绝对值不等式课件

二绝对值不等式1绝对值三角不等式二绝对值不等式[学习目标]1.理解定理1及其几何说明，理解定理2.2.会用定理1、定理2解决比较简单的问题.[学习目标]1.理解定理1及其几何说明，理解定理2.[知识链接]1.代数式|x＋2|＋|x－3|的几何意义是什么？

提示表示数轴上的点x到点－2与3的距离之和.2.定理2的几何解释是什么？提示在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点A，C之间时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.[知识链接]1.代数式|x＋2|＋|x－3|的几何意义是什么[预习导引]1.绝对值的几何意义

如图(1)，|a|表示数轴上______________到原点的距离.

如图(2)，|a－b|的几何意义是___________________的距离.坐标为a的点A数轴上A，B两点之间[预习导引]1.绝对值的几何意义坐标为a的点A数轴上A，B两2.定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤_______，当且仅当_______时，等号成立.3.定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋

|b－c|，当且仅当________________时，等号成立.|a|＋|b|ab≥0(a－b)(b－c)≥02.定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤_______，要点一绝对值三角不等式的性质例1设a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4，求|a|＋|b|的最大值.解

|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|－1|≤1＋1＝2，|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16.①当ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|≤2；②当ab＜0时，则a(－b)＞0，|a|＋|b|＝|a|＋|－b|＝|a＋(－b)|≤16.总之，恒有|a|＋|b|≤16.而a＝8，b＝－8时，满足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16.因此|a|＋|b|的最大值为16.要点一绝对值三角不等式的性质例1设a，b∈R，且|a＋b规律方法|a＋b|≤|a|＋|b|，等号成立的条件为ab≥0，应用时要注意与以前学过的知识的联系与区别.a－c的变形要记住：a－c＝(a－b)＋(b－c)，从而不等式|a＋b|≤|a|＋|b|可以变形为|a－c|＝|(a－b)＋(b－c)|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.规律方法|a＋b|≤|a|＋|b|，等号成立的条件为ab≥跟踪演练1

若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是(

)A.|a|＜|b|＋|c| B.|c|＜|a|＋|b|C.b＞||c|－|a|| D.b＜|a|－|c|解析由|a－c|＜b，知b＞0，∴b＝|b|.∵|a|－|c|≤|a－c|，∴|a|－|c|＜b，则|a|＜b＋|c|＝|b|＋|c|.故A成立.同理由|c|－|a|≤|a－c|得|c|－|a|＜b，∴|c|＜|a|＋b＝|a|＋|b|.故B成立.而由A成立，得|c|－|a|＞－|b|，由B成立，得|c|－|a|＜|b|，∴－|b|＜|c|－|a|＜|b|.即||c|－|a||＜|b|＝b.故C成立.由A成立知D不成立，故选D.答案

D跟踪演练1若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是()绝对值不等式课件规律方法分析题目时，题目中的语言文字是我们解题信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题题设条件中的文字语言“m等于|a|，|b|和1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键.规律方法分析题目时，题目中的语言文字是我们解题信息的重要来绝对值不等式课件要点三绝对值三角不等式在生活中的应用例3在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3，20)，B(－10，0)，C(14，0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.要点三绝对值三角不等式在生活中的应用(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小值.解设点P(x，y)，且y≥0.(1)点P到点A(3，20)的“L路径”的最短距离d，等于水平距离＋垂直距离，即d＝|x－3|＋|y－20|，其中y≥0，x∈R.(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要绝对值不等式课件规律方法

数轴上两点间的距离或者平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上的两点间的距离为：d＝|x1－x2|或d＝|y1－y2|，如果已知两个变量x1，x2的大小关系，则不用加绝对值.规律方法数轴上两点间的距离或者平面直角坐标系中平行于坐标轴跟踪演练3

两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？跟踪演练3两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这解

设生活区应该建于公路路牌的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为s(x)km，则s(x)＝2(|x－10|＋|x－20|).因为|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|≥10，当且仅当(x－10)(20－x)≥0时取等号.解得10≤x≤20.所以，生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时，都能使两个施工队每天往返的路之和最小.解设生活区应该建于公路路牌的第xkm处，两个施工队每天往绝对值不等式课件绝对值不等式课件绝对值不等式课件规律方法

此类题目综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要用到配方等等价变形.在应用绝对值不等式的放缩性质求最值时要注意等号成立的条件，这也是关键.规律方法此类题目综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论跟踪演练4

设f(x)＝x2－x＋13，实数a满足|x－a|＜1.求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).证明

|f(x)－f(a)|＝|(x－a)·(x＋a－1)|＜|x＋a－1|≤|x|＋|a|＋1.∵|x|－|a|≤|x－a|＜1，∴|x|＜|a|＋1.∴|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1).∴|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).跟踪演练4设f(x)＝x2－x＋13，实数a满足|x－a|1.求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用|a＋b|，|a－b|的最值，及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，达到目的.2.求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方法有：(1)借助绝对值的定义，即零点分段；(2)利用绝对值几何意义；(3)利用绝对值不等式性质定理.1.求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，直接求|a|＋|1.若|x－a|＜h，|y－a|＜k，则下列不等式一定成立的是(

)A.|x－y|＜2h B.|x－y|＜2kC.|x－y|＜h＋k D.|x－y|＜|h－k|解析|x－y|＝|(x－a)＋(a－y)|≤|x－a|＋|a－y|＜h＋k.答案

