第65讲-空间角及其计算课件

新课标高中一轮总复习1新课标高中一轮总复习1第九单元直线、平面、简单几何体和空间向量2第九单元2第65讲空间角及其计算3第65讲空间角及其计算31.理解和掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念.2.掌握求空间角的基本方法及空间角向平面角的转化技巧.3.培养依据不同问题情境选择传统的构造法或向量法计算空间角的思维习惯.4.培养学生的转化化归思想和数形结合思想,提高学生的空间想象能力.41.理解和掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1、F1分别是棱A1B1、C1D1上的点,且B1E1=D1F1=,则BE1与DF1所成角的余弦值为()BA.B.C.D.51.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1、F1分别是棱在A1B1上取一点G,并使A1G=,连接AG,再在AB上取一点H，连接GH.则∠AGH为异面直线BE1与DF1所成的角.不妨设A1B1=4，则AG=GH==.所以在△AGH中，cos∠AGH===.6在A1B1上取一点G,并使A1G=2.在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则二面角的度数为

.30°如图，过点C作平面β的垂线，垂足为D，过D作DE垂直AB于E，连接CE.由三垂线定理得∠CED为α-AB-β的平面角.由题意可知∠CED=30°.72.在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个3.已知正四棱锥S-ABCD中，SA=AB=a,则侧棱与底面所成角的大小为

.45°如图，由S作SO⊥平面ABCD,则O是正方形ABCD的中心，AO是SA在平面ABCD上的射影，所以∠SAO为侧棱与底面所成的角.又在△ABO中，易得AO=a,所以∠SAO=45°.83.已知正四棱锥S-ABCD中，SA=AB=a,则侧棱与底面4.如图，已知AB为平面α的一条斜线,B为斜足，AO⊥α，O为垂足,BC为α内的一条直线,∠ABC=60°,∠OBC=45°,则斜线AB和平面α所成的角为

.45°由斜线和平面所成的角的定义可知,∠ABO为斜线AB和平面α所成的角.又因为cos∠ABO===,所以∠ABO=45°.94.如图，已知AB为平面α的一条斜线,B为斜足，AO⊥α，O一、异面直线所成的角1.异面直线所成的角:在空间中任取一点O,过O点分别作两异面直线的①

线所成的②

叫做两条异面直线所成的角.

2.异面直线所成的角的范围是③

,当θ=④

时,这两条异面直线垂直.平行锐角或直角(0,]10一、异面直线所成的角平行锐角或直角(0二、直线与平面所成的角1.直线和平面所成的角：(1)如果直线平行平面或在平面内，则它和平面所成的角的大小为⑤

.(2)如果直线垂直于平面，则它和平面所成的角的大小为⑥

.(3)如果直线是平面的斜线，则它和它在平面内的⑦

所成的⑧

角，称之为直线和平面所成的角.2.直线和平面所成的角的范围是⑨

.0射影锐[0,]11二、直线与平面所成的角0射影锐[0,三、二面角的平面角1.二面角的平面角：从一条直线出发的两个⑩

组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上

一点为端点，在两个面内分别作

两条射线.这两条射线所成的角叫做

.平面角是

角的二面角叫做直二面角.2.二面角的范围是

.3.作二面角的平面角的常用方法有

.

.四、求空间角的基本方法1.构造法（传统法）；2.空间向量法.11半平面任意12垂直于棱的13二面角的平面角14直15［0,π］定义法、线面垂直法、垂面法12三、二面角的平面角11半平面任意12例1题型一异面直线所成的角的求法如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，其中AB=，BD=BC=1，AA1=2，E为DC的中点，F是棱DD1上的动点.(1)求异面直线AD1与BE所成角的正切值；(2)当DF为何值时,EF与BC1

