力学教学讲解课件24

OO’Rr’rK系K’系相对绝对牵连从K系变换到K’系运动学动力学研究牛顿定律在参考系变换中的情况OO’Rr’rK系K’系相对绝对牵连从K系变换到K’1平动和转动平动：固联在参考系上的任一条直线，在各时刻方向总保持平行 的运动

平动不一定就是直线运动转动：参考系上的直线绕同一转轴作圆周运动＋＝平动转动平动和转动平动：固联在参考系上的任一条直线，在各时刻方向总2两个相对运动的参考系K，K’之间存在“牵连”加速度A

相对于“静止”参考系，牛顿定律成立：a：“绝对”在运动参考系中，a’：“相对”A=0和A≠0不同情况A=0A

≠0平动转动两个相对运动的参考系K，K’之间存在“牵连”加速度A相对3伽利略相对性原理与伽利略坐标变换A=0如K’相对于“静止”参考系K作匀速直线运动“牵连”速度V

不变相对于匀速直线运动参考系K’，牛顿运动定律仍然成立，力学现象的进行就和在“静止”参考系中一样伽利略相对性原理与伽利略坐标变换A=0如K’相对于4伽利略相对性原理一个对于惯性系作匀速直线运动的其他参考系，其内部所发生的一切物理过程，都不受系统作为整体的匀速直线运动的影响相互作匀速直线运动的各个参考系都是等价的如果把某个惯性系认定为静止的，那么相对于它作匀速直线运动的参考系也是惯性参考系同样有资格被称为静止的

伽利略相对性原理一个对于惯性系作匀速直线运动的其他参考系，其5对于物理学规律而言，一切惯性系都是等价的注意：“一切惯性系都是等价的”并不是说在不同惯性系中所看到的现象都是一样，而是指不同惯性系中的动力学规律都一样，从而都能正确地解释所看到的现象。例如：F=ma

形式不变经典力学中，“静止”并无绝对的意义 无论在惯性系内部进行什么样的力学测量，力学实验或力 学现象的观察，都不可能判断参考系是“静止的”还是“作匀 速直线运动” 在力学中，不存在绝对静止参考系，这就是伽利略相对性 原理或力学相对性原理对于物理学规律而言，一切惯性系都是等价的注意：“一切惯性6伽利略坐标变换适当选择坐标原点和时间起点，假定在t=0时刻两坐标系重合R=Vt伽利略坐标变换适当选择坐标原点和时间起点，假定在t=07K,K’

分别取直角坐标系(x,y,z)和(x’,y’,z’)由于坐标轴的取向可任意选择，可选取x

轴沿相对速度V的方向两惯性系间坐标的变换关系伽利略坐标变换式K,K’分别取直角坐标系(x,y,z)和(x’8伽利略坐标变换中强调了t,t’是相同的，即采用了绝对时间概念－古典力学中时间的绝对性但是在V

c

光速时，要采用狭义相对论中的洛伦兹变换其中相对论力学既适用于低速运动，也适用于高速运动在低速运动下，V<<c，有β<<1，γ→1，洛伦兹变换归结为伽利略变换伽利略坐标变换中强调了t,t’是相同的，即采用了绝对9平动参考系中的惯性力A≠0如参考系K’

自身相对于“静止”参考系K

的运动并非匀速直线运动，即A≠0表明牛顿定律相对于“运动”参考系K’不再成立K’为非惯性系令F-mA=F’，则F’=ma’，牛顿定律在形式上被恢复了平动参考系中的惯性力A≠0如参考系K’自身相对于“10将力的概念加以扩大，认为质点除受到其它物体作用于它的牛顿力F之外，还受到一种非物体相互作用的附加力–mA，惯性力

F惯=-mA引入惯性力之后，牛顿运动定律就“仍然”成立

F’

是质点在非惯性系K’中受到的总有效力它是“真实的”力F与“假想的”惯性力F惯的合成

惯性力F惯

是假想的， 因为不存在施力物体，从而不存在反作用力F’=F+F惯将力的概念加以扩大，认为质点除受到其它物体作用于它的牛顿力11关于惯性力，要指出：

提到牛顿力，都应当明确指出是哪一物体作用于哪一物体的;而质点所受的惯性力，却不能指出是哪一物体作用于这一质点物体的作用是相互的，每一牛顿力都有它的反作用力，惯性力并非物体之间的相互作用，因而不存在反作用力

选用了平动参考系，所有质点受到惯性力，其指向与“牵连”加速度A的指向相反，其大小正比于A的大小；各个质点所受的惯性力又正比于各质点的质量

关于惯性力，要指出：12超重与失重人站在台秤上，处在有竖直加速度a

的升降机里人受到：重力mg

惯性力f惯=-ma

有效重力为m(g-a)

