中间两个轮压)放在影响系数较大的部位(荷载435kN放在C点的右侧)。图8-13b所示为荷载的最不利位置。由此求得第五节影响线的应用【例8-5】图8-13a所示为两台吊车的43二、求荷载的最不利位置图8-13二、求荷载的最不利位置图8-1344三、临界位置的判定如果移动荷载是一组集中荷载，要确定某量Z的最不利荷载位置，通常分成两步进行：第一步，求出使Z达到极值的荷载位置。这种荷载位置称为荷载的临界位置。第二步，从荷载的临界位置中选出荷载的最不利位置。也就是从Z的极大值中选出最大值，从极小值中选出最小值。三、临界位置的判定如果移动荷载是一组集中荷载，要确定某量Z的45三、临界位置的判定图8-14三、临界位置的判定图8-1446三、临界位置的判定归结起来，确定荷载最不利位置的步骤如下：1)从荷载中选定一个集中力FPcr使它位于影响线的一个顶点上。2)当FPcr在该顶点稍左或稍右时，分别求∑FRitanαi的数值。如果∑FRitanαi变号(或由零变为非零)，则此荷载位置称为临界位置，而荷载FPcr称为临界荷载。如果∑FRitanαi不变号，则此荷载位置不是临界位置。3)对每个临界位置可求出Z的一个极值，然后从各种极值中选出最大值或最小值。同时，也就确定了荷载的最不利位置。三、临界位置的判定归结起来，确定荷载最不利位置的步骤如下：47三、临界位置的判定【例8-6】图8-15a所示为一组移动荷载，图8-15b为某量Z的影响线。该求荷载最不利位置和Z的最大值。已知FP1=FP2=FP3=FP4=FP5=90kN，q=37.8kN/m。【解】(1)试将FP4放在影响线的最高顶点荷载布置情况如图8-15c所示。(2)试算∑FRitanαi由图8-15b，得如果整个荷载稍向右移，各段荷载合力为三、临界位置的判定【例8-6】图8-15a所示为一组移动荷载48三、临界位置的判定如果稍向左移，则由于∑FRitanαi变号,故此位置是临界位置。(3)计算Z值(参见图8-15c中标出的影响系数)当影响线为三角形，临界位置的特点可以用更方便的形式表示出来。如图8-16所示，设Z的影响线为一三角形。如果求Z的极大值，则在临界位置必有一荷载FPcr正好在影响线的顶点上。三、临界位置的判定如果稍向左移，则49三、临界位置的判定以FLR表示FPcr左方荷载的合力，FRR表示FPcr右方荷载的合力，式(8-6)可写为荷载向右移，FLRtanα-(FPcr+FRR)tanβ≤0荷载向左移，(FLR+FPcr)tanα-FRRtanβ≥0在上两式中，代入tanα=c/a，tanβ=c/b，得

式(8-8)表明：临界位置的特点为有一集中荷载FPcr在影响线的顶点，将FPcr计入哪一边(左边或右边)，则哪一边荷载的平均集度要大。三、临界位置的判定以FLR表示FPcr左方荷载的合力，FRR50图8-15三、临界位置的判定图8-15三、临界位置的判定51图8-16三、临界位置的判定图8-16三、临界位置的判定52临界荷载Fcr的特点是：将Fcr计入哪一边，哪一边的荷载平均集度就大。有时临界荷载可能不止一个，须将相应的极值分别算出，进行比较。产生最大极值的那个荷载位置就是最不利荷载位置，该极值即为所求量值的最大值。现将确定最不利荷载位置的步骤归纳如下：1)最不利荷载位置一般是数值较大且排列紧密的荷载位于影响线最大竖标处的附近，由此判断可能的临界荷载。

2)将可能的临界荷载放置于影响线的顶点。

3)对每个临界位置求出一个极值，然后从各个极值中选出最大值。三、临界位置的判定临界荷载Fcr的特点是：将Fcr计入哪一边，哪一边的荷载平均53第六节简支梁的内力包络图与绝对最大弯矩一、简支梁的内力包络图