C1.若|x－a|＜h，|y－a|＜k，则下列不等式一定成立的答案

D答案D3.函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为________.解析y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2，当且仅当4≤x≤6时，等号成立.答案

23.函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为________4.已知f(x)＝ax2＋bx＋c，且当|x|≤1时，|f(x)|≤1，求证：(1)|c|≤1；(2)|b|≤1.4.已知f(x)＝ax2＋bx＋c，且当|x|≤1时，|f(二绝对值不等式1绝对值三角不等式二绝对值不等式[学习目标]1.理解定理1及其几何说明，理解定理2.2.会用定理1、定理2解决比较简单的问题.[学习目标]1.理解定理1及其几何说明，理解定理2.[知识链接]1.代数式|x＋2|＋|x－3|的几何意义是什么？

提示表示数轴上的点x到点－2与3的距离之和.2.定理2的几何解释是什么？提示在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点A，C之间时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.[知识链接]1.代数式|x＋2|＋|x－3|的几何意义是什么[预习导引]1.绝对值的几何意义

如图(1)，|a|表示数轴上______________到原点的距离.

如图(2)，|a－b|的几何意义是___________________的距离.坐标为a的点A数轴上A，B两点之间[预习导引]1.绝对值的几何意义坐标为a的点A数轴上A，B两2.定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤_______，当且仅当_______时，等号成立.3.定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋

|b－c|，当且仅当________________时，等号成立.|a|＋|b|ab≥0(a－b)(b－c)≥02.定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤_______，要点一绝对值三角不等式的性质例1设a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4，求|a|＋|b|的最大值.解

|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|－1|≤1＋1＝2，|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16.①当ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|≤2；②当ab＜0时，则a(－b)＞0，|a|＋|b|＝|a|＋|－b|＝|a＋(－b)|≤16.总之，恒有|a|＋|b|≤16.而a＝8，b＝－8时，满足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16.因此|a|＋|b|的最大值为16.要点一绝对值三角不等式的性质例1设a，b∈R，且|a＋b规律方法|a＋b|≤|a|＋|b|，等号成立的条件为ab≥0，应用时要注意与以前学过的知识的联系与区别.a－c的变形要记住：a－c＝(a－b)＋(b－c)，从而不等式|a＋b|≤|a|＋|b|可以变形为|a－c|＝|(a－b)＋(b－c)|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.规律方法|a＋b|≤|a|＋|b|，等号成立的条件为ab≥跟踪演练1

若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是(

)A.|a|＜|b|＋|c| B.|c|＜|a|＋|b|C.b＞||c|－|a|| D.b＜|a|－|c|解析由|a－c|＜b，知b＞0，∴b＝|b|.∵|a|－|c|≤|a－c|，∴|a|－|c|＜b，则|a|＜b＋|c|＝|b|＋|c|.故A成立.同理由|c|－|a|≤|a－c|得|c|－|a|＜b，∴|c|＜|a|＋b＝|a|＋|b|.故B成立.而由A成立，得|c|－|a|＞－|b|，由B成立，得|c|－|a|＜|b|，∴－|b|＜|c|－|a|＜|b|.即||c|－|a||＜|b|＝b.故C成立.由A成立知D不成立，故选D.答案

D跟踪演练1若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是()绝对值不等式课件规律方法分析题目时，题目中的语言文字是我们解题信息的重要来源与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题题设条件中的文字语言“m等于|a|，|b|和1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键.规律方法分析题目时，题目中的语言文字是我们解题信息的重要来绝对值不等式课件要点三绝对值三角不等式在生活中的应用例3在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3，20)，B(－10，0)，C(14，0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.要点三绝对值三角不等式在生活中的应用(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小值.解设点P(x，y)，且y≥0.(1)点P到点A(3，20)的“L路径”的最短距离d，等于水平距离＋垂直距离，即d＝|x－3|＋|y－20|，其中y≥0，x∈R.(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要绝对值不等式课件规律方法

数轴上两点间的距离或者平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上的两点间的距离为：d＝|x1－x2|或d＝|y1－y2|，如果已知两个变量x1，x2的大小关系，则不用加绝对值.规律方法数轴上两点间的距离或者平面直角坐标系中平行于坐标轴跟踪演练3

两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？跟踪演练3两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这解

设生活区应该建于公路路牌的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为s(x)km，则s(x)＝2(|x－10|＋|x－20|).因为|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|≥10，当且仅当(x－10)(20－x)≥0时取等号.解得10≤x≤20.所以，生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时，都能使两个施工队每天往返的路之和最小.解设生活区应该建于公路路牌的第xkm处，两个施工队每天往绝对值不等式课件绝对值不等式课件绝对值不等式课件规律方法

此类题目综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要用到配方等等价变形.在应用绝对值不等式的放缩性质求最值时要注意等号成立的条件，这也是关键.规律方法此类题目综合性强，不仅用到绝对值不等式的性质、推论跟踪演练4

设f(x)＝x2－x＋13，实数a满足|x－a|＜1.求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).证明

|f(x)－f(a)|＝|(x－a)·(x＋a－1)|＜|x＋a－1|≤|x|＋|a|＋1.∵|x|－|a|≤|x－a|＜1，