第一节 导数的概念及其几何意义

第一节导数的概念及其几何意义备考方向明确复习目标学法指导导数概念的实际背景.曲线的切线的定义、导数的几何意义、理解导数的概念.根据导数的定义求函数y=c(c为常数)，y=x,y=1,y=x2,y=x3,y=K的导数.X理解导数的概念，会利用导数的定义，求一些简单函数的导数.熟记基本初等函数的导数公式.正确区分曲线在某点处的切线与过某点的切线.知识链条完善句网络构建一、函数的平均变化率概念:对于函数y=f(x),f(七)2(七)=里,叫做函数y=f(x)从x到xX-气心12的平均变化率.几何意义:函数y=f(x)图象上两点(x,f(x)),(x,f(x))连线的斜1122率.物理意义:函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程，就是该质点在［x1,x2］上的平均速度.二、导数的概念函数y=f(x)在x=x0处的导数定义称函数y=f(x)在x=x处的瞬时变化率lim笆=limf(%+愆)-八七)为函数w0Ax*T0殴y=f(x)在x=x0处的导数，记作f(x0)或y，|，即仁(X0)=lim尘=limf(x0+Ax)T(x0).AxT0AxAxT0Ax几何意义函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(xo，f(x。))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-f(x)=f'(x)(x-x).000—函数f(x)的导函数称函数f'(x)=limf(x+Ax)-f(x)为f(x)的导函数.AT0AxC3拓展空间概念理解导数即为自变量改变量趋近0时，函数平均变化率的极限.f'(x0)表示函数f(x)在x=x0处的导数值；(f(x。))'是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x)是一个常数,其导数一定为0,即(f(x))'=0.00⑶曲线y=f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k=f'(x0)的切线，是唯一的一条切线.曲线y=f(x)过点P(x0，y0)的切线,是指切线经过P点.点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.(4)曲线未必在其切线的“同侧”，例如直线y=0(即x轴)是曲线y=x3在点(0,0)处的切线.(5)直线与曲线公共点的个数不是曲线的切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线只有一个公共点，例如曲线y=x3在点(1,1)处的切线y=3x-2与曲线y=x3还有一个交点(-2,-8).与导数几何意义有关的结论切点既在曲线上，也在切线上，切点的坐标同时适合曲线方程和切线方程.⑵求曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程，点P(x0,f(x0))为切点，当切线斜率存在(即f(x)在x=%处可导)时，切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);当切线斜率不存在(即f(x)在x=x0处不可导)时，切线方程为x=x0.⑶已知曲线f(x)的切线斜率为k,则切点(x0，f(x0))的横坐标x0就是方程f'(x)=k的解.0奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数仍是周期函数，其周期与原函数的周期相同.三、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f(x)=0f(x)=xa(aEQ*)f(x)=axa-1f(x)=sinxf(x)=cosxf(x)=cosxf(x)=-sinxf(x)=ax(a>0,且a#1)f(x)二axlnaf(x)二exf/(x)二exf(x)=logx(a>0,且a#1)f'(x)二—xInaf(x)=lnxf/(x)=1xC3拓展空间公式理解利用公式求导时要特别注意不要将幕函数与指数函数的导数公式混淆，幕函数的求导公式为(Xn)'=nXn-1,而指数函数的求导公式为(ax)/=axlna.钢温故知新若物体的运动方程是s=t3+t2-1,t=3时物体的瞬时速度是(D)27(B)31(C)39(D)33解析:因为v=s'=3t2+2t,所以此物体在t=3时的瞬时速度为3X32+2X3=33.故选D.