第2章泛函变分的基础概念

第2章泛函极值问题的一些基本概念§2.1泛函的极大值和极小值问题如果函数y（x）在x=x0附近的任意点上的值都不大（小）于y（%）,也即dy=y（x）-y（x0）<0（>0）时：则称函数y（x）在x=x0上达到极大（极小），而且在x=x0上，有000dy=0（2-1）对于泛函n[y（x）],也有类似的定义。如果泛函n[y（x）]在任何一条与y=y0（x）接近的曲线上的值不大（或不小）于n[y0（x）]，也就是，如果沮=n[y（x）]-n[y0（x）]<0（或>0）时，则称泛函n[y（x）]在曲线y=y0（x）上达到极大值（或极小值），而且在y=y0（x）上，有an=0（2-2）在这里，对于泛函的极值概念有进一步说明的必要，凡说到泛函的极大（或极小）值，主要是说泛函的相对的极大（或极小）值，也就是说，从互相接近的许多曲线来研究一个最大（或最小）的泛函值，但是曲线的接近有不同的接近度。因此，在泛函的极大极小的定义里，还应说明这些曲线有几阶的接近度。如同一般函数极大（极小）讨论一样，如果泛函在y=y0（x）曲线上有强极大（极小）值，不仅对于那些既是函数接近而且导数也接近的y（x）而言是极大（极小）值，而且对于那些只是函数接近但导数不接近的y（x）而言，也是极大（极小）值，所以泛函在y=y0（x）曲线上是强极大（极小）值时，也必在y=y0（x）上是弱极大（极小）值。反之，则不然，即泛函在y=y0（x）曲线上有弱极大（极小）值时，不一定是强极大（极小）值，因为有可能对于那些只是函数接近但导数不接近的y（x）而言，有一个比函数与导数都接近的y（x）所求的极大（极小）更大（小）的极大（极小）值存在。所以弱极大（极小），不能满足强极大（极小）的要求。这一概念可以推广到包含多个函数的泛函中去。§2.2求解泛函极值的欧拉方程变分法的早期工作是如何将泛函驻值问题转化为微分方程问题。当把泛函的驻值问题转化为微分方程时，第一步工作就结束了，下一步是如何求解这一微分方程。这种求解方法在实际应用上碰到很大的困难。自从里兹提出直接求泛函极值的近似法（里兹法）以后，人们才认识到直接从泛函极值出发，而避免从微分方程式出发更为有效与方便，这样的处理方法可以充分利用电子计算机的作用。于是人们研究的目标有所转移，即把原来从泛函驻值问题化为微分方程问题，转变为把微分方程问题转变为定义一个泛函，而成为泛函求驻值的问题。对于前一种问题由欧拉、拉格朗日等已建立了一套比较成熟、比较系统的方法，而对于后一类问题，虽然正在大力进行工作，但尚不成熟。目前用的多的方法，还是根据微分方程物理和工程背景，采取尝试和核对的方法，即先试猜一个泛函的极值和驻值问题，然后再核对一下，看它是否与原来的微分方程问题等价。这种方法在以后的变分原理中将经常用到。现在研究最简单泛函（2-3）式的极值问题所得到的欧拉方程，其中能确定泛函极值曲线

y=y(x)的边界是固定不变的，而且有y(x)=y,y(x)=y，函数F(x,y,y')将认为是1122三阶可微的。n=jx2F[x,y(x),y'(x)]dx(2-3)x首先让我们用拉格朗日法来求泛函的变分n[y+s8y]=jx2F[x,y+s8y,y'+s8yr]dxx于是有10n[y+sby]=jx2{°F[x,y+sby,y'+£8y']8y+次’xiayaF[x,y+sSy,y+sby]Sy}dxay让£—。，得sn=an[y+£gy]I=jx2[aFSy+dFby']dx

a^i。气ayay,其中aF=FF(x,y,y')，当=5F(x,y,y')ayayayay而且jx2土yrdx=jx2{S[竺Sy]-—(竺)Sy}dx%ayxidxay,dxay,对于固定边界条件，因为有Sy(x2)=Sy(xi)=。，所以jx2竺Syrdx=-jx2—(aF)Sydxxiay,xidxay,将(2-5)式代入(2-4)式，得到变分极值条件1Sn=jx2[翌-—(aF)]Sydx=0%aydx8y，根据变分法的基本预备定理，求得本题的欧拉方程为翌-A(翌)=oaydx8y，(2-4)(2-5)(2-6)(2-7)这里必须指出，上式中的第二项是对x的全导数，不是偏导数，且F=F(x,y,y')，所以dQFa2Fa2Fdya2Fdyf厂〃(2-4)(2-5)(2-6)(2-7)—(——)=++=F"+F"y'+F"y"(2-8)dxay'axdyraxdyrdxay'2dx可巧’y'y'其中F"，F"，F"都是F(x,y,y')对x,y,y'的二阶偏导数。y'=史，y"=^UL，所以/、'[，[，[[,,,«z,。/d.x'’d.尤，//i*>**、欧拉方程(2-7)式也可以写成F-F"-F〃yJF〃y〃=0(2-9)y顽yyyy这就是1744年欧拉所得的著名方程。该方程也被称为欧拉-拉格朗日方程。(2-9)式是关于y(x)的一个二阶微分方程，其积分常数有两个匕和c2,它的积分曲线y=y(x,ci,c2)叫做极值曲线，只有在这族极值曲线上，泛函(2-3)式才能达到极值，积分常数是由极值曲线通过y(x)=y，y(x)=y这两个端点条件所决定的。1122