二、简支梁的绝对最大弯矩第六节简支梁的内力包络图与绝对最大弯矩一、简支梁的内力包络54一、简支梁的内力包络图1)简支梁受单个移动集中荷载的作用。

2)简支梁受一组移动集中荷载作用，如图8-21a、b所示吊车梁受两台吊车荷载的作用，现要绘制其弯矩包络图。一、简支梁的内力包络图1)简支梁受单个移动集中荷载的作用。55一、简支梁的内力包络图图8-20一、简支梁的内力包络图图8-20561)简支梁受单个移动集中荷载的作用。如图8-20a所示简支梁，现要绘出其弯矩包络图。为此，我们将梁分成若干等分(一般分为4～12等分，现分成10等分)，根据影响线可以判定，每个截面上弯矩的最不利荷载位置就是荷载作用于该截面处的位置。利用影响线，逐个算出每个截面上的最大弯矩，连成曲线，即为这个简支梁的弯矩包络图(图8-20b)。1)简支梁受单个移动集中荷载的作用。如图8-20a所示简支572)简支梁受一组移动集中荷载作用同样可将梁分成10等分，依次绘出这些分点截面上的弯矩影响线及求出相应的最不利荷载位置，利用影响线求出它们的最大弯矩，在梁上用竖标标出并连成曲线，就得到该梁的弯矩包络图，如图8-21c所示。同理还可绘出该梁的剪力包络图。由于每一截面上都将产生相应的最大剪力和最小剪力，故剪力包络图有两根曲线。由上可以看出，内力包络图是针对某种移动荷载而言的，对不同的移动荷载，内力包络图也不相同。2)简支梁受一组移动集中荷载作用同样可将梁分成10等分，依58二、简支梁的绝对最大弯矩图8-21二、简支梁的绝对最大弯矩图8-2159二、简支梁的绝对最大弯矩简支梁弯矩包络图上的最大弯矩叫做简支梁的绝对最大弯矩。设简支梁的绝对最大弯矩为Mmax，绝对最大弯矩必定发生在某一集中力下面，设作用在图中C点处。C点与D点之间的距离为a，FK位于FR的左边时，a取正值；FK位于FR的右边时，a取负值。可以证明，当FK与FR在简支梁上关于简支梁中点对称布置时，在FK下面发生绝对最大弯矩，其计算公式为二、简支梁的绝对最大弯矩简支梁弯矩包络图上的最大弯矩叫做简支60二、简支梁的绝对最大弯矩图8-22二、简支梁的绝对最大弯矩图8-2261【例8-9】试求图8-23所示简支梁在所示移动荷载下的绝对最大弯矩。【解】设所有力均落在梁中，则FR=4×315kN=1260kN，合力与中间一力之间距a=0.65m，将合力与中间一力居于跨中C的等距两侧，从所给的几何尺寸可知没有力移出梁外，因此由绝对最大弯矩公式二、简支梁的绝对最大弯矩【例8-9】试求图8-23所示简支梁在所示移动荷载下的绝对最62二、简支梁的绝对最大弯矩图8-23二、简支梁的绝对最大弯矩图8-2363★第七节连续梁的内力包络图连续梁在活荷载作用下，作其内力包络图的方法有两种：1)利用连续的影响线确定最不利荷载位置，按最不利荷载位置(图8-24)求出活荷载作用下各截面的最大内力和最小内力，把它们按一定比例尺用图形表示出来，这就是连续梁在活荷载作用下的内力包络图。2)由于在均布活荷载作用下，连续梁各截面弯矩的最不利荷载位置是若干跨内布满均布活荷载，因此，最大和最小内力的计算可以简化。★第七节连续梁的内力包络图连续梁在活荷载作用下，作其内力包64图8-24★第七节连续梁的内力包络图图8-24★第七节连续梁的内力包络图65图8-25★第七节连续梁的内力包络图图8-25★第七节连续梁的内力包络图66连续梁为例，具体说明作连续内力包络图的步骤。

