第三章灰色综合评价课件

第三章灰色综合评价第三章灰色综合评价1目录3.1灰色综合评价的理论基础3.2灰色关联分析3.3灰色聚类评估3.4灰色综合评价应用实例目录3.1灰色综合评价的理论基础23.1灰色综合评价的理论基础3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展

3.1.2灰色系统理论的基本概念3.1灰色综合评价的理论基础3.1.1灰色系统理论的建立33.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展

1.灰色系统（1）系统在系统科学中，系统通常是由相互作用和相互依赖的若干组成部分(要素)结合而成的有特定功能的有机整体。每一个有机整体(系统)又是它所从属的一个更大系统的组成部分。3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展

1.灰色系统4

系统这一概念的定义，目前学术界尚未统一，较流行的定义：把系统定义为抽象集上的关系，即其中：为笛卡尔积；I为指标集；Vi为关系的各分量当I为有限集时，可表达成3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展系统这一概念的定义，目前学术界尚未统一，较流行的定义：3.53.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展(2)灰色系统控制论中，常借助颜色来表示研究者对系统内部信息和对系统本身的了解及认识程度。

“黑”表示信息完全缺乏，

“白”表不信息完全，

“灰”表示信息不充分、不完全。3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展(2)灰色系统63.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展由于黑、白、灰是相对于一定认识层次而占的，因而具有相对性。由此，我们可以定义：所谓白色系统(whitesystem，简称w系统)是指，相对于一定的认识层次，所有信息都己确知的系统。所谓黑色系统(blacksystem，简称B系统)是指，相对于一定的认识层次，关于系统的所有信息都是未知的。所谓灰色系统(Greysystem；简称C系统)是指，相对于一定的认识层次，系统内部的信息部分已知，部分未知，即信息不完全。3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展由于黑、白73.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展目前，W系统和B系统已有一套较成熟的方法来处理，G系统则可用近年来发展起来的灰色系统理论来处理。在灰色系统理论产生之前，W、B、G系统分别称为白箱、黑箱和灰箱。3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展目前，W系统和B系83.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展例如，有一个人有一天去他朋友家，他的朋友养了—条狗。当外面一辆汽车开过来时，这条狗就跑到屋角畏缩起来。冲这个人看来，这条狗的行为真是莫名其妙。然而，对狗的主人来讲，狗的这种惧怕行为足可以理解的，因为他知道，前不久，这条狗曾被汽车压伤过。这里就存在三个问题。

a：狗的惧怕行为来自它曾被汽车压过的“记亿”；

b：狗主人的朋友面临着一个“狗有惧怕行为”黑箱，能解释狗的这种行为；

c：狗的主人面临的是一个“狗有惧怕行为”的灰箱，所以他能解释狗的这种行为。这说明，一个被观察系统，它是黑箱还是灰箱往往是相对于不同的观察者而言的。3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展例如，有一个人有一93.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展2.灰色系统理论建立的背景按数理统计的要求，数据越多越好，因为统计规律是建立在大样本基础之上的。但实际情况却是：（1）许多系统即使有了大样本，其分布也不一定是典型的，而非典型的随机过程(如非高斯分布，非平稳过程，非白噪声等)是难以用统计方法处理的；（2）现实中的许多灰系统，因为没有物理原型，信息难以完全判断，而且数据很少(即小样本)，这就难以用统计方法处理。3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展2.灰色系103.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展灰色系统概率论模糊集内涵小样本不确定大样本不确定认知不确定依据信息覆盖概率分布隶属度函数手段生成统计边界取值特点少数据多数据经验(数据)要求允许任意分布要求典型分布函数目标现实规律历史统计规律认知表达信息准则最少信息无限信息经验信息3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展灰色系统概率论模糊113.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展1982年，由中国华中理工大学邓聚龙教授首先提出并创立的一门新兴学科，它是基于数学理论的系统工程学科。主要解决一些包含未知因素的特殊领域的问题，它广泛应用于农业、地质、气象等学科。3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展1982年，由中国123.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展1985年，国防工业出版社出版了邓聚龙教授的第—部灰色系统专著《灰色系统(社会·经济)》。

1985年至1992年，华中理工大学出版社先后出版发行了邓聚龙教授有关灰色系统的六部著作：其中《灰色控制系统》和《灰色系统理论教程》等被多次重印、再版，成为畅销科技国书。同内其它出版单位以及美国IIGSS学术出版社也都编辑出版了灰色系统的著作。3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展1985年，国防工133.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展1989年，英国科技信息服务中心和万国学术出版社联合创办了国际性刊物“TheJournalofGreysystem”(灰色系统学报)，该刊被英国科学文摘(SA)等权威性检索机构列为核心期刊。3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展1989年，英国科143.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展3.灰色系统理论的应用和发展灰色系统理论的主要内容有：GM模型灰色预测灰关联分析灰色统计与聚类灰色决策灰色控制3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展3.灰色系统理论的15GM(1,1)定义型白化型白化响应式GM(1,1)定义型16灰色预测-1GM(1,1)之预测方程：灰色预测-1GM(1,1)之预测方程：17灰色预测-2建立GM(1,1)之步骤：输入：一原始数据序列。輸出：GM(1,1)预测模型。步骤

1:

求出累加生成序列如下：步骤

2:

求出之均值序列如下：灰色预测-2建立GM(1,1)之步骤：18灰色预测-3步骤

3:

求中件参数C,D,E,F如下：步骤

4:

计算式（1）中之a、b系数如下：

发展系数 灰作用量灰色预测-3步骤3:

求中件参数C,D,E,F19灰色预测-4假设一时间序列如下所示：37471.99,37460.05,37222.60,36895.52,35734.30

灰色预测-4假设一时间序列如下所示：37471.99,3720灰色预测-5灰色预测-521灰预测先建立GM（1,1）模型，依据此模型进行预测。分为：数列灰预测灾变灰预测季节灾变灰预测灰预测先建立GM（1,1）模型，依据此模型进行预测。分为：223.1.2灰色系统理论的基本概念