把泛函的变分作为泛函增量的主部，也同样得到欧拉方程Q-7）式及（2-8）式。求泛函增量主部的过程实质上与求微分的过程非常相似。例如从（2-3）式，因为积分限是固定的（不变的），所以有sn=Sjx2F（x,y,y'）dx=j%豚（x,y,y'）dxTOC\o"1-5"\h\zxx其SF是从y，y'增量引起的，其主部为1，dFdF，豚(x,y,y)=标8"寥5y于是得到（2-4）式，这和拉格朗日法得到的变分表达式是相同的。这里还应指出，（2-9）式这样的欧拉方程，有下列四种特殊的情况，应该予以注意。(2)F(x,y,y')和x无关，即F=F(y,y')（2-10）于是(2-9)式可以写成F'-F"y'-F"y〃=0（2-11）yyy'y'y'上式可以简化为—(F—名y')=0dxdyf（2-12）一次积分后f-^Ly=c（2-13）8y1其中c］为积分常数。（2）F（x,y,y'）和y无关，即F=F（x,y'）（2-14）代入（2-7）式，得-d（fF）=0（2-15）dxfy积分得fF=c（2-16）fy,其中c为积分常数。（3）F（x,y,y'）和y'无关，即F=F（x,y）（2-17）于是欧拉方程为F'（x,y）=0（2-18）y它不是微分方程，不包含什么特定常数，一般情况，所讨论的变分问题不存在，只在个别的情况下，当曲线（2-18）式通过固定端点时，才存在可能达到极值的曲线。（4）F（x,y,y'）是y'的线性函数，即FG,y,y'）=P（x,y）+Q（x,y）y'（2-19）于是欧拉方程为fP+fQy-dQ=0（2-20）fyfydx

但是dP_dOdQ,———十—ydydx但是dP_dOdQ,———十—ydydxdy(2-21)(2-22)(2-22)dydx它也不是一个微分方程式，因为它没有y'项，一般说来它不满足固定端点条件，因此，变分问题根本不存在。现在我们将上述变分问题推广到含有高阶导数的泛函的极值问题和泛函变分得到的欧拉方程。我们研究泛函n[y(x)]=ix2F[x,y(x),y'(x),y〃(x),…，y(n)(x)]dx(2-23)xixi的极值，其中泛函f被认为对于y(x)，y'(x)，y〃(x)，...，y(n)(x)是n+2阶可微的，并且假定，端点上有固定条件y(x)=y，y'(x)=y，y〃(x)=y，•••，y(n一d(x)=y(n-d11111111>(2-24)y(x)=y，y'(x)=y'，y"(x)=》〃，•••，y(n-1)(x)=y(n-1)22222222)端点上不仅给出函数值，而且还给出直至n-1阶导数的值。我们将假定，极值在2n阶可微曲线y=y(x)上达到。用上面相同的求泛函变分方法，我们可以证明：.dFdFdFdF用上面相同的求泛函变分方法，我们可以证明：.dFdFdFdFsn=fx2{——Sy+—8y'+——8y〃+...+Sy(n)}dxx1dydyrdy"dy(n)/其中用简略符号Sy代替Sy(x)，Sy(k)代替Sy俄)(x)=祟\by(x)]。dxk积分(2-25)式中的第二项可以分部积分一次，得Jx2dFd(Sy)dx=dFSyIx2-fx2—(dF)Sydxx〔dyd?刃dy,)x2%dx*dy,"将积分(2-25)式中第三项分部积分两次，得1Jx2dF虫(Sy)dx=dFSy'I-—(dF)SyI%+Jx2虫(2)Sydx22%dydx2dy%dxSyx%dx2dy最后一项经过n次分部积分后，得J%王也(Sy)dx=仝Sy(n-1)Ix2-_!(堂)y(n-2)Ix2+22%dy(n)dxndy(n)%dxdy(n)%dndFc...+(-1)〃J%京(d—)Sydx根据变分法的预备定理，(2-25)式为零时，得1,ddFd2dFdndFF-(——)+——(——)+…+(-1)n——()=0ydxdydx2dydxndy(n)(2-25)(2-26)(2-27)(2-28)(2-29)这是y=y(x)的2n阶微分方程式，一般称之为泛函(2-23)式的欧拉-泊桑方程，而它的积(2-30)梁的位能等(2-31)图2-1梁在横向载荷作用下的弯曲dx21/dw(2-30)梁的位能等(2-31)图2-1梁在横向载荷作用下的弯曲dx21/dw、1+（刀）2

