偏微分方程的有限元方法课件

由于实际问题的具体特征、复杂性以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法因而掌握数值方法的思想至关重要。要在各种可能的求解方法中找到一种统一地适用于计算材料学领域(或其它领域)的理想方法,一般是不现实的。任何模拟方法,都必须在最佳计算速度和数值精度之间寻找平衡点。科学计算(数值模拟)已经被公认为理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一,但三者之间相辅相成。由于实际问题的具体特征、复杂性以1偏微分方程的有限元方法边值问题的变分原理1引论(1)等周问题在长度一定的所有平面封闭曲线中,求所围面积为最大的曲线。dx模型:在条件求使得泛函s(x,y)dydd达到最大的函数x(s),y()偏微分方程的有限元方法2定义:当求泛函在一个函数集合K中的极小(或极大)问题,则该问题称为变分问题变分问题与微分方程的定解问题有一定的联系。2)初等变分原理①一元二次函数的变分原理设J(x)=Lx2-2fx(L>0,L,f为实常数)考察J(x)的极值情况。变分原理求x∈R,使J(x0)=minJ(x)与求解方程Lx=f等价。定义:当求泛函在一个函数集合K中的极小3②多元二次函数的变分原理设J(x)=(x,x,…,x)=∑∑4一∑bx求J(x)取极小值的驻点,其中对称正定设x=(x,x2b=(b1,b2,…bn)则J(x)可表示为:J(x)=(A元,x)-(b,②多元二次函数的变分原理4变分原理:设矩阵A对称正定,则下列两个命题等价(a)求x∈R,使J(x)=minJ(x)其中J(x)=(Ax,x)-(b,x)(b)x0是方程Ax=b的解上述两个例子表明求二次函数的极小值问题和求线性代数方程(组)的解是等价的。变分原理:5平衡原理求弦的平衡位置归结为求解两点边值问题Tn"(x)=f(x)0<x<l其中T是弦的张力。Q(O)=0a()=0极小位能原理弦的平衡位置(记为u=u2(x)将在满足边值条件l(O)=0,l(1)=0的一切可能位置中,使位能取极小值设弦处于某一位置u=u(x),可得到其总位能为J(u)(Tu-2uf)dx弦的平衡位置un=u1(x)是下列变分问题的解J(u2)min平衡原理6在数学上,要将某个微分方程的定解问转化为一个变分问题求解,必须针对已给的定解问题构造一个相应的泛函,并证明定解问题的解与泛函极值问题的解等价。有限元方法正是利用这种等价性(边值问题与变分问题的等价性),先将微分方程定解问题转化为变分问题(或变分方程)的求解问题,然后再设法近似求解变分问题(或变分方程)在数学上,要将某个微分方程的定解问7(2)两点边值问题的变分原理考察二阶常微分方程边值问题P=n|+qu=fx∈(a,b)l(a)=0u(b)=0①构造泛函J(u)=(Lu,)-(f,u)ddiudx+qu'dx-fudxpu+qu'-2fu)dxdudi引入泛函算子a(u,y)=「Lpvdx则J(ul)==a(u,)-(f,)(2)两点边值问题的变分原理8②变分问题与前述二阶常微分方程边值问题相应的变分问题是求l,∈H,使J(u,)=mmnJ(u)其中Hl1={u(x)(x)∈Ha,b(a)=0J(u)=O(,)-(f,uxp(nfz-nbrd/c②变分问题9③变分原理(变分问题与边值问题的等价性)设f∈C(1),l4∈C2是边值问题Ludx(dx/tqu=fx∈(a,bl(a)=0,l(b)=0的解,则un使J(4)达到极小值反之,若l,∈C2⌒H使J(u)达到极小值,则L是边值问题的解。其中J(a)=3a(u,u)-(f,u)l(a)=0是强制边界条件,(b)=0是自然边界条件,区别这两类边界条件在用有限元方法求解边值问题时很重要。③变分原理(变分问题与边值问题的等价性)10偏微分方程的有限元方法课件11偏微分方程的有限元方法课件12偏微分方程的有限元方法课件13偏微分方程的有限元方法课件14偏微分方程的有限元方法课件15偏微分方程的有限元方法课件16偏微分方程的有限元方法课件17偏微分方程的有限元方法课件18偏微分方程的有限元方法课件19偏微分方程的有限元方法课件20偏微分方程的有限元方法课件21偏微分方程的有限元方法课件22偏微分方程的有限元方法课件23偏微分方程的有限元方法课件24偏微分方程的有限元方法课件25偏微分方程的有限元方法课件26偏微分方程的有限元方法课件27偏微分方程的有限元方法课件28偏微分方程的有限元方法课件29偏微分方程的有限元方法课件30偏微分方程的有限元方法课件31偏微分方程的有限元方法课件32偏微分方程的有限元方法课件33偏微分方程的有限元方法课件34偏微分方程的有限元方法课件35偏微分方程的有限元方法课件36偏微分方程的有限元方法课件37偏微分方程的有限元方法课件38偏微分方程的有限元方法课件39偏微分方程的有限元方法课件40偏微分方程的有限元方法课件41偏微分方程的有限元方法课件42偏微分方程的有限元方法课件43偏微分方程的有限元方法课件44偏微分方程的有限元方法课件45偏微分方程的有限元方法课件46偏微分方程的有限元方法课件47偏微分方程的有限元方法课件48偏微分方程的有限元方法课件49偏微分方程的有限元方法课件50偏微分方程的有限元方法课件51偏微分方程的有限元方法课件52偏微分方程的有限元方法课件53偏微分方程的有限元方法课件54偏微分方程的有限元方法课件55偏微分方程的有限元方法课件56偏微分方程的有限元方法课件57偏微分方程的有限元方法课件58偏微分方程的有限元方法课件59偏微分方程的有限元方法课件60偏微分方程的有限元方法课件61偏微分方程的有限元方法课件62偏微分方程的有限元方法课件63偏微分方程的有限元方法课件64偏微分方程的有限元方法课件65由于实际问题的具体特征、复杂性以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法因而掌握数值方法的思想至关重要。