1.灰色系统理论的两条基本原理

灰概念：概念是人类在认识世界和改造世界的过程中产生、形成并发展的。根据人们对概念的认识层次，可将概念分为四种类型。白色概念：即内涵和外延完全确定的概念。灰色概念：内涵不确定而外延确定的概念。模糊概念：即内涵明确，外延不确定的概念。灰色模糊概念：指内涵、外远均不确定的概念。3.1.2灰色系统理论的基本概念

1.灰色系统理论的两条23决策理论与决策支持3.1.2灰色系统理论的基本概念

2.灰数、灰元、灰关系灰数、灰元、灰关系是灰色系统的特征标志。（1）灰数：指信息不完全的数，即只知大概范围不知道其确切值的数。灰数不是一个数，而是一个数集，一个数的区间，记为。这里表示灰或灰色。所谓灰数的白化值是指今a为区间，ai为a中的数，若在a中取值，则称ai为的一个可能的白化值。符号：

——一般灰数（ai)

——以ai为白化值的灰数或——是的白化值可以是ai，也可以不是ai，这取决于取数时获得的补充信息。3.1.2灰色系统理论的基本概念

2.灰数、灰元、灰243.1.2灰色系统理论的基本概念

一般来说，在区间内灰数的取值机会不一定均等（这种机会的多少是白化权函数表示的）；通过补充信息，灰数的区间可能发生变动，也可能使灰数转化为白数。3.1.2灰色系统理论的基本概念

一般来说，在区间253.1.2灰色系统理论的基本概念

若按性质对灰数的分类，则可分为三种类型：A信息型灰数称暂时缺乏信息而不能肯定其取值的灰数，称为信息型灰数。如，预计某人今年的收入为3000——4000元，记为。到年终时即可确定灰数的白化值。B概念型灰数称由人们的某种观念，意愿形成的灰数位概念型灰数。如，利润越大越好。C层次型灰数称认识层次改变后形成的灰数位层次型灰数。如，某人身高1.65米，全班人的身高为1.5——1.7米，因此身高为灰数。3.1.2灰色系统理论的基本概念

若按性质对灰数的分类，263.1.2灰色系统理论的基本概念

（2）灰元信息不完全的元素为会元或灰参数（目前，因为灰元与会参数的定义不明确，因为不易区别。我们认为，将方程中列为变量的一类数，可称为灰元；而方程中其他的数，则可称为灰参数）。常见的灰参数有以下类型。含有灰系数的方程，称为灰方程。含有灰元素的矩阵，称为灰矩阵。3.1.2灰色系统理论的基本概念

（2）灰元273.1.2灰色系统理论的基本概念

（3）灰关系称信息不完全的关系为灰关系。3.1.2灰色系统理论的基本概念

（3）灰关系283.2灰色关联分析3.2.1基本概念

3.2.2灰色关联因素和关联算子集

3.2.3灰色关联公理与灰色关联度

3.2灰色关联分析3.2.1基本概念293.2.1基本概念灰色关联分析的基本思想:根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。3.2.1基本概念灰色关联分析的基本思想:303.2.1基本概念例如某地区农业总产值X0、种植业总产值、畜牧业总产值X2和林果业总产值X3，从2003年到2008年共6年的统汁数据如下：3.2.1基本概念例如某地区农业总产值X0、种植业总313.2.1基本概念1.概念灰色关联是指事物之间的不确定关联，是系统因子之间、因子对主行为之间的不确定关联。灰色关联分析是灰色系统理论的主要研究内容之一，它是对运行机制与物理原型不清楚的灰关系序列化、模式化，进而建立灰关联分析模型，使灰关系量化、序化、显化。

3.2.1基本概念1.概念323.2.1基本概念2.意义作为灰色关联分析的重要研究领域之一，优势分析在社会经济与管理问题中得到了较为广泛的应用，如ACURAD压铸生产过程的优化、科技创新能力的评价、环境质量分析，冻土的冻胀系数和融沉系数分析和科技投入绩效评价中等。进行优势分析，对于研究社会经济与管理问题，合理地分配和使用人力、物力、财力资源，统筹安排各个部门和各项生产的发展，提高社会经济和社会效益，都有着十分重要的意义。3.2.1基本概念2.意义333.2.1基本概念3.计算方法与步骤如下(1)将时间序列的原始数据作初值化变换处理，消除量纲，增强各因素之间的可比性。(2)求关联系数，并从中找出极大值与极小值。首先，求参考数列x0与各比较数列xi之间的差列：其次，从差列△i(k)中找出最小值和最大值：min，max。最后，从不同比较数列最小、最大值中再分别取最小、最大值：minmin，maxmax。3.2.1基本概念3.计算方法与步骤如下343.2.1基本概念(3)取分辨系数:0＜ρ＜1，本研究取0．5。(4)求关联系数:ζi(k)=(5)求关联度3.2.1基本概念(3)取分辨系数:0＜ρ＜1，本研究取0353.2.2灰色关联因素和关联算子集

进行系统分析，选准系统行为待征的映射量后，还需进一步明确影响系统上行为的有效因素．如要作量化研究分析，则需对系统行为特征映射量和各有效因素进行适当处理，通过算子作用，使之化为数量级大体相近的无量纲数据，并将负相关出素转化为正相关因素。3.2.2灰色关联因素和关联算子集

进行系统分析，选363.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—1：设为系统因素，其在序号k上的观测数据为，k＝l，2，…，n，则称为因素的行为序列;若k为时间序号，为因素在k时刻的观测数据，则称为因素的行为时间序列；若k为指标序号，为因素关于第k个指标的观测数据，则称为因素的行为指标序列；若k为观测对象序号，为因素关于第k个对象的观测数据，则称为因素的行为横向序列。3.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—1：设373.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—2：设为因素的行为序列，D1为序列算子，且，其中则称D1为初值化算子，为原像，为在初值化算子D1下的像，简称为初值像。3.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—2：设383.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—3：设为因素的行为序列，D2为序列算子，且其中则称D2为均值化算子，且为在均值算子D2下得像，简称均值像。3.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—3：设393.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—4：设