1)把每一跨分为若干等分，取等分处的截面作为计算截面。

2)作出由恒载作用的弯矩图M恒，并算出每个等分面的弯矩值，如图8-25b所示。3)逐次作出每一跨单独布满活荷载时引起的弯矩图M活，并算出每个等分面的弯矩值，如图8-25c、d、e所示。

4)求出各计算截面的Mmax和Mmin。

5)将各截面的Mmax值用纵坐标表示出来，用曲线连起来得Mmax曲线；将各截面的Mmin值用纵坐标表示出来，用曲线连起来得Mmin曲线。★第七节连续梁的内力包络图连续梁为例，具体说明作连续内力包络图的步骤。

1)把每一67图8-26★第七节连续梁的内力包络图图8-26★第七节连续梁的内力包络图68结构力学简明教程结构力学简明教程69第八章影响线第八章影响线70第八章影响线第一节影响线的概念

第二节用静力法作简支梁的影响线

★第三节结点荷载作用下梁的影响线

第四节用机动法作影响线

第五节影响线的应用

第六节简支梁的内力包络图与绝对最大弯矩

★第七节连续梁的内力包络图第八章影响线第一节影响线的概念

第二节用静力法作简71第一节影响线的概念图8-1荷载，其大小、方向和作用点都是固定不变的，称为固定荷载。第一节影响线的概念图8-1荷载，其大小、方向和作用点都是72第二节用静力法作简支梁的影响线作静定结构的内力或支座反力的影响线有两种基本作法，一静力法，二机动法。静力法是先把单位移动荷载F＝1放在任意位置，以x表示单位移动荷载到所选坐标原点的距离，将单位移动荷载视为固定荷载，通过平衡方程，从而确定所求支座反力和内力的影响函数，作此函数的图像，即为影响线。1.支座反力的影响线

2.剪力影响线作法

3.弯矩影响线作法第二节用静力法作简支梁的影响线作静定结构的内力或支座反力的731.支座反力的影响线(1)支座反力FRB影响线作法如图8-2a所示简支梁，将FP=1放在任意位置，距A点为x。

(2)支座反力FRA影响线作法将FP=1放在任意位置，距A点为x。1.支座反力的影响线(1)支座反力FRB影响线作法如图874(1)支座反力FRB影响线作法如图8-2a所示简支梁，将FP=1放在任意位置，距A点为x。由平衡条件∑MA=0,FRB/（l-1x）=0解得FRB=xl