所成的角为90°?13例1题型一异面直线所成的角的求法依异面直线所成角的定义或推理寻找或平行移动作出异面直线所成角对应的平面角.（方法一）（1）连接EC1.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1，则∠EBC1为异面直线AD1与BE所成的角.14依异面直线所成角的定义或推理寻找或又底面ABCD⊥侧面DCC1D1BD=BCE为CD的中点BE⊥侧面DCC1D1BE⊥EC1.在Rt△BEC1中，BE==，EC1==，所以tan∠EBC1==3.BE⊥CD15又底面ABCD⊥侧面DCC1D1BE⊥CD15(2)当DF=时,EF与BC1所成的角为90°.由（1）知，BE⊥侧面DCC1D1BE⊥EF.又DE=EC=，CC1=AA1=2.当DF=时，因为==，==，16(2)当DF=时,EF与BC1所成的角为90°.1所以△DEF∽△CC1E，所以∠DEF+∠CEC1=90°，所以∠FEC1=90°，即FE⊥EC1.又EB∩BC1=E，所以EF⊥平面BEC1，所以EF⊥BC1,即EF与BC1所成的角等于90°.17所以△DEF∽△CC1E，17（方法二）由BC2+BD2=DC2可知BD⊥BC，分别以BD、BC、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则B(0,0,0),A(1,-1,0),D(1,0,0),

D1(1,0,2),C(0,1,0),C1(0,1,2),

E(，,0).(1)因为=(0,1,2)，=(，,0),所以cos〈，〉===，18（方法二）由BC2+BD2=DC2可知BD⊥BC，分别以BD所以sin〈，〉=,所以tan〈，〉=3，即AD1与BE所成的角的正切值为3.(2)设F(1,0,q)，则=(，-,q).又=(0,1,2)，由·=×0-×1+q·2=0，得q=，即DF=时，EF⊥BC1.异面直线所成角的求法有传统的构造法和空间向量法两种，解题可依据问题情境恰当选用.19异面直线所成角的求法有传统的构例2题型二直线与平面所成角的求法如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D-ABCE。(1)求证：BE⊥平面ADE，并求AB与平面ADE所成的角的大小；

(2)求BD与平面CDE所成角的正弦值.20例2题型二直线与平面所成角的求法(1)在矩形ABCD中，连接BE，因为AB=2AD，E为CD的中点，所以AD=DE，∠EAB=45°，从而∠EBA=45°，故AE⊥EB.过D作DO⊥AE于O.因为平面ADE⊥平面

ABCE，所以DO⊥平面ABCE，所以DO⊥BE.又AE∩DO=O，所以BE⊥平面ADE.可知AE为AB在平面ADE上的射影，从而∠BAE为AB与平面ADE所成的角,大小为45°.21(1)在矩形ABCD中，连接BE，21(2)由(1)可知，DO⊥平面ABCE，BE⊥AE，过O作OF∥BE，以O为原点，OA、OF、OD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,),E(-,0,0),B(-2,2,0),C(-2,2,0).22(2)由(1)可知，DO⊥平面ABCE，BE⊥AE，过O作O设平面CDE的法向量n=(x,y,z).又=(2,-,2)，=(,-,0)，n·=2x-y+z=0z=-x

n·=x-y=0y=x.取x=1，得n=(1,1,-1).又=(-,2,-)，cos〈n,〉==.则BD与平面CDE所成角的正弦值为.则，得23设平面CDE的法向量n=(x,y,z).则，得23本例的求解策略说明，若方便获知直线在平面内的射影，则可用传统的构造法求直线与平面所成的角；若找直线在平面内的射影较难，则可用向量法求直线和平面所成的角.24本例的求解策略说明，若方便获知直例3题型三二面角的求法如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=23,AA1=3,AD⊥DC,

AC⊥BD,垂足为E.

(1)求证：BD⊥A1C；(2)求二面角A1-BD-A

的大小.25例3题型三二面角的求法如图，在直四

（方法一）(1)证明：在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，因为AA1⊥平面ABCD，则AA1⊥BD.因为BD⊥AC，所以BD⊥平面AA1C，故BD⊥A1C.26（方法一）(1)证明：在直四棱柱AB(2)连接A1E,与(1)同理可证:BD⊥A1E,BD⊥AE,所以∠A1EA为二面角A1-BD-A的平面角.因为AD⊥DC，所以∠ADC=90°.又AD=2，DC=2,AA1=,且AC⊥BD,可得AC=4.又AD2=AE·AC，所以AE=1.又AA1=，所以∠A1EA=