曲线y=X3在原点处的切线(B)不存在有1条，其方程为y=0有1条，其方程为x=0有2条，其方程为x=0和y=0函数f(x)=exsinx的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为(C)(A)3n(B)n(C)n(D)n解宰析:因为f(x)=exsinx+excosx所以f'(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为1.所以在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为n.故选C.如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f(5)+f(5)=.解析：由题意知切线的斜率k=f'(5)=-1,f(5)=-5+8=3,所以f(5)+f'(5)=3-1=2.答案：2已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率为答案：1高频考点突破考点一平均变化率［例1］若函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Ax,1+△y),则笠等于()4(B)4x(C)4+2Ax(D)4+2(Ax)解析：因为Ay=[2(1+Ax)2-1]-1=2(Ax)2+4Ax,所以里=4+2Ax.故选C.G迁移训练已知一质点的运动方程是s(t)=8-3t2，则该质点在［1,1+At］这段时间内的平均速度是(A)(A)-6-3At(B)-6+3At(C)8-3At(D)8+3At解析：因为s=8-3t2,所以As=8-3(1+At)2-(8-3X")=-6At-3(At)2,所以质点在［1,1+At］这段时间内的平均速度为-=尘=-6-3At.故选A.考点二导数的概念［例2］(1)设函数f(x)=ax+3,若f'(1)=3，则a等于()(A)2(B)-2(C)3(D)-3用导数的定义求函数y二二在x=1处的导数.x(1)解析：f'(x)=limf(x+k)-fG)AxT0电=a(x+Ax)+3-C,ax+3)limAxT0Ax=「a-AxlimAxT0Ax二a,所以f'(1)=a=3.故选C.⑵解:记f(x)=4,Vx则Ay=f(1+Ax)-f(1)=1-1<1+Ax=1-、1+Ax1+Ax二(-d1+Ax)(+、♦1+Ax)■■.1+A■■.1+Ax(+%1+Ax1+Ax(+'，1+Ax)笆二—('^=1，Ax侦1+AxG+'；1+Ax)所以limA=lim.尸^=1=-1.AxT0Ax40''•'1+AxM+、.1+Ax2所以y/,j-i.反思归纳)(1)根据导数的定义,求函数y=f(x)在x=x°处导数的步骤求函数值的增量△y=f(x°+Ax)-f(x°);求平均变化率Ay=f(x0+Ax)—f(x0)；AxAx计算导数f'(x)=］imAx.°Axm°ax求函数y=f(x)的导数与求函数在某点处的导数的方法一致，只是把x°换成x.求f'(x°)时,可先求f'(x),再将x=x°代入求值.C3迁移训练已知函数f(x)在x=2处的导数为5，则limf(2-Ax)一f(l)等于(D)TOC\o"1-5"\h\z4Axt0Ax(A)-3(B)5(C)3(D)-54444解析:函数f(x)在x=2处的导数为5,4则limf(2-蚩)-f(2)=5limf(2-k)-f(2)=-5.故选D.Ax—0-Ax4Axt0Ax4考点三基本初等函数导数公式的应用［例3］下列各式正确的是()(A)(sina)'=cosa(a为常数)(cosx)'=sinx(sinx)'=cosx(x-5)'=-x-6解析：由导数运算法则易得，注意A选项中的a为常数，所以(sina)'=0.故答案为C.矿志，•」末熟记基本初等函数导数公式是求导数的关键.H迁移训鲸若函数f(x)=cosx+2xf'(n)，则f(-n)与三(n)的大小关系是TOC\o"1-5"\h\z633(C)(A)f(-n)=f(n)(B)f(-n)>f(n)3333(C)f(-n)<f(n)(D)不确定33解析:依题意得f'(x)=-sinx+2f'(n),6所以f'(n)=-sinn+2f'(n),666所以f'(n)=1.62所以f(x)=cosx+x,于是三(n)=cosn+n=1+n,33323f(-兀)=cos(-兀)-兀二1-兀,,33323所以f(n)>f(-n).故选C.33已知函数f(x)二工+x3+sinx,其导函数为f'(x),则f(2ex+1020)+f(2020)+f(-2020)-f'(-2020)的值为(B)(A)4040(B)4(C)2(D)0解析：函数f(x)=4+x3+sinxf(x)+f(-x)=4+4ex=4,f'(x)=-4ex+3x2+cosx,f'(x)-f'(-x)=0,(ex+1)2f(2020)+f'(2020)+f(-2020)-f'(-2020)=4,故选B.