要在各种可能的求解方法中找到一种统一地适用于计算材料学领域(或其它领域)的理想方法,一般是不现实的。任何模拟方法,都必须在最佳计算速度和数值精度之间寻找平衡点。科学计算(数值模拟)已经被公认为理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一,但三者之间相辅相成。由于实际问题的具体特征、复杂性以66偏微分方程的有限元方法边值问题的变分原理1引论(1)等周问题在长度一定的所有平面封闭曲线中,求所围面积为最大的曲线。dx模型:在条件求使得泛函s(x,y)dydd达到最大的函数x(s),y()偏微分方程的有限元方法67定义:当求泛函在一个函数集合K中的极小(或极大)问题,则该问题称为变分问题变分问题与微分方程的定解问题有一定的联系。2)初等变分原理①一元二次函数的变分原理设J(x)=Lx2-2fx(L>0,L,f为实常数)考察J(x)的极值情况。变分原理求x∈R,使J(x0)=minJ(x)与求解方程Lx=f等价。定义:当求泛函在一个函数集合K中的极小68②多元二次函数的变分原理设J(x)=(x,x,…,x)=∑∑4一∑bx求J(x)取极小值的驻点,其中对称正定设x=(x,x2b=(b1,b2,…bn)则J(x)可表示为:J(x)=(A元,x)-(b,②多元二次函数的变分原理69变分原理:设矩阵A对称正定,则下列两个命题等价(a)求x∈R,使J(x)=minJ(x)其中J(x)=(Ax,x)-(b,x)(b)x0是方程Ax=b的解上述两个例子表明求二次函数的极小值问题和求线性代数方程(组)的解是等价的。变分原理:70平衡原理求弦的平衡位置归结为求解两点边值问题Tn"(x)=f(x)0<x<l其中T是弦的张力。Q(O)=0a()=0极小位能原理弦的平衡位置(记为u=u2(x)将在满足边值条件l(O)=0,l(1)=0的一切可能位置中,使位能取极小值设弦处于某一位置u=u(x),可得到其总位能为J(u)(Tu-2uf)dx弦的平衡位置un=u1(x)是下列变分问题的解J(u2)min平衡原理71在数学上,要将某个微分方程的定解问转化为一个变分问题求解,必须针对已给的定解问题构造一个相应的泛函,并证明定解问题的解与泛函极值问题的解等价。有限元方法正是利用这种等价性(边值问题与变分问题的等价性),先将微分方程定解问题转化为变分问题(或变分方程)的求解问题,然后再设法近似求解变分问题(或变分方程)在数学上,要将某个微分方程的定解问72(2)两点边值问题的变分原理考察二阶常微分方程边值问题P=n|+qu=fx∈(a,b)l(a)=0u(b)=0①构造泛函J(u)=(Lu,)-(f,u)ddiudx+qu'dx-fudxpu+qu'-2fu)dxdudi引入泛函算子a(u,y)=「Lpvdx则J(ul)==a(u,)-(f,)(2)两点边值问题的变分原理73②变分问题与前述二阶常微分方程边值问题相应的变分问题是求l,∈H,使J(u,)=mmnJ(u)其中Hl1={u(x)(x)∈Ha,b(a)=0J(u)=O(,)-(f,uxp(nfz-nbrd/c②变分问题74③变分原理(变分问题与边值问题的等价性)设f∈C(1),l4∈C2是边值问题Ludx(dx/tqu=fx∈(a,bl(a)=0,l(b)=0的解,则un使J(4)达到极小值反之,若l,∈C2⌒H使J(u)达到极小值,则L是边值问题的解。其中J(a)=3a(u,u)-(f,u)l(a)=0是强制边界条件,(b)=0是自然边界条件,区别这两类边界条件在用有限元方法求解边值问题时很重要。③变分原理(变分问题与边值问题的等价性)75偏微分方程的有限元方法课件76偏微分方程的有限元方法课件77偏微分方程的有限元方法课件78偏微分方程的有限元方法课件79偏微分方程的有限元方法课件80偏微分方程的有限元方法课件81偏微分方程的有限元方法课件82偏微分方程的有限元方法课件83偏微分方程的有限元方法课件84偏微分方程的有限元方法课件85偏微分方程的有限元方法课件86偏微分方程的有限元方法课件87偏微分方程的有限元方法课件88偏微分方程的有限元方法课件89偏微分方程的有限元方法课件90偏微分方程的有限元方法课件91偏微分方程的有限元方法课件92偏微分方程的有限元方法课件93偏微分方程的有限元方法课件94偏微分方程的有限元方法课件95偏微分方程的有限元方法课件96偏微分方程的有限元方法课件97偏微分方程的有限元方法课件98偏微分方程的有限元方法课件99偏微分方程的有限元方法课件100偏微分方程的有限元方法课件101偏微分方程的有限元方法课件102偏微分方程的有限元方法课件103偏微分方程的有限元方法课件104偏微分方程的有限元方法课件105偏微分方程的有限元方法课件106偏微分方程的有限元方法课件107偏微分方程的有限元方法课件108偏微分方程的有限元方法课件109偏微分方程的有限元方法课件110偏微分方程的有限元方法课件111偏微分方程的有限元方法课件112偏微分方程的有限元方法课件113偏微分方程的有限元方法课件114偏微分方程的有限元方法课件115偏微分方程