=，所以∠A1EA=60°，即二面角A1-BD-A的大小为60°.27(2)连接A1E,与(1)同理可证:BD⊥A1E,BD⊥AE(方法二)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥DC，故建立空间直角坐标系如图.则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,).设B(x,y,0).因为AB=2，AC⊥BD，又=(-2,2,0),=(x,y,0),=(x-2,y,0)(x-2)2+y2=4x=3-2x+2y=0y=3x=0y=0(舍),即B(3,,0).得,解得或28(方法二)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥DC(1)因为=(3,,0)，=(-2,2,-),所以·=3×(-2)+×2+0×(-3)=0,所以⊥，所以DB⊥A1C.(2)平面ABD的法向量为=(0,0,),又=(2,0,)，=(,1,0)，设平面A1BD的法向量n=(x,y,z)，

n·=2x+z=0

n=x+y=0，则29(1)因为=(3,,0)，取x=，得n=(,-3,-2),cos〈n，〉==-,故〈n，〉=120°，从而二面角A1-BD-A的大小为60°.30取x=，得n=(,-3,-2),30如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.(1)试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F;(2)当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1-EF-C的正切值的大小.31如图，在棱长为1的正方体ABCD-欲使D1E⊥平面AB1F，只需D1E垂直于平面AB1F内的两条相交直线AF和AB1.而异面直线垂直的问题可利用线面垂直的定义来证明；(2)的解决关键是由二面角的定义，只需作出棱EF的垂面，计算平面角的大小即可.32欲使D1E⊥平面AB1F，只需(1)如图，连接A1B、DE.因为A1B⊥AB1,A1D1⊥AB1,所以AB1⊥平面A1BED1,所以AB1⊥ED1.又因为E为线段BC的中点，D1D⊥AF,所以F为线段DC的中点时，有DE⊥AF,则AF⊥平面D1DE,所以D1E⊥AF，故D1E⊥平面AB1F.33(1)如图，连接A1B、DE.33(2)连接C1E、C1F、AC、EF,AC与EF交于点H,连接C1H.由（1）知，AC⊥EF.又C1C⊥EF,所以EF⊥平面C1HC,所以∠C1HC就是二面角C1-EF-C的平面角.易知在Rt△C1HC中，C1C=1,CH=,所以tan∠C1HC==2.34(2)连接C1E、C1F、AC、EF,AC与EF交于点H,连1.空间角包括：两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.求空间角首先要把它转化为平面角，然后再用代数的方法、三角的方法求解；当上述目标实现较困难时，可考虑用向量方法求解.351.空间角包括：两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面2.构造法求空间角的一般步骤是：一作（找），二证，三计算.作（找）出所求的角是计算的基础.异面直线所成的角一般通过作平行线来作出，而直线与平面所成的角最关键是找一条与平面垂直的垂线，二面角的平面角多采用定义法或线面垂直法等方法来寻找.最后，一般通过解三角形求出角的大小.362.构造法求空间角的一般步骤是：一作（找），二证，三计算.作学例1

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点.(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值;(2)在线段AN上是否存在点

S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由.37学例1

(1)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz.依题意,易得D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E(12,1,0).所以=(-,0,-1),=(-1,0,1).因为cos〈,〉===-,所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为.38(1)如图，以D为坐标原点，建立空间(2)假设在线段AN上存在点S,使得ES⊥平面AMN.因为=(0,1,1),故可设=λ=(0,λ,λ).又=(,-1,0),所以=+=(,λ-1,λ).·=0-+λ=0·=0(λ-1)+λ=0.故λ=,此时=(0,,),||=.经检验，当AS=时，ES⊥平面AMN.故线段AN上存在点S,使得ES⊥平面AMN,此时AS=.由ES⊥平面AMN,得,即39(2)假设在线段AN上存在点S,使得ES⊥平面AMN.由ES学例2

如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°,E、F分别是BC、PC的中点.（1）证明：AE⊥PD；（2）若H为PD上的动点，

EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E-AF-C的余弦值.40学例2

（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，又BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA平面PAD,AD平面PAD,且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.又PD平面PAD，所以AE⊥PD.41（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠(2)设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH、EH.由(1)知，AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt△EAH中，AE=，所以当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大.此时tan∠EHA===,因此AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2.42(2)设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH、EH.由(1(方法一)因为PA⊥平面ABCD,PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD.过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC.过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，

