激光原理第二章-华中科技大学课件

第二章光线的传播及高斯光束第二章光线的传播及高斯光束1第二章光线的传播及高斯光束2.1光线传播光线矩阵透镜波导光线在反射镜间的传播光线在类透镜介质中的传播2.2光束传播2.3高斯光束的变换第二章光线的传播及高斯光束2.1光线传播22.1光线的传播光线？几个前提几何光学意义上的光线—λ→0近轴光线近似光学元件绕光轴旋转对称均匀介质2.1光线的传播光线？32.1光线的传播坐标系及方向的规定光线在光轴上方，r>0；反之，r<0;光线指向光轴上方，r’>0；反之，r’<0；2.1光线的传播坐标系及方向的规定42.1光线的传播2.1.1光线矩阵1.通过厚度为d的均匀介质2.1光线的传播2.1.1光线矩阵5f>0，相对于凸透镜f<0，相对于凹透镜2.1光线的传播2.通过焦距为f的薄透镜f>0，相对于凸透镜2.1光线的传播2.通过焦距为f的薄透镜62.1光线的传播3.不同介质介面（平面）2.1光线的传播3.不同介质介面（平面）72.1光线的传播4.不同介质介面(球面)2.1光线的传播4.不同介质介面(球面)8（1）R>0,凹反射镜（2）R<0,凸反射镜（3）R趋于无穷,平面镜

一个曲率半径为R的球面反射镜对光线的作用相当于一个焦距f=R/2的薄透镜2.1光线的传播5.球面反射镜（1）R>0,凹反射镜一个曲率半径为R的球面反射镜对光线的92.1光线的传播例：求解通过长度为d的均匀介质后，再透过一个薄透镜的光线传输情况。思考：如何求得厚透镜的光线矩阵?2.1光线的传播例：求解通过长度为d的均匀介质后，102.1光线的传播2.1.2透镜波导:由焦距为f1和f2的透镜相互间隔d周期性排列而成，称为双周期透镜波导。f1f2SS+1MNf1d2.1光线的传播2.1.2透镜波导:由焦距为f1和f2的透镜11同理，从N面到S面的光线传播情况2.1光线的传播从S面到N面的光线传播情况同理，从N面到S面的光线传播情况2.1光线的传播从S面到N面122.1光线的传播综合可得到从S面到S+1面的光线传播情况2.1光线的传播综合可得到从S面到S+1面的光线传播情况13将矩阵形式的传播方程写成方程组的形式可得到递推关系2.1光线的传播将矩阵形式的传播方程写成方程组的形式2.1光线的传播14该式为决定光线在双周期透镜波导内传播规律的差分方程，等价于微分方程：该方程具有的解，用作为试探解对差分方程进行试探，可得到：2.1光线的传播2.1光线的传播152.1光线的传播双周期透镜波导的光线稳定条件当θ为实数时，光线与光轴的距离在rmax和-rmax之间振荡；即光线传播被约束在透镜孔径形成的波导之中，不会发生溢出。θ为实数等价于|b|≤1，即：由相同焦距的薄透镜构成的周期透镜波导称为相同周期透镜波导，即f1=f2=f；相同周期透镜波导的稳定条件为：2.1光线的传播双周期透镜波导的光线稳定条件162.1光线的传播2.1.3光线在球面反射镜之间的传播根据光线传播矩阵可以写出第2次反射后的光线状态为：2.1光线的传播2.1.3光线在球面反射镜之间的传播172.1光线的传播在腔内经过N次往返之后的光线参数为：

其中Tn为光线矩阵，可以按照矩阵理论求出： 其中：

从推导过程可以看出，近轴光线在两个反射镜间传输的传输矩阵与光线的初始位置无关，因此可以用传输矩阵来描述任意近轴光线的传输特性。2.1光线的传播在腔内经过N次往返之后的光线参数为：182.1光线的传播由前述可知一个半径为R的球面反射镜等效于一个焦距为F=R/2的透镜,则上述的两个球面反射镜可以等效为由两个焦距分别为R1/2和R2/2，距离为L的透镜构成的双周期透镜波导，由双周期透镜波导的光线稳定性条件可以得到反射镜系统的稳定条件：2.1光线的传播由前述可知一个半径为R的球面反射镜等效于一个192.1.4光线在类透镜介质中的传播1.薄透镜的聚焦机理一单色平面波，经过薄透镜后，产生一个与离轴距离r2成正比的相位超前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同滞后量。到达焦点时间、相位相同，实现聚焦，此时的薄透镜相当于一个平面的相位变换器。离轴距离为r的相位提前量为经过透镜后的光场2.1光线的传播2.1.4光线在类透镜介质中的传播2.1光线的传播202.1光线的传播2.类透镜介质折射率满足的介质称为类透镜介质。其中η0为介质轴线上的折射率；k0是轴线上的波数；k2是与介质、工作状态以及外界泵浦能量有关的常数。在Nd：YAG固体激光器中，当激光其处于运行状态时，由于发热造成工作物质内部沿径向产生温度分布：在实验上和理论上都证实了工作物质的折射率随温度发生变化：可见工作状态下的Nd：YAG工作物质是一种二次折射率介质。2.1光线的传播2.类透镜介质213.光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播程函(eikonal)方程：光线的传播方向，就是程函变化最快的方向在讨论光线和几何光学的强度时，可以推导出光线的微分方程（光线方程），其中为光线上某点到另外一点的长度，而是该点的位置矢量：（1）均匀介质解方程得：上式代表一个矢量直线方程，即直线沿着的方向并通过点，因此，在均匀通行介质中，光线是直线传播的2.1光线的传播3.光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播2.1光线的传播222.1光线的传播（2）类透镜介质当考虑近轴光线近似光线方程可以写成：在二次折射率介质中，由于η(x,y)没有轴向分布，只有径向分布，因此，而由类透镜介质的折射率表达式可得到：x,y都是独立变量，因此有：为了简化讨论，取y-z平面上的光线讨论，并以r代替y，得到近轴光线的微分方程2.1光线的传播（2）类透镜介质23（1）k2>0