台秤的读数物体的重量是用它作用在支撑物上的力来衡量台秤给人的支持力N

满足平衡条件：N+m(g-a)=0N=－m(g-a)人给台秤的反作用，即台秤受到的压力

N’=－N=m(g-a)超重与失重人站在台秤上，处在有竖直加速度a的升降机里物体13用惯性力来解释超重和失重若取向下(g方向)为正①加速度方向向上，即与g

反向，则–a

f惯=-m(-a)=ma

N’=mg＋f惯＝m(g+a)>mg

超重②加速度方向向下，即与g

同向，则a

f惯=-m(a)=-maN’=mg＋f惯＝m(g-a)<mg

失重当升降机自由降落时，a=g，人的重量为0，完全失重

用惯性力来解释超重和失重14例：宇宙飞船获得必要的速度以后，停止了发动机的工作，试求飞船中质量为m的质点的视重，其时飞船的重心C距地心距离为ρ0。CF惯PN视重：是静止于飞船中的物体施 于承托物的作用力求承托物给予质点的作用力N，其反作用力即是质点的视重

以飞船为参考系来研究质点，质点相对于飞船为静止质点受到重力P作用，指向地心，大小质点受到承托物给予的作用力N

?例：宇宙飞船获得必要的速度以后，停止了发动机的工作，试求飞船15飞船在停止了发动机的工作之后，就成为地球重力场中的“落体”

飞船所受重力指向地心，大小M是飞船的质量R为地球半径飞船的加速度a0

指向地心，大小飞船是具有加速度的参考系

考虑惯性力F惯

方向与a0指向相反，背离地心大小飞船在停止了发动机的工作之后，就成为地球重力场中的“落体”16xPF惯N①若质点位于A点，质点与地心距离大于飞船质心C与地心距离则视重-N背离地心指向地心CF惯PNA视重xPF惯N①若质点位于A点，质点与地心距离大于飞船质心C与17②若质点位于B点，质点与地心距离小于飞船质心C与地心距离则视重-N指向地心

指向背离地心CF惯PNB视重人们往往把视重的方向看作“下”方，若飞船足够大，则：在A处的人将感觉到地球在“上”方

在B处的人将感觉到地球在“下”方

②若质点位于B点，质点与地心距离小于飞船质心C与地心距离18事实上，飞船的尺度远小于其与地心的距离ρ0，飞船中质点与飞船重心C的距离r’<<ρ0，所以ρ0+r’cosθ≈ρ0飞船中所有质点的视重都等于0即使撤去承托物，质点也能保持平衡失重地球、飞船、飞船中的质点太阳、地球、地球上的质点由于地球的公转，就太阳的引力而言，地球上所有物体都是“失重”的相对于地球，研究地球上物体的运动，所有物体就和没有受到太阳的引力一样 事实上，飞船的尺度远小于其与地心的距离ρ0，飞船中质点与飞船19转动参考系中的惯性力转动圆盘O’OO点“静止”先讨论转动参考系最简单的情况质点相对于转系“相对静止”相对于转动圆盘：小球m静止相对速度v’=0；相对加速度a’=0绝对运动：相对于“静止”参考系小球作圆周运动“绝对”加速度包括： 向心加速度

切向加速度

若转速ω随时间而变转动参考系中的惯性力转动圆盘O’OO点“静止”先讨论转动20考虑动力学相对于“静止”参考系，牛顿运动定律成立“绝对”加速度

a，牛顿力F=ma小球有向心加速度受到向心力作用小球如有切向加速度受到切向力不是凭空而来的F合＝Fn+Ft向心力Fn

的反作用力，即小球对弹簧的反作用力，向外拉称为离心力Fn’考虑动力学相对于“静止”参考系，牛顿运动定律成立小球21相对于转动参考系小球静止：v’=0，a’=0向心力与切向力是牛顿力，与参考系选择无关小球受力作用而不运动转动参考系为非惯性参考系如果要把牛顿定律运用到这种情况，则存在一个力F惯＝－F

作用于物体上，才能使物体平衡惯性离心力：指向与Fn

相反，大小相等

若转速变化，则切向惯性力

相对于转动参考系小球静止：v’=0，a’=0向22离心力vs.

惯性离心力要区别离心力和惯性离心力离心力F’：不是作用于质点（小球）的力，是质点施于其它物体的牛顿力惯性离心力F惯：是在非惯性转动参考系中的观察者假想作用在物体上的一种惯性力离心力vs.惯性离心力要区别离心力和惯性离心力离心23例：试研究地面上物体的重量。所谓重量即静止于地球上的物体施于其承托物的力物体的重量是用它作用于支撑物上的力来衡量的以地球为参考系研究物体：物体相对于地球是静止的，物体受到地球的引力引力指向地心，大小m物体质量，M地球质量，R地球半径地球不断自转，是一个转动惯性系考虑惯性力例：试研究地面上物体的重量。所谓重量即静止于地球上的物体施24如物体所处纬度为，则与地轴垂直距离与地轴垂直而背离地轴地球自转角速度变动极小切向离心力可忽略取如图坐标系，物体相对于地球静止x方向：z方向：ωzxF惯F引P如物体所处纬度为，则与地轴垂直距离与地轴垂直而背离地轴25ω=2π弧度/恒星日=7.29212×10－5

弧度/秒，是一很小的数值ω=2π弧度/恒星日=7.29212×10－5弧度/26二项式展开二项式展开27惯性离心力对重量的影响有两方面：①惯性离心力的z分力，与引力指向相反，以致重量P比起真正的引力减小了。赤道上惯性离心力最大视重最小两极惯性离心力最小视重最大同一物体，在纬度越低的地点重量越小惯性离心力对重量的影响有两方面：①惯性离心力的z分力28②重量是引力与惯性离心力的合力，所以重量的指向偏离了引力的指向。偏离的角度由给出在两极，由于没有惯性离心力无偏离在赤道惯性离心力最大，但是与引力在同一直线上无偏离平常所说的竖直方向，即重量的方向，严格说来，并不指向地心而偏离一个小角度θ。由于ω很小，所以这个偏角θ在大多数情况下可以忽略。