为因素的行为序列，D3为序列算子，且其中则称D3为区间值化算子，为区间值像。3.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—4：设403.2.2灰色关联因素和关联算子集命题3.2.2—1：

均值化算子D1，均值化算子D2和区间化算子D3皆可使系统行为序列无量纲化，且在数量上规一。一般地，D1

，D2和D3不宜混合、重叠作用，在进行系统因素分析时，可根据实际情况选用其中的一个。3.2.2灰色关联因素和关联算子集命题3.2.2—1：均值413.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—5：设，为因素的行为序列，D4为序列算子，且其中则称D4为逆化算子，为行为序列在逆化算子D4下的像，简称逆化像。3.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—5：设423.2.2灰色关联因素和关联算子集命题3.2.2—2：任意行为序列的区间值像有逆化像。事实上，区间值像中的数据皆属于区间，故可以定义逆化算子。3.2.2灰色关联因素和关联算子集命题3.2.2—2：任意行433.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—6：设为因素的列，D5为序列算子，且其中则称D5为倒数化算子，为倒数化像。3.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—6：设443.2.2灰色关联因素和关联算子集命题3.2.2—3：若系统因素与系统主行为呈负相关关系，则的逆化算子作用像和倒数化算子作用像与具有正相关关系。3.2.2灰色关联因素和关联算子集453.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—7：称为灰色关联算子集定义3.2.2—8：设X为系统因素集合，为灰色关联算子集，称（X，D）为灰色关联因子空间。3.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—7：称463.2.3灰色关联公理与灰色关联度

定义3.2.3—1：，则称为序列X所对应的折线。这里，我们对序列和折线采用了相同的记号，为叙述简便起见，在讨论时，往往对序列和它所应的折线不加区别。3.2.3灰色关联公理与灰色关联度

定义3.2.3—1：473.2.3灰色关联公理与灰色关联度命题3.2.3—1设系统特征行为序列为增长序列，为相关因素行为序列，则有（1）当为增长序列时，与为正相关关系；3.2.3灰色关联公理与灰色关联度命题3.2.3—1设系483.2.3灰色关联公理与灰色关联度定义3.2.3—3：设为系统特征序列，且为相关因素序列，给定实数，若实数3.2.3灰色关联公理与灰色关联度定义3.2.3—3：设493.2.3灰色关联公理与灰色关联度3.2.3灰色关联公理与灰色关联度503.2.3灰色关联公理与灰色关联度在灰色关联公理中，为对的灰色关联度，为对在k点的关联系数，并称条件10,20,30,40为灰色关联四公理。灰色关联度的计算步骤如下：3.2.3灰色关联公理与灰色关联度513.2.3灰色关联公理与灰色关联度第一步：求各序列中的初值像（或均值像），令3.2.3灰色关联公理与灰色关联度第一步：求各序列中的初值523.2.3灰色关联公理与灰色关联度第二步：求差序列，记3.2.3灰色关联公理与灰色关联度第二步：求差序列，记533.2.3灰色关联公理与灰色关联度第三步：求两级最大差与最小差，记3.2.3灰色关联公理与灰色关联度第三步：求两级最大差与最543.2.3灰色关联公理与灰色关联度第四步：求关联系数3.2.3灰色关联公理与灰色关联度第四步：求关联系数553.2.3灰色关联公理与灰色关联度第五步：计算关联度3.2.3灰色关联公理与灰色关联度第五步：计算关联度56例题：工业、农业、运输业，商业各部门的行业数据如下：解：1o先以X1为系统特征系列求关联度例题：工业、农业、运输业，商业各部门的行业数据如下：解：1o57第三章灰色综合评价课件58第三章灰色综合评价课件593.3灰色聚类评估3.3.1灰色关联聚类3.3.2灰色变权聚类

3.3灰色聚类评估3.3.1灰色关联聚类603.3灰色聚类评估灰色聚类是根据灰色关联矩阵或灰数的白化权函数将一些观测指标或观测对象聚集成若干个可定义类别的方法。一个聚类可以看作是属于同一类的观测对象的集合，在实际问题中，往往是每个观测对象具有许多个特征指标，难以进行准确的分类。3.3灰色聚类评估灰色聚类是根据灰色关联矩阵或灰数的白613.3.1灰色关联聚类

设有n个观测对象，每个对象观测m个特征数值，得到序列如下：3.3.1灰色关联聚类

设有n个观测对象，每个对象观测623.3.1灰色关联聚类

对所有的i≤j，i，j=1,2，…，m，计算出与的绝对关联度，得上三角矩阵其中=1，i=1,2，…，m.3.3.1灰色关联聚类

对所有的i≤j，i，j=1,2，…，633.3.1灰色关联聚类

定义3.3.1—1，上述矩阵A称为特征变量关联矩阵取定临界值，一般要求>0.5,当时，则视为同类特征。定义3.3.2—2：特征变量在临界值r下的分类称为特征变量的r灰色关联聚类。r可根据实际问题的需要确定，r越接近1，分类越细，每一组分中的变量相对地越；r越小，分类越粗，这时每一组分中的变量相对地越多。3.3.1灰色关联聚类

定义3.3.1—1，上述矩阵A称为特64例题例题65对所有的，计算出的绝对关联度，得上三角矩阵（上表）利用上表，即可对指标进行聚类。临界值r可根据要求取不同的值，例如令r=1，则上述15个指标各自称为一类。令r=0.8，我们从第一行开始依次进行检查，挑出大于0.8的，有从而可知，应与在同一类中；对所有的，计663.3.2灰色变权聚类

