理论力学课件第2章平面一般力系1

第二章平面一般力系1第二章平面一般力系1第二章平面一般力系

§2–1平面一般力系的简化§2–2平面一般力系的平衡§2–3物体系统的平衡§2–4考虑摩擦时的平衡问题§2–5平面静定桁架的内力2第二章平面一般力系§2–1本章重点：平面一般力系向平面内任一点的简化和简化结果的分析，平面一般力系的平衡条件及其应用，滑动摩擦力的特征，考虑摩擦时的平衡问题。本章难点：主矢和主矩的概念，平行力系的简化，物体系统的平衡，滑动摩擦力的确定，摩擦的两类问题。3本章重点：3平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力系。[例]屋架：有自重、风压力、约束反力。这些力构成平面一般力系。4平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力系。[平面一般力系包含以下几种特殊力系：

（1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。（2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平行的力系。

（3）平面力偶系：各力偶作用面共面。5平面一般力系包含以下几种特殊力系：（1）平面汇交力系：各力§2-1平面一般力系的简化一、力的平移定理可以把作用在刚体上点A的力平行移到任一指定点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原力对指定点B的矩。==证：6§2-1平面一般力系的简化一、力的平移定理==证：6●该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或一个力可分解为作用在同平面内的一个力和一个力偶。其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可等效或合成一个力。

●该定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体作用效应的重要方法。

例如单手攻丝时，丝锥易折断。

7●该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或一个力可分解88二、平面汇交力系的合成设有四个力组成的平面汇交力系，应用平行四边形法则：abcde（1）去掉虚线后的多边形称为力多边形。用此方法求合力，称为力多边形法则。（2）力多边形中，各分力首尾相接，环绕同一方向，合力反方向封闭力多边形。（3）改变分力的作图顺序，力多边形改变，但其合力不变。9二、平面汇交力系的合成设有四个力组成的平面汇交力系，应用平行对于由n个力组成的汇交力系，有平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和。

（a）以A点为原点建立直角坐标系，将（a）式向x、y轴投影：由矢量和投影定理：10对于由n个力组成的汇交力系，有平面汇交力系可合成为通过汇交当合力等于零，即时，汇交力系平衡。

此时，力多边形自行封闭这就是汇交力系平衡的几何条件。合力的大小：方向：作用点：力系的汇交点q11当合力等于零，即时，汇交力系平[例1]如图所示，作用于吊环螺钉上的四个力构成平面汇交力系。已知各力的大小为F1=360N，F2=550N，F3=380N，F4=300N，a1=60°,a3=30°,a4=70°,方向如图。试求合力的大小和方向。

解：选取图示坐标系，则12[例1]如图所示，作用于吊环螺钉上的四个力构成平面汇交力系。合力的大小和方向分别为由于为正，为负，故合力在第四象限，如图所示。三、平面力偶系的合成13合力的大小和方向分别为由于为正，为负设有两个力偶组成的力偶系 结论:平面力偶系合成结果是一个合力偶,合力偶矩等于原力偶系中各力偶矩的代数和。对由n个力偶组成的力偶系：==14设有两个力偶组成的力偶系 结论:平面力偶系合成结果是一个合力(c)(b)四、平面一般力系向作用面内任一点简化设刚体上作用一平面任意力系在力系作用面内任取一点O，称该点为简化中心（1）将各力平移至点O，得一平面汇交力系和一平面力偶系。（2）将平面汇交力系合成：原力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢（它是不是原力系的合力？），用

表示，即

m1m2mn=(a)15(c)(b)四、平面一般力系向作用面内任一点简化设刚体上作用(c)

(3)将平面力偶系合成：得到作用于力系平面内的一力偶，其力偶矩为:

=m1+m2+…+mn原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩（它是不是合力偶？）主矩一般与简化中心的位置有关（why？）。MOMO=主矢作用在简化中心O点，与简化中心位置无关（为什么？）。

=(a)(b)m1m2mn16(c)(3)将平面力偶系合成：得到作用于力系平面内的一力偶(c)(a)过O点建立直角坐标系，由矢量和投影定理，得主矢在x、y轴上的投影为：

则主矢的大小：yxyx方向：α结论：

平面一般力系向作用面内任一点简化，得到一个力和一个力偶。这力的大小和方向等于原力系的主矢，作用在简化中心；这力偶的矩等于原力系对简化中心的主矩。

MO17(c)(a)过O点建立直角坐标系，由矢量和投影定理，得主矢在固定端（插入端）约束18固定端（插入端）约束18

①=0,MO≠0

原力系简化为一合力偶。只有在这种情况下，主矩才与简化中心的位置无关，因为力偶对任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。

简化结果：主矢

，主矩MO

，下面分别讨论。五、简化结果的讨论合力矩定理②≠0,MO

=0,原力系简化为一个合力，合力（原力系各力的矢量和），作用线通过简化中心O。出现这种情况是因为简化中心刚好选在了合力的作用线上了。

1.简化结果的讨论

19①=0,MO≠0原力系简化为一合力偶。只有③≠0,MO

≠0（最一般的情况），此时可以进一步简化为一个合力。应用力的平移定理的逆过程：合力在主矢的左侧还是右侧？根据合力对简化中心矩的转向应与主矩MO的转向一致的原则来确定。合力的大小等于原力系的主矢合力的作用线位置20③≠0,MO≠0（最一般的情况），此时可以进一步简化为④=0，MO