微分方程的解为若考虑光线入射初始条件为，则可以求出，因此微分方程的解可以写成：2.1光线的传播如右图的曲线可以代表在类透镜介质中传播的光线，只是在幅度上作了夸大。从该方程可以得出结论：当k2>0时，类透镜介质对光线起汇聚作用，相当于正透镜。（1）k2>02.1光线的传播如右图的曲线可以代表在类透镜介242.1光线的传播(2)k2<0当k2<0时，光线微分方程的解可以表示为： 从方程可以得出结论，随着z的不断增加，r(z)不断增大，当，因此k2<0的类透镜介质对光线具有发散性，类似于负透镜的作用。练习：证明2-1-39式2.1光线的传播(2)k2<0252.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.1类透镜介质中的波动方程在各向同性、无电荷分布的介质中，Maxwell方程组的微分形式为：对2式求旋度：且由3式：在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即综合上三式可以得到假设折射率n的空间变化很小，即n(r)满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：代入(4)式波动方程也称亥姆霍兹方程2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.1类透镜介质262.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：当代表吸收介质，代表增益介质上式表示复数波数，我们考虑波数表示形式为其中k0、k2都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置r和介质的特性k2都有关系。由波数的定义：可以得到n(r)的表达式：的情况该表达式就是类透镜介质的折射率表达式，证明我们考虑的k(r)表达式代表的正是在类透镜介质中的情况。级数展开2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播当考虑到介质中存在增272.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。可以假设光场的横向分布只与有关，因此波动方程中的算符可以表示为：我们假设，其中a为集中大部分能量的横截面半径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：其中e-ikz表示波数为k的严格平面波，为了研究修正平面波，我们引入了修正因子，它包含了相位和振幅修正两部分。该修正因子满足慢变近似：将这些相关假设带入波动方程可以得到：令修正因子取以下形式：为什么取这种形式？这是对波动方程进行长期研究得到的解，既满足方程，又有明确的、能够被实验证实的物理意义。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播下面我们研究类透镜介282.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到：该方程对不同r都成立，因此r的各次项系数应该为零，整理得到：该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播通过将修正因子带入被292.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.2均匀介质中的高斯光束均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即k2=0时的类透镜介质，此时简化波动方程为：引入一中间函数S，使代入上式得到得出该微分方程的解为，a、b为复常数则由p与q的关系得到C1不影响振幅和相位的分布，因此可以设C1=0。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.2均匀介质中302.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播将上述结果代入到的表达式中有：满足该表达式的q0有很多形式，但对其研究发现纯虚数形式的q0可以得到有物理意义的波，因此假设q0具有如下表达形式：将q0的表达式带入（1）式中，其指数的两项可以分别表示为：2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播将上述结果代入到312.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播人为定义以下参数：将上述参数带入到光场的表达式，整理可以得到光场的表达式：该式所表示的是均匀介质中波动方程的一个解，称为基本高斯光束解，其横向依赖关系只包含r，而与方位角无关。那些与方位角相关的分布是高阶高斯光束解。上面最后一个表达式中的两项，前一项是振幅项，后一项是相位项。为什么是这个解？还有其他解吗？2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播人为定义以下参数：将322.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯分布：在统计学中更多的被称为正态分布，它指的是服从以下概率密度函数的分布：JohannCarlFriedrichGauss(1777–1855)2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯分布：Johan332.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯光束基本特性振幅分布特性 由高斯光束的表达式可以得到：

在z截面上，其振幅按照高斯函数规律变化，如图所示。 将在光束截面内，振幅下降到最大值的1/e时，离光轴的距离定义为该处的光斑半径。由的定义可以得到：即光束半径随传输距离的变化规律为双曲线，在z=0时有最小值，这个位置被称为高斯光束的束腰位置。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯光束基本特性由342.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播等相位面特性从高斯光束解的相位部分可以得到传输过程中的总相移为：将上式同标准球面波的总相移表达式比较：可以得出结论，在近轴条件下高斯光束的等相位面是以R(z)为半径的球面，球面的球心位置随着光束的传播不断变化，由R(z)的表达式可知：z=0时，,此时的等相位面是平面；时，， 此时等相位面也是平面；时，， 此时的等相位面半径最小；2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播等相位面特性352.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播瑞利长度当光束从束腰传播到处时，光束半径，即光斑面积增大为最小值的两倍，这个范围称为瑞利范围，从束腰到该处的长度称为高斯光束的瑞利长度，通常记作。在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围内是近似平行的，因此也把瑞利距离长度称为准直距离。从瑞利长度表达式可以得出结论，高斯光束的束腰半径越小，其准直距离越长，准直性越好。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播瑞利长度362.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯光束的孔径从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为：则其光强分布为：考虑垂直于高斯光束传播方向上存在一无限大平面，以光轴为中心开一半径为a的孔，则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式，通过计算可以得到不同孔径的功率透过率。在激光应用中，高斯光束总要通过各种光学元件，从上面推导可知，只要光学元件的孔径大于3ω/2，即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透过。孔径半径aω/2ω3ω/22ω功率透过比39.3%86.5%98.89%99.99%2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯光束的孔径孔径半372.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播远场发散角从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利长度之外，高斯光束迅速发散，定义当时高斯光束振幅减小到最大值1/e处与z轴夹角为高斯光束的远场发散角（半角）：包含在全远场发散角内的光束功率占 高斯光束总功率的86.5%高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面波，在传播过程中曲率中心不断改变，其振幅在横截面内为一高斯分布，强度集中在轴线及其附近，且等相位面保持球面。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播远场发散角382.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.3类透镜介质中的高斯光束类透镜介质中k2≠0，此时的简化波动方程为：

其解仍可以采用与均匀介质中相类似的处理方式得到，最终可以求出：2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.3类透镜介质392.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播类透镜介质中的基本高斯光束解仍然可以采取 的形式，如果我们只讨论其中包含r2的指数部分： 仍取，则q(z)可以表示成：