考点四正确理解导数的几何意义[例4](1)函数f(x)的图象如图所示，则下列关系正确的是()0<f‘(2)<f(3)<f(3)-f(2)0<f(2)<f(3)-f(2)<f‘(3)0<f‘(3)<f(3)-f(2)<f(2)0<f(3)-f(2)<f(2)-f(3)(2)如图,y=f(x)是可导函数，直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数，则g'(3)等于()(A)-1(B)0(C)2(D)4解析：(1)由函数f(x)的图象可知：当xN0时,f(x)单调递增，且当x=0时,f(0)<0,所以f'(2),f'(3),f(3)-f(2)〉0,由此可知f'(x)>0,因为直线的斜率逐渐减小，所以f'(x)单调递减，所以f'(2)〉f'(3),因为f(x)为凸函数，

所以f(3)-f(2)<f'(2),f(3)-f(2)>f'(3),所以0<f(3)<f(3)-f(2)<f(2),故选C.(2)将点(3,1)代入直线y=kx+2的方程得3k+2=1，得k=-1,3所以f'(3)=k=-1,3由于点(3,1)在函数y=f(x)的图象上，则f(3)=1,对函数g(x)=xf(x)求导得g'(x)=f(x)+xf'(x),所以g'(3)=f(3)+3f'(3)=1+3X(-1)=0，故选B.3衰思(1)求在函数曲线上某点处的切线方程，可利用导数求出函数在此点处切线的斜率，根据点斜式，写出切线方程；(2)若未知切点求切线方程，关键是设出切点，根据导数的几何意义,由条件求出切点坐标,从而求出切线方程.过原点作曲线y=ex的切线，则切点坐标为，切线的斜率解析:y'=(ex)'=ex,设切点为lx。,时)，则切线斜率为k=s，e气)切线方程为y-e.o=so(x-x0),因为切线过原点,所以-=-x,exo0exo解得x0=1,所以切点为(1,e),过原点作曲线y=ex的切线，则切点坐标为，切线的斜率课堂类题精练类型一平均变化率、导数的概念1.如图，函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是(B)(A)11-0i3A(B)-1(C)2(D)-2解析:依题意可知△y=yB-yA=1-3=-2,Ax=xb-xa=3-1=2,所以函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率为尘=公=-1,故选B.Ax22.函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y=2x+1,则limf(x0)-f(x0-2Ax)AT0Ax等于(D)(A)-4(B)-2(C)2(D)4解析：由函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y=2x+1知f'(x°)=2,再由函数导数的定义可知limfG0+Ax)_f(x0)=f'(x)；AxT0Ax。从而limf(x0)-f(x0_2Ax)AT0Ax—limAxT0fG+(-2&))-f(气—limAxT0-2Ax=2l，f(x+(-2Ax))一f(x)-2Axt0(—2Ax)=2f'(x)0故选D.类型二基本初等函数导数公式的应用设P为曲线C:y=X3-x2+2上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0,n]，则点P横坐标的取值范围为^4解析：由于曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围是[0,n]，则切4线斜率的取值范围是[0,1],对函数y=X3-X2+2求导得y'=3x2-2x,令0Wy'W1,即0W3x2-2xW1,解不等式3x2-2xN0,得xW0或xN2;3解不等式3x2-2xW1,即3x2-2x-1W0,解得-1WxW1.3所以，不等式组0W3x2-2xW1的解集为[-1,0]U[2,1].33因此，点P的横坐标的取值范围是[-1,0]U[2,1].33答案:[-1,0]U[2,1]33类型三导数的几何意义及其应用函数y=cosx的图象上一点(冬，2)处的切线的斜率为(A)TOC\o"1-5"\h\z62(A)-1(B)W(C)-i!(D)-立2222解析：由y'=(cosx)'=-sinx,所以切线的斜率k=y'|n=-sinx6n=-i.故选A.62(2019•温州适应性测试7)已知点A(X],y]),B(x2,y2)是函数f(x)=a、：+bx2的图象上的任意两点，且y=f(x)