=0，则力系平衡,以后讨论。

2.合力矩定理因此，平面一般力系向作用面内一点简化，有三种可能结果：合力、合力偶或平衡。由1③知,合力对O点的矩:又因为主矩:于是:即:平面一般力系的合力对力系所在平面内任一点的矩，等于力系中各力对同一点矩的代数和，这就是合力矩定理。21④=0，MO=0，则力系平衡,以后讨论。例如已知：如图F、a、a、b、c,求： 解：①由力对点的矩定义

②应用合力矩定理求d麻烦22例如已知：如图F、a、a、b、c,求：[例2]图示工字形工件的横截面受三力作用，大小分别为：F1=600N，F2=400N，F3=300N，试将此力系向A点简化并求简化的最后结果。图中长度单位:mm。

解:（1）计算主矢

建立直角坐标系Axy：

xy∴的大小：方向：θ=arctan│Rx'/Ry'│=53.10

因为Rx'为正，Ry'为负，所以主矢在第四象限。

θ23[例2]图示工字形工件的横截面受三力作用，大小分别为：F1（2）计算力系对A点的主矩

MA=0.1F1+0.1F3

=90N·m（3）求简化的最后结果xyθ由于

≠0，MA≠0，因此可进一步简化为一个合力，

d=│MA│/R'=90/500=0.18m=180mm

，R=R'=500N，合力作用线距A点θ注意:②不管是向A点简化，还是向其它点简化，简化的最后结果都是一样的。

①要在图上画出

、MA、

、d；MAd24（2）计算力系对A点的主矩MA=0.1F1+0.1F3（3§2-2平面一般力系的平衡条件与平衡方程一、平面一般力系的平衡方程平面任意力系向任一点简化，得到主矢及对简化中心的主矩MO。若MO=0，表明附加力偶系平衡25§2-2平面一般力系的平衡条件与平衡方程一、平面一般力系③三力矩式条件：A,B,C不在同一直线上①三个独立方程，只能求出三个未知数。①基本形式②二力矩式条件：x轴不AB连线②两投影轴可以不垂直（但不能平行）;矩心也可任选,不一定坐标原点（因为主矢等于零，主矩与简化中心的位置无关）。③采用那种形式，先列那个方程，应以简便为原则。26③三力矩式条件：A,B,C不在①三个独立方程，只能求出三个未

[例3]图示起重机，均质梁重Q=4.2kN，荷载W=10kN。不计杆BC自重，求平衡时A处的反力和杆BC受的力。解：以AB梁为研究对象。画受力图（以后对整体结构的受力图，可以直接画在原图上）S·6·sin300-3Q-4W=0(拉）27[例3]图示起重机，均质梁重Q=4.2kN，荷载W=1∑Xi=0,XA－S·cos300=0→XA=15.18kN∑Yi=0,YA－Q－W+S·sin300=0→

YA=5.44kN以上使用的是平衡方程的基本形式，如用二力矩式，则：∑Xi=0,同前3Q+2W－6YA=0，YA=5.44kN如使用三力矩式，则由可求得yx28∑Xi=0,XA－S·cos300=0→XA=1平面一般力系的解题步骤：1.选取研究对象2.画受力图3.选投影轴及矩心：尽可能使投影轴与力特别是未知力垂直，矩心尽可能选在力特别是未知力的交点上，以使每个方程中的未知量的数目最少。4.列方程求解：应先列只含一个未知量的方程，避免解联立方程。此外，计算力矩时要善于应用合力矩定理。29平面一般力系的解题步骤：1.选取研究对象2.画受力图3.选投二、平面汇交力系的平衡方程Oxy图示平面汇交力系，取汇交点O为简化中心，则于是，由平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面汇交力系的平衡方程：∑Xi=0∑Yi=030二、平面汇交力系的平衡方程Oxy图示平面汇交力系，取汇交点O[例4]已知如图P、Q，求平衡时=？地面的反力ND=？解：研究对象：球A

（其受力为平面汇交力系）由②得由①得式中:T1=P,T2=2P此题也可由∑mD=0，∑Yi=0求得。说明汇交力系也可以用力矩方程。31[例4]已知如图P、Q，求平衡时=？地三、平面平行力系的平衡方程图示平行力系，xy取如图所示直角坐标系，则∑Xi≡0于是，由平面一般力系平衡方程的基本形式及二力矩式，得平面平行力系的平衡方程：∑Yi=0基本形式二力矩式OAB连线不能平行于各力的作用线32三、平面平行力系的平衡方程图示平行力系，xy取如图所示直角坐[例5]

已知塔式起重机P=700kN,W=200kN(最大起重量)，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？（教材P40例2-3与此题类似） 33[例5]已知塔式起重机P=700kN,W=200kN限制条件：解得解：⑴

①首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小Q为：②空载时，W=0，起重机不向左翻倒的最大Q为：限制条件为：解得因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系：i，由i，34限制条件：解：⑴①首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA,NB为多少由平面平行力系的平衡方程可得：解得：35⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA,NB为多四、平面力偶系的平衡方程因为力偶在任一轴上的投影的代数和恒等于零，即∑Xi≡0∑Yi≡0所以，由平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面力偶系的平衡方程：∑mi=036四、平面力偶系的平衡方程因为力偶在任一轴上的投影的代数和恒等[例6]在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A、B端水平反力?解:各力偶的合力偶距为根据∑mi=0有:由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。37[例6]在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径§2-3静定与静不定问题的概念物体系统的平衡