定义3.3.2—1：设有n个聚类对象，m个聚类指标，s个不同灰类，根据第i个对象的样本值表，将第i个对象归入第个灰类之中，称为灰色聚类3.3.2灰色变权聚类

定义3.3.2—1：设有n个聚类对673.3.2灰色变权聚类定义3.3.2—2：将n个对象关于指标j的取值相应地分为s个灰类，我们称之为j指标子类。j指标k子类的白化权函数记为。定义3.3.2—3：设j指标k子类的白化权函数为如下图所示的典型的白化权函数，则称，，，为的转折点。图3.3.2-13.3.2灰色变权聚类图3.3.2-168定义3.3.2—4：10若白化权函数无第一和第二个转折点，，即下图3.3.2—2所示，则称为下限测度白化权函数。20若白化权函数的第二和第三个转折点，重合，下图3.3.2—3，则称为适中测度白化权函数。30若白化权函数无第三和第四个转折点，，即下图3.3.2—4，则称为上限测度白化权函数。图3.3.2-2图3.3.2-33.3.2-4定义3.3.2—4：图3.3.2-2图3.3.2-33.3.693.3.2灰色变权聚类命题3.3.2—1：10对于如3.2.2-1所示的典型白化权函数3.3.2灰色变权聚类命题3.3.2—1：703.3.2灰色变权聚类命题3.3.2—1：20对于如3.3.2-2所示的下限测度白化权函数3.3.2灰色变权聚类命题3.3.2—1：713.3.2灰色变权聚类命题3.3.2—1：30对于如3.3.2-3所示的适中测度白化权函数3.3.2灰色变权聚类命题3.3.2—1：723.3.2灰色变权聚类命题3.3.2—1：40对于如3.3.2-4所示的上限测度白化权函数3.3.2灰色变权聚类733.3.2灰色变权聚类定义3.3.2—5：

(1)对于图3.3.2-1所示的j指标k子类的白化权函数，令（2）对于图3.3.2-2所示的j指标k子类白化权函数，令（3）对于图3.3.2-3和图3.3.2-4所示的j指标k子类的白化权函数，令，则称为j指标k子类临界值。3.3.2灰色变权聚类定义3.3.2—5：743.3.2灰色变权聚类定义3.3.2—6：设为j指标k子类临界值，则称为j指标k子类的权。3.3.2灰色变权聚类定义3.3.2—6：设为j指753.3.2灰色变权聚类定义3.3.2—7：设为对象关于j指标的观测值，为j指标k子类白化权函数。为j指标k子类的权，则称为对象i关于k灰类的灰色变权聚类系数。3.3.2灰色变权聚类定义3.3.2—7：设为对象763.3.2灰色变权聚类定义3.3.2—8：聚类系数矩阵3.3.2灰色变权聚类定义3.3.2—8：聚类系数矩阵773.4灰色综合评价应用实例3.4.1城轨交通乘客满意度灰色综合评价3.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究

3.4.3基于灰色综合评价方法的企业营销渠道选择3.4灰色综合评价应用实例3.4.1城轨交通乘客满意度灰色783.4.1城轨交通乘客满意度灰色综合评价

利用灰色系统理论,研究城市轨道交通乘客满意度的评价问题，从城市轨道交通乘客运输的特点和消费者满意度的主观特性出发,构建城市轨道交通乘客满意度评价体系，结合乘客问卷调查结果,构建相应的多层次灰色评价模型，并用实例说明模型的有效性。3.4.1城轨交通乘客满意度灰色综合评价791.城轨交通系统评价指标体系建立1.城轨交通系统评价指标体系建立802.确定各层次评价指标的权重利用层次分析法（AHP法），结合专家质询（Delphi法），确定评价指标权重，设的权重集为A={A1,A2...Am},则２级评价指标各指标权重集A{Ai1,Ai2...Aim}，（i={1,2...m）个层次的权重集应满足归一性和负性。2.确定各层次评价指标的权重利用层次分析法（AHP法），结合813.确定评价样本矩阵在确定评价指标体系和评价指标权重的情况下，按照评价指标评分等级标准，可以给出评价指标的评价值(为自然数)。于是就有评价样本矩阵在确定评价指标体系和评价指标权重的情况下，按照评价指标评分等级标准，可以给出评价指标的评价值(为自然数)。于是就有评价样本矩阵。其中，dijk表示评价者k对评价指标U的打分情况。3.确定评价样本矩阵在确定评价指标体系和评价指标权重的824.确定评价对象灰类

确定评估灰类就是要确定评灰类的等级数、灰类的灰数以及数的白化权函数(其中白化指将部明确的信息完全明确化)。评价灰要根据评价等级,通过定性分析定。根据2.1中假设对应有4个灰类分别是:第一灰类“很满意”，e=1,灰数,其白化权函数为f1(x)；第二灰类“满意”，e=2,灰数，其白化权函数f2(x)；第三灰类“一般”，e=3，灰数，其白化权函数f3(x)；第四灰类“不满意”，e=4，灰数，其白化权函数记为f4(x)。4.确定评价对象灰类确定评估灰类就是要确定评灰类的等83其４个白化权函数分别为式(2)～(5)，其曲线如图1所示。其４个白化权函数分别为式(2)～(5)，其曲线如图1所示。845.计算指标评价权矩阵对于评价指标Uij，受评者属于第e个评价灰类的灰色评价系数记为xije,有:

(6)

对于评价指标，受评者属于各个评价灰类的总灰色评价系数记为，有:(7)

受评者属于第e个灰类的灰色评价权记为，有：

(8)