将(2)式代入(1)式可以得到： 其中ω(z)是光斑半径，R(z)是等相位面曲率半径，其物理意义同均匀介质中的基本高斯光束解相同，然而数学表达式比较复杂。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播类透镜介质中的基本高402.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播前面得到了类透镜介质中高斯光束参数q(z)的复数表达形式：q0是由边界条件求出的光束初始条件，将上式同前面得到的光线矩阵比较：2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播前面得到了类透镜介质412.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.4高斯光束的ABCD法则按照光线矩阵规则，ABCD矩阵元构成的光线矩阵是表示输出平面上和输入平面上光线参数之间的关系，因此我们取：该式表示了类透镜介质中传播的高斯光束的传输变换规则，可以证明，高斯光束在其他光学元件上透射或反射都遵循这一规则，则以规则称为高斯光束q参数变换法则，简称ABCD法则。需要注意的是ABCD法则同光线传播规则虽然都是用光线矩阵来描述，但是高斯光束的ABCD法则不同于光线传输的矩阵乘法。高斯光束经过变换之后仍然为高斯光束2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.4高斯光束的422.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播例：以焦距为f的薄透镜为例薄透镜的光线矩阵为则由ABCD法则可以得到考虑到：代入到(1)式中，并且比较实部与虚部得到：上面的第一个公式表明薄透镜两面的高斯光束光斑半径相同，这与薄透镜的特性是一致的；第二个公式表明薄透镜两面等相位面的曲率半径满足成像公式，即球面中心是关于该透镜的共轭像点，这与薄透镜对球面波成像的规律是一致的。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播例：以焦距为f的薄透432.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播我们比较一下下面两个公式：由这两个公式我们可以看出高斯光束参数q(z)与球面波曲率半径R(z)之间的相似性，称q(z)为高斯光束的复曲率半径，其表达式为：当时，上式可以得出而此时我们讨论的对象已经从波动光学过渡到了几何光学。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播我们比较一下下面两个442.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播经过两个光学元件的高斯光束设两个光学元件的光线矩阵为入射高斯光束参数为q1，经过第一个光学元件后有：经过第二个光学元件后：其中：其规律同光线传输规律相同，可以推广到任意个光学元件的传输情况。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播经过两个光学元件的高452.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.5高斯光束在透镜波导中的传播光线通过双周期透镜波导单元的光线矩阵为（ABCD），那么经过S个周期后，联系S＋1面和第1面的光线矩阵是：其中：用数学归纳法可以证明2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.5高斯光束在462.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯光束通过透镜波导的稳定性条件由光束参数变换法则：要使得上式中qs+1为有限值，即光束约束在透镜波导内传播，就要求

θ为实数，即

，由此可得到光束稳定性条件：如果θ为虚数，不妨设θ=ia，则会随着S的增加而增加，qs+1没有确定值，不稳定。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯光束通过透镜波导472.2.6均匀介质中传播的高阶高斯光束前面推导均匀介质中的基模高斯光束解时曾假设振幅横向分布与方位角无关，如果考虑方位角的变化，则算符可以表示为：此时波动方程的特解为：代入波动方程，分离变量后解得：2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.6均匀介质中传播的高阶高斯光束2.2光束在均匀介质和48其解为厄米多项式仍为基本高斯光束解，所以总的解为其中的m、n为x、y方向上的零点数，此时高阶高斯光束分布为厄米-高斯光束，表示为TEMmn模式。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播其解为厄米多项式2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播492.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播几种高阶高斯光束的光强分布图TEM0TEM1TEM2Hm(x)Hm(x)FI∝H2m(x)F22.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播几种高阶高斯光束的光502.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播512.3高斯光束的变换2.3.1高斯光束的特征参数1、由(1)、(2)式可知，只要确定了束腰的位置和半径ω0，就可以确定任何位置的光束半径和等相位面半径等参数；2、当确定了某一确定位置z处的ω(z)和R(z)后，也可以通过(1)、(2)式求出束腰位置及大小；2.3高斯光束的变换2.3.1高斯光束的特征参数522.3高斯光束的变换3、用q参数表示由q参数的定义：可知q参数将R(z)和ω(z)联系在一起了，可以求得：令q0=q(0)，则：通过这些公式，我们可以用高斯光束的q参数来描述高斯光束。以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构，需要根据实际问题来灵活选择使用哪种参数。2.3高斯光束的变换3、用q参数表示532.3高斯光束的变换2.3.2高斯光束通过薄透镜的传输普通球面波波前曲率半径的传播规律当球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前曲率半径满足：将上面两式与光线矩阵相比较可以得到球面波的传播规律：2.3高斯光束的变换2.3.2高斯光束通过薄透镜的传输542.3高斯光束的变换高斯光束q参数的变换规律高斯光束在近轴部分可以看作一系列非均匀、曲率中心不断改变的球面波，也具有类似于普通球面波的曲率半径R的参数，即q参数：通过整理q的表达式可以得到：可以得到通过长度为L的均匀介质后的q参数为：其中q2=q(z2)，q1=q1(z1)分别为z1和z2面处的q参数；其中2.3高斯光束的变换高斯光束q参数的变换规律其中552.3高斯光束的变换透过薄透镜传播的高斯光束q参数变换由薄透镜性质可知，在紧靠薄透镜的M1和M2两个面上的光斑大小和强度分布是一样的，即：可以证明经过薄透镜变换后在像方继续传输的光束仍为高斯光束。从q参数表达式以及1式可以得到：R2为等相位面曲率半径，由球面波球率半径的变换公式可得：2.3高斯光束的变换透过薄透镜传播的高斯光束q参数变换562.3高斯光束的变换通过将上面推出的公式同球面波的传播特性公式相比较，可以看到无论是在对自由空间的传播或对通过光学系统的变换，高斯光束的q参数都起着和普通球面波的曲率半径R相同的作用，因此有时将q参数称作高斯光束的复曲率半径；高斯光束通过光学元件时q参数的变换规律可以类似的用光线矩阵表示出来：由前面的讨论我们知道可以用q参数描述一个高斯光束的具体特征，而且可以通过q参数和ABCD法则很方便的描述一个高斯光束在通过光学元件时的传输规律，因此我们将主要采用q参数来分析薄透镜高斯光束传输问题。2.3高斯光束的变换通过将上面推出的公式同球面波的传播特性公57

2.3高斯光束的变换已知入射高斯光束束腰半径为ω0，束腰位置与透镜的距离为l，透镜的焦距为F，各参数相互关系如下图，则有：z=0处，在A面处：在B面处：在C面处：2.3高斯光束的变换已知入射高斯光束束腰半径为ω0，束腰位58

2.3高斯光束的变换由上面的q(C)可以确定经过薄透镜传输后的高斯光束特性，下面分情况讨论薄透镜的变换规律。当C面取在像方束腰处，此时，由上一页的方程联立可以求出：由得出：得到的式子是高斯光束束腰的变换关系式。2.3高斯光束的变换由上面的q(C)可以确定经过薄透镜传输59