AO=AE·cos30°=.在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=.因为SE===,所以在Rt△ESO中,cos∠ESO===.即所求二面角的余弦值为.43(方法一)因为PA⊥平面ABCD,PA平面PAC，所以平面（方法二）由（1）知AE、AD、AP两两垂直.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以有A(0，0，0),B(，-1，0)，C(，1，0),D(0，2，0),P(0，0，2),E(，0，0),F(,12,1),所以=(,0,0),=(,,1).44（方法二）由（1）知AE、AD、AP两两垂直.以A为坐标原点设平面AEF的一法向量为m=(x1,y1,z1),

m·=0x1=0

m·=0x1+y1+z1=0.取z1=-1，则m=(0,2,-1).因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A,所以BD⊥平面AFC，故

为平面AFC的一法向量.又=(-,3,0）,所以cos〈m,〉===.因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为.则,因此45设平面AEF的一法向量为m=(x1,y1,z1),则,因此4本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来本节完，谢谢聆听立足教育，开创未来新课标高中一轮总复习47新课标高中一轮总复习1第九单元直线、平面、简单几何体和空间向量48第九单元2第65讲空间角及其计算49第65讲空间角及其计算31.理解和掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念.2.掌握求空间角的基本方法及空间角向平面角的转化技巧.3.培养依据不同问题情境选择传统的构造法或向量法计算空间角的思维习惯.4.培养学生的转化化归思想和数形结合思想,提高学生的空间想象能力.501.理解和掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1、F1分别是棱A1B1、C1D1上的点,且B1E1=D1F1=,则BE1与DF1所成角的余弦值为()BA.B.C.D.511.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1、F1分别是棱在A1B1上取一点G,并使A1G=,连接AG,再在AB上取一点H，连接GH.则∠AGH为异面直线BE1与DF1所成的角.不妨设A1B1=4，则AG=GH==.所以在△AGH中，cos∠AGH===.52在A1B1上取一点G,并使A1G=2.在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则二面角的度数为

.30°如图，过点C作平面β的垂线，垂足为D，过D作DE垂直AB于E，连接CE.由三垂线定理得∠CED为α-AB-β的平面角.由题意可知∠CED=30°.532.在一个锐二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个3.已知正四棱锥S-ABCD中，SA=AB=a,则侧棱与底面所成角的大小为

.45°如图，由S作SO⊥平面ABCD,则O是正方形ABCD的中心，AO是SA在平面ABCD上的射影，所以∠SAO为侧棱与底面所成的角.又在△ABO中，易得AO=a,所以∠SAO=45°.543.已知正四棱锥S-ABCD中，SA=AB=a,则侧棱与底面4.如图，已知AB为平面α的一条斜线,B为斜足，AO⊥α，O为垂足,BC为α内的一条直线,∠ABC=60°,∠OBC=45°,则斜线AB和平面α所成的角为

.45°由斜线和平面所成的角的定义可知,∠ABO为斜线AB和平面α所成的角.又因为cos∠ABO===,所以∠ABO=45°.554.如图，已知AB为平面α的一条斜线,B为斜足，AO⊥α，O一、异面直线所成的角1.异面直线所成的角:在空间中任取一点O,过O点分别作两异面直线的①

线所成的②

叫做两条异面直线所成的角.

2.异面直线所成的角的范围是③

,当θ=④

时,这两条异面直线垂直.平行锐角或直角(0,]56一、异面直线所成的角平行锐角或直角(0二、直线与平面所成的角1.直线和平面所成的角：(1)如果直线平行平面或在平面内，则它和平面所成的角的大小为⑤

.(2)如果直线垂直于平面，则它和平面所成的角的大小为⑥

.(3)如果直线是平面的斜线，则它和它在平面内的⑦

所成的⑧

角，称之为直线和平面所成的角.2.直线和平面所成的角的范围是⑨

.0射影锐[0,]57二、直线与平面所成的角0射影锐[0,三、二面角的平面角1.二面角的平面角：从一条直线出发的两个⑩

组成的图形叫做二面角，以二面角的棱上

一点为端点，在两个面内分别作

两条射线.这两条射线所成的角叫做

.平面角是

角的二面角叫做直二面角.2.二面角的范围是

.3.作二面角的平面角的常用方法有

.