灰色评价权向量为：

(9)5.计算指标评价权矩阵对于评价指标Uij，受评者属于第e个评85这时，Ui所属指标Uij对于各评价灰类的灰色评价权矩阵为：(10)这时，Ui所属指标Uij对于各评价灰类的灰色评价权矩阵为：(866.综合评价对受评者的一级指标作综合评价,其评价结果记为Bi，有:这时，各评价灰类的灰色评价权矩阵R为：于是，受评者综合评价结果B为：取各种评价分类等级值向量C=(9,7,5,3)T，则有综合评价值Z为：因为Z为灰数，并且我们可以计算出Z属于每个评价灰类的白化权fi(Z)(i=1,2,3,4)，从而可以根据最大白化权决定Z所属的灰类。6.综合评价对受评者的一级指标作综合评价,其评价结果记为Bi877.算例以某城市地铁乘客满意度综合评价为例，进行评估。评估采用对乘客发放问卷来进行，共发放调查问卷360份，收回的有效问卷为273份，有效率为75.83%问卷分别针对设计的指标体系的每个指标按4级评价，分为“很满意、基本满意、一般、不满意”4级，分值分别为“9，7，5，3”，评价和计算过程如下：7.算例以某城市地铁乘客满意度综合评价为例，进行评估88（1）按评价等级标准，得到实际评价值（表2）。（2）用AHP法结合Delphi法得到各层次评价指标的权重（表1）。（3）由评价灰类得到灰色评价系数（表3）。（1）按评价等级标准，得到实际评价值（表2）。89（4）综合评价值的确定。由式(12)可得：B1=（0.312，0.366，0.290，0.032）；B2=（0.214，0.254，0.287，0.252）；B3（=0.560，0.370，0.070，0）；B4=（0.194，0.240，0.293，0.273）；B5=（0.330，0.420，0.250，0）；B6=（0.149，0.192，0.266，0.393）。由(11)式可得：由式(13)可得城市轨道交通乘客满意度的综合评价值Z。（5）确定Z所属灰类。计算Z属于每个评价灰类的白化权fi(Z)(i=1,2,3,4)，可得：由此可见,Z属于第2个灰类的权最大，故可认定目前该城市轨道交通乘客满意度的综合水平为满意。这意味着该城市轨道交通综合服务质量基本上得到了乘客的认可，但还有一些需要改进和完善的地方。（4）综合评价值的确定。由式(12)可得：908.结束语

城市轨道交通乘客满意度的评价是衡量城市轨道交通系统服务水平的重要依据，文中给出的多层次灰色综合评价方法是定性与定量结合、专家经验与科学计算互为补充的系统分析方法。应用实例表明该方法具有很强实用性，数学方法简单明了，易于操作，所得结论具有较高可信度。

8.结束语913.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究

在品牌管理中，对品牌竞争力的评价是品牌管理的前提和重点,而评价方法的科学性和可操作性则是客观评价的基础。对于品牌竞争力评价，若单纯采用模糊方法会造成信息丢失，若仅采用灰色理论方法,则不能充分利用评价规则模糊性的特点，这两种情况都会造成评价结果与实际存在偏差。因评价准则存在模糊性而采用模糊评价方法，又因顾客的品牌认知能力与偏好有所差异，导致评价信息常带有一定灰度，因此，在评价中又引入灰色理论。鉴于此，笔者针对品牌竞争力评价中评价准则的模糊与评价信息的灰性，将灰色理论与模糊评价方法相结合，建立一种基于模糊灰色的品牌竞争力综合评价方法。3.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究在品923.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究1.方法的建立品牌竞争力的模糊灰色综合评价方法是从总体上考虑评价规则的模糊性与消费者品牌认知的不完全性，即灰性，首先将不同评价指标分为不同的灰类型，然后建立隶属于各灰类型的权函数。对具有多层次评价指标的体系，可以在子系统评价的基础上再对上一层次加权综合，以反映系统的整体状况。3.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究1.方法的建立933.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究1.1建立评价指标集1.2确定各因素的权重1.3评价等级与标准确定1.4评价矩阵的确定(1)由消费者评分，确定评价样本矩阵。3.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究1.1建立评价指943.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究(2)确定评价灰类第1灰类“优”（e=1)，灰数，白化权函数为f1；第2灰类“良”(e=2），灰数，白化权函数为f2；第3灰类“中”（e=3），灰数，白化权函数为f3；第4灰类“差”（e=4），灰数，白化权函数为f4；第5灰类“很差”（e=5），灰数，白化权函数为f5。3.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究(2)确定评价灰953.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究3.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究963.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究（3）计算灰色评价系数。对于评价指标Vij，受评品牌对第e个灰类的灰色评价权，记为Xije，对于评价指标Vij，受评品牌属于各个评价灰类的总灰类评价权，记为Xij。则灰色评价系数为：3.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究（3）计算灰色评973.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究(4)构造灰色评价权矩阵Vij。所有被调查者就评价指标对受评品牌主张的第e个灰类的灰色评价权，记为rije，则有：3.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究(4)构造灰色评983.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究1.5进行模糊综合评判(1)对U和U1,…，Ui,…，Un作模糊综合评价。令受评品牌对指标U1,…，Ui,…，Un的模糊综合评价结果为Bi，则有：(2)计算模糊综合评价值与结论。3.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究1.5进行模糊综993.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究2.模型的应用