2.3高斯光束的变换当满足条件时，由束腰位置关系公式：由束腰半径的关系公式：束腰半径是高斯光束所有光斑半径的最小值，可以将其类比为几何光学中光束的焦点，在满足假设条件的情况下，物方、像方高斯光束经过薄透镜后束腰位置和半径的变换规律与几何光学中的物、像规律相符，由此可见当满足条件时可以用几何光学的方法粗略的研究近轴高斯光束。当不满足以上条件时，则不能套用几何光学的结论，例如当时，可以求出 此时物方、像方高斯光束的束腰都位于焦点处，这与几何光学中平行光成像于无穷远处的结论不相符。几何光学薄透镜成像垂轴放大率公式几何光学薄透镜成像公式2.3高斯光束的变换当满足60

2.3高斯光束的变换如果令，即像方高斯光束束腰位于透镜前焦面，可以利用前面的公式求出束腰的半径：其中：2.3高斯光束的变换如果令，即像方高61

2.3高斯光束的变换2.3.3高斯光束的聚焦高斯光束的聚焦，指的是通过适当的光学系统减小像方高斯光束的束腰半径，从而达到对其进行聚焦的目的。1、F一定时，ω’0随着l变化的情况

我们将通过前面得到的高斯光束通过薄透镜变换时束腰半径变换规律研究其规律：2.3高斯光束的变换2.3.3高斯光束的聚焦62

2.3高斯光束的变换A、当l<F时，ω’0将随着l的减小而减小，因此当l=0时有最小值：

此时像方高斯光束束腰位置： 而垂轴放大率： 可见当l=0时，不论F为何值，都可以对高斯光束进行聚焦，且像方束腰位置在前焦点以内；如果进一步满足条件，则，此时像方束腰位于透镜前焦面上，而且聚焦效果随着F的减小而增强。2.3高斯光束的变换A、当l<F时，ω’0将随着l的减小而63

2.3高斯光束的变换B、当l>F时，ω’0随着l的增大而单调的减小，当时，由公式可以得出结论 更进一步的，如果满足时，有：

若同时满足则

可以得出结论，当物方高斯 光束束腰远离透镜时，距离l

的增加以及焦距F的减小都会 引起像方高斯光束束腰半径 的减小，即聚焦效果的增强。 以上的讨论都没有考虑透镜孔 径引起的衍射效应。根据高斯光束参数定义此时2.3高斯光束的变换B、当l>F时，ω’0随着l的增大而64

2.3高斯光束的变换C、当l=F时，ω’0有极大值：

而且可以得出：l’=F，从ω’0的公式可以看出，只有在F<f时，才有聚焦的作用。综合以上三点的讨论，我们可以用下图来总结F为定值时ω’0随l变化的规律：2.3高斯光束的变换C、当l=F时，ω’0有极大值：65

2.3高斯光束的变换2、l一定时，ω’0随F的变化情况

由薄透镜变换公式： 若要求ω0=ω’0，则 当ω0和l一定时，ω’0随F的变化规律如图所示： 从结果可知，l一定时，只有当满足条 件时，才能对高斯光束起聚 焦作用，且F值越小，聚焦效果越好。高斯光束等相位面曲率半径的定义2.3高斯光束的变换2、l一定时，ω’0随F的变化情况高斯66

2.3高斯光束的变换从上面的讨论可以得出结论，要获得尽可能好的聚焦效果，可以采取的方法有：尽量采用短焦距的透镜；使高斯光束束腰位置远离透镜的焦平面，满足条件；使高斯光束束腰位置位于透镜上，即l=0，并设法满足条件：；2.3高斯光束的变换从上面的讨论可以得出结论，要获得尽可能67

2.3高斯光束的变换2.3.4高斯光束的准直准直：利用光学系统压缩高斯光束的远场发散角。1、单透镜对高斯光束的发散角的影响 高斯光束发散角为：透过焦距为F的薄透镜后，发散角为：

由薄透镜传输变换公式可得到： 若要，则要求，然而从表达式得出结论，当ω0为有限值时，无论F、l取何值，都不可能满足这一条件，因此得到结论：单透镜不能将高斯光束转换为平面波。如何才能实现发散角的压缩呢？从高斯光束发散角表达式可知，当 时，有，即在一定条件下如果ω’0有最大值时，θ’有最小值。2.3高斯光束的变换2.3.4高斯光束的准直68

2.3高斯光束的变换前面的讨论中曾经得到结论，当l=F时，ω’0有最大值：此时，故有故此可以得到在物方高斯光束束腰位于焦面上时：F越大，像方发散角越小，反之亦然；ω0越小，像方发散角越小，反之亦然；时，有较好的准直效果；由此可以得出结论，可以用一个透镜先压缩高斯光束的束腰半径，再用一个长焦透镜压缩高斯光束的发散角。2.3高斯光束的变换前面的讨论中曾经得到结论，当l=F时，69

2.3高斯光束的变换2、利用望远镜将高斯光束准直按照前面的构想，构造如下图的系统，该系统实际上是一倒置的望远镜系统。F1为短焦透镜，满足，它将物方高斯光束聚焦于焦面，此时物方束腰半径有极小值：若ω’0在l2的后焦面上，满足l=F条件，可进行准直，发散角的压缩率为：其中M几何光学中放大镜的准直倍率。可见当l、f一定时，可以通过提高M压缩发散角。这些讨论都是基于，即不考虑衍射效应，当不满足这一条件时，提高M不能无限压缩发散角，此时的发散角大小还与望远镜孔径有关。2.3高斯光束的变换2、利用望远镜将高斯光束准直其中M几何70

2.3高斯光束的变换望远镜有透射、反射或者折-反射几种形式，如下图所示：各种形式的望远镜系统有各自的特点和应用。2.3高斯光束的变换望远镜有透射、反射或者折-反射几种形式71