独立方程数目≥未知量数目时，是静定问题（可求解）独立方程数目<未知量数目时，是静不定问题（超静定问题）每种力系的独立平衡方程数是一定的，因而能求解未知量的个数也是一定的。静不定次数：未知量的数目—独立平衡方程的数目一、静定、静不定问题38§2-3静定与静不定问题的概念物体系统的平衡[例]静定（未知数三个）静不定（未知数四个）静定（未知数两个）静不定（未知数三个）39[例]静定（未知数三个）静不定（未知数四个）静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解。静定（未知数三个）静不定（未知数四个）40静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调[例]二、物体系统的平衡问题外力：外界物体作用于系统上的力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力。物体系统（物系）：由两个及以上物体通过约束所组成的系统。41[例]二、物体系统的平衡问题外力：外界物体作用于系统上的力物系平衡的特点：①物系平衡，物系中每个物体也平衡。②在平面一般力系作用下，一个物体可列3个平衡方程，则由n个物体组成的系统可列3n个方程。

③要分清内力与外力，内力不画在受力图上。42物系平衡的特点：②在平面一般力系作用下，一个物体可列3[*例7]已知：OA=R,AB=l,当OA水平时，冲压力为P时，求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？④冲头给导轨的侧压力？ 解：研究B43[*例7]已知：OA=R,AB=l,当OA水平[负号表示力的方向与图中所设方向相反]再研究轮O44[负号表示力的方向与图中所设方向相反]再研究轮O44[例8]组合梁ABC所受荷载及支承情况如图所示。已知集中力P=10kN，均布荷载的集度q=20kN／m，力偶矩m=150kN·m，l=8m。试求A、C处的反力。（教材例2-6）解（1）以AB为研究对象：45[例8]组合梁ABC所受荷载及支承情况如图所示。已知集中力P(2)以整体为研究对象：mCyx46(2)以整体为研究对象：mCyx46前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。对于摩擦不是主要影响因素的问题，不考虑摩擦是可以的。但是，对于摩擦是主要影响因素的问题，摩擦就非考虑不可了。例如：重力坝就是靠摩擦阻止它向下游滑动；又如闸门，如果事先未考虑摩擦，那么，洪水来时要开闸门放水，但闸门却提不起来，后果就不堪设想。§2-4摩擦47前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物2.滑动摩擦产生的原因①接触面凸凹不平；②接触面间的分子凝聚力。1.什么是摩擦：当两物体接触处有相对滑动或相对滑动趋势时，在接触处的公切面内受到的阻碍，这种现象称为滑动摩擦。当两物体有相对滚动或相对滚动趋势时，物体间产生的对滚动的阻碍，就称为滚动摩擦。如车轮在地面上的滚动就受到滚动摩擦。本节主要讨论滑动摩擦。3.摩擦在工程中的重要性

稳定：如重力坝依靠摩擦而不使其在水压力的作用下滑动。482.滑动摩擦产生的原因1.什么是摩擦：3.摩擦在工程中的重要摩擦滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦、动滑动摩擦干摩擦、湿摩擦

传动：如带轮传动。

运输：如皮带运输。

制动：车辆等的制动。.......如果没有摩擦,世界就不可想象：人无法行走,汽车开动了就无法停止，......摩擦也有有害的一面：如阻碍运动，消耗能量，损坏机件，......。认识摩擦，就可以设法减小或消除其有害的一面，利用其有利的一面。4.摩擦分类49摩擦滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦、动滑动摩擦干摩擦、湿摩擦1、定义：当两物体接触处有相对滑动趋势时，其接触面产生阻止物体运动的力。（就是接触面对物体作用的切向约束反力）一、静滑动摩擦力2、特征：

当P较小时，物体处于静止平衡，由平衡方程得：F=P，P↑，F↑。0≤F≤Fmax当P增大到某一数值时，物体处于将动但还未动的状态，称为临界平衡状态，此时摩擦力达到最大值Fmax。方向：与物体相对滑动趋势方向相反501、定义：当两物体接触处有相对滑动趋势时，其接触面一、静滑3、静滑动摩擦定律（又称库仑定律）：f——静滑动摩擦系数（只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关）。N——正压力4、摩擦角：①全约束反力：法向反力与静摩擦力的合力R。②摩擦角：当摩擦力达到最大值Fmax时其全约束反力与法线的夹角。静摩擦力的最大值与接触面法向反力成正比，即

Fmax=fN所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力N②加大摩擦系数f

513、静滑动摩擦定律（又称库仑定律）：f——静滑动摩擦系数（翻页请看动画即摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数。摩擦角也是表示材料摩擦性质的物理量。

③摩擦锥：当主动力的方向发生改变时，最大摩擦力的方向也随之改变，最大全约束反力的方向也随之改变。因此，最大全约束反力的作用线将形成一个以接触点为顶点的锥面，称为摩擦锥。如物体间的摩擦系数沿各个方向都相同，则摩擦锥是一个顶角为的正圆锥。

