高等数学经管类专升本-第一章-向量课件

数量关系

—第一章第一部分向量代数第二部分空间解析几何

在三维空间中:空间形式

—点,

线,

面基本方法

—坐标法;向量法坐标,方程（组）向量与空间解析几何数量关系—第一章第一部分向量代数第二部分空间解析几何1四、空间直线方程一、空间直角坐标系二、向量及其运算三、空间平面方程五、曲面方程机动目录上页下页返回结束第一章六、曲线方程四、空间直线方程一、空间直角坐标系二、向量及其运算三、空间2ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念机动目录上页下页返回结束ⅠⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规3坐标轴:坐标面:机动目录上页下页返回结束两点间的距离公式:坐标轴:坐标面:机动目录上页下页4记作:模:向量的大小,二、向量1.向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量单位向量:模为1的向量,有向线段M1

M2,或a,机动目录上页下页返回结束若向量a与b方向相同或相反,

a∥b;平行向量:记作:模:向量的大小,二、向量1.向量:(又称矢量).既52、向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律机动目录上页下页返回结束向量的减法2、向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律63.向量与数的乘法规定:总之:运算律:结合律分配律机动目录上页下页返回结束3.向量与数的乘法规定:总之:运算律:结合律分配律机动74.向量的坐标表示则沿三个坐标轴方向的分向量.设点M的坐标为机动目录上页下页返回结束沿三个坐标轴方向的投影.4.向量的坐标表示则沿三个坐标轴方向的分向量.设点M的坐85、向量运算的坐标表示设则(4)平行向量对应坐标成比例:机动目录上页下页返回结束(1)(2)(3)设点则向量5、向量运算的坐标表示设则(4)平行向量对应坐标成比例:机96.向量的方向余弦与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

记作机动目录上页下页返回结束的夹角:6.向量的方向余弦与三坐标轴的夹角,,为10注:机动目录上页下页返回结束注:机动目录上页下页返回结束117、向量的数量积(1)定义:(点积)机动目录上页下页返回结束引例(2)性质7、向量的数量积(1)定义:(点积)机动目录12(3)运算律交换律结合律分配律机动目录上页下页返回结束(3)运算律交换律结合律分配律机动目录上页13例1.

求与两点等距离的点轨迹.解:

设该点为解得及机动目录上页下页返回结束（垂直平分面）例2.已知两点和解:求例1.求与两点等距离的点轨迹.解:设该点为解得及机动14例3.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量机动目录上页下页返回结束例3.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量15解:

因例5.

设求其在x轴上的投影及在y轴上的分向量.在y轴上的分向量为故在x轴上的投影为机动目录上页下页返回结束解:因例5.设求其在x轴上的投影及在y轴上的分向量16且垂直于非零向量的平面的方程为法向量.三、平面方程1、点法式方程2、一般式方程注：(1)

D=0平面过原点；(2)

A=0(3)A=0，B=0

平面平行于xoy面；平面平行于x轴；(4)A=0，D=0

平面过x轴.且垂直于非零向量的平面的方程为法向量.三、平面方程1、点法17例1.

求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通过

x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程机动目录上页下页返回结束例1.求通过x轴和点(4,–3,–1)的18因此有例2.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且机动目录上页下页返回结束因此有例2.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+19四、空间直线方程因此其一般式方程1.一般式方程直线可视为两平面交线，机动目录上页下页返回结束且平行于非零向量的直线l的方程为2、点向式方程3、参数式方程四、空间直线方程因此其一般式方程1.一般式方程直线可视为20注:机动目录上页下页返回结束注:机动目录上页下页返回结束21解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.

为所求直线的方向向量.垂例1.求过点(1,－2,4)

且与平面机动目录上页下页返回结束解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.22例2.求过解:令交点为由于从而L方程为则L方向向量为且与直线垂直相交的直线L方程.所以故得则交点为又例2.求过解:令交点为由于从而L方程为则L方向向量为且与23五、曲面方程求到两定点A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段

AB的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.

机动目录上页下页返回结束五、曲面方程求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)24定义1.如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,例1.

求动点到定点距离为

R

的轨迹方程.解:

设轨迹上动点为(球面)(一)曲面定义

定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=25(二)柱面引例.分析方程的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面.过此点作对任意

z,平行z

轴的直线l,在圆C上任取一点

定义2.平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.C叫做准线,l

叫做母线.(二)柱面引例.分析方程的坐标也满足方程解:在xoy面26如

表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.

z轴的椭圆柱面.表示母线平行于机动目录上页下页返回结束如表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的27定义3.一条平面曲线(三)旋转曲面

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:机动目录上页下页返回结束定义3.一条平面曲线(三)旋转曲面绕其平面上一条定28注：故旋转曲面方程为当绕

z轴旋转时,若点给定yoz

面上曲线

C:则有则有该点转到机动目录上页下页返回结束给定yoz面上曲线C

绕

z

轴旋转所成曲面的方程:注：故旋转曲面方程为当绕z轴旋转时,若点给定yoz面29例1.试求yoz面上直线所得曲面方程.解:机动目录上页下页返回结束绕z轴旋转一周--------圆锥面例1.试求yoz面上直线所得曲面方程.解:机动目30例2.