②重量是引力与惯性离心力的合力，所以重量的指向偏离了引力的29惯性离心力正比于ω2，它的变化是二级小量在运动距离变化不太大的情况，惯性离心力可作为常力处理

作为常力，惯性力的效应是使重力的指向偏离地球吸引的指向，使重量小于地球引力只要总是用重力代替地球引力（其实其间的微小差别往往可以忽略），就已包含了惯性离心力的效应在内，不必另外再提出惯性离心力惯性离心力正比于ω2，它的变化是二级小量只要总是用重力代30P80页例14一水桶绕自身的铅直轴以角速度ω旋转，当水与桶一起转动时，水面的形状如何？

zr求解水面形状，即求解z－r曲线，即z(r)的函数形式在水桶参考系中，取右图坐标系液块dm

受力：重力(dm)g惯性离心力

有效重力为N=dm(g+ω2r

)N与液面处处垂直P80页例14zr求解水面形状，即求解z－r曲线，31积分得：积分得：32P80页例15质量为m

的小环套在半径为R

的光滑大圆环上，后者绕竖直直径以匀角速ω转动。试求小环的平衡位置随ω的变化。小环的平衡位置处，小环相对大环静止在大环参考系内，小环受到切向力ωRP80页例15小环的平衡位置处，小环相对大环静止在大环33平衡：只有在ω超过时，才成为可能平衡：只有在ω超过时，才成为可能34平衡位置是否稳定要从能量角度考虑

ω从静止缓慢增大，在未出现平衡位置C,D前，A是稳定的，B不稳

后，C、D稳定，而A失稳参见第三章：一维势能曲线部分平衡位置是否稳定要从能量角度考虑ω从静止缓慢增大，在未出35矢量表示角速度ω的矢量表示转动绕什么轴线转动？绕此轴线向哪一方向转动？转动的快慢？物理学中规定：角速度ω是个矢量

该矢量所在的直线就表明转动轴线－方向沿转轴指向按右手法则表明转动方向－拇指指向矢量指向，弯曲四指代表旋转方向长短表明转动快慢

矢量表示角速度ω的矢量表示转动绕什么轴线转动？物理学中36矢量积O2RrvO1ωv①O1情况：v=ωR，方向与ω、R平面垂直②O2情况：v=ω(rsinθ)，方向与ω、r

平面垂直规定右手螺旋：从ω转到r，前进方向为v的方向

v的大小：等于ω的大小、r的大小、ω与r夹角 的正弦三者乘积v的方向:用矢量积形式来描述v、ω、r的关系矢量积O2RrvO1ωv①O1情况：v=ωR，方37矢量的乘积，结果有两种①两矢量相乘后，得出一标量，称为标积，或点乘：A·B②两矢量相乘后，得出一矢量，称为矢积，或叉乘：A×Bv、ω、r的关系显然为叉乘

W=F

·S

为点乘矢量的乘积，结果有两种①两矢量相乘后，得出一标量，称为标积38矢量的点乘点乘服从交换律和分配律：A·B＝B·AA·(B+C)＝A·B+A·C交换律分配律基矢存在下列性质：A·B=|A||B|cosθθ为A、B间夹角

Bcosθ可看作B在A上的投影A=

Axi+Ayj+AzkB=

Bxi+Byj+BzkA·B=AxBx+AyBy+AzBz矢量的点乘点乘服从交换律和分配律：A·B＝B·AA·39两个矢量垂直的充要条件是：A·B=0两个矢量垂直的充要条件是：A·B=040矢量的叉乘定义：A×B=|A||B|sinθnono为同时垂直于A、B的单位向量θ为A、B间夹角，满足右手系基矢存在下列性质：点乘服从反交换律和分配律：A×B＝－B×AA×(B+C)＝A×B+A×C交换律分配律矢量的叉乘定义：A×B=|A||B|sinθnono为41叉乘A×B的几何意义：数值等于由A、B为边组成的平行四边形的面积方向与A、B组成的平面垂直，指向由右手法则规定叉乘A×B的几何意义：42叉乘的行列式表示叉乘的行列式表示43行列式求值法：①2阶行列式：红色实线乘积减去蓝色虚线乘积行列式求值法：①2阶行列式：红色实线乘积减去蓝色虚线乘44②3阶行列式：Sarrus法则②3阶行列式：Sarrus法则45力学教学讲解课件2446矢量的三重积三重标积

或混合积矢量的三重积三重标积47混合积的几何意义：①B×C是以B和C为边组成平行四边形的面积，方向沿法向②A·(B×C)则相当于再乘上A在法线上的投影三重积的绝对值等于以A、B、C三矢量为棱构成的平行六面体的体积其正负号与三重积中三矢量的循环次序有关定理：A、B、C三矢量共面的充要条件是它们的混合积等于0①其中至少有一个矢量为0矢量②其中至少有两个矢量共线、平行或反平行③其中有一矢量与其余两矢量的叉乘垂直混合积的几何意义：定理：A、B、C三矢量共面的充要条件是它们48∵计算平行六面体的体积与取哪一面为底无关点乘是可以交换的∴三矢量的轮换，以及“·”