.四、求空间角的基本方法1.构造法（传统法）；2.空间向量法.11半平面任意12垂直于棱的13二面角的平面角14直15［0,π］定义法、线面垂直法、垂面法58三、二面角的平面角11半平面任意12例1题型一异面直线所成的角的求法如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，其中AB=，BD=BC=1，AA1=2，E为DC的中点，F是棱DD1上的动点.(1)求异面直线AD1与BE所成角的正切值；(2)当DF为何值时,EF与BC1

所成的角为90°?59例1题型一异面直线所成的角的求法依异面直线所成角的定义或推理寻找或平行移动作出异面直线所成角对应的平面角.（方法一）（1）连接EC1.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD1∥BC1，则∠EBC1为异面直线AD1与BE所成的角.60依异面直线所成角的定义或推理寻找或又底面ABCD⊥侧面DCC1D1BD=BCE为CD的中点BE⊥侧面DCC1D1BE⊥EC1.在Rt△BEC1中，BE==，EC1==，所以tan∠EBC1==3.BE⊥CD61又底面ABCD⊥侧面DCC1D1BE⊥CD15(2)当DF=时,EF与BC1所成的角为90°.由（1）知，BE⊥侧面DCC1D1BE⊥EF.又DE=EC=，CC1=AA1=2.当DF=时，因为==，==，62(2)当DF=时,EF与BC1所成的角为90°.1所以△DEF∽△CC1E，所以∠DEF+∠CEC1=90°，所以∠FEC1=90°，即FE⊥EC1.又EB∩BC1=E，所以EF⊥平面BEC1，所以EF⊥BC1,即EF与BC1所成的角等于90°.63所以△DEF∽△CC1E，17（方法二）由BC2+BD2=DC2可知BD⊥BC，分别以BD、BC、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则B(0,0,0),A(1,-1,0),D(1,0,0),

D1(1,0,2),C(0,1,0),C1(0,1,2),

E(，,0).(1)因为=(0,1,2)，=(，,0),所以cos〈，〉===，64（方法二）由BC2+BD2=DC2可知BD⊥BC，分别以BD所以sin〈，〉=,所以tan〈，〉=3，即AD1与BE所成的角的正切值为3.(2)设F(1,0,q)，则=(，-,q).又=(0,1,2)，由·=×0-×1+q·2=0，得q=，即DF=时，EF⊥BC1.异面直线所成角的求法有传统的构造法和空间向量法两种，解题可依据问题情境恰当选用.65异面直线所成角的求法有传统的构例2题型二直线与平面所成角的求法如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D-ABCE。(1)求证：BE⊥平面ADE，并求AB与平面ADE所成的角的大小；

(2)求BD与平面CDE所成角的正弦值.66例2题型二直线与平面所成角的求法(1)在矩形ABCD中，连接BE，因为AB=2AD，E为CD的中点，所以AD=DE，∠EAB=45°，从而∠EBA=45°，故AE⊥EB.过D作DO⊥AE于O.因为平面ADE⊥平面

ABCE，所以DO⊥平面ABCE，所以DO⊥BE.又AE∩DO=O，所以BE⊥平面ADE.可知AE为AB在平面ADE上的射影，从而∠BAE为AB与平面ADE所成的角,大小为45°.67(1)在矩形ABCD中，连接BE，21(2)由(1)可知，DO⊥平面ABCE，BE⊥AE，过O作OF∥BE，以O为原点，OA、OF、OD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,),E(-,0,0),B(-2,2,0),C(-2,2,0).68(2)由(1)可知，DO⊥平面ABCE，BE⊥AE，过O作O设平面CDE的法向量n=(x,y,z).又=(2,-,2)，=(,-,0)，n·=2x-y+z=0z=-x

n·=x-y=0y=x.取x=1，得n=(1,1,-1).又=(-,2,-)，cos〈n,〉==.则BD与平面CDE所成角的正弦值为.则，得69设平面CDE的法向量n=(x,y,z).则，得23本例的求解策略说明，若方便获知直线在平面内的射影，则可用传统的构造法求直线与平面所成的角；若找直线在平面内的射影较难，则可用向量法求直线和平面所成的角.70本例的求解策略说明，若方便获知直例3题型三二面角的求法如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=23,AA1=3,AD⊥DC,

AC⊥BD,垂足为E.