以成都市场中的蒙牛、伊利、光明三种牛奶品牌为对象进行综合评价以求说明该模型的应用。(1)品牌竞争力评价指标体系的建立与权重的确定。在此本文在对众多顾客价值研究文献总结与梳理的基础上构建一个基于顾客价值的品牌竞争力评价指标体系，该指标体系由4个一级指标和12个二级指标构成，如图2所示。因素层权重向量指标层的权重向量3.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究2.模型的应用100第三章灰色综合评价课件1013.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究(2)消费者评分与确定评价样本矩阵消费者评分与确定评价样本矩阵。本研究问卷发放与数据收集主要通过实地发放问卷的方式收集数据（包括学校和牛奶购买点）在本次调查中，共访问顾客130名，获得有效问卷113份，问卷的有效回复率为86.9%，回复率比较高。通过问卷调查得到被调查者对蒙牛、伊利、光明三种品牌的二级指标分值（S=1，2，3），再对所有效问卷的二级指标分值进行几何平均，得到被调查者对各个品牌的评价指标的几何平均值，求得这三个品牌的二级指标分值如下所示：3.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究(2)消费者评分1023.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究计算灰色评价系数与构造灰色评价权矩阵。根据第二节中所确定的白化权函数（公式6）计算出灰色评价系数，结果如下所示：3.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究计算灰色评价系数1033.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究(2)模糊综合评价。对该受评品牌的U1、U2、U3、U4做模糊综合评价，则得到：3.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究(2)模糊综合评1043.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究由Ui的综合结果Bis，得到受评品牌S所属指标Ui对于各个灰类的评价函数矩阵R2(S=1,2,3)：3.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究由Ui的综合结果1053.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究(5)计算模糊综合评价值。根据上一节中所求得的模糊综合评价结果Bs=(S=1,2,3)，按公式ZS=BS×Ct求出模糊综合评价值。其中C为各灰类等级按“灰水平”赋值形成的向量，在此本文可以设置为C=(100,80,60,40,20)。则计算得到：Z1=74.26，Z2=72.2，Z3=63.06。则三种品牌的品牌竞争力的优劣顺序为：蒙牛（74.26），伊利（72.2），光明（63.06）。另外，根据最大隶属度原则，对照各个受评品牌对指标Ui的评价函数矩阵RiS，可以判断出各个品牌在顾客价值的二级指标上的灰类等级，从而为从顾客价值角度提高品牌竞争力提供参考。3.4.2品牌竞争力模糊灰色综合评价方法研究(5)计算模糊综1063.4.3基于灰色综合评价方法的企业营销渠道选择根据企业营销渠道选择和评价的标准，构建了企业营销渠道选择的指标体系。主要探讨了企业营销渠道评价和选择问题，给出了一种灰色综合评价方法。该方法考虑到信息的灰色性，同时应用了层次分析法的思想，为营销渠道评价和选择提供了一种较为科学的方法。随着市场细分和营销渠道不断增加，企业既可以采用传统的单一的营销渠道，也可以同时采用传统渠道与网络渠道。但是并不是所有的产品及企业都适合网上销售，如果采用渠道不当，不仅会缩小市场还会影响企业的发展前景。采用灰色理论对其备选渠道评价从中选取最优渠道。3.4.3基于灰色综合评价方法的企业营销渠道选择1073.4.3基于灰色综合评价方法的企业营销渠道选择1、企业营销渠道选择指标体系的建立3.4.3基于灰色综合评价方法的企业营销渠道选择1、企业营销1083.4.3基于灰色综合评价方法的企业营销渠道选择2、营销渠道选择灰色评价模型（1）确定评价指标集（2）确定指标评分等级（3）确定各评价指标的权重第一层权重集：A={A1，A2，A3，A4}第二层权重集：Ai={Ai1，Ai2，…，Aik（i=1，2，3，4）其中，每层权重集应满足归一性和非负性。3.4.3基于灰色综合评价方法的企业营销渠道选择2、营销渠道1093.4.3基于灰色综合评价方法的企业营销渠道选择（4）组织评价者评分（5）求评价样本矩阵（6）确定评价灰类（7）计算灰色评价系数（8）构造灰色评价权矩阵（9）对Ui做一级综合评价（10）对U作二级综合评价（11）根据综合评价结果BS，可以按取最大原则确定受评对象所属灰类等级，也可先求出综合评价值W=BS×CT3.4.3基于灰色综合评价方法的企业营销渠道选择（4）组织1103.4.3基于灰色综合评价方法的企业营销渠道选择3、模型的应用山东省淄博市制造公司计划采用某种营销渠道，已经初步选出几种渠，这里我们选择其中的一种营销渠道进行综合评价。利用层次分析法得到如下有关指标的资料Uij层对i层的权重向量分别为：A1={A11，A12}={0.4，0.6}，A2=A21，A22，A23，A24，A25}={0.15，0.3，0.15，0.15，0.25}，A3={A31，A32，A33，A34}={0.25，0.3，0.15，0.3}，A4={A41，A42，A43，A44}={0.35，0.25，0.25，0.15}。Uij层对Ui层的权重向量为：A={A1，A2，A3，A4}={0.35，0.25，0.25，0.15}。3.4.3基于灰色综合评价方法的企业营销渠道选择3、模型的应1113.4.3基于灰色综合评价方法的企业营销渠道选择利用上述模型对数据进行处理，得到受评者对指标Ui的灰色评价矩阵为：BS=A×RS=(0.1865，0.70175，0.11175，0），综合评价值W=BS×CT=3.07475。该营销渠道评价为良。按照同样的方法可计算出其它营销渠道的评价值W，W值最大的营销渠道即为最佳营销渠道。3.4.3基于灰色综合评价方法的企业营销渠道选择利用上述模型112第三章灰色综合评价第三章灰色综合评价113目录3.1灰色综合评价的理论基础3.2灰色关联分析3.3灰色聚类评估3.4灰色综合评价应用实例目录3.1灰色综合评价的理论基础1143.1灰色综合评价的理论基础3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展

3.1.2灰色系统理论的基本概念3.1灰色综合评价的理论基础3.1.1灰色系统理论的建立1153.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展

1.灰色系统（1）系统在系统科学中，系统通常是由相互作用和相互依赖的若干组成部分(要素)结合而成的有特定功能的有机整体。每一个有机整体(系统)又是它所从属的一个更大系统的组成部分。3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展

1.灰色系统116

系统这一概念的定义，目前学术界尚未统一，较流行的定义：把系统定义为抽象集上的关系，即其中：为笛卡尔积；I为指标集；Vi为关系的各分量当I为有限集时，可表达成3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展系统这一概念的定义，目前学术界尚未统一，较流行的定义：3.1173.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展(2)灰色系统控制论中，常借助颜色来表示研究者对系统内部信息和对系统本身的了解及认识程度。