“×”的对调，都不影响计算结果但是三矢量的循环次序不能变，否则差一个负号∵计算平行六面体的体积与取哪一面为底无关49II.三重矢积三重矢积的几何意义：B×C与B、C组成的平面Π垂直

A×(B×C)则与A

和(B×C)组成的平面垂直A×(B×C)与B、C共面

A×(B×C)是B、C的线性组合：A×(B×C)=a1B+a2CII.三重矢积三重矢积的几何意义：50解析证明：解析证明：51i分量：同理可得：j分量：k分量：i分量：同理可得：52加速度的矢量表示O2RrvO1①法向加速度大小：

an=ω2R=ω(ωR)=ωv=ωvsin90o

是ω的大小、v的大小、ω与v的夹角的正弦三者的乘积方向：既与ω垂直，也与v垂直 右手螺旋从ω转到v，正好沿an方向an加速度的矢量表示O2RrvO1①法向加速度大小：an53②切向：若转速有变化

大小：是

的大小、r的大小、与r的夹角的正弦三者的乘积方向：则at

与v

同向；则at

与v

反向 ω指向不变：

指向与ω相同 指向与ω反向满足右手螺旋O2RrvO1at②切向：若转速有变化满足右手螺旋O2RrvO1at54小球的“绝对”加速度：对于“静止”参考系，牛顿定律成立：对于转动参考系，牛顿定律不成立：引入惯性离心力：若有转速变化切向惯性力：小球的“绝对”加速度：对于“静止”参考系，牛顿55rR为位矢r在垂直于ω方向的分量标量，r在ω上的分量大小ω指向rR为位矢r在垂直于ω方向的分量标量，r在ω上的分量大小ω指56科里奥利力(Coriolisforce)质点在转动参考系中作“相对”运动对任意矢量P若矢量P

相对于旋转系是恒定的从t

到t+Δt时间间隔内，转过角度ωΔt，增量ΔP大小为：PP+ΔPΔP牵连运动科里奥利力(Coriolisforce)质点在转动参考57为便于区分，令静止系中微分符号为D，转动系中为d 即：在静止系中若P

不是恒定的，则P可为r，也可为v取P=r是质点相对于旋转系的速度牵连相对为便于区分，令静止系中微分符号为D，转动系中为d若P不是58再次在静止系内取对时间导数牛顿定律不成立再次在静止系内取对时间导数牛顿定律不成立59惯性离心力科里奥利力若转速变化，则加入切向惯性力惯性离心力科里奥利力若转速变化，则加入切向惯性力60地球自转对地面上物体运动的影响地球不断自转，是一个转动系研究相对于地球为静止的物体，应当计入惯性离心力，至于切向惯性力极为微小可以忽略相对于地球运动着的物体，除了惯性离心力之外，还应计入科里奥利力地球自转对地面上物体运动的影响地球不断自转，是一个转动系61自然界中的实例在北半球，物体沿各方向以v’运动时，相应的科里奥利力Fc指向运动物体的右侧方Av’v’B北半球CDFCFCFCFCA点：向北运动，FC沿纬线指向东B点：向南运动，FC沿纬线指向西C点：向西运动，FC垂直指向地轴D点：向东运动，FC垂直背离地轴在南半球，情况则正好相反自然界中的实例在北半球，物体沿各方向以v’运动时，相应的62物体在地面上的运动，受科里奥利力作用而自行向右偏转，在日常生活中从来没有观察到这是因为科里奥利力正比于地球自转ω，ω很小以致于FC也很小，其效应被其它作用力的效应所掩盖

FC的效应只有在长时间累积的条件下才容易察觉；此外，极精密的测量也能表明FC物体在地面上的运动，受科里奥利力作用而自行向右偏转，在日常生63自然界中的柏尔定律：北半球河流右岸比较陡峭，南半球则左岸比较陡峭北半球河水在FC作用下，对右岸冲刷甚于左岸，成千累万年代积累结果，右岸比较陡峭信风：信风本是自北向南，在“长途旅行”中不断受到FC

作用累积的结果，风向逐渐转为自东北而西南，最后甚至变为自东向西自然界中的柏尔定律：信风：64惯性离心力vs.科里奥利力科里奥利力FC

正比于ω（一级小量），与半径无关

惯性离心力F惯正比于ω2（二级小量）与质点离地轴的距离的乘积在运动过程中，质点离地轴的距离的变化一般并不很大

惯性离心力的变化是二级小量 惯性离心力可作为常力处理 其作用：使重力的指向偏离地球引力的指向，使重量小于地球引力

只要总是用重力代替地球引力，就已包含了惯性离心力的效应在内，不必再另外提出F惯离惯性离心力vs.科里奥利力科里奥利力FC正比于ω（65例：考察地球自转对单摆运动的影响若没有惯性力，单摆将在直线AB