dxd2w一兰32dx2【例2-1】梁在横向载荷作用下的弯曲问题，就是含有较高阶导数的泛函极值问题的一个例子。设梁的抗弯刚度为矽，两端固定，在横向分布载荷q(x)作用下发生弯曲变形(或称挠度)w3)，如图2-1所示。端点固定条件为w(0)=w'(0)=01w(L)=w'(L)=0j在梁达到平衡时，其总位能达到最小值。于梁在弯曲时所贮存的弯曲能，它等于1U=\l_eJx2dx02其中X为梁弯曲后的曲率，它和挠度w(x)的关系为这里假定挠度很小，略去高次项。(2-31)式可以写成1d2wU=JL—EJ(-)2dx02dx载荷q(x)在变形w(x)上的位能为V=-JLq(x)w(x)dx(2-32)0于是，梁所形成的总位能n为n=U+V=JLE1EJ(^-)2-q(x)w(x)]dx(2-33)02dx梁的平衡条件为w(x)使总位能达到最小值，即an=0。于是利用变分计算，并利用固定端条件(2-30)式，得sn=JL[EJW-q(x)]Sw(x)dx=0(2-34)0dx4利用变分法的预备定理，求得梁的平衡方程为这就是欧拉一泊桑方程。注意到满足端点位移约束条件的虚位移。下面讨论另一种形式的泛函n(中,中，中这就是欧拉一泊桑方程。注意到满足端点位移约束条件的虚位移。下面讨论另一种形式的泛函n(中,中，中)=d4wEJ--q(x)=0dx4(2-34)式在静力学中被称为虚位移原理，8w(x)就是JJF（中,中,①）dxdy+JG（①）ds(2-35)的欧拉方程。函数中中(x,y)在域R内连续，其边界S由Sb和Sc组成中=中b(在Sb上)Sc其中8①中b为给定的，式中中=~8x8①8y现在对(2-35)泛函取一次变分，得到TOC\o"1-5"\h\z8Fs8Fs8F8G,8H=JJ[合中8中+合中8①+8①&①]dxdy+J合中8①ds(2-36)RxySc因为8中=8竺上8中，8中=8竺工8中8x8xy8y8y（2-36）式等号R8中您n•右边第一个积分中的末两项可化为丑8①］dxdy=JJ芭（-^8中）+—（-^8中）］dxdy-r8x8①8y8中88F88FJJR［8（亦）+哥（不琪中岫

xy8（2-36）式等号R8中您n•右边第一个积分中的末两项可化为丑8①］dxdy=JJ芭（-^8中）+—（-^8中）］dxdy-r8x8①8y8中88F88FJJR［8（亦）+哥（不琪中岫

xy8F利用高等数学中的格林公式JJ(^^+—)dxdy=J(Qdy一Pdx)R8x8yS上式可化为肚8FR8F8①+8①]dxdy=J[(-^8中)dy-(-^8①)dx]-ys8①8①xyJJ[—(主)+—(必)]8①dxdyr8x8①8/8①1y为周边法线的方向余弦)代入上式，并引入边界Sb上的给将dy=1ds，定条件，再代回（2-36）式中，可得JJ［竺-—（-^）-—（_^）］8①dxdy+J［竺+1+1］8①ds=0R8①8x8①8y8①S8①x8①y8中因为8①为在不同域的任意变分量，"由变分法的预备定理，可以泰得欧拉方程为8F88F88F一（）一（）=0（在R域内）8①8x8①8y8①dx=-1dsy(2-37a)8G8F8F8¥+x8^+y8^=（在c上）xy§2.3含多个待定函数的泛函及其欧拉方程，哈密顿原理(2-37b)让我们把上一节的泛函极值和欧拉方程推广到含多个待定函数的泛函极值问题。设有泛函n[y,y，…y]=J%F(x,y,y…y,y',y',…，y',•12i12i12ixiy(n),y(n)...y(n))dx(2-38)其中*=yk（x）（k=1，2，.，i）为i个待定函数，=y'(x)，y〃=y〃(x)，…，kkky(n)=y(n)3)分别表示一阶，二阶，…，n阶的导数，设这些函数有端点值kky(X)=y，y'(X)=y'，…，y(n)(x)=y(n)