52翻页请看动画即摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数。摩擦角也是表示53535、自锁

自锁条件： 工程中常用自锁原理设计某些机构和夹具，如爬电线杆的脚套钩在人爬电线杆时不会下滑；螺旋千斤顶顶起重物不会自行下落等。而在另外一些情况下则要避免自锁现象，如变速箱中的滑动齿轮、水坝闸门等。如果主动力的合力

的作用线在摩擦锥之内，则无论Q多大，物体总是保持平衡。这种现象称为摩擦自锁。

如果主动力的合力的作用线在摩擦锥外，则无论Q多小，物体一定不会平衡（会滑动）。545、自锁 自锁条件： 工程中常用自锁摩擦系数的测定：OA绕O轴转动使物块刚开始下滑时测出a角，f=tan

a。（翻页请看动画）自锁应用举例斜面上物体自锁条件是斜面的倾角小于或等于摩擦角。55摩擦系数的测定：OA绕O轴转动使物块刚开始下滑时测出a角，5656（翻页请看动画）千斤顶原理：千斤顶螺纹展开后为一斜面，当时千斤顶自锁，即受重物作用不会自行回落。57（翻页请看动画）千斤顶原理：千斤顶螺纹展开后为一斜面，当58583、大小：动滑动摩擦定律： （无平衡范围）方向：与物体相对运动方向相反 二、动滑动摩擦力1、定义：当两物体接触处有相对滑动时，其接触面产生阻止物体运动的力。2、状态：滑动（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）。一般：f'＜f，∴F'＜Fmax（f'只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。）593、大小：动滑动摩擦定律： （无③当物体滑动时，滑动摩擦力F'=f'N，其指向不能假设，必须与物体的运动方向相反。综述：①当物体处于静止平衡时，0≤F≤Fmax，静摩擦力由平衡方程确定，因此，摩擦力的指向可以假设，由计算结果判断假设的正确性。②当物体处于临界平衡状态时，F=Fmax=fN，其指向不能假设，必须与物体的运动趋势相反。主动力FFmaxF'静止临界滑动（翻页请看动画）60③当物体滑动时，滑动摩擦力F'=f'N，其指向不能假设，6161下图滚子的受力分析中，有：

出现这种现象的原因是，实际接触面并不是刚体，它们在力的作用下都会发生一些变形.三、滚动摩擦的概念

与

形成主动力偶使滚子前滚，但当Q较小时，滚子并未滚动。62下图滚子的受力分析中，有：出现这种现此力系向A点简化滚动摩擦力偶与主动力偶（）相平衡①滚阻力偶m随主动力偶（

）的增大而增大;②0≤m≤mmax 有个平衡范围;③mmax与滚子半径无关;④滚动摩擦定律：mmax=dN，d为滚动摩擦系数。63此力系向A点简化滚动摩擦力偶与主动力偶（滚动摩擦系数d的说明：①有长度量纲，单位一般用mm,cm；②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。③d的物理意义:法向反力向滚动方向移动的距离。使轮子滚动要比使轮子滑动容易得多，所以生产实践中常以滚动代替滑动。由于滚阻系数很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力偶不计，即滚动摩擦忽略不计。64滚动摩擦系数d的说明：法向反力向滚动方向移动的距离。使轮考虑滑动摩擦的平衡问题与前面所述大致相同，但有如下特点：

[例9]已知：a（＞j）

，G，f，求使物体不滑动的水平力Q的大小。（翻页请看动画）四、考虑摩擦时的平衡问题1．受力分析时必需考虑接触面的摩擦力；2．除平衡方程外，还必须列写补充方程，Fmax=fN；3．因为0≤F≤Fmax，所以平衡问题的解是一个范围。此类问题是求物体处于平衡时的某些量（如主动力、物体的尺寸、位置、f等），解题步骤为：（1）设物体沿一方向处于临界平衡状态，列平衡方程及Fmax=fN求解。（2）设物体沿相反方向处于临界平衡状态，列平衡方程及Fmax=fN求解。65考虑滑动摩擦的平衡问题与前面所述大致相同，但有如下特点：[6666解：①先求使物体不致于上滑的图(1)考虑物体有上滑趋势的临界平衡状态:67解：①先求使物体不致于上滑的图(1)考虑物体另：用摩擦角求解由图：68另：用摩擦角求解由图：68解得：平衡范围应是②再求使物体不致下滑的Qmin图(2)考虑物体有下滑趋势的临界平衡状态,同理：可以看出：（1）若f=0（tanj

=0），则Q=Qmax=Qmin=Gtana，唯一（2）若a=j

，则Qmin=0，即自锁；若a＜

j，则Qmin为负值，也为自锁，即以一定大小的向左的力Q，物体也不下滑。69解得：平衡范围应是②再求使物体不致下滑的Qmin图(2)可[例10]已知物块重G=980N，斜面倾角a=30°，f=0.2，f'=0.15。平行于斜面的力Q=588N，求物块与斜面间的摩擦力。此类问题为：已知主动力及f、f'，求摩擦力。解题步骤：（1）假设物体静止，由平衡方程求平衡时所需的F。（3）比较│F│和Fmax：如果│F│≤Fmax，则假设正确，F即为所求（其中│F│＜Fmax时物体为静止平衡状态，│F│＝Fmax时物体为临界平衡状态）。（2）求Fmax=fN如果│F│＞Fmax，则假设错误，物体滑动，F'=f'N。