上来回摆动但实事上，单摆从A

向B

摆动时，由于FC

作用逐渐向右偏，并不达到B

点，而达到C

点回摆时同样逐渐右偏，结果达到D

点，依此类推，摆动平面将顺时针方向不断偏转ABCDEF实事上，FC是微小的，每次来回，摆动平面所偏转角度是很小的，必须累积很多次来回，才显出可察觉的偏转例：考察地球自转对单摆运动的影响若没有惯性力，单摆将在直线66求解摆动平面偏转的速率t时刻摆处于O，t+Δt时刻摆处于O’通过O、O’作子午线的切线，共同交地轴于N点在O点的水平面上选直角坐标系xOy，平移到O’点，O’x’、O’y’与Ox、Oy平行就是摆面转过的角度求解摆动平面偏转的速率t时刻摆处于O，t+Δt时刻摆处于O67摆面“偏转”的角速度ω很小Ω很小两极时，Ω最大赤道，Ω＝0纬度越低，偏转越慢任何可察觉的偏转角都要求长的时间普通的单摆完全不能显示这种现象，因为在其偏转达到可察觉之前，它早已停止摆动了应当用能够长时间摆动的摆适应此种要求的，摆长较大而摆球较重的摆称为傅科摆法国物理学家傅科(J.B.L.Foucault)1851年在巴黎万神殿(Panthéon)中所用的摆长达67m，重达28kg。发现在摆的过程中，摆动平面不断作顺时针方向的偏转，傅科以此第一次直接显示了地球的自转摆面“偏转”的角速度ω很小Ω很小纬度越低，偏转越慢普通68Foucault'sPenduluminthePanthéon,Paris/wiki/Foucalt_PendulumFoucault'sPenduluminthePan69P84例16质量为m的小环套在半径为R的光滑大圆环上，后者在水平面内以匀角速ω绕其上一点O转动。试分析小环在大环上运动时的切向加速度和水平面内所受的约束力。水平面内，小环受到大环的约束力N

惯性离心力科里奥利力沿法向在大环平面内P84例16水平面内，小环受到大环的约束力N沿法向在70①切向①切向71②法向：指向C点为正向②法向：指向C点为正向72本章小结惯性参考系vs非惯性参考系

相互作匀速直线运动的各个参考系都是等价的

伽利略坐标变换式本章小结惯性参考系vs非惯性参考系伽利略坐标变换式73在非惯性系中，引入惯性力，牛顿运动定律就“仍然”成立

F惯=-mA惯性力F惯

是假想的，从而不存在反作用力惯性离心力：指向与Fn

相反，大小为惯性离心力的矢量表示：科里奥利力：

在非惯性系中，引入惯性力，牛顿运动定律就“仍然”成立74OO’Rr’rK系K’系相对绝对牵连从K系变换到K’系运动学动力学研究牛顿定律在参考系变换中的情况OO’Rr’rK系K’系相对绝对牵连从K系变换到K’75平动和转动平动：固联在参考系上的任一条直线，在各时刻方向总保持平行 的运动

平动不一定就是直线运动转动：参考系上的直线绕同一转轴作圆周运动＋＝平动转动平动和转动平动：固联在参考系上的任一条直线，在各时刻方向总76两个相对运动的参考系K，K’之间存在“牵连”加速度A

相对于“静止”参考系，牛顿定律成立：a：“绝对”在运动参考系中，a’：“相对”A=0和A≠0不同情况A=0A

≠0平动转动两个相对运动的参考系K，K’之间存在“牵连”加速度A相对77伽利略相对性原理与伽利略坐标变换A=0如K’相对于“静止”参考系K作匀速直线运动“牵连”速度V

不变相对于匀速直线运动参考系K’，牛顿运动定律仍然成立，力学现象的进行就和在“静止”参考系中一样伽利略相对性原理与伽利略坐标变换A=0如K’相对于78伽利略相对性原理一个对于惯性系作匀速直线运动的其他参考系，其内部所发生的一切物理过程，都不受系统作为整体的匀速直线运动的影响相互作匀速直线运动的各个参考系都是等价的如果把某个惯性系认定为静止的，那么相对于它作匀速直线运动的参考系也是惯性参考系同样有资格被称为静止的

伽利略相对性原理一个对于惯性系作匀速直线运动的其他参考系，其79对于物理学规律而言，一切惯性系都是等价的注意：“一切惯性系都是等价的”并不是说在不同惯性系中所看到的现象都是一样，而是指不同惯性系中的动力学规律都一样，从而都能正确地解释所看到的现象。例如：F=ma

形式不变经典力学中，“静止”并无绝对的意义 无论在惯性系内部进行什么样的力学测量，力学实验或力 学现象的观察，都不可能判断参考系是“静止的”还是“作匀 速直线运动” 在力学中，不存在绝对静止参考系，这就是伽利略相对性 原理或力学相对性原理对于物理学规律而言，一切惯性系都是等价的注意：“一切惯性80伽利略坐标变换适当选择坐标原点和时间起点，假定在t=0时刻两坐标系重合R=Vt伽利略坐标变换适当选择坐标原点和时间起点，假定在t=081K,K’

分别取直角坐标系(x,y,z)和(x’,y’,z’)由于坐标轴的取向可任意选择，可选取x

轴沿相对速度V的方向两惯性系间坐标的变换关系伽利略坐标变换式K,K’分别取直角坐标系(x,y,z)和(x’82伽利略坐标变换中强调了t,t’是相同的，即采用了绝对时间概念－古典力学中时间的绝对性但是在V

c

光速时，要采用狭义相对论中的洛伦兹变换其中相对论力学既适用于低速运动，也适用于高速运动在低速运动下，V<<c，有β<<1，γ→1，洛伦兹变换归结为伽利略变换伽利略坐标变换中强调了t,t’是相同的，即采用了绝对83平动参考系中的惯性力A≠0如参考系K’