k1kik1kik1kiy(x)=y，y'(x)=y'，…，y(n)(x)=y(n)k2k2k2对所有的x，y(j)(j=1，2，…，n；k=1，2，…，kyk(X)(k=1,2,..•i)是2n阶可微的。泛函n[y,y，…，y]的变分极值条件为12i妇，2[生5y+生时+生5y〃+…+也xdy1dy1dy"1By(n)11111BFBFBFBF—5y+―8y'+―&y+...+——5y(n)]dx=0ByiByiByiBy(n)i通过分部积分，并利用端点固定的条件，即利用iby(j)(x)=0,by(j)(x)=0]k1k2>(j=1,2,-,n),(k=1,2,...,i)J后，可以把(2-40)式化为sn=fx2[生-■!(生)+-dL(BF)—...+(-1)n勺(-^)]bydx+xBydxBydx2BydxnBy(n)111111rBFdBFd2BFdnBFjx2[(—)+一(—)-...+(-1)n一()]bydx+xBydxBydx2BydxnBy(n212222k1,k-k2’2i)而言，F都是k(n+2)阶可微的(2-39)待定曲线(2-40)(2-41)(2-42)TOC\o"1-5"\h\zxBydxBydx2BydxnBy(n)i1iiii利用上节相同的方法，我们可以得到i个欧拉方程BFd,BF、d2‘BF、,d»BF、八)+一(——)-……+(-1)n一()=0Bydxdy'dx2By"dxnBy(n)kkkk(2-43)(k=1,2,…n)这是决定y,y，…，y的i个待定函数的(2-43)12i现在我们研究力学中的一个基本变分原理：哈密顿(Hamilton)原理(或称为最小作用量原理)，该原理可叙述为：质点系满足某些约束条件的运动，必使积分“作用量”(2-44)A=j匕(T-U(2-44)t成极值(最小值)。其中T，U分别表示质点系的动能和位能，t为时间。满足某些约束条件是指质点系满足下列边值条件：在t=t[时，[x(t),y(t),z(t)]=[x(t),y(t),z(t)]、(2-45)iiii1i1i1I(2-45)在t=t2时，[x(t),y(t),z(t)]=[x(t),y(t),z(t)]iiii2i2i2J如果质点的质量为m(i=1,2,-n)，坐标为(x,y,z)，作用在质点上的力F是以-Uiiiii为力函数(即势函数)的

[「E，「广_节，广—云iii而势函数U只依赖于质点的坐标，这是一个保守力场，即(i=1,2,…，n)U=U(x,y,z;x,y,z;x,y,z)111222nnn动能是T=—^m(x2+[「E，「广_节，广—云iii而势函数U只依赖于质点的坐标，这是一个保守力场，即(i=1,2,…，n)U=U(x,y,z;x,y,z;x,y,z)111222nnn动能是T=—^m(x2+y2+z2)i=1其中x,y,z分别代表%,华,dziiidtdt其中i-,i-,idtdtdtOA=O"2t1，最小作用原理(即哈密顿原理)要求(T—U)dt=ft2(OT—OU)dt=0t1OT='^m(x.ox.+yOy+zOz)=15寸热仗au仗OU=E(Ox+—Oy+i=1玄'代'au、——oz)dzii=—E(FOx+FOy+FOz)i=1(2-46)(2-47)(2-48)(2-49)(2-50)J12£m(xox+yoy+zOz)dt=tiiiiiii1i=1—Jt2Em(xOx+yOy+zOz)dttiiiiii1i=1(2-51)于是哈密顿原理可以写为J12E[(mx一F)Ox+(my一F)Oy+(mzF)Oz]dt=0(2-52)iix.iiiy,iiiz.i1i=1由于Ox.,Oy’,Oz.为任意的独立变分，所以得到欧拉-泊桑方程F=mx，F=my，F=mz(i=1,2,…，n)(2-53)x,iiy,iiz.ii这就是n个质点的3n个牛顿运动方程式。’从上述的讨论中不难发现，最小位能原理等价于静力平衡方程。而哈密顿原理等价于牛顿运动方程。如果运动还受另外一组独立关系中(t,x,x,…x;y,y,…y;z,z,•••[)=0TOC\o"1-5"\h\zj12n12n12n(j=1,2,…，m,mv3n)(2-54)的约束，则独立变量只剩下3n-m个。如果我们用3n-m个新的变量(或称广义坐标)q，q，，q来表示原来的变量x来表示原来的变量x,y,z，iiix=x(q,q，…q,t)ii123n一m(2-55)y=y(q,q，…q,t)}(i=1,2,…,n)ii123n一mz=z(q,q，…q,t)ii123n一(2-55)则U、T可以写成U=U(q,q，…，q,t)123n-mT=T(q,q，…q,q,q，…，q,t)122n-m123n-m于是哈密顿原理或最小作用量原理可以写成经过部分积分可以为而欧拉一泊桑方程为习惯上，人们把由=Jt23四[428q+艾词]dt=0t1.=1呵1呵1"J12勿[^U!+g匹腼dt=0

ti,]dqdt6qia(T-U)dST()=0，Sqdt6qi=1,2,…,2n一m称为拉格朗日函数。于是哈密顿原理可以写成由=5Jt2Ldt=勿Jt2［况-d（况腼dtt1.=1t1Sq.dtaqi而欧拉-泊桑方程为1Z_1'SLdSL—（）=0（i=1,2,…,3n一m）SqdtSq在理论力学中，方程组（2-62）是著名的拉格朗日方程。上面用q称为“广义坐标”，（2-59）、（2-62）式都是用广义坐标表示的。i定要用真正的坐标或位移来表示，这样就显得灵活与方便得多。（2-56）（2-57）（2-58）（2-59）（2-60）（2-61）（2-62）其优点是不一【例2-2】如图2-2所示的耦合摆，它们之间以弹簧相连，若略去摆的重量，取01，02,03为广义坐标，于是动能和势能分别为T=2ma2(02+02+02)(2-63)123U=—Ka2(sin0一sin0)2+上Ka2(sin0一sin0)2+2122232mga[(1-cos0)+(1-cos0)+(1-cos0)]123(2-64)对于微振幅的摆动而言，sin0»0，1-cos0^上02