(1)求证：BD⊥A1C；(2)求二面角A1-BD-A

的大小.71例3题型三二面角的求法如图，在直四

（方法一）(1)证明：在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，因为AA1⊥平面ABCD，则AA1⊥BD.因为BD⊥AC，所以BD⊥平面AA1C，故BD⊥A1C.72（方法一）(1)证明：在直四棱柱AB(2)连接A1E,与(1)同理可证:BD⊥A1E,BD⊥AE,所以∠A1EA为二面角A1-BD-A的平面角.因为AD⊥DC，所以∠ADC=90°.又AD=2，DC=2,AA1=,且AC⊥BD,可得AC=4.又AD2=AE·AC，所以AE=1.又AA1=，所以∠A1EA=

=，所以∠A1EA=60°，即二面角A1-BD-A的大小为60°.73(2)连接A1E,与(1)同理可证:BD⊥A1E,BD⊥AE(方法二)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥DC，故建立空间直角坐标系如图.则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,).设B(x,y,0).因为AB=2，AC⊥BD，又=(-2,2,0),=(x,y,0),=(x-2,y,0)(x-2)2+y2=4x=3-2x+2y=0y=3x=0y=0(舍),即B(3,,0).得,解得或74(方法二)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥DC(1)因为=(3,,0)，=(-2,2,-),所以·=3×(-2)+×2+0×(-3)=0,所以⊥，所以DB⊥A1C.(2)平面ABD的法向量为=(0,0,),又=(2,0,)，=(,1,0)，设平面A1BD的法向量n=(x,y,z)，

n·=2x+z=0

n=x+y=0，则75(1)因为=(3,,0)，取x=，得n=(,-3,-2),cos〈n，〉==-,故〈n，〉=120°，从而二面角A1-BD-A的大小为60°.76取x=，得n=(,-3,-2),30如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.(1)试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F;(2)当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1-EF-C的正切值的大小.77如图，在棱长为1的正方体ABCD-欲使D1E⊥平面AB1F，只需D1E垂直于平面AB1F内的两条相交直线AF和AB1.而异面直线垂直的问题可利用线面垂直的定义来证明；(2)的解决关键是由二面角的定义，只需作出棱EF的垂面，计算平面角的大小即可.78欲使D1E⊥平面AB1F，只需(1)如图，连接A1B、DE.因为A1B⊥AB1,A1D1⊥AB1,所以AB1⊥平面A1BED1,所以AB1⊥ED1.又因为E为线段BC的中点，D1D⊥AF,所以F为线段DC的中点时，有DE⊥AF,则AF⊥平面D1DE,所以D1E⊥AF，故D1E⊥平面AB1F.79(1)如图，连接A1B、DE.33(2)连接C1E、C1F、AC、EF,AC与EF交于点H,连接C1H.由（1）知，AC⊥EF.又C1C⊥EF,所以EF⊥平面C1HC,所以∠C1HC就是二面角C1-EF-C的平面角.易知在Rt△C1HC中，C1C=1,CH=,所以tan∠C1HC==2.80(2)连接C1E、C1F、AC、EF,AC与EF交于点H,连1.空间角包括：两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.求空间角首先要把它转化为平面角，然后再用代数的方法、三角的方法求解；当上述目标实现较困难时，可考虑用向量方法求解.811.空间角包括：两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面2.构造法求空间角的一般步骤是：一作（找），二证，三计算.作（找）出所求的角是计算的基础.异面直线所成的角一般通过作平行线来作出，而直线与平面所成的角最关键是找一条与平面垂直的垂线，二面角的平面角多采用定义法或线面垂直法等方法来寻找.最后，一般通过解三角形求出角的大小.822.构造法求空间角的一般步骤是：一作（找），二证，三计算.作学例1

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点.(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值;(2)在线段AN上是否存在点

S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由.83学例1

(1)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz.依题意,易得D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E(12,1,0).所以=(-,0,-1),=(-1,0,1).因为cos〈,〉===-,所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为.84(1)如图，以D为坐标原点，建立空间(2)假设在线段AN上存在点S,使得ES⊥平面AMN.因为=(0,1,1),故可设=λ=(0,λ,λ).又=(,-1,0),所以=+=(,λ-1,