求坐标面xoz

上的双曲线分别绕

x轴和

z

轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕

x

轴旋转绕

z

轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为机动目录上页下页返回结束(双叶)(单叶)例2.求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋31注：常见二次曲面(1)（球面）(2)(3)(5)(4)（椭球面）（锥面）（旋转抛物面）（圆柱面）作图：(1)所围成的曲面，(2)所围成的曲面，注：常见二次曲面(1)（球面）(2)(3)(5)(4)（椭32六、空间曲线1.一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,例如,方程组表示圆柱面与平面的交线

C.C机动目录上页下页返回结束六、空间曲线(一)曲线方程六、空间曲线1.一般方程空间曲线可视为两曲面的交线33将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t

的函数:称它为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为机动目录上页下页返回结束2.参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数:称它34设空间曲线C的一般方程为消去z

得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线C´为消去x得C在yoz

面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程机动目录上页下页返回结束(3)曲线在坐标面的投影设空间曲线C的一般方程为消去z得投影柱面则C在xo35在xoy面上的投影曲线如所围圆域:在xoy面上的投影曲线如所围圆域:36数量关系

—第一章第一部分向量代数第二部分空间解析几何

在三维空间中:空间形式

—点,

线,

面基本方法

—坐标法;向量法坐标,方程（组）向量与空间解析几何数量关系—第一章第一部分向量代数第二部分空间解析几何37四、空间直线方程一、空间直角坐标系二、向量及其运算三、空间平面方程五、曲面方程机动目录上页下页返回结束第一章六、曲线方程四、空间直线方程一、空间直角坐标系二、向量及其运算三、空间38ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,

坐标面

卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念机动目录上页下页返回结束ⅠⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规39坐标轴:坐标面:机动目录上页下页返回结束两点间的距离公式:坐标轴:坐标面:机动目录上页下页40记作:模:向量的大小,二、向量1.向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量单位向量:模为1的向量,有向线段M1

M2,或a,机动目录上页下页返回结束若向量a与b方向相同或相反,

a∥b;平行向量:记作:模:向量的大小,二、向量1.向量:(又称矢量).既412、向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律机动目录上页下页返回结束向量的减法2、向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律423.向量与数的乘法规定:总之:运算律:结合律分配律机动目录上页下页返回结束3.向量与数的乘法规定:总之:运算律:结合律分配律机动434.向量的坐标表示则沿三个坐标轴方向的分向量.设点M的坐标为机动目录上页下页返回结束沿三个坐标轴方向的投影.4.向量的坐标表示则沿三个坐标轴方向的分向量.设点M的坐445、向量运算的坐标表示设则(4)平行向量对应坐标成比例:机动目录上页下页返回结束(1)(2)(3)设点则向量5、向量运算的坐标表示设则(4)平行向量对应坐标成比例:机456.向量的方向余弦与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

记作机动目录上页下页返回结束的夹角:6.向量的方向余弦与三坐标轴的夹角,,为46注:机动目录上页下页返回结束注:机动目录上页下页返回结束477、向量的数量积(1)定义:(点积)机动目录上页下页返回结束引例(2)性质7、向量的数量积(1)定义:(点积)机动目录48(3)运算律交换律结合律分配律机动目录上页下页返回结束(3)运算律交换律结合律分配律机动目录上页49例1.

求与两点等距离的点轨迹.解:

设该点为解得及机动目录上页下页返回结束（垂直平分面）例2.已知两点和解:求例1.求与两点等距离的点轨迹.解:设该点为解得及机动50例3.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量机动目录上页下页返回结束例3.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量51解:

因例5.

设求其在x轴上的投影及在y轴上的分向量.在y轴上的分向量为故在x轴上的投影为机动目录上页下页返回结束解:因例5.设求其在x轴上的投影及在y轴上的分向量52且垂直于非零向量的平面的方程为法向量.三、平面方程1、点法式方程2、一般式方程注：(1)

D=0平面过原点；(2)

A=0(3)A=0，B=0

平面平行于xoy面；平面平行于x轴；(4)A=0，D=0

平面过x轴.且垂直于非零向量的平面的方程为法向量.三、平面方程1、点法53例1.

求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通过

x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程机动目录上页下页返回结束例1.求通过x轴和点(4,–3,–1)的54因此有例2.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且机动目录上页下页返回结束因此有例2.一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+55四、空间直线方程因此其一般式方程1.一般式方程直线可视为两平面交线，机动目录上页下页返回结束且平行于非零向量的直线l的方程为2、点向式方程3、参数式方程四、空间直线方程因此其一般式方程1.一般式方程直线可视为56注:机动目录上页下页返回结束注:机动目录上页下页返回结束57解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.

为所求直线的方向向量.垂例1.求过点(1,－2,4)

且与平面机动目录上页下页返回结束解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.58例2.求过解:令交点为由于从而L方程为则L方向向量为且与直线垂直相交的直线L方程.所以故得则交点为又例2.求过解:令交点为由于从而L方程为则L方向向量为且与59五、曲面方程求到两定点A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段

AB的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.

机动目录上页下页返回结束五、曲面方程求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)60定义1.如果曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上的任意点的坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,(2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程,例1.

求动点到定点距离为

R

的轨迹方程.解:

设轨迹上动点为(球面)(一)曲面定义

定义1.如果曲面S与方程F(x,y,z)=61(二)柱面引例.分析方程的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面.过此点作对任意

z,平行z

轴的直线l,在圆C上任取一点

定义2.平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面.C叫做准线,l

叫做母线.(二)柱面引例.分析方程的坐标也满足方程解:在xoy面62如

表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.

z轴的椭圆柱面.表示母线平行于机动目录上页下页返回结束如表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的63定义3.一条平面曲线(三)旋转曲面

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:机动目录上页下页返回结束定义3.一条平面曲线(三)旋转曲面绕其平面上一条定64注：故旋转曲面方程为当绕

z轴旋转时,若点给定yoz

面上曲线

C:则有则有该点转到机动目录上页下页返回结束给定yoz面上曲线C

绕

z

轴