2于是图2-2耦合摆的运动U=1Ka2[(0-0)2+(02122-03)2]+mga(02+02+02)拉格朗日方程为SL-d(SL)=0,SL-d(SL)=0,S01dtS01S02dtS02SL-d(SL)=0S0dtS033（2-65）（2-66）将L=T-U代入，即得4mga20=-Ka2（0-0）一2mgaQ.1i2i4mga20=-Ka2（20-0-0）一2mga0>（2-67）4mga20=-Ka2（0-0）-2mga03323由以上三式，即可求得0「02,03。我们也可以在m个（2-54）式的约束条件下用广义坐标来求非保守系统的拉格朗日方程。非保守系统没有这样一个势函数U，但我们可以把外力F,F,F对汲，Sy,&作的功用气yiziii广义坐标qk的变分S匕对广义力Qk作的功来表示。设***因为£i=1(FSx+FSy+FSz)因为£i=1(FSx+FSy+FSz)=

xiiyiizi无QSqkkk=1（2-68）<祐dx<Sx=^^—」Sq，

ikidqkSyik=1将上式代入（2-68）式，有关Sq的系数给出dxiidq

kk

=£(Fi=i这就是广义力的表达式。祐dy<=^^—」Sq

dq

kegdzeSz=^^—」Sq1k=1dqkdyi+F

dqzk气)dqk（2-69）于是，在非保守力系下的最小作用量原理可以写成（2-70）SA=J‘2(ST+勿QSq)dt=0

t（2-70）1k=1或可写成（2-71）SA=习（攵-A江+Q）Sqdt=0

tdqdtdq（2-71）d,dTdT^―)-^=Q(k=1,2,...,3n—m)dtdqdqkkk(2-72)于是由在非保守力场中的运动方程（即拉^格朗日方程）广义坐标在理论力学中受到重视的原因，不止一个。广义坐标使力学系统的描述不受坐标选用的限制。如果我们把一组广义坐标q换置为另一组广义坐标iq=q（q,q,…，q）d,dTdT^―)-^=Q(k=1,2,...,3n—m)dtdqdqkkk(2-72)SA=Sjt2(T-U)dt=0仍旧给出拉格朗日方程（运动方程）为竺-1（竺）=0dqdtdq其形状和坐标无关。'用广义坐标的变分原理较易于求得近似解。(i=1,2,…p)(2-73)(2-74)许多平面问题，如弹性板的弯曲、平面应力或应变问题、轴对称问题等都有x,j或尸,z两个自变量，其它问题诸如弹性振动、平面热传导、弹塑性理论等有三个或四个自变量，这一类问题在力学物理中非常重要，也是变分法中的主要方面。这类泛函极值问题本质是类似的。首先研究泛函TOC\o"1-5"\h\z88n[w（x,y）]=F[x,y,w（x,j）,丁w（x,j）,丁w（x,j）]dxdj（2-75）\o"CurrentDocument"s8x8y的极值问题。其中函数w（x,y）在域S的边界C上的值已经给出，即在边界C上w（x,y）为已知。记（2-76）（2-77）8w8w~8X—Wx'~8J—Wy8Fc（2-76）（2-77）8Fc8Fcdw+——dw]dxdyyv^8w8<ow=0=ow，而且ffr8F_on=JJ[—&w+S8w8wx8w8c根据函数变分的定义，有owx=08x=8x宛8F&8F&Ow8wxx8F&Ow8wyy将上式代入(2-77)式，则得8,8F…8,8Fg(_Ow)(-—)0w8x8w8x8wxx8,8—、8,8F=^—(Ow)—()Owayawayaw（2-78）（2-79）（图2-3）。图2-3边界的切线和法线（2-80）（2-81）On=ff[竺-—(至)-—(生)]Owdxdy+S8w8x8w8y8wff[—(互Ow)+—(也Ow)]dxdyS8x8w8y8w（2-78）（2-79）（图2-3）。图2-3边界的切线和法线（2-80）（2-81）根据格林公式(Greenformula)，对f(x,y)，g(x,y)两个连续函数有ff(8-+8g)dxdy=f(fdy—gdx)=f(fsina—gcosa)ds8x8yC其中s为边界围线C的弧长，以逆时针为正，顺时针为负，a为切线和x轴的夹角并且有以下关系式dx=cosads，dy=sinadsx=〃sin"+SCos"]y=-ncosa+ssinaJS=xcosa+ysinJn=xsina-ycosaJ并有

ddsddnddd—=+=cosa—+sina——dxdxdsdxdndsdnddsddnddd—=+=sina—-cosa——dydydsdydndsdn:(2-82)TOC\o"1-5"\h\zddxddydd.d—=+=cosa—+sina—(2-83)dsdsdxdsdydxdyddxddyd.dd——=+=sina—-cosa—dndndxdndydxdy以上各式，对简化二维问题时都是很有用的。按(2-79)式，我们有JJ[d(dF8w)+d(dSw)]dxdy=J(°Fsina-dFcosa)Swds(2-84)SdxdwdydwCdwdw在边界C上，w(x,y)已知为^(x,y)，对于都通过^(x,y)的任意w(x,y)的变分8w在边界C上都恒等于零。因此(2-8/)式右侧围线积分应该恒等于零，于是(ddsddnddd—=+=cosa—+sina——dxdxdsdxdndsdnddsddnddd—=+=sina—-cosa——dydydsdydndsdn:(2-82)(2-83)(2-85)(2-86)【例2-3】弦的振动问题就是和(2-75)式相类似的泛函变分问题。设有均匀弦AB，单位长度的密度为P，弦内拉力为N，x=0，x=L的两端固定。单位长度弦的横向位移w(x,t)既是x的函数，也是时间t的函数。整个弦的动能为(2-87)Piidw2