70[例10]已知物块重G=980N，斜面倾角a=30°，f=0解：以物块为研究对象假设物块静止且有下滑的趋势，则∑Xi=0,Q–Gsina+F=0——①∑Yi=0,N–Gcosa=0——②F=Gsina–Q=–

98NN=Gcosa=848.7N(说明

的实际指向与假设相反，即实际指向沿斜面向下，物块实际有上滑的趋势）Fmax=fN=169.7N∵│F│＜Fmax，∴假设正确，物块静止，│F│=98N，方向沿斜面向下。xy71解：以物块为研究对象假设物块静止且有下滑的趋势，则∑Xi=如果Q=200N？则由①式得F=290N由②式得N=848.7N(实际指向与假设相同）Fmax=fN=169.7N∵│F│＞Fmax，∴假设错误，物块滑动，F'=f'N=127.3N，方向沿斜面向上。xy72如果Q=200N？则由①式得F=290N由②式得N=848[例11]均质杆重500N，轮重300N，R=0.4m，r=0.1m，fA=0.4，fB=0.2。不计滚动摩擦，求拉动轮所需的的最小值。解：1.以杆OC为研究对象：73[例11]均质杆重500N，轮重300N，R=0.4m，r=2.以轮为研究对象（轮有向右运动的趋势）：（1）假设A点先B达到临界平衡状态，则[分析]轮的状态为：要么A点先B达到临界平衡状态，要么B点先A达到临界平衡状态，要么A、B两点同时达到临界平衡状态。742.以轮为研究对象（轮有向右运动的趋势）：（1）假设A点先B∴Qmin=[Q1，Q2]=Q1=222.2N（若Q1=Q2，说明A、B两点同时达到临界平衡状态）（2）假设B点先A达到临界平衡状态，则也可以不用（2）而是在（1）中验证：若FB≤FBmax则假设正确，Q即为所求；若FB＞FBmax，则B点先A达到临界平衡状态。75∴Qmin=[Q1，Q2]=Q1=222.2N（若Q1=Q2*练习:作出下列各物体的受力图 ①P最小维持平衡 ②P

最大维持平衡 状态受力图；状态受力图76*练习:作出下列各物体的受力图76第二章平面一般力系77第二章平面一般力系1第二章平面一般力系

§2–1平面一般力系的简化§2–2平面一般力系的平衡§2–3物体系统的平衡§2–4考虑摩擦时的平衡问题§2–5平面静定桁架的内力78第二章平面一般力系§2–1本章重点：平面一般力系向平面内任一点的简化和简化结果的分析，平面一般力系的平衡条件及其应用，滑动摩擦力的特征，考虑摩擦时的平衡问题。本章难点：主矢和主矩的概念，平行力系的简化，物体系统的平衡，滑动摩擦力的确定，摩擦的两类问题。79本章重点：3平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力系。[例]屋架：有自重、风压力、约束反力。这些力构成平面一般力系。80平面一般力系：各力的作用线都在同一平面内且任意分布的力系。[平面一般力系包含以下几种特殊力系：

（1）平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。（2）平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且相互平行的力系。

（3）平面力偶系：各力偶作用面共面。81平面一般力系包含以下几种特殊力系：（1）平面汇交力系：各力§2-1平面一般力系的简化一、力的平移定理可以把作用在刚体上点A的力平行移到任一指定点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原力对指定点B的矩。==证：82§2-1平面一般力系的简化一、力的平移定理==证：6●该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或一个力可分解为作用在同平面内的一个力和一个力偶。其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可等效或合成一个力。

●该定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体作用效应的重要方法。

例如单手攻丝时，丝锥易折断。

83●该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或一个力可分解848二、平面汇交力系的合成设有四个力组成的平面汇交力系，应用平行四边形法则：abcde（1）去掉虚线后的多边形称为力多边形。用此方法求合力，称为力多边形法则。（2）力多边形中，各分力首尾相接，环绕同一方向，合力反方向封闭力多边形。（3）改变分力的作图顺序，力多边形改变，但其合力不变。85二、平面汇交力系的合成设有四个力组成的平面汇交力系，应用平行对于由n个力组成的汇交力系，有平面汇交力系可合成为通过汇交点的合力，其大小和方向等于各分力的矢量和。

（a）以A点为原点建立直角坐标系，将（a）式向x、y轴投影：由矢量和投影定理：86对于由n个力组成的汇交力系，有平面汇交力系可合成为通过汇交当合力等于零，即时，汇交力系平衡。

此时，力多边形自行封闭这就是汇交力系平衡的几何条件。合力的大小：方向：作用点：力系的汇交点q87当合力等于零，即时，汇交力系平[例1]如图所示，作用于吊环螺钉上的四个力构成平面汇交力系。已知各力的大小为F1=360N，F2=550N，F3=380N，F4=300N，a1=60°,a3=30°,a4=70°,方向如图。试求合力的大小和方向。