自身相对于“静止”参考系K

的运动并非匀速直线运动，即A≠0表明牛顿定律相对于“运动”参考系K’不再成立K’为非惯性系令F-mA=F’，则F’=ma’，牛顿定律在形式上被恢复了平动参考系中的惯性力A≠0如参考系K’自身相对于“84将力的概念加以扩大，认为质点除受到其它物体作用于它的牛顿力F之外，还受到一种非物体相互作用的附加力–mA，惯性力

F惯=-mA引入惯性力之后，牛顿运动定律就“仍然”成立

F’

是质点在非惯性系K’中受到的总有效力它是“真实的”力F与“假想的”惯性力F惯的合成

惯性力F惯

是假想的， 因为不存在施力物体，从而不存在反作用力F’=F+F惯将力的概念加以扩大，认为质点除受到其它物体作用于它的牛顿力85关于惯性力，要指出：

提到牛顿力，都应当明确指出是哪一物体作用于哪一物体的;而质点所受的惯性力，却不能指出是哪一物体作用于这一质点物体的作用是相互的，每一牛顿力都有它的反作用力，惯性力并非物体之间的相互作用，因而不存在反作用力

选用了平动参考系，所有质点受到惯性力，其指向与“牵连”加速度A的指向相反，其大小正比于A的大小；各个质点所受的惯性力又正比于各质点的质量

关于惯性力，要指出：86超重与失重人站在台秤上，处在有竖直加速度a

的升降机里人受到：重力mg

惯性力f惯=-ma

有效重力为m(g-a)

台秤的读数物体的重量是用它作用在支撑物上的力来衡量台秤给人的支持力N

满足平衡条件：N+m(g-a)=0N=－m(g-a)人给台秤的反作用，即台秤受到的压力

N’=－N=m(g-a)超重与失重人站在台秤上，处在有竖直加速度a的升降机里物体87用惯性力来解释超重和失重若取向下(g方向)为正①加速度方向向上，即与g

反向，则–a

f惯=-m(-a)=ma

N’=mg＋f惯＝m(g+a)>mg

超重②加速度方向向下，即与g

同向，则a

f惯=-m(a)=-maN’=mg＋f惯＝m(g-a)<mg

失重当升降机自由降落时，a=g，人的重量为0，完全失重

用惯性力来解释超重和失重88例：宇宙飞船获得必要的速度以后，停止了发动机的工作，试求飞船中质量为m的质点的视重，其时飞船的重心C距地心距离为ρ0。CF惯PN视重：是静止于飞船中的物体施 于承托物的作用力求承托物给予质点的作用力N，其反作用力即是质点的视重

以飞船为参考系来研究质点，质点相对于飞船为静止质点受到重力P作用，指向地心，大小质点受到承托物给予的作用力N

?例：宇宙飞船获得必要的速度以后，停止了发动机的工作，试求飞船89飞船在停止了发动机的工作之后，就成为地球重力场中的“落体”

飞船所受重力指向地心，大小M是飞船的质量R为地球半径飞船的加速度a0

指向地心，大小飞船是具有加速度的参考系

考虑惯性力F惯

方向与a0指向相反，背离地心大小飞船在停止了发动机的工作之后，就成为地球重力场中的“落体”90xPF惯N①若质点位于A点，质点与地心距离大于飞船质心C与地心距离则视重-N背离地心指向地心CF惯PNA视重xPF惯N①若质点位于A点，质点与地心距离大于飞船质心C与91②若质点位于B点，质点与地心距离小于飞船质心C与地心距离则视重-N指向地心

指向背离地心CF惯PNB视重人们往往把视重的方向看作“下”方，若飞船足够大，则：在A处的人将感觉到地球在“上”方

在B处的人将感觉到地球在“下”方

②若质点位于B点，质点与地心距离小于飞船质心C与地心距离92事实上，飞船的尺度远小于其与地心的距离ρ0，飞船中质点与飞船重心C的距离r’<<ρ0，所以ρ0+r’cosθ≈ρ0飞船中所有质点的视重都等于0即使撤去承托物，质点也能保持平衡失重地球、飞船、飞船中的质点太阳、地球、地球上的质点由于地球的公转，就太阳的引力而言，地球上所有物体都是“失重”的相对于地球，研究地球上物体的运动，所有物体就和没有受到太阳的引力一样 事实上，飞船的尺度远小于其与地心的距离ρ0，飞船中质点与飞船93转动参考系中的惯性力转动圆盘O’OO点“静止”先讨论转动参考系最简单的情况质点相对于转系“相对静止”相对于转动圆盘：小球m静止相对速度v’=0；相对加速度a’=0绝对运动：相对于“静止”参考系小球作圆周运动“绝对”加速度包括： 向心加速度