T=J1()(2-87)20dt弦内由于变形所积蓄的弹性变形能(即势能)等于弦内拉力(即两端的拉力N)和弦长dw.增长的总量的乘积。弦的元素dx在变形后增长到：1+(瓦)2dx，因此势能为U=NJ＜：1+(华)2—1}dx汩NJ11(*)2dx(2-88)0\dx02dxzdwx,、这里略去了(=)的高次项。为了寻求运动方程，我们可以利用哈密顿原理，即寻^w(x,t)，dx使弦在t1<t<12中的作用量为最小，即求泛函A=Jt2Ldt=Jt2(T-U)dt=1Jt2J1[p(史)2-Ndw)2]dxdt(2-89)t1t/2%0dtdx的极值。w(x,t)应满足固定条件，1w(0,t)=0，w(1,t)=0(2-90)和满足初始和结束时弦的形状条件w(x,t)=w(x)，w(x,t)=w(x)(2-91)

8A=0的变分极值条件给出祖="JI[p生乾—N竺敢]dxdf=0t10dtdtdxdx根据(2-90)、(2-91)式，我们有8w(0,t)=bw(I,t)=bw(x,t「=bw(x,12)=0,LjIp竺巡dxdt=Jt2fIpB饥dxdt+j[p业饥]t2dx

ti0步洲ti0步20L步」ti=-ft2fIp刘成dxdtti0dt2N坐bwdtdxf12f，N竺乾dxdt=-ft2f，N生饥dxdt+ft2ti0dxdxti0dx2titd3W<=-J2JIN——SN坐bwdtdx最后（2-92）式可以写成由=ft2fI[N丑-p=]Swdxdt=0

t0dx2dt2根据变分预备定理，得到弦振动的欧拉方程dx2Ndt2在以下的公式推导中，将用到下面诸微积分定理，进行简化。（2）格林（Green）定理或高斯（Gauss）定理fff（竺+竺+竺）d。=ff（Acosa+BcosP+Ccosy）dsqdxdydzs(2-92)所以（2-93）（2-94）（2-95）（2-96）（2-97）其中A，B，C为Q中和S上的连续函数，S为闭域。的界面，a，p，(2-92)所以（2-93）（2-94）（2-95）（2-96）（2-97）（2）格林定理的形式之一fff四2阳。』（竺竺+竺空+竺当dQ=ffU空ds（2-98）TOC\o"1-5"\h\z。。dxdxdydydzdzsdn..一―，一…d2d2d2其中dV；dn为V对外法线方向n的导数，V2=—+布+---。这一公式证明很容易，因为dVdVdxdVdydVdzdVdVndV——=++=——cosa+——cosp+——cosydndxdndydndzdndxdydz利用分部积分对(2-98)式右边第一项进行运算，以其中第一项为例，有fff〃d2VfffdUdVff/V,U——d。=-dp~^~dO+JJU~dpcosads整理后即得到(2-98)式。(3)格林定理fff(UV2V-V2U)dO=ff(UdV—VdU)ds(2-99)

该式可以由(2-98)式进行证明。在使用了这些定理之后，我们可以证明下列常见的欧拉方程。(2)泛函n[w(x,yn[w(x,y,z)]=BJF(x,y,z,w,客，祟，顼)dxdydz。oxdydz为极值的必要条件是sn=0，其欧拉方程为0(0F)疽(0F)-°(0F)=00x0w0y0w0z0wOw(2-100)dFdw(2-101)dw苴中w=k,w八*x办y边界上8w=0。(2)泛函dwOZ，其边界条件为w(x,y,z)在。的表面上为已知，即在n[w(x,y)]』F(x,y,w,票,祟,|^,弘,宫)dxdy(2-102)Soxoyox2oy2oxoy为极值的必要条件是sn=0，其欧拉方程为ofo,of、o,of、o2,of、o2——-—(——)_—(——)+——(-—)+owoxowoyowydx2dwxx(ofdxdydwxyo2of)+斯(ow-)=0yy(2-103)owowo2w其中wx3'，’布'wxx=W'wxy