解：选取图示坐标系，则88[例1]如图所示，作用于吊环螺钉上的四个力构成平面汇交力系。合力的大小和方向分别为由于为正，为负，故合力在第四象限，如图所示。三、平面力偶系的合成89合力的大小和方向分别为由于为正，为负设有两个力偶组成的力偶系 结论:平面力偶系合成结果是一个合力偶,合力偶矩等于原力偶系中各力偶矩的代数和。对由n个力偶组成的力偶系：==90设有两个力偶组成的力偶系 结论:平面力偶系合成结果是一个合力(c)(b)四、平面一般力系向作用面内任一点简化设刚体上作用一平面任意力系在力系作用面内任取一点O，称该点为简化中心（1）将各力平移至点O，得一平面汇交力系和一平面力偶系。（2）将平面汇交力系合成：原力系中各力的矢量和称为力系的主矢量，简称主矢（它是不是原力系的合力？），用

表示，即

m1m2mn=(a)91(c)(b)四、平面一般力系向作用面内任一点简化设刚体上作用(c)

(3)将平面力偶系合成：得到作用于力系平面内的一力偶，其力偶矩为:

=m1+m2+…+mn原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩（它是不是合力偶？）主矩一般与简化中心的位置有关（why？）。MOMO=主矢作用在简化中心O点，与简化中心位置无关（为什么？）。

=(a)(b)m1m2mn92(c)(3)将平面力偶系合成：得到作用于力系平面内的一力偶(c)(a)过O点建立直角坐标系，由矢量和投影定理，得主矢在x、y轴上的投影为：

则主矢的大小：yxyx方向：α结论：

平面一般力系向作用面内任一点简化，得到一个力和一个力偶。这力的大小和方向等于原力系的主矢，作用在简化中心；这力偶的矩等于原力系对简化中心的主矩。

MO93(c)(a)过O点建立直角坐标系，由矢量和投影定理，得主矢在固定端（插入端）约束94固定端（插入端）约束18

①=0,MO≠0

原力系简化为一合力偶。只有在这种情况下，主矩才与简化中心的位置无关，因为力偶对任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。

简化结果：主矢

，主矩MO

，下面分别讨论。五、简化结果的讨论合力矩定理②≠0,MO

=0,原力系简化为一个合力，合力（原力系各力的矢量和），作用线通过简化中心O。出现这种情况是因为简化中心刚好选在了合力的作用线上了。

1.简化结果的讨论

95①=0,MO≠0原力系简化为一合力偶。只有③≠0,MO

≠0（最一般的情况），此时可以进一步简化为一个合力。应用力的平移定理的逆过程：合力在主矢的左侧还是右侧？根据合力对简化中心矩的转向应与主矩MO的转向一致的原则来确定。合力的大小等于原力系的主矢合力的作用线位置96③≠0,MO≠0（最一般的情况），此时可以进一步简化为④=0，MO

=0，则力系平衡,以后讨论。

2.合力矩定理因此，平面一般力系向作用面内一点简化，有三种可能结果：合力、合力偶或平衡。由1③知,合力对O点的矩:又因为主矩:于是:即:平面一般力系的合力对力系所在平面内任一点的矩，等于力系中各力对同一点矩的代数和，这就是合力矩定理。97④=0，MO=0，则力系平衡,以后讨论。例如已知：如图F、a、a、b、c,求： 解：①由力对点的矩定义

②应用合力矩定理求d麻烦98例如已知：如图F、a、a、b、c,求：[例2]图示工字形工件的横截面受三力作用，大小分别为：F1=600N，F2=400N，F3=300N，试将此力系向A点简化并求简化的最后结果。图中长度单位:mm。

解:（1）计算主矢

建立直角坐标系Axy：

xy∴的大小：方向：θ=arctan│Rx'/Ry'│=53.10

因为Rx'为正，Ry'为负，所以主矢在第四象限。

θ99[例2]图示工字形工件的横截面受三力作用，大小分别为：F1（2）计算力系对A点的主矩

MA=0.1F1+0.1F3

=90N·m（3）求简化的最后结果xyθ由于

≠0，MA≠0，因此可进一步简化为一个合力，

d=│MA│/R'=90/500=0.18m=180mm

，R=R'=500N，合力作用线距A点θ注意:②不管是向A点简化，还是向其它点简化，简化的最后结果都是一样的。

①要在图上画出

、MA、

、d；MAd100（2）计算力系对A点的主矩MA=0.1F1+0.1F3（3§2-2平面一般力系的平衡条件与平衡方程一、平面一般力系的平衡方程平面任意力系向任一点简化，得到主矢及对简化中心的主矩MO。若MO=0，表明附加力偶系平衡101§2-2平面一般力系的平衡条件与平衡方程一、平面一般力系③三力矩式条件：A,B,C不在同一直线上①三个独立方程，只能求出三个未知数。①基本形式②二力矩式条件：x轴不AB连线②两投影轴可以不垂直（但不能平行）;矩心也可任选,不一定坐标原点（因为主矢等于零，主矩与简化中心的位置无关）。③采用那种形式，先列那个方程，应以简便为原则。102③三力矩式条件：A,B,C不在①三个独立方程，只能求出三个未

[例3]图示起重机，均质梁重Q=4.2kN，荷载W=10kN。不计杆BC自重，求平衡时A处的反力和杆BC受的力。解：以AB梁为研究对象。画受力图（以后对整体结构的受力图，可以直接画在原图上）S·6·sin300-3Q-4W=0(拉）103[例3]图示起重机，均质梁重Q=4.2kN，荷载W=1∑Xi=0,XA－S·cos300=0→XA=15.18kN∑Yi=0,YA－Q－W+S·sin300=0→