2.3高斯光束的变换2.3.5高斯光束的匹配问题：如何将一个稳定腔产生的高斯模与另一个稳定腔的高斯模相匹配？匹配：在空间中，两个同轴的高斯光束相对于透镜护卫物像共轭关系，则这两个高斯光束是匹配的。高斯光束匹配，或者称为模式匹配有重要的意义，例如在多极放大式激光器中，要把前一个稳定腔中产生的高斯光束注入到另一个稳定腔中进行放大，如果两个高斯光束的模式能够匹配，那么就不会发生能量损失；如果不能匹配，那么能量将在第二个腔中激发不同的模式，造成能量的损失或者输出模式的变坏；或者不能产生激光，而仅以热扩散和荧光的形式消耗掉了。2.3高斯光束的变换2.3.5高斯光束的匹配72

2.3高斯光束的变换已知物方束腰ω0和像方束腰ω’0， 求使之匹配的透镜的F以及束腰 与透镜的距离。 由薄透镜对高斯光束变换公式： 由(1)、(2)式联立解得：2.3高斯光束的变换已知物方束腰ω0和像方束腰ω’0，73

2.3高斯光束的变换1、如果给定一个F值，可以计算出一组l、l’，就可以解决问题，为了保证解的合理性，即l、l’为实数，F必须满足F>f0；2、两个腔的相对位置固定，即l0=l+l’为固定值，要两个模式匹配，对F有一定的限制，将得到的两个等式相加得到：令，可以得到：A，l0为已知值，当指定F的值时，可以根据上式解出l和l’。2.3高斯光束的变换1、如果给定一个F值，可以计算出一组l74

2.3高斯光束的变换2.3.6高斯光束的自再现变换如果一个高斯光束通过透镜后其结构不发生变化，即参数不发生变化，称这种变换为高斯光束的自再现变换。1、焦距为F的薄透镜对高斯光束的自再现变换由自再现的定义和薄透镜变换公式可以求出：将F的表达式带入薄透镜变换关系可以求出则物方高斯光束在薄透镜表面上等相位面的曲率半径为：这就是高斯光束薄透镜自再现变换的条件。2.3高斯光束的变换2.3.6高斯光束的自再现变换75

2.3高斯光束的变换2、球面反射镜对高斯光束的自再现变换由球面反射镜和薄透镜的等效性可知所有公式都适用于球面反射镜，可以得到球面反射镜自再现变换条件：R球=R(l)=2F即当入射在球面镜上的高斯光束的等相位面曲率半径正好等于球面镜的曲率半径时，可以实现对入射高斯光束的自再现变换，这种情况也称为反射镜与高斯光束波前匹配。2.3高斯光束的变换2、球面反射镜对高斯光束的自再现变换76

2.3高斯光束的变换3、高斯光束自再现变换与稳定球面腔由ABCD法则有：要ω为实数：光线稳定条件2.3高斯光束的变换3、高斯光束自再现变换与稳定球面腔要ω77

2.3高斯光束的变换任何满足该条件的模式，都是腔的自再现模。唯象地考虑：高斯光束的等相位面在光轴附近的区域内可以近似看作球面，只要光腔的反射镜曲率半径和等相位面曲率半径相等，则高斯光束被其反射后参数不发生变化，即实现自再现。此处为考虑衍射，而是在严格傍轴近似条件下到处的结论。2.3高斯光束的变换任何满足该条件的模式，都是腔的自再现模78小结光线传播光线矩阵双周期透镜波导光线稳定条件光束传播均匀介质中的高斯光束高阶高斯光束高斯光束变换ABCD法则聚焦、准直匹配、自再现变换小结光线传播792.1光线的传播初始条件是平行光入射，因此r0’=0;根据类透镜介质中的光线传播方程：2.1光线的传播初始条件是平行光入射，因此r0’=0;根据类80第二章光线的传播及高斯光束第二章光线的传播及高斯光束81第二章光线的传播及高斯光束2.1光线传播光线矩阵透镜波导光线在反射镜间的传播光线在类透镜介质中的传播2.2光束传播2.3高斯光束的变换第二章光线的传播及高斯光束2.1光线传播822.1光线的传播光线？几个前提几何光学意义上的光线—λ→0近轴光线近似光学元件绕光轴旋转对称均匀介质2.1光线的传播光线？832.1光线的传播坐标系及方向的规定光线在光轴上方，r>0；反之，r<0;光线指向光轴上方，r’>0；反之，r’<0；2.1光线的传播坐标系及方向的规定842.1光线的传播2.1.1光线矩阵1.通过厚度为d的均匀介质2.1光线的传播2.1.1光线矩阵85f>0，相对于凸透镜f<0，相对于凹透镜2.1光线的传播2.通过焦距为f的薄透镜f>0，相对于凸透镜2.1光线的传播2.通过焦距为f的薄透镜862.1光线的传播3.不同介质介面（平面）2.1光线的传播3.不同介质介面（平面）872.1光线的传播4.不同介质介面(球面)2.1光线的传播4.不同介质介面(球面)88（1）R>0,凹反射镜（2）R<0,凸反射镜（3）R趋于无穷,平面镜

一个曲率半径为R的球面反射镜对光线的作用相当于一个焦距f=R/2的薄透镜2.1光线的传播5.球面反射镜（1）R>0,凹反射镜一个曲率半径为R的球面反射镜对光线的892.1光线的传播例：求解通过长度为d的均匀介质后，再透过一个薄透镜的光线传输情况。思考：如何求得厚透镜的光线矩阵?2.1光线的传播例：求解通过长度为d的均匀介质后，902.1光线的传播2.1.2透镜波导:由焦距为f1和f2的透镜相互间隔d周期性排列而成，称为双周期透镜波导。f1f2SS+1MNf1d2.1光线的传播2.1.2透镜波导:由焦距为f1和f2的透镜91同理，从N面到S面的光线传播情况2.1光线的传播从S面到N面的光线传播情况同理，从N面到S面的光线传播情况2.1光线的传播从S面到N面922.1光线的传播综合可得到从S面到S+1面的光线传播情况2.1光线的传播综合可得到从S面到S+1面的光线传播情况93将矩阵形式的传播方程写成方程组的形式可得到递推关系2.1光线的传播将矩阵形式的传播方程写成方程组的形式2.1光线的传播94该式为决定光线在双周期透镜波导内传播规律的差分方程，等价于微分方程：该方程具有的解，用作为试探解对差分方程进行试探，可得到：2.1光线的传播2.1光线的传播952.1光线的传播双周期透镜波导的光线稳定条件当θ为实数时，光线与光轴的距离在rmax和-rmax之间振荡；即光线传播被约束在透镜孔径形成的波导之中，不会发生溢出。θ为实数等价于|b|≤1，即：由相同焦距的薄透镜构成的周期透镜波导称为相同周期透镜波导，即f1=f2=f；相同周期透镜波导的稳定条件为：2.1光线的传播双周期透镜波导的光线稳定条件962.1光线的传播2.1.3光线在球面反射镜之间的传播根据光线传播矩阵可以写出第2次反射后的光线状态为：2.1光线的传播2.1.3光线在球面反射镜之间的传播972.1光线的传播在腔内经过N次往返之后的光线参数为：