o2wo2w=和'七广旬？。其边界条件为心^)和ow商在边界C上为已知，n为外向法线，也即在边界C上成=0oSw，京=°。(3)泛函n[w(x,y,z,t)]=J'2JJJF(x,y,z,t,w,客，祟，票，*)dxdydzdt?1qoxoyozot为极值的必要条件是sn=0，，其欧拉方程为ofo.ofo.ofo.ofo.of—()—()—()—()owoxowoyow6zow^otowowowowow(2-104)(2-105)ox，wy=祁，wz=w'wt。其边界条件为w(x，y，z，〃在。的表面S其中wx上已知，即在边界S上无论在(t1，12)内任何时间，Sw=0，其起始和终止条件为w(x,y,z,t1)和w(x,y,z,12)为已知，即当t=12,12时，。中的任意点Sw=0。(4)泛函n[w(x,y,t)]=towowo2wJ2JJF(x,y,t,w,ox，oy，o2wo2wow利，布，奇)dxdydt(2-106)为极值的必要条件是sn=0，其欧拉方程为ofo,of、o,of、o‘of、—()—()—()+owoxowoyowotowd2dF)+()=0dxdydwxyd2w,wdxdyyyd2,dF、d2,dFA()+A(Adx2dwdy2dwyyd2w了，wdx2xy(2-107)dw厂wdytxdxdww(x,y,t)和一dncde八8w=——8w=0dn时S上任意点的8w=0。下面列出几个常见的例子。【例2-4】泛函xxdw——,wdtxxd2wdy2其边界条件为在边界C上是已知的，即在边界C上不论t1Vt<t其起始和终止条件为w(x，y，t1),w(x,j,12)为已知内那个时间，dwdwdw口=川[(丁)2+成)2+()2]dxdydz。dxdydz的变分极值问题。由上式取极值必要条件sn=0，可得到欧拉方程d2w+d2w+d2w0dx2dy2dz2这是三维的拉普拉斯方程，w(x,y,z)在边界S上的值为给定的，即有8w=0。【例2-5】泛函dwdwdwn=jjj[(dx)2+(dy)2+(~dz)2+2wp(x,y,z)]dxdydz的变分极值问题。给出的欧拉方程是三维泊桑方程d2wd2wd2w砧+衫+很=心y,z)w(x,y,z)在边界S上的值为已知的，即有8w=0。【例2-6】泛函=Djj[(d^W)2+(|2^)2+2(-d^)2]dxdy—jjq(x,y)wdxdysdx2dy2dxdys或泛函=Djj[(d^w)2+(d^w)2]dxdy—jjq(x,y)wdxdy2Sdx2dy2S或泛函(2-108)(2-109)(2-110)(2-111)(2-112a)(2-112b)Djj{(d2w+d2w)2-2(1-r)[d2wd2w-(d2w)2]}dxdy-jjq(x,y)wdxdy2Sdx2dy2dx2dy2dxdys(2-112c)其中D为抗弯刚度，r为泊桑比，q(x,y)为平板所受的横向分布载荷。以上三式的变分极值条件，都给出同一个四阶欧拉方程d4wd4wd4w、,、DV2V2w=D(—+2^—d—+———)=q(x,y)(2-113)以上三个泛函都被用于板弯曲问题。但必须指出，这三个泛函虽然给出了相同的欧拉方程，却代表着不同的边界条件。考虑式(2-112a)表示的泛函。首先对式(2-112a)进行变分，d2wd2饥d2wd2饥d2wd2饥_,,叫2叩办2办2+世2加+2斗斗岫项严呻(2-114)利用分部积分，等号右边第一、二、三项可分解为TOC\o"1-5"\h\z82w828wd,d2w88w、d,d3w<、d4w<=—()-—(ow)+ow8x28x28x8x28x8x8x38x482w82Ow8.82w80w、8,83w<、84w<=()一(Ow)+ow8y28y28y8y28y8y8y38y482w82Ow8.82w8Ow、8/83w<、84w<=()一(ow)+ow8x8y8x8y8x8x8y8y8y8x28y8x28y2或82w82dw8(82w88w)8(83w&)+84w&(2115)8x8y8x8y8y8x8y8x8x8x8y28x28y2合并(2-115)各式，可得82w82bw+82w82bw+>82w82bw8x28x28y28y28x8y8x8y,一一8r82w88w82w88w8r82w88w82w88wn(V2V2w)8w+[+]+[+]-8x8x28x8x8y8y8y8x8y8x8y28y88一c88一c(2-116)(2-117)一[(—V2w)8w]-[(V2w)8w]8x8x8y8y根据格林公式(2-79)式，有jj{8[82w88w+82w88w]+8〔82w+82w88w]}&dS8x8x28x8x8y8y8y8x8y8y28y82w88w82w8饥[.「82w88w82w88w_,、,c{[京云+~8^8^~87的。a-[8x8yIT"87*。，a}(2-116)(2-117)jj{8[8V2w饥]+8[8V2w5w]}dxdy=j{8V2wsina-8V项cosa}8wdsS8x8x8y8yC8x8y（2-118）在边界C上，如果w已知，即ow=0，即（2-118）式等号右边边界围线积分等于零。如果周边C上w为已知的，那么8w：8n也一定是已知的，在边界C上，ow=0，8（Sw）8n。现在证明式（2-117）等号右边边界围线积分等于零，为了证明这点，我们引进（n,5）边界正交坐标（图2-4），坐标dx，dy，ds，dn之间的变换关系如（2-82）和（2-83）式。这里a是s的函数，即a=a（s），而且有8a18a(2-119)，——=08sp8ns其中ps为边界曲线的曲率半径，当曲率中心在S域内部时