(0≤x≤l)这就是FRB的影响线方程。由此方程知，FRB的影响线是一条直线。在A点，x=0，FRA=0。在B点，x=1，FRB=1。利用这两个竖距便可以画出FRB的影响线，如图8-2b所示。(1)支座反力FRB影响线作法如图8-2a所示简支梁，将75(2)支座反力FRA影响线作法将FP=1放在任意位置，距A点为x。由平衡条件解得这就是FRA的影响线方程。由此方程知，FRA的影响线也是一条直线。在A点，x=0，FRA=1。在B点，x=1，FRB=0。利用这两个竖距便可以画出FRA的影响线，如图8-2c所示。(2)支座反力FRA影响线作法将FP=1放在任意位置，距76图8-2(2)支座反力FRA影响线作法图8-2(2)支座反力FRA影响线作法772.剪力影响线作法简支梁剪力影响线的简单作法是：在一个简支梁上同时作出FA和-FB的影响线，在所求剪力FQ截面处作一竖线，所截取的两个三角形，即为剪力FQ在此截面的影响线，如图8-2d所示。其他任意截面剪力影响线作法更简便了，将竖线推到什么截面就生成什么截面的剪力影响线。剪力影响线系数为无量纲量。2.剪力影响线作法简支梁剪力影响线的简单作法是：在一个简支梁783.弯矩影响线作法由此得简支梁作弯矩影响线简易作法：先作一基线，在基线对应所作弯矩影响线截面处作一竖线，其值为ab/l，连接A、B两端，即为此截面弯矩的影响线，如图8-2e所示。弯矩影响系数其量纲为L，单位为m3.弯矩影响线作法由此得简支梁作弯矩影响线简易作法：先作一基793.弯矩影响线作法【例8-1】试用静力法绘制图8-3所示外伸梁的FAy、FBy、FQC、MC、FQD、MD的影响线。【解】(1)绘制反力FAy、FBy的影响线。取A点为坐标原点，横坐标x向右为正。当荷载F＝1作用于梁上任一点x时，分别求得反力FAy、FBy的影响线方程为以上两个方程与相应的简支梁的反力影响线方程完全相同，只是x的取值范围有所扩大而已，因此，只需将相应简支梁的反力影响线向两个伸臂部分延长，即可绘出整个外伸梁的反力FAy和FBy的影响线，分别如图8-3b、c所示。3.弯矩影响线作法【例8-1】试用静力法绘制图8-3所示外伸803.弯矩影响线作法(2)绘制剪力FQC、弯矩MC的影响线当F＝1作用于截面C以左时，取截面C右边为隔离体，求得影响线方程为当F＝1作用于截面以右时，取截面C左边为隔离体，求得影响线方程为由上可知，FQC和MC的影响线方程也与简支梁的相同。因而与绘制反力影响线一样，只需将相应简支梁的FQC和MC的影响线向两外伸臂部分延长，即可得到外伸梁的FQC和MC的影响线，分别如图8-3d、e图所示。3.弯矩影响线作法(2)绘制剪力FQC、弯矩MC的影响线813.弯矩影响线作法(3)绘制剪力FQD、弯矩MD的影响线。当F＝1作用于截面D以左时，取截面D右边为隔离体，求得影响线方程为当F＝1作用于截面D以右时，仍取截面D右边为隔离体，求得影响线方程为

若取坐标原点为D，x向右为正，则MD弯矩方程为由上绘出FQD和MD的影响线分别如图8-3f、g所示。

3.弯矩影响线作法(3)绘制剪力FQD、弯矩MD的影响线。823.弯矩影响线作法图8-33.弯矩影响线作法图8-383图8-43.弯矩影响线作法图8-43.弯矩影响线作法843.弯矩影响线作法(1)荷载类型不同绘弯矩的影响线时，所受的荷载是单位移动荷载FP＝1；而绘弯矩图时，所受的荷载则是固定荷载F。

(2)自变量x表示的含义不同弯矩影响线方程的自变量x表示单位移动荷载F＝1的作用位置，而弯矩方程中的自变量x表示的则是截面位置。(3)竖距表示的意义不同MC的影响线中任一点D的竖距表示单位移动荷载F＝1作用于点D时，截面C上弯矩的大小，即MC的影响线只表示C截面上的弯矩MC在单位荷载移动时的变化规律，与其他截面上的弯矩无关。

(4)绘制规定不同MC的影响线中的正弯矩画在基线的上方，负弯矩画在基线的下方，标明正负号。3.弯矩影响线作法(1)荷载类型不同绘弯矩的影响线时，85★第三节结点荷载作用下梁的影响线(1)支座反力FRA和FRB的影响线

(2)MC的影响线C点正好是结点。

(3)MD的影响线MD的影响线如图8-5c所示。

(4)FQCE的影响线在结点荷载作用下，主梁在C、E两点之间没有外力，因此CE一段各截面的剪力都相等，通常称为结间剪力，以FQCE表示。★第三节结点荷载作用下梁的影响线(1)支座反力FRA和FR86★第三节结点荷载作用下梁的影响线图8-5★第三节结点荷载作用下梁的影响线图8-587(1)支座反力FRA和FRB的影响线支座反力FRA和FRB的影响线，与图8-2b、c完全相同，在图8-5中没有画出。(1)支座反力FRA和FRB的影响线支座反力FRA和FRB的88(2)MC的影响线FP=1在C点以右时，利用FRA求MC；FP=1在C点以左时，利用FRB求MC。由此可知，MC的影响线作法与图8-2e完全相同，如图8-5b所示。C点的竖距为(2)MC的影响线FP=1在C点以右时，利用FRA求MC；89(3)MD的影响线先假设FP=1直接加于主梁AB，则MD的影响线为一三角形(其中CE段为虚线)。D点的竖距为由比例可知，C、E两点的竖距为将C、E两点的竖距连一直线，就得到结点荷载作用下MD的影响线，如图中实线所示。(3)MD的影响线先假设FP=1直接加于主梁AB，则MD90(3)MD的影响线为了证明上述作法的正确性，只需注意以下两点：1)如果单位荷载加在C点或E点，则结点荷载与直接荷载完全相同，所以在结点荷载作用下MD影响线在C点的竖距yC和E点的竖距yE与直接荷载作用下相应的竖距相等。