“黑”表示信息完全缺乏，

“白”表不信息完全，

“灰”表示信息不充分、不完全。3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展(2)灰色系统1183.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展由于黑、白、灰是相对于一定认识层次而占的，因而具有相对性。由此，我们可以定义：所谓白色系统(whitesystem，简称w系统)是指，相对于一定的认识层次，所有信息都己确知的系统。所谓黑色系统(blacksystem，简称B系统)是指，相对于一定的认识层次，关于系统的所有信息都是未知的。所谓灰色系统(Greysystem；简称C系统)是指，相对于一定的认识层次，系统内部的信息部分已知，部分未知，即信息不完全。3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展由于黑、白1193.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展目前，W系统和B系统已有一套较成熟的方法来处理，G系统则可用近年来发展起来的灰色系统理论来处理。在灰色系统理论产生之前，W、B、G系统分别称为白箱、黑箱和灰箱。3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展目前，W系统和B系1203.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展例如，有一个人有一天去他朋友家，他的朋友养了—条狗。当外面一辆汽车开过来时，这条狗就跑到屋角畏缩起来。冲这个人看来，这条狗的行为真是莫名其妙。然而，对狗的主人来讲，狗的这种惧怕行为足可以理解的，因为他知道，前不久，这条狗曾被汽车压伤过。这里就存在三个问题。

a：狗的惧怕行为来自它曾被汽车压过的“记亿”；

b：狗主人的朋友面临着一个“狗有惧怕行为”黑箱，能解释狗的这种行为；

c：狗的主人面临的是一个“狗有惧怕行为”的灰箱，所以他能解释狗的这种行为。这说明，一个被观察系统，它是黑箱还是灰箱往往是相对于不同的观察者而言的。3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展例如，有一个人有一1213.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展2.灰色系统理论建立的背景按数理统计的要求，数据越多越好，因为统计规律是建立在大样本基础之上的。但实际情况却是：（1）许多系统即使有了大样本，其分布也不一定是典型的，而非典型的随机过程(如非高斯分布，非平稳过程，非白噪声等)是难以用统计方法处理的；（2）现实中的许多灰系统，因为没有物理原型，信息难以完全判断，而且数据很少(即小样本)，这就难以用统计方法处理。3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展2.灰色系1223.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展灰色系统概率论模糊集内涵小样本不确定大样本不确定认知不确定依据信息覆盖概率分布隶属度函数手段生成统计边界取值特点少数据多数据经验(数据)要求允许任意分布要求典型分布函数目标现实规律历史统计规律认知表达信息准则最少信息无限信息经验信息3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展灰色系统概率论模糊1233.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展1982年，由中国华中理工大学邓聚龙教授首先提出并创立的一门新兴学科，它是基于数学理论的系统工程学科。主要解决一些包含未知因素的特殊领域的问题，它广泛应用于农业、地质、气象等学科。3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展1982年，由中国1243.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展1985年，国防工业出版社出版了邓聚龙教授的第—部灰色系统专著《灰色系统(社会·经济)》。

1985年至1992年，华中理工大学出版社先后出版发行了邓聚龙教授有关灰色系统的六部著作：其中《灰色控制系统》和《灰色系统理论教程》等被多次重印、再版，成为畅销科技国书。同内其它出版单位以及美国IIGSS学术出版社也都编辑出版了灰色系统的著作。3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展1985年，国防工1253.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展1989年，英国科技信息服务中心和万国学术出版社联合创办了国际性刊物“TheJournalofGreysystem”(灰色系统学报)，该刊被英国科学文摘(SA)等权威性检索机构列为核心期刊。3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展1989年，英国科1263.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展3.灰色系统理论的应用和发展灰色系统理论的主要内容有：GM模型灰色预测灰关联分析灰色统计与聚类灰色决策灰色控制3.1.1灰色系统理论的建立、应用和发展3.灰色系统理论的127GM(1,1)定义型白化型白化响应式GM(1,1)定义型128灰色预测-1GM(1,1)之预测方程：灰色预测-1GM(1,1)之预测方程：129灰色预测-2建立GM(1,1)之步骤：输入：一原始数据序列。輸出：GM(1,1)预测模型。步骤

1:

求出累加生成序列如下：步骤

2:

求出之均值序列如下：灰色预测-2建立GM(1,1)之步骤：130灰色预测-3步骤

3:

求中件参数C,D,E,F如下：步骤

4:

计算式（1）中之a、b系数如下：

发展系数 灰作用量灰色预测-3步骤3:

求中件参数C,D,E,F131灰色预测-4假设一时间序列如下所示：37471.99,37460.05,37222.60,36895.52,35734.30

灰色预测-4假设一时间序列如下所示：37471.99,37132灰色预测-5灰色预测-5133灰预测先建立GM（1,1）模型，依据此模型进行预测。分为：数列灰预测灾变灰预测季节灾变灰预测灰预测先建立GM（1,1）模型，依据此模型进行预测。分为：1343.1.2灰色系统理论的基本概念

1.灰色系统理论的两条基本原理

灰概念：概念是人类在认识世界和改造世界的过程中产生、形成并发展的。根据人们对概念的认识层次，可将概念分为四种类型。白色概念：即内涵和外延完全确定的概念。灰色概念：内涵不确定而外延确定的概念。模糊概念：即内涵明确，外延不确定的概念。灰色模糊概念：指内涵、外远均不确定的概念。3.1.2灰色系统理论的基本概念

1.灰色系统理论的两条135决策理论与决策支持3.1.2灰色系统理论的基本概念

2.灰数、灰元、灰关系灰数、灰元、灰关系是灰色系统的特征标志。（1）灰数：指信息不完全的数，即只知大概范围不知道其确切值的数。灰数不是一个数，而是一个数集，一个数的区间，记为。这里表示灰或灰色。所谓灰数的白化值是指今a为区间，ai为a中的数，若在a中取值，则称ai为的一个可能的白化值。符号：

——一般灰数（ai)

——以ai为白化值的灰数或——是的白化值可以是ai，也可以不是ai，这取决于取数时获得的补充信息。3.1.2灰色系统理论的基本概念

2.灰数、灰元、灰1363.1.2灰色系统理论的基本概念

一般来说，在区间内灰数的取值机会不一定均等（这种机会的多少是白化权函数表示的）；通过补充信息，灰数的区间可能发生变动，也可能使灰数转化为白数。3.1.2灰色系统理论的基本概念

一般来说，在区间1373.1.2灰色系统理论的基本概念

若按性质对灰数的分类，则可分为三种类型：A信息型灰数称暂时缺乏信息而不能肯定其取值的灰数，称为信息型灰数。如，预计某人今年的收入为3000——4000元，记为。到年终时即可确定灰数的白化值。B概念型灰数称由人们的某种观念，意愿形成的灰数位概念型灰数。如，利润越大越好。C层次型灰数称认识层次改变后形成的灰数位层次型灰数。如，某人身高1.65米，全班人的身高为1.5——1.7米，因此身高为灰数。3.1.2灰色系统理论的基本概念