切向加速度

若转速ω随时间而变转动参考系中的惯性力转动圆盘O’OO点“静止”先讨论转动94考虑动力学相对于“静止”参考系，牛顿运动定律成立“绝对”加速度

a，牛顿力F=ma小球有向心加速度受到向心力作用小球如有切向加速度受到切向力不是凭空而来的F合＝Fn+Ft向心力Fn

的反作用力，即小球对弹簧的反作用力，向外拉称为离心力Fn’考虑动力学相对于“静止”参考系，牛顿运动定律成立小球95相对于转动参考系小球静止：v’=0，a’=0向心力与切向力是牛顿力，与参考系选择无关小球受力作用而不运动转动参考系为非惯性参考系如果要把牛顿定律运用到这种情况，则存在一个力F惯＝－F

作用于物体上，才能使物体平衡惯性离心力：指向与Fn

相反，大小相等

若转速变化，则切向惯性力

相对于转动参考系小球静止：v’=0，a’=0向96离心力vs.

惯性离心力要区别离心力和惯性离心力离心力F’：不是作用于质点（小球）的力，是质点施于其它物体的牛顿力惯性离心力F惯：是在非惯性转动参考系中的观察者假想作用在物体上的一种惯性力离心力vs.惯性离心力要区别离心力和惯性离心力离心97例：试研究地面上物体的重量。所谓重量即静止于地球上的物体施于其承托物的力物体的重量是用它作用于支撑物上的力来衡量的以地球为参考系研究物体：物体相对于地球是静止的，物体受到地球的引力引力指向地心，大小m物体质量，M地球质量，R地球半径地球不断自转，是一个转动惯性系考虑惯性力例：试研究地面上物体的重量。所谓重量即静止于地球上的物体施98如物体所处纬度为，则与地轴垂直距离与地轴垂直而背离地轴地球自转角速度变动极小切向离心力可忽略取如图坐标系，物体相对于地球静止x方向：z方向：ωzxF惯F引P如物体所处纬度为，则与地轴垂直距离与地轴垂直而背离地轴99ω=2π弧度/恒星日=7.29212×10－5

弧度/秒，是一很小的数值ω=2π弧度/恒星日=7.29212×10－5弧度/100二项式展开二项式展开101惯性离心力对重量的影响有两方面：①惯性离心力的z分力，与引力指向相反，以致重量P比起真正的引力减小了。赤道上惯性离心力最大视重最小两极惯性离心力最小视重最大同一物体，在纬度越低的地点重量越小惯性离心力对重量的影响有两方面：①惯性离心力的z分力102②重量是引力与惯性离心力的合力，所以重量的指向偏离了引力的指向。偏离的角度由给出在两极，由于没有惯性离心力无偏离在赤道惯性离心力最大，但是与引力在同一直线上无偏离平常所说的竖直方向，即重量的方向，严格说来，并不指向地心而偏离一个小角度θ。由于ω很小，所以这个偏角θ在大多数情况下可以忽略。

②重量是引力与惯性离心力的合力，所以重量的指向偏离了引力的103惯性离心力正比于ω2，它的变化是二级小量在运动距离变化不太大的情况，惯性离心力可作为常力处理

作为常力，惯性力的效应是使重力的指向偏离地球吸引的指向，使重量小于地球引力只要总是用重力代替地球引力（其实其间的微小差别往往可以忽略），就已包含了惯性离心力的效应在内，不必另外再提出惯性离心力惯性离心力正比于ω2，它的变化是二级小量只要总是用重力代104P80页例14一水桶绕自身的铅直轴以角速度ω旋转，当水与桶一起转动时，水面的形状如何？

zr求解水面形状，即求解z－r曲线，即z(r)的函数形式在水桶参考系中，取右图坐标系液块dm

受力：重力(dm)g惯性离心力

有效重力为N=dm(g+ω2r

)N与液面处处垂直P80页例14zr求解水面形状，即求解z－r曲线，105积分得：积分得：106P80页例15质量为m

的小环套在半径为R

的光滑大圆环上，后者绕竖直直径以匀角速ω转动。试求小环的平衡位置随ω的变化。小环的平衡位置处，小环相对大环静止在大环参考系内，小环受到切向力ωRP80页例15小环的平衡位置处，小环相对大环静止在大环107平衡：只有在ω超过时，才成为可能平衡：只有在ω超过时，才成为可能108平衡位置是否稳定要从能量角度考虑

ω从静止缓慢增大，在未出现平衡位置C,D前，A是稳定的，B不稳

后，C、D稳定，而A失稳参见第三章：一维势能曲线部分平衡位置是否稳定要从能量角度考虑ω从静止缓慢增大，在未出109矢量表示角速度ω的矢量表示转动绕什么轴线转动？绕此轴线向哪一方向转动？转动的快慢？物理学中规定：角速度ω是个矢量

该矢量所在的直线就表明转动轴线－方向沿转轴指向按右手法则表明转动方向－拇指指向矢量指向，弯曲四指代表旋转方向长短表明转动快慢

矢量表示角速度ω的矢量表示转动绕什么轴线转动？物理学中110矢量积O2RrvO1ωv①O1情况：v=ωR，方向与ω、R平面垂直②O2情况：v=ω(rsinθ)，方向与ω、r