2)如单位荷载作用在C、E两点之间，其到C点的距离以x表示，则纵梁CE的反力如图8-5d所示。由此可得结论如下：

1)在结点荷载作用下，结构任何影响线在相邻两结点之间为一直线。

2)先作直接荷载作用下的影响线，用直线连接相邻两结点的竖距，就得到结点荷载作用下的影响线。(3)MD的影响线为了证明上述作法的正确性，只需注意以下91(4)FQCE的影响线在结点荷载作用下，主梁在C、E两点之间没有外力，因此CE一段各截面的剪力都相等，通常称为结间剪力，以FQCE表示。FQCE的影响线如图8-5e所示，是按照上述结论1作出的。

(4)FQCE的影响线在结点荷载作用下，主梁在C、E两92第四节用机动法作影响线机动法是以虚功原理为基础，把作内力或支座反力影响线的静力问题转化为作位移图的几何问题。机动法有一个优点：不需经过计算就能很快地绘出影响线的轮廓。因此，对于某些问题，用机动法处理特别方便，例如在确定荷载最不利位置时，往往只需知道影响线的轮廓，而无需求出其数值。另外，用静力法作出的影响线也可用机动法来校核。第四节用机动法作影响线机动法是以虚功原理为基础，把作内力或93第四节用机动法作影响线机动法作静定内力或支座反力的影响线的步骤如下：1)撤去与Z相应的约束，代以未知力Z。

2)使体系沿Z的正方向发生位移，作出荷载作用点的竖向位移图(δP图)，由此可定出Z的影响线的轮廓。

3)令δZ=1，可进一步定出影响线各竖距的数值。

4)横坐标以上的图形，影响系数取正号；横坐标以下的图形，影响系数取负号。第四节用机动法作影响线机动法作静定内力或支座反力的影响线的94第四节用机动法作影响线图8-6第四节用机动法作影响线图8-695图8-7第四节用机动法作影响线图8-7第四节用机动法作影响线96【例8-2】试用机动法作图8-7a所示简支梁弯矩和剪力的影响线。【解】(1)弯矩MC的影响线撤去与弯矩MC相应的约束(即在截面C处改为铰接)，代以一对等值反向力偶MC。这时，铰C的两侧的刚体可以相对转动。给体系以虚位移，如图8-7b所示。这里，与MC相应的位移δZ就是铰C两侧截面的相对转角。利用δZ可以确定位移图中的竖矩。由于δZ是微小转角，可先求得BB1=δZb。按几何关系，可求出C点竖向位移为ab/lδZ。这样，得到的位移图即代表MC的影响线的轮廓。第四节用机动法作影响线【例8-2】试用机动法作图8-7a所示简支梁弯矩和剪力的影响97为了求得影响系数的数值，再将图8-7b中的位移图除以δZ，即得到MC影响线如图8-7c所示，其中C点的影响系数为ab/l。应当指出，由于虚位移δZ是微小值，因此这里只说将δP，而不说令相对转角δZ=1rad。换句话说，如果仍采用“令δZ=1”的说法，则应理解为令竖向位移中的参数δZ等于1，而不是直接令相对转角δZ等于1rad。(2)剪力FQC的影响线撤去截面C处相应于剪力的约束，代以剪力FQC，得图8-7d所示的机构。此时，在截面C处能发生相对的竖向位移，但不能发生相对的转动和水平移动。因此，切口两边的梁在发生位移后保持平行，切口的相对竖向位移即为δZ。令δZ=1，由三角形几何关系即可确定影响线的各控制点数值(图8-7e)。第四节用机动法作影响线为了求得影响系数的数值，再将图8-7b中的位移图除以δZ，即98第五节影响线的应用影响线是处理移动荷载效应的工具，在此只研究利用影响线求支反力和内力值，确定荷载的最不利位置及最不利荷载等。第五节影响线的应用影响线是处理移动荷载效应的工具，在此只研99第五节影响线的应用一、求各荷载作用下的影响