YA=5.44kN以上使用的是平衡方程的基本形式，如用二力矩式，则：∑Xi=0,同前3Q+2W－6YA=0，YA=5.44kN如使用三力矩式，则由可求得yx104∑Xi=0,XA－S·cos300=0→XA=1平面一般力系的解题步骤：1.选取研究对象2.画受力图3.选投影轴及矩心：尽可能使投影轴与力特别是未知力垂直，矩心尽可能选在力特别是未知力的交点上，以使每个方程中的未知量的数目最少。4.列方程求解：应先列只含一个未知量的方程，避免解联立方程。此外，计算力矩时要善于应用合力矩定理。105平面一般力系的解题步骤：1.选取研究对象2.画受力图3.选投二、平面汇交力系的平衡方程Oxy图示平面汇交力系，取汇交点O为简化中心，则于是，由平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面汇交力系的平衡方程：∑Xi=0∑Yi=0106二、平面汇交力系的平衡方程Oxy图示平面汇交力系，取汇交点O[例4]已知如图P、Q，求平衡时=？地面的反力ND=？解：研究对象：球A

（其受力为平面汇交力系）由②得由①得式中:T1=P,T2=2P此题也可由∑mD=0，∑Yi=0求得。说明汇交力系也可以用力矩方程。107[例4]已知如图P、Q，求平衡时=？地三、平面平行力系的平衡方程图示平行力系，xy取如图所示直角坐标系，则∑Xi≡0于是，由平面一般力系平衡方程的基本形式及二力矩式，得平面平行力系的平衡方程：∑Yi=0基本形式二力矩式OAB连线不能平行于各力的作用线108三、平面平行力系的平衡方程图示平行力系，xy取如图所示直角坐[例5]

已知塔式起重机P=700kN,W=200kN(最大起重量)，尺寸如图。求：①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？②当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？（教材P40例2-3与此题类似） 109[例5]已知塔式起重机P=700kN,W=200kN限制条件：解得解：⑴

①首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小Q为：②空载时，W=0，起重机不向左翻倒的最大Q为：限制条件为：解得因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系：i，由i，110限制条件：解：⑴①首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA,NB为多少由平面平行力系的平衡方程可得：解得：111⑵求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA,NB为多四、平面力偶系的平衡方程因为力偶在任一轴上的投影的代数和恒等于零，即∑Xi≡0∑Yi≡0所以，由平面一般力系平衡方程的基本形式，得平面力偶系的平衡方程：∑mi=0112四、平面力偶系的平衡方程因为力偶在任一轴上的投影的代数和恒等[例6]在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A、B端水平反力?解:各力偶的合力偶距为根据∑mi=0有:由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。113[例6]在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径§2-3静定与静不定问题的概念物体系统的平衡

独立方程数目≥未知量数目时，是静定问题（可求解）独立方程数目<未知量数目时，是静不定问题（超静定问题）每种力系的独立平衡方程数是一定的，因而能求解未知量的个数也是一定的。静不定次数：未知量的数目—独立平衡方程的数目一、静定、静不定问题114§2-3静定与静不定问题的概念物体系统的平衡[例]静定（未知数三个）静不定（未知数四个）静定（未知数两个）静不定（未知数三个）115[例]静定（未知数三个）静不定（未知数四个）静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解。静定（未知数三个）静不定（未知数四个）116静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调[例]二、物体系统的平衡问题外力：外界物体作用于系统上的力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力。物体系统（物系）：由两个及以上物体通过约束所组成的系统。117[例]二、物体系统的平衡问题外力：外界物体作用于系统上的力物系平衡的特点：①物系平衡，物系中每个物体也平衡。②在平面一般力系作用下，一个物体可列3个平衡方程，则由n个物体组成的系统可列3n个方程。

③要分清内力与外力，内力不画在受力图上。118物系平衡的特点：②在平面一般力系作用下，一个物体可列3[*例7]已知：OA=R,AB=l,当OA水平时，冲压力为P时，求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？④冲头给导轨的侧压力？ 解：研究B119[*例7]已知：OA=R,AB=l,当OA水平[负号表示力的方向与图中所设方向相反]再研究轮O120[负号表示力的方向与图中所设方向相反]再研究轮O44[例8]组合梁ABC所受荷载及支承情况如图所示。已知集中力P=10kN，均布荷载的集度q=20kN／m，力偶矩m=150kN·m，l=8m。试求A、C处的反力。（教材例2-6）解（1）以AB为研究对象：121[例8]组合梁ABC所受荷载及支承情况如图所示。已知集中力P(2)以整体为研究对象：mCyx122(2)以整体为研究对象：mCyx46前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下都存在有摩擦。对于摩擦不是主要影响因素的问题，不考虑摩擦是可以的。但是，对于摩擦是主要影响因素的问题，摩擦就非考虑不可了。例如：重力坝就是靠摩擦阻止它向下游滑动；又如闸门，如果事先未考虑摩擦，那么，洪水来时要开闸门放水，但闸门却提不起来，后果就不堪设想。§2-4摩擦123前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物2.滑动摩擦产生的原因①接触面凸凹不平；②接触面间的分子凝聚力。1.什么是摩擦：当两物体接触处有相对滑动或相对滑动趋势时，在接触处的公切面内受到的阻碍，这种现象称为滑动摩擦。当两物体有相对滚动或相对滚动趋势时，物体间产生的对滚动的阻碍，就称为滚动摩擦。如车轮在地面上的滚动就受到滚动摩擦。本节主要讨论滑动摩擦。3.摩擦在工程中的重要性