平面垂直规定右手螺旋：从ω转到r，前进方向为v的方向

v的大小：等于ω的大小、r的大小、ω与r夹角 的正弦三者乘积v的方向:用矢量积形式来描述v、ω、r的关系矢量积O2RrvO1ωv①O1情况：v=ωR，方111矢量的乘积，结果有两种①两矢量相乘后，得出一标量，称为标积，或点乘：A·B②两矢量相乘后，得出一矢量，称为矢积，或叉乘：A×Bv、ω、r的关系显然为叉乘

W=F

·S

为点乘矢量的乘积，结果有两种①两矢量相乘后，得出一标量，称为标积112矢量的点乘点乘服从交换律和分配律：A·B＝B·AA·(B+C)＝A·B+A·C交换律分配律基矢存在下列性质：A·B=|A||B|cosθθ为A、B间夹角

Bcosθ可看作B在A上的投影A=

Axi+Ayj+AzkB=

Bxi+Byj+BzkA·B=AxBx+AyBy+AzBz矢量的点乘点乘服从交换律和分配律：A·B＝B·AA·113两个矢量垂直的充要条件是：A·B=0两个矢量垂直的充要条件是：A·B=0114矢量的叉乘定义：A×B=|A||B|sinθnono为同时垂直于A、B的单位向量θ为A、B间夹角，满足右手系基矢存在下列性质：点乘服从反交换律和分配律：A×B＝－B×AA×(B+C)＝A×B+A×C交换律分配律矢量的叉乘定义：A×B=|A||B|sinθnono为115叉乘A×B的几何意义：数值等于由A、B为边组成的平行四边形的面积方向与A、B组成的平面垂直，指向由右手法则规定叉乘A×B的几何意义：116叉乘的行列式表示叉乘的行列式表示117行列式求值法：①2阶行列式：红色实线乘积减去蓝色虚线乘积行列式求值法：①2阶行列式：红色实线乘积减去蓝色虚线乘118②3阶行列式：Sarrus法则②3阶行列式：Sarrus法则119力学教学讲解课件24120矢量的三重积三重标积

或混合积矢量的三重积三重标积121混合积的几何意义：①B×C是以B和C为边组成平行四边形的面积，方向沿法向②A·(B×C)则相当于再乘上A在法线上的投影三重积的绝对值等于以A、B、C三矢量为棱构成的平行六面体的体积其正负号与三重积中三矢量的循环次序有关定理：A、B、C三矢量共面的充要条件是它们的混合积等于0①其中至少有一个矢量为0矢量②其中至少有两个矢量共线、平行或反平行③其中有一矢量与其余两矢量的叉乘垂直混合积的几何意义：定理：A、B、C三矢量共面的充要条件是它们122∵计算平行六面体的体积与取哪一面为底无关点乘是可以交换的∴三矢量的轮换，以及“·”

“×”的对调，都不影响计算结果但是三矢量的循环次序不能变，否则差一个负号∵计算平行六面体的体积与取哪一面为底无关123II.三重矢积三重矢积的几何意义：B×C与B、C组成的平面Π垂直

A×(B×C)则与A

和(B×C)组成的平面垂直A×(B×C)与B、C共面

A×(B×C)是B、C的线性组合：A×(B×C)=a1B+a2CII.三重矢积三重矢积的几何意义：124解析证明：解析证明：125i分量：同理可得：j分量：k分量：i分量：同理可得：126加速度的矢量表示O2RrvO1①法向加速度大小：

an=ω2R=ω(ωR)=ωv=ωvsin90o

是ω的大小、v的大小、ω与v的夹角的正弦三者的乘积方向：既与ω垂直，也与v垂直 右手螺旋从ω转到v，正好沿an方向an加速度的矢量表示O2RrvO1①法向加速度大小：an127②切向：若转速有变化

大小：是

的大小、r的大小、与r的夹角的正弦三者的乘积方向：则at

与v

同向；则at

与v

反向 ω指向不变：

指向与ω相同 指向与ω反向满足右手螺旋O2RrvO1at②切向：若转速有变化满足右手螺旋O2RrvO1at128小球的“绝对”加速度：对于“静止”参考系，牛顿定律成立：对于转动参考系，牛顿定律不成立：引入惯性离心力：若有转速变化切向惯性力：小球的“绝对”加速度：对于“静止”参考系，牛顿129rR为位矢r在垂直于ω方向的分量标量，r在ω上的分量大小ω指向rR为位矢r在垂直于ω方向的分量标量，r在ω上的分量大小ω指130科里奥利力(Coriolisforce)质点在转动参考系中作“相对”运动对任意矢量P若矢量P

相对于旋转系是恒定的从t

到t+Δt时间间隔内，转过角度ωΔt，增量ΔP大小为：PP+ΔPΔP牵连运动科里奥利力(Coriolisforce)质点在转动参考131为便于区分，令静止系中微分符号为D，转动系中为d 即：在静止系中若P

不是恒定的，则P可为r，也可为v取P=r是质点相对于旋转系的速度牵连相对为便于区分，令静止系中微分符号为D，转动系中为d若P不是132再次在静止系内取对时间导数牛顿定律不成立再次在静止系内取对时间导数牛顿定律不成立133惯性离心力科里奥利力若转速变化，则加入切向惯性力惯性离心力科里奥利力若转速变化，则加入切向惯性力134地球自转对地面上物体运动的影响地球不断自转，是一个转动系研究相对于地球为静止的物体，应当计入惯性