二、求荷载的最不利位置

三、临界位置的判定第五节影响线的应用一、求各荷载作用下的影响

二、求荷载的最100一、求各荷载作用下的影响设有一组集中荷载FP1、FP2、FP3加于简支梁，位置已知如图8-8a所示。如FQC的影响线在各荷载作用点的竖距为y1、y2、y3，则由FP1产生的FQC等于FP1y1，FP2产生的FQC等于FP2y2，FP3产生的FQC等于FP3y3。根据叠加原理，可知，在这组荷载作用FQC的数值为一般说来，设有一组集中荷载FP1，FP2,…，FPn加于结构，而结构某量Z的影响线在各荷载作用处的竖距为y1，y2，…，yn,则一、求各荷载作用下的影响设有一组集中荷载FP1、FP2、FP101一、求各荷载作用下的影响如果结构在AB段承均布荷载q(图8-8b)作用,则微段dx上的荷载qdx可看做集中荷载,它所引起的Z值为y·qdx。因此，在AB段均布荷载作用下的Z值为这里，A0表示影响线图形在受载段AB上的面积。上式表示，均布荷载引起的Z值等于荷载集度乘以受载段的影响线面积。应用此式时，要注意面积A0的正负号。一、求各荷载作用下的影响如果结构在AB段承均布荷载q(图8-102一、求各荷载作用下的影响图8-8一、求各荷载作用下的影响图8-8103第五节影响线的应用【例8-3】图8-9所示为一简支梁，全跨受均布荷载作用。试利用截面C的剪力FQC影响线计算FQC的数值。【解】FQC的影响线正号部分的面积以A1表示，负号部分的面积以A2表示，则由式(8-5)得第五节影响线的应用【例8-3】图8-9所示为一简支梁，全跨104一、求各荷载作用下的影响图8-9一、求各荷载作用下的影响图8-9105第五节影响线的应用【例8-4】利用影响线求图8-10a所示简支梁在图示荷载作用下截面C上剪力FQC的数值。【解】绘出剪力FQC的影响线，如图8-10b所示。设影响线正号部分的面积为A1，负号部分的面积为A2，则有剪力FQC的影响线在力F作用点处的竖标y=12。由式(8-4)和式(8-5)，截面C上剪力FQC的数值为第五节影响线的应用【例8-4】利用影响线求图8-10a所示106一、求各荷载作用下的影响图8-10一、求各荷载作用下的影响图8-10107第五节影响线的应用如果荷载移动到某个位置，使某量Z达到最大值，则此荷载位置称为最不利位置。影响线的一个重要作用，就是用来确定荷载的最不利位置。对于以下简单情况，只需对影响线和荷载特性加以分析和判断，就可定出荷载的最不利位置。其判断的原则是：(1)应当把数量大、排列最密的荷载放在影响线竖距较大的部位；(2)如果移动荷载是单个集中荷载，则最不利位置就是这个集中荷载作用在影响线的竖距最大处；(3)如果移动荷载是一组集中荷载，则在最不利位置时，必有一个集中荷载作用在影响线的顶点，如图8-11示；(4)如果移动荷载是均布荷载，而且可以按任意方式分布，则其最不利位置是在影响线正号部分布满荷载(求最大正号值)，或者在负号部分布满荷载(求最大负号值)，如图8-12示。第五节影响线的应用如果荷载移动到某个位置，使某量Z达到最大108二、求荷载的最不利位置图8-11二、求荷载的最不利位置图8-11109二、求荷载的最不利位置图8-12二、求荷载的最不利位置图8-12110第五节影响线的应用【例8-5】图8-13a所示为两台吊车的轮压和轮距，试求吊车梁AB在截面C的最大正剪力。【解】先作出FQC的影响线，并标出荷载对应的系数(图8-13c)。