为正，在外侧时为负。于是利用（2-83(2-119)同样O2w.O2wO/Ow、.O/Ow、O,Ow、sinacosa=—(——)sina——(——)cosa=——(——)(2-120)Ox2OxOyOxOxOyOxOnOx，可以证明O2w.O2wO7OwxOosma-—cosa=—(—)(2-121)于是(2-117)式中被积函数可以写成.02wObwO2wO8w、..O2wObwO2wO8w.(Ox2Ox+OxOyOya(OxOyOy+Oy2Oy"0,0^08w0,0wxObw=()+()(2-122)OnOxOxOnOyOy…...,.,.00,,、.0,0w0,0w这里必须指出，我们不能把（2-82）、（2-83）式的=，丁直接代入丁（^-），k（^~）来计算dxdyondxondydwOw（2-122）式，因为（2-82）式所表示的。，。，是在周边C上的导数极限，它们只是s的oxoy函数OOwOOw，匕们对法线n的导数定等于今。（2-122）式中的小（小入小（小）应该是边界线附OnOxOnOy近的OOwOOw7—)^-)在n—0时的极限，即OnOxOnOy0,0w^0,0w,O(W'c=叩O(云)](2123)0f0^^T.0OwJ(2-123)—(—)1=Lim—(—)OnOycI。OnOy让我们取边界正交坐标（n,s*），这一坐标不在边界C上，如图2-4。同样有以下关系00.0Ox*a0s*+sina0n*aaa}在s*上(2-124)0.0,00=sina0+cosa且=Ps0(2-125)0s*p+n0s所以sT•0z0^^T.0fpOw,0w.Lim——(——)=Lim——{scosa+——sina}10OnOxi0Onu+n0sOnT•P02wp0w^.02w.、=Lim{[—s一sJxcosa+sina}iop+nOnOs(p+n)20sOn2r02w10w02w.=[一Jcosa+sinaOnOspOsOn2s

同样，得TOC\o"1-5"\h\z■.d/Qw、rd2w18w.d2wLim——(——)=[]sinacosantodndydndspdsdn2s于是(2-122)式可以化为「d,d^^xdb^wd,df^xdb^w^于是[—(——)——+——(——)——]=dndxdxdndydyc一,dbw•一、，cosa+sina)+dsdn,rd2w1dwd2w.,^dbw{[一]cosa+sina}(TOC\o"1-5"\h\zdndspdsdn2d一,dbw•一、，cosa+sina)+dsdndbw、cosa)dn{[一]sina一cosa}(sina一dndspdsdn2dssd2w1dwdbwd2wdbw=(—)(——)+—dndspdsdsdn2dnsdjd2w1dwd3wd1dwd2wdbw（2-126）（2-127）k角点增=一[()bw]-[]bw+dsdndspdsdnds2ds（2-126）（2-127）k角点增而且，根据边界的封锁性，我们有d「/d2w1dwF./d2w1dw.\虱^0^¥京ws=-（~5nd¥虱kwksk=1sd2w1dw其中△（瓦瓦—_~os}kbwk代表边界C上第k角点的增值量（注意C的方向走向，s量顺序），这里假设共有i个不连续角点，bwk为k角点的bw值。最后，从（2-117）式导出jj{d[d2wdbw*d2wdbw]+d[d2wdbw+d2wdbw]}&dSdxdx2dxdxdydydydxdydxdy2dyd2wdbwrd3wd1dw厂*.d2w1dw、j{寄京一[切一瓦"虱肉w}ds-乙玺版一"虱)kbwk(2-128)sk=1s同样，利用(2-83)式中的第二式，我们可以从(2-118)式证明ddV2wddV2wdV2wjj[d(dw5w)+^(dd%w)]dxdy=jdqwbwds(2-129)最后，得口］的极值（必要）条件d2wdbw1ds-dn2dnbn=jj（DV2V2w—q）bwdxdy+jDdd2wdbw1ds-dn2dn(2-130)(2-131)jD[—(V2w+)—]bwds—D>A((2-130)(2-131)TOC\o"1-5"\h\zcdnds2dspdsdndspdsksk=1sk如果在边界C上，w和dwdn为已知，包括边界为固定的，则有bw=0,竺^=0在边界C上dn>bw=0在角点k=1,2,i上k

从（2-130）式中利用（2-131）的条件，利用变分法的预备定理，就得到欧拉方程，这里为板的平衡方程为DV2V2W-q=0（2-132）如果在边界C的一部分q上，w和dw/湖都是未知的，在q边界上w和8"'湖均不等于零，它们可以是任选的。利用变分法预备定理，则在C1上必须满足的条件为882w818w_］—（V2w+）—08n8s28sp8ss\（在C1边界上）（2-133）82w=0TOC\o"1-5"\h\z82n,如果在角点匕上，w也是未知的，则在那里8w不等于零，利用变分法的预备定理，在匕角点上必须满足角点条件1.,82w18w.-,△（8n8s—8s"广0（在角点k1上）（2-134）s像（2-133）及（2-134）的条件，称之为自然边界条件。凡变分法中因边界值事先未给定而由驻值要求所引