稳定：如重力坝依靠摩擦而不使其在水压力的作用下滑动。1242.滑动摩擦产生的原因1.什么是摩擦：3.摩擦在工程中的重要摩擦滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦、动滑动摩擦干摩擦、湿摩擦

传动：如带轮传动。

运输：如皮带运输。

制动：车辆等的制动。.......如果没有摩擦,世界就不可想象：人无法行走,汽车开动了就无法停止，......摩擦也有有害的一面：如阻碍运动，消耗能量，损坏机件，......。认识摩擦，就可以设法减小或消除其有害的一面，利用其有利的一面。4.摩擦分类125摩擦滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦、动滑动摩擦干摩擦、湿摩擦1、定义：当两物体接触处有相对滑动趋势时，其接触面产生阻止物体运动的力。（就是接触面对物体作用的切向约束反力）一、静滑动摩擦力2、特征：

当P较小时，物体处于静止平衡，由平衡方程得：F=P，P↑，F↑。0≤F≤Fmax当P增大到某一数值时，物体处于将动但还未动的状态，称为临界平衡状态，此时摩擦力达到最大值Fmax。方向：与物体相对滑动趋势方向相反1261、定义：当两物体接触处有相对滑动趋势时，其接触面一、静滑3、静滑动摩擦定律（又称库仑定律）：f——静滑动摩擦系数（只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关）。N——正压力4、摩擦角：①全约束反力：法向反力与静摩擦力的合力R。②摩擦角：当摩擦力达到最大值Fmax时其全约束反力与法线的夹角。静摩擦力的最大值与接触面法向反力成正比，即

Fmax=fN所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力N②加大摩擦系数f

1273、静滑动摩擦定律（又称库仑定律）：f——静滑动摩擦系数（翻页请看动画即摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数。摩擦角也是表示材料摩擦性质的物理量。

③摩擦锥：当主动力的方向发生改变时，最大摩擦力的方向也随之改变，最大全约束反力的方向也随之改变。因此，最大全约束反力的作用线将形成一个以接触点为顶点的锥面，称为摩擦锥。如物体间的摩擦系数沿各个方向都相同，则摩擦锥是一个顶角为的正圆锥。

128翻页请看动画即摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数。摩擦角也是表示129535、自锁

自锁条件： 工程中常用自锁原理设计某些机构和夹具，如爬电线杆的脚套钩在人爬电线杆时不会下滑；螺旋千斤顶顶起重物不会自行下落等。而在另外一些情况下则要避免自锁现象，如变速箱中的滑动齿轮、水坝闸门等。如果主动力的合力

的作用线在摩擦锥之内，则无论Q多大，物体总是保持平衡。这种现象称为摩擦自锁。

如果主动力的合力的作用线在摩擦锥外，则无论Q多小，物体一定不会平衡（会滑动）。1305、自锁 自锁条件： 工程中常用自锁摩擦系数的测定：OA绕O轴转动使物块刚开始下滑时测出a角，f=tan

a。（翻页请看动画）自锁应用举例斜面上物体自锁条件是斜面的倾角小于或等于摩擦角。131摩擦系数的测定：OA绕O轴转动使物块刚开始下滑时测出a角，13256（翻页请看动画）千斤顶原理：千斤顶螺纹展开后为一斜面，当时千斤顶自锁，即受重物作用不会自行回落。133（翻页请看动画）千斤顶原理：千斤顶螺纹展开后为一斜面，当134583、大小：动滑动摩擦定律： （无平衡范围）方向：与物体相对运动方向相反 二、动滑动摩擦力1、定义：当两物体接触处有相对滑动时，其接触面产生阻止物体运动的力。2、状态：滑动（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）。一般：f'＜f，∴F'＜Fmax（f'只与材料和表面情况有关，与接触面积大小无关。）1353、大小：动滑动摩擦定律： （无③当物体滑动时，滑动摩擦力F'=f'N，其指向不能假设，必须与物体的运动方向相反。综述：①当物体处于静止平衡时，0≤F≤Fmax，静摩擦力由平衡方程确定，因此，摩擦力的指向可以假设，由计算结果判断假设的正确性。②当物体处于临界平衡状态时，F=Fmax=fN，其指向不能假设，必须与物体的运动趋势相反。主动力FFmaxF'静止临界滑动（翻页请看动画）136③当物体滑动时，滑动摩擦力F'=f'N，其指向不能假设，13761下图滚子的受力分析中，有：

出现这种现象的原因是，实际接触面并不是刚体，它们在力的作用下都会发生一些变形.三、滚动摩擦的概念

与

形成主动力偶使滚子前滚，但当Q较小时，滚子并未滚动。138下图滚子的受力分析中，有：出现这种现此力系向A点简化滚动摩擦力偶与主动力偶（）相平衡①滚阻力偶m随主动力偶（

）的增大而