若按性质对灰数的分类，1383.1.2灰色系统理论的基本概念

（2）灰元信息不完全的元素为会元或灰参数（目前，因为灰元与会参数的定义不明确，因为不易区别。我们认为，将方程中列为变量的一类数，可称为灰元；而方程中其他的数，则可称为灰参数）。常见的灰参数有以下类型。含有灰系数的方程，称为灰方程。含有灰元素的矩阵，称为灰矩阵。3.1.2灰色系统理论的基本概念

（2）灰元1393.1.2灰色系统理论的基本概念

（3）灰关系称信息不完全的关系为灰关系。3.1.2灰色系统理论的基本概念

（3）灰关系1403.2灰色关联分析3.2.1基本概念

3.2.2灰色关联因素和关联算子集

3.2.3灰色关联公理与灰色关联度

3.2灰色关联分析3.2.1基本概念1413.2.1基本概念灰色关联分析的基本思想:根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。3.2.1基本概念灰色关联分析的基本思想:1423.2.1基本概念例如某地区农业总产值X0、种植业总产值、畜牧业总产值X2和林果业总产值X3，从2003年到2008年共6年的统汁数据如下：3.2.1基本概念例如某地区农业总产值X0、种植业总1433.2.1基本概念1.概念灰色关联是指事物之间的不确定关联，是系统因子之间、因子对主行为之间的不确定关联。灰色关联分析是灰色系统理论的主要研究内容之一，它是对运行机制与物理原型不清楚的灰关系序列化、模式化，进而建立灰关联分析模型，使灰关系量化、序化、显化。

3.2.1基本概念1.概念1443.2.1基本概念2.意义作为灰色关联分析的重要研究领域之一，优势分析在社会经济与管理问题中得到了较为广泛的应用，如ACURAD压铸生产过程的优化、科技创新能力的评价、环境质量分析，冻土的冻胀系数和融沉系数分析和科技投入绩效评价中等。进行优势分析，对于研究社会经济与管理问题，合理地分配和使用人力、物力、财力资源，统筹安排各个部门和各项生产的发展，提高社会经济和社会效益，都有着十分重要的意义。3.2.1基本概念2.意义1453.2.1基本概念3.计算方法与步骤如下(1)将时间序列的原始数据作初值化变换处理，消除量纲，增强各因素之间的可比性。(2)求关联系数，并从中找出极大值与极小值。首先，求参考数列x0与各比较数列xi之间的差列：其次，从差列△i(k)中找出最小值和最大值：min，max。最后，从不同比较数列最小、最大值中再分别取最小、最大值：minmin，maxmax。3.2.1基本概念3.计算方法与步骤如下1463.2.1基本概念(3)取分辨系数:0＜ρ＜1，本研究取0．5。(4)求关联系数:ζi(k)=(5)求关联度3.2.1基本概念(3)取分辨系数:0＜ρ＜1，本研究取01473.2.2灰色关联因素和关联算子集

进行系统分析，选准系统行为待征的映射量后，还需进一步明确影响系统上行为的有效因素．如要作量化研究分析，则需对系统行为特征映射量和各有效因素进行适当处理，通过算子作用，使之化为数量级大体相近的无量纲数据，并将负相关出素转化为正相关因素。3.2.2灰色关联因素和关联算子集

进行系统分析，选1483.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—1：设为系统因素，其在序号k上的观测数据为，k＝l，2，…，n，则称为因素的行为序列;若k为时间序号，为因素在k时刻的观测数据，则称为因素的行为时间序列；若k为指标序号，为因素关于第k个指标的观测数据，则称为因素的行为指标序列；若k为观测对象序号，为因素关于第k个对象的观测数据，则称为因素的行为横向序列。3.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—1：设1493.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—2：设为因素的行为序列，D1为序列算子，且，其中则称D1为初值化算子，为原像，为在初值化算子D1下的像，简称为初值像。3.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—2：设1503.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—3：设为因素的行为序列，D2为序列算子，且其中则称D2为均值化算子，且为在均值算子D2下得像，简称均值像。3.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—3：设1513.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—4：设

为因素的行为序列，D3为序列算子，且其中则称D3为区间值化算子，为区间值像。3.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—4：设1523.2.2灰色关联因素和关联算子集命题3.2.2—1：

均值化算子D1，均值化算子D2和区间化算子D3皆可使系统行为序列无量纲化，且在数量上规一。一般地，D1

，D2和D3不宜混合、重叠作用，在进行系统因素分析时，可根据实际情况选用其中的一个。3.2.2灰色关联因素和关联算子集命题3.2.2—1：均值1533.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—5：设，为因素的行为序列，D4为序列算子，且其中则称D4为逆化算子，为行为序列在逆化算子D4下的像，简称逆化像。3.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—5：设1543.2.2灰色关联因素和关联算子集命题3.2.2—2：任意行为序列的区间值像有逆化像。事实上，区间值像中的数据皆属于区间，故可以定义逆化算子。3.2.2灰色关联因素和关联算子集命题3.2.2—2：任意行1553.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—6：设为因素的列，D5为序列算子，且其中则称D5为倒数化算子，为倒数化像。3.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—6：设1563.2.2灰色关联因素和关联算子集命题3.2.2—3：若系统因素与系统主行为呈负相关关系，则的逆化算子作用像和倒数化算子作用像与具有正相关关系。3.2.2灰色关联因素和关联算子集1573.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—7：称为灰色关联算子集定义3.2.2—8：设X为系统因素集合，为灰色关联算子集，称（X，D）为灰色关联因子空间。3.2.2灰色关联因素和关联算子集定义3.2.2—7：称1583.2.3灰色关联公理与灰色关联度

定义3.2.3—1：，则称为序列X所对应的折线。这里，我们对序列和折线采用了相同的记号，为叙述简便起见，在讨论时，往往对序列和它所应的折线不加区别。3.2.3灰色关联公理与灰色关联度

定义3.2.3—1：1593.2.3灰色关联公