其中Tn为光线矩阵，可以按照矩阵理论求出： 其中：

从推导过程可以看出，近轴光线在两个反射镜间传输的传输矩阵与光线的初始位置无关，因此可以用传输矩阵来描述任意近轴光线的传输特性。2.1光线的传播在腔内经过N次往返之后的光线参数为：982.1光线的传播由前述可知一个半径为R的球面反射镜等效于一个焦距为F=R/2的透镜,则上述的两个球面反射镜可以等效为由两个焦距分别为R1/2和R2/2，距离为L的透镜构成的双周期透镜波导，由双周期透镜波导的光线稳定性条件可以得到反射镜系统的稳定条件：2.1光线的传播由前述可知一个半径为R的球面反射镜等效于一个992.1.4光线在类透镜介质中的传播1.薄透镜的聚焦机理一单色平面波，经过薄透镜后，产生一个与离轴距离r2成正比的相位超前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同滞后量。到达焦点时间、相位相同，实现聚焦，此时的薄透镜相当于一个平面的相位变换器。离轴距离为r的相位提前量为经过透镜后的光场2.1光线的传播2.1.4光线在类透镜介质中的传播2.1光线的传播1002.1光线的传播2.类透镜介质折射率满足的介质称为类透镜介质。其中η0为介质轴线上的折射率；k0是轴线上的波数；k2是与介质、工作状态以及外界泵浦能量有关的常数。在Nd：YAG固体激光器中，当激光其处于运行状态时，由于发热造成工作物质内部沿径向产生温度分布：在实验上和理论上都证实了工作物质的折射率随温度发生变化：可见工作状态下的Nd：YAG工作物质是一种二次折射率介质。2.1光线的传播2.类透镜介质1013.光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播程函(eikonal)方程：光线的传播方向，就是程函变化最快的方向在讨论光线和几何光学的强度时，可以推导出光线的微分方程（光线方程），其中为光线上某点到另外一点的长度，而是该点的位置矢量：（1）均匀介质解方程得：上式代表一个矢量直线方程，即直线沿着的方向并通过点，因此，在均匀通行介质中，光线是直线传播的2.1光线的传播3.光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播2.1光线的传播1022.1光线的传播（2）类透镜介质当考虑近轴光线近似光线方程可以写成：在二次折射率介质中，由于η(x,y)没有轴向分布，只有径向分布，因此，而由类透镜介质的折射率表达式可得到：x,y都是独立变量，因此有：为了简化讨论，取y-z平面上的光线讨论，并以r代替y，得到近轴光线的微分方程2.1光线的传播（2）类透镜介质103（1）k2>0

微分方程的解为若考虑光线入射初始条件为，则可以求出，因此微分方程的解可以写成：2.1光线的传播如右图的曲线可以代表在类透镜介质中传播的光线，只是在幅度上作了夸大。从该方程可以得出结论：当k2>0时，类透镜介质对光线起汇聚作用，相当于正透镜。（1）k2>02.1光线的传播如右图的曲线可以代表在类透镜介1042.1光线的传播(2)k2<0当k2<0时，光线微分方程的解可以表示为： 从方程可以得出结论，随着z的不断增加，r(z)不断增大，当，因此k2<0的类透镜介质对光线具有发散性，类似于负透镜的作用。练习：证明2-1-39式2.1光线的传播(2)k2<01052.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.1类透镜介质中的波动方程在各向同性、无电荷分布的介质中，Maxwell方程组的微分形式为：对2式求旋度：且由3式：在各向同性介质中有介电常数不随位置而发生变化，即综合上三式可以得到假设折射率n的空间变化很小，即n(r)满足慢变近似，此时可以将电磁场表示为：代入(4)式波动方程也称亥姆霍兹方程2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.1类透镜介质1062.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播当考虑到介质中存在增益和损耗的情况时，上式最后一项可以表示为：当代表吸收介质，代表增益介质上式表示复数波数，我们考虑波数表示形式为其中k0、k2都可以是复数，这个表达式可以理解为波数与位置r和介质的特性k2都有关系。由波数的定义：可以得到n(r)的表达式：的情况该表达式就是类透镜介质的折射率表达式，证明我们考虑的k(r)表达式代表的正是在类透镜介质中的情况。级数展开2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播当考虑到介质中存在增1072.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。可以假设光场的横向分布只与有关，因此波动方程中的算符可以表示为：我们假设，其中a为集中大部分能量的横截面半径，这一假设说明衍射效应很弱，因此可以将推导局限于单一的横向场分量，其单色平面波的表达式为：其中e-ikz表示波数为k的严格平面波，为了研究修正平面波，我们引入了修正因子，它包含了相位和振幅修正两部分。该修正因子满足慢变近似：将这些相关假设带入波动方程可以得到：令修正因子取以下形式：为什么取这种形式？这是对波动方程进行长期研究得到的解，既满足方程，又有明确的、能够被实验证实的物理意义。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播下面我们研究类透镜介1082.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播通过将修正因子带入被假设修正过的波动方程，可以得到：该方程对不同r都成立，因此r的各次项系数应该为零，整理得到：该式称为类透镜介质中的简化的波动方程。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播通过将修正因子带入被1092.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.2均匀介质中的高斯光束均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即k2=0时的类透镜介质，此时简化波动方程为：引入一中间函数S，使代入上式得到得出该微分方程的解为，a、b为复常数则由p与q的关系得到C1不影响振幅和相位的分布，因此可以设C1=0。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.2均匀介质中1102.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播将上述结果代入到的表达式中有：满足该表达式的q0有很多形式，但对其研究发现纯虚数形式的q0可以得到有物理意义的波，因此假设q0具有如下表达形式：将q0的表达式带入（1）式中，其指数的两项可以分别表示为：2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播将上述结果代入到1112.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播人为定义以下参数：将上述参数带入到光场的表达式，整理可以得到光场的表达式：该式所表示的是均匀介质中波动方程的一个解，称为基本高斯光束解，其横向依赖关系只包含r，而与方位角无关。那些与方位角相关的分布是高阶高斯光束解。上面最后一个表达式中的两项，前一项是振幅项，后一项是相位项。为什么是这个解？还有其他解吗？2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播人为定义以下参数：将1122.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯分布：在统计学中更多的被称为正态分布，它指的是服从以下概率密度函数的分布：JohannCarlFriedrichGauss(1777–1855)2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯分布：Johan1132.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯光束基本特性振幅分布特性 由高斯光束的表达式可以得到：