要使FQC为最大正号剪力，首先，荷载应放在FQC影响线的正号部分。其次，应将排列较密的荷载(中间两个轮压)放在影响系数较大的部位(荷载435kN放在C点的右侧)。图8-13b所示为荷载的最不利位置。由此求得第五节影响线的应用【例8-5】图8-13a所示为两台吊车的111二、求荷载的最不利位置图8-13二、求荷载的最不利位置图8-13112三、临界位置的判定如果移动荷载是一组集中荷载，要确定某量Z的最不利荷载位置，通常分成两步进行：第一步，求出使Z达到极值的荷载位置。这种荷载位置称为荷载的临界位置。第二步，从荷载的临界位置中选出荷载的最不利位置。也就是从Z的极大值中选出最大值，从极小值中选出最小值。三、临界位置的判定如果移动荷载是一组集中荷载，要确定某量Z的113三、临界位置的判定图8-14三、临界位置的判定图8-14114三、临界位置的判定归结起来，确定荷载最不利位置的步骤如下：1)从荷载中选定一个集中力FPcr使它位于影响线的一个顶点上。2)当FPcr在该顶点稍左或稍右时，分别求∑FRitanαi的数值。如果∑FRitanαi变号(或由零变为非零)，则此荷载位置称为临界位置，而荷载FPcr称为临界荷载。如果∑FRitanαi不变号，则此荷载位置不是临界位置。3)对每个临界位置可求出Z的一个极值，然后从各种极值中选出最大值或最小值。同时，也就确定了荷载的最不利位置。三、临界位置的判定归结起来，确定荷载最不利位置的步骤如下：115三、临界位置的判定【例8-6】图8-15a所示为一组移动荷载，图8-15b为某量Z的影响线。该求荷载最不利位置和Z的最大值。已知FP1=FP2=FP3=FP4=FP5=90kN，q=37.8kN/m。【解】(1)试将FP4放在影响线的最高顶点荷载布置情况如图8-15c所示。(2)试算∑FRitanαi由图8-15b，得如果整个荷载稍向右移，各段荷载合力为三、临界位置的判定【例8-6】图8-15a所示为一组移动荷载116三、临界位置的判定如果稍向左移，则由于∑FRitanαi变号,故此位置是临界位置。(3)计算Z值(参见图8-15c中标出的影响系数)当影响线为三角形，临界位置的特点可以用更方便的形式表示出来。如图8-16所示，设Z的影响线为一三角形。如果求Z的极大值，则在临界位置必有一荷载FPcr正好在影响线的顶点上。三、临界位置的判定如果稍向左移，则117三、临界位置的判定以FLR表示FPcr左方荷载的合力，FRR表示FPcr右方荷载的合力，式(8-6)可写为荷载向右移，FLRtanα-(FPcr+FRR)tanβ≤0荷载向左移，(FLR+FPcr)tanα-FRRtanβ≥0在上两式中，代入tanα=c/a，tanβ=c/b，得

式(8-8)表明：临界位置的特点为有一集中荷载FPcr在影响线的顶点，将FPcr计入哪一边(左边或右边)，则哪一边荷载的平均集度要大。三、临界位置的判定以FLR表示FPcr左方荷载的合力，FRR118图8-15三、临界位置的判定图8-15三、临界位置的判定119图8-16三、临界位置的判定图8-16三、临界位置的判定120临界荷载Fcr的特点是：将Fcr计入哪一边，哪一边的荷载平均集度就大。有时临界荷载可能不止一个，须将相应的极值分别算出，进行比较。产生最大极值的那个荷载位置就是最不利荷载位置，该极值即为所求量值的最大值。现将确定最不利荷载位置的