在z截面上，其振幅按照高斯函数规律变化，如图所示。 将在光束截面内，振幅下降到最大值的1/e时，离光轴的距离定义为该处的光斑半径。由的定义可以得到：即光束半径随传输距离的变化规律为双曲线，在z=0时有最小值，这个位置被称为高斯光束的束腰位置。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯光束基本特性由1142.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播等相位面特性从高斯光束解的相位部分可以得到传输过程中的总相移为：将上式同标准球面波的总相移表达式比较：可以得出结论，在近轴条件下高斯光束的等相位面是以R(z)为半径的球面，球面的球心位置随着光束的传播不断变化，由R(z)的表达式可知：z=0时，,此时的等相位面是平面；时，， 此时等相位面也是平面；时，， 此时的等相位面半径最小；2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播等相位面特性1152.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播瑞利长度当光束从束腰传播到处时，光束半径，即光斑面积增大为最小值的两倍，这个范围称为瑞利范围，从束腰到该处的长度称为高斯光束的瑞利长度，通常记作。在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围内是近似平行的，因此也把瑞利距离长度称为准直距离。从瑞利长度表达式可以得出结论，高斯光束的束腰半径越小，其准直距离越长，准直性越好。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播瑞利长度1162.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯光束的孔径从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为：则其光强分布为：考虑垂直于高斯光束传播方向上存在一无限大平面，以光轴为中心开一半径为a的孔，则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式，通过计算可以得到不同孔径的功率透过率。在激光应用中，高斯光束总要通过各种光学元件，从上面推导可知，只要光学元件的孔径大于3ω/2，即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透过。孔径半径aω/2ω3ω/22ω功率透过比39.3%86.5%98.89%99.99%2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯光束的孔径孔径半1172.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播远场发散角从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利长度之外，高斯光束迅速发散，定义当时高斯光束振幅减小到最大值1/e处与z轴夹角为高斯光束的远场发散角（半角）：包含在全远场发散角内的光束功率占 高斯光束总功率的86.5%高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面波，在传播过程中曲率中心不断改变，其振幅在横截面内为一高斯分布，强度集中在轴线及其附近，且等相位面保持球面。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播远场发散角1182.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.3类透镜介质中的高斯光束类透镜介质中k2≠0，此时的简化波动方程为：

其解仍可以采用与均匀介质中相类似的处理方式得到，最终可以求出：2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.3类透镜介质1192.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播类透镜介质中的基本高斯光束解仍然可以采取 的形式，如果我们只讨论其中包含r2的指数部分： 仍取，则q(z)可以表示成：

将(2)式代入(1)式可以得到： 其中ω(z)是光斑半径，R(z)是等相位面曲率半径，其物理意义同均匀介质中的基本高斯光束解相同，然而数学表达式比较复杂。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播类透镜介质中的基本高1202.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播前面得到了类透镜介质中高斯光束参数q(z)的复数表达形式：q0是由边界条件求出的光束初始条件，将上式同前面得到的光线矩阵比较：2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播前面得到了类透镜介质1212.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.4高斯光束的ABCD法则按照光线矩阵规则，ABCD矩阵元构成的光线矩阵是表示输出平面上和输入平面上光线参数之间的关系，因此我们取：该式表示了类透镜介质中传播的高斯光束的传输变换规则，可以证明，高斯光束在其他光学元件上透射或反射都遵循这一规则，则以规则称为高斯光束q参数变换法则，简称ABCD法则。需要注意的是ABCD法则同光线传播规则虽然都是用光线矩阵来描述，但是高斯光束的ABCD法则不同于光线传输的矩阵乘法。高斯光束经过变换之后仍然为高斯光束2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.4高斯光束的1222.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播例：以焦距为f的薄透镜为例薄透镜的光线矩阵为则由ABCD法则可以得到考虑到：代入到(1)式中，并且比较实部与虚部得到：上面的第一个公式表明薄透镜两面的高斯光束光斑半径相同，这与薄透镜的特性是一致的；第二个公式表明薄透镜两面等相位面的曲率半径满足成像公式，即球面中心是关于该透镜的共轭像点，这与薄透镜对球面波成像的规律是一致的。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播例：以焦距为f的薄透1232.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播我们比较一下下面两个公式：由这两个公式我们可以看出高斯光束参数q(z)与球面波曲率半径R(z)之间的相似性，称q(z)为高斯光束的复曲率半径，其表达式为：当时，上式可以得出而此时我们讨论的对象已经从波动光学过渡到了几何光学。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播我们比较一下下面两个1242.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播经过两个光学元件的高斯光束设两个光学元件的光线矩阵为入射高斯光束参数为q1，经过第一个光学元件后有：经过第二个光学元件后：其中：其规律同光线传输规律相同，可以推广到任意个光学元件的传输情况。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播经过两个光学元件的高1252.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.5高斯光束在透镜波导中的传播光线通过双周期透镜波导单元的光线矩阵为（ABCD），那么经过S个周期后，联系S＋1面和第1面的光线矩阵是：其中：用数学归纳法可以证明2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.5高斯光束在1262.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯光束通过透镜波导的稳定性条件由光束参数变换法则：要使得上式中qs+1为有限值，即光束约束在透镜波导内传播，就要求

θ为实数，即

，由此可得到光束稳定性条件：如果θ为虚数，不妨设θ=ia，则会随着S的增加而增加，qs+1没有确定值，不稳定。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播高斯光束通过透镜波导1272.2.6均匀介质中传播的高阶高斯光束前面推导均匀介质中的基模高斯光束解时曾假设振幅横向分布与方位角无关，如果考虑方位角的变化，则算符可以表示为：此时波动方程的特解为：代入波动方程，分离变量后解得：2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2.6均匀介质中传播的高阶高斯光束2.2光束在均匀介质和128其解为厄米多项式仍为基本高斯光束解，所以总的解为其中的m、n为x、y方向上的零点数，此时高阶高斯光束分布为厄米-高斯光束，表示为TEMmn模式。2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播其解为厄米多项式2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播1292.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播几种高阶高斯光束的光强分布图TEM0TEM1TEM2Hm(x)Hm(x)FI∝H2m(x)F22.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播几种高阶高斯光束的光1302.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播2.2光束在均匀介质和类透镜介质中的传播1312.3高斯光束的变换2.3.1高斯光束的特征参数1、由(1)、(2)式可知，只要确定了束腰的位置和半径ω0，就可以确定任何位置的光束半径和等相位面半径等参数；2、当确定了某一确定位置z处的ω(z)和R(z)后，也可以通过(1)、(2)式求出束腰位置及大小；2.3高斯光束的变换2.3.1高斯光束的特征参数1322.3高斯光束的变换3、用q参数表示由q参数的定义：可知q参数将R(z)和ω(z)联系在一起了，可以求得：令q0=q(0)，则：通过这些公式，我们可以用高斯光束的q参数来描述高斯光束。以上三组参数都可以用来确定高斯光束的具体结构，需要根据实际问题来灵活选择使用哪种参数。2.3高斯光束的变换3、用q参数表示1332.3高斯光束的变换2.3.2高斯光束通过薄透镜的传输普通球面波波前曲率半径的传播规律当球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前曲率半径满足：将上面两式与光线矩阵相比较可以得到球面波的传播规律：2.3高斯光束的变换2.3.2高斯光束通过薄透镜的传输1342.3高斯光束的变换高斯光束q参数的变换规律高斯光束在近轴部分可以看作一系列非均匀、曲率中心不断改变的球面波，也具有类似于普通球面波的曲率半径R的参数，即q参数：通过整理q的表达式可以得到：可以得到通过长度为L的均匀介质后的q参数为：其中q2=q(z2)，q1=q1(z1)分别为z1和z2面处的q参数；其中2.3高斯光束的变换高斯光束q参数的变换规律其中1352.3高斯光束的变换透过薄透镜传播的高斯光束q参数变换由薄透镜性质可知，在紧靠薄透镜的M1和M2两个面上的光斑大小和强度分布是一样的，即：可以证明经过薄透镜变换后在像方继续传输的光束仍为高斯光束。从q参数表达式以及1式可以得到：R2为等相位面曲率半径，由球面波球率半径的变换公式可得：2.3高斯光束的变换透过薄透镜传播的高斯光束q参数变换1362.3高斯光束的变换通过将上面推出的公式同球面波的传播特性公式相比较，可以看到无论是在对自由空间的传播或对通过光学系统的变换，高斯光束的q参数都起着和普通球面波的曲率半径R相同的作用，因此有时将q参数称作高斯光束的复曲率半径；高斯光束通过光学元件时q参数的变换规律可以类似的用光线矩阵表示出来：由前面的讨论我们知道可以用q参数描述一个高斯光束的具体特征，而且可以通过q参数和ABCD法则很方便的描述一个高斯光束在通过光学元件时的传输规律，因此我们将主要采用q参数来分析薄透镜高斯光束传输问题。2.3高斯光束的变换通过将上面推出的公式同球面波的传播特性公137

2.3高斯光束的变换已知入射高斯光束束腰半径为ω0，束腰位置与透镜的距离为l，透镜的焦距为F，各参数相互关系如下图，则有：z=0处，在A面处：在B面处：在C面处：2.3高斯光束的变换已知入射高斯光束束腰半径为ω0，束腰位138

2.3高斯光束的变换由上面的q(C)可以确定经过薄透镜传输后的高斯光束特性，下面分情况讨论薄透镜的变换规律。当C面取在像方束腰处，此时，由上一页的方程联立可以求出：由得出：得到的式子是高斯光束束腰的变换关系式。2.3高斯光束的变换由上面的q(C)可以确定经过薄透镜传输139

2.3高斯光束的变换当满足条件时，由束腰位置关系公式：由束腰半径的关系公式：束腰半径是高斯光束所有光斑半径的最小值，可以将其类比为几何光学中光束的焦点，在满足假设条件的情况下，物方、像方高斯光束经过薄透镜后束腰位置和半径的变换规律与几何光学中的物、像规律相符，由此可见当满足条件时可以用几何光学的方法粗略的研究近轴高斯光束。当不满足以上条件时，则不能套用几何光学的结论，例如当时，可以求出 此时物方、像方高斯光束的束腰都位于焦点处，这与几何光学中平行光成像于无穷远处的结论不相符。几何光学薄透镜成像垂轴放大率公式几何光学薄透镜成像公式2.3高斯光束的变换当满足140

2.3高斯光束的变换如果令，即像方高斯光束束腰位于透镜前焦面，可以利用前面的公式求出束腰的半径：其中：2.3高斯光束的变换如果令，即像方高141

2.3高斯光束的变换2.3.3高斯光束的聚焦高斯光束的聚焦，指的是通过适当的光学系统减小像方高斯光束的束腰半径，从而达到对其进行聚焦的目的。1、F一定时，ω’0随着l变化的情况

我们将通过前面得到的高斯光束通过薄透镜变换时束腰半径变换规律研究其规律：2.3高斯光束的变换2.3.3高斯光束的聚焦142

2.3高斯光束的变换A、当l<F时，ω’0将随着l的减小而减小，因此当l=0时有最小值：

此时像方高斯光束束腰位置： 而垂轴放大率： 可见当l=0时，不论F为何值，都可以对高斯光束进行聚焦，且像方束腰位置在前焦点以内；如果进一步满足条件，则，此时像方束腰位于透镜前焦面上，而且聚焦效果随着F的减小而增强。2.3高斯光束的变换A、当l<F时，ω’0将随着l的减小而143

2.3高斯光束的变换B、当l>F时，ω’0随着l的增大而单调的减小，当时，由公式可以得出结论 更进一步的，如果满足时，有：

若同时满足则

可以得出结论，当物方高斯 光束束腰远离透镜时，距离l

的增加以及焦距F的减小都会 引起像方高斯光束束腰半径 的减小