数学概率统计教案

教案2006-2007学年第二学期课程名称： 概率论与数理统计课程编号： 4111105学院、专业、年级：信工学院、计算机、二年级任课教师： 秦茂玲教师所在单位： 信息科学与工程学院山东师范大学《概率论与数理统计》教案课程简介《概率论与数理统计》课程是高等学校各理科专业学生的一门重要的基础必修课、学位课和研究生入学考试课，是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。概率论与数理统计是本科相关各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的基础。通过本课程的学习，要使学生概率论的基本概念，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律及中心极限定律，样本及抽样分布，参数估计，假设检验。通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，利用概率论和数理统计的知识解决实际问题，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。《概率论与数理统计》教案教学大纲课程名称：概率统计课程编号：4111105课程类别：基础课学时数：76学时（理论76学时，实验0学时）学分数：4先修课程：高等数学、线性代数适用年级：二年级适用专业：计算机科学与技术一、内容简介本课程是信息科学与工程学院计算机专业基础课，内容包括概率论的基本概念，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律及中心极限定律，样本及抽样分布，参数估计，假设检验。二、本课程的性质、目的和任务概率论与数理统计是本科相关各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的基础。通过本课程的学习，要使学生概率论的基本概念，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律及中心极限定律，样本及抽样分布，参数估计，假设检验。通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，利用概率论和数理统计的知识解决实际问题，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。三、本课程与其它课程的关系本课程是信息科学与工程学院计算机科学与技术专业的基础课。本课程的学习情况事关学生后继课程的学习，事关学生学习目标的确定及学生未来的走向。课程基础性、理论性强，与相关课程的学习联系密切，是全国硕士研究生入学考试统考科目，关系到学生综合能力的培养。本课程的学习情况直接关系到学院的整体教学水平。四、本课程的基本要求基本了解概率论与数理统计的基础理论，充分理解概率论与数理统计数学思想。掌握概率论与数理统计的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。能较熟练地概率论与数理统计的3《概率论与数理统计》教案 思想方法解决应用问题。五、课程内容与学时分配（一）概率论的基本概念（12学时）基本要求：1、熟悉了解样本空间、随机试验、随机事件等的概念。2、熟练掌握事件之间的关系和事件之间的运算。3、掌握概率的定义，会运用它的性质计算概率。4、掌握等可能概型，熟悉它的性质。5、弄懂条件概念的含义，掌握乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式。6、掌握独立性的概念、并记住在这个条件相应的事件的运算法则。重点：掌握概率的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。难点：掌握计算有关事件概率的方法。（二）随机变量及其分布（10学时）基本要求：1、掌握随机变量、分布函数、分布率、概率密度的定义及性质。2、掌握几种重要的随机变量的分布：（0-1）分布、二项分布、泊松分布、指数分布、均匀分布和正态分布。重点：熟练掌握（0-1）分布、二项分布、泊松分布、指数分布、均匀分布和正态分布的概率密度表达式及其性质，会利用它进行概率计算。难点：运用正态分布概率密度公式的计算。（三）多维随机变量及其分布（10学时）基本要求：1、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式。掌握离散型联合概率分布、边缘分布和条件分布的求法。2、理解连续型联合概率密度、边缘密度和条件密度，会利用二维概率分布求有关事件的概率。3、理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握离散型和连续型随机变量独立的条件。4、掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义。重点：二维变量的概率分布及概率密度。难点：求概率分布或概率密度时，确定积分的积分区域和积分的上下限。（四）随机变量的数字特征（8学时）基本要求：1、熟练掌握计算随机变量的数学期望和方差，了解判断数学期望存在的条件。2、掌握数学期望和方差的几个重要性质。3、了解协方差及相关系数的概念及其性质，并掌握他们的求解方法。4、了解矩和协方差矩阵的概念。5、熟悉n维正态分布的几条重要性质。重点：求随机变量的数学期望和方差。难点：矩、协方差矩阵。（五）大数定律及中心极限定理（6学时）基本要求：1、掌握依概率收敛的涵义。2、掌握契比雪夫定理的特殊情况。3、掌握伯努利大数定理。概率论与数理统计》教案4、了解辛钦定理。5、掌握独立同分布的中心极限定理。了解李雅普诺夫定理。6、了解棣莫弗寸拉普拉斯定理。重点：1、掌握依概率收敛的涵义。2、掌握伯努利大数定理。3、掌握独立同分布的中心极限定理。难点：1、理解辛钦定理。运用棣莫弗-拉普拉斯定理。（六）样本及抽样分布（8学时）基本要求：1、理解总体、简单随机样本的概念。2、理解统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念。3、了解2分布、t分布和F分布概念的性质。4、了解分位数的概念并会查表。5、了解正态总体的常用抽样分布。重点：2分布、t分布和F分布的性质及应用。难点：正态总体样本均值与样本方差的分布。（七）参数估计（10学时）基本要求：1、理解参数的点估计、估计量与估计值的概念。2、掌握矩估计法（一阶、二阶）和最大似然估计法。3、了解估计量的无偏差、有效性和一致性的概念。4、会验证估计量的无偏差性。5、了解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间。重点：用矩估计法和最大似然估计法求参数的点估计。难点：为未知参数，如何评价一个区间估计量（『2）的优劣。（八）假设检验（8学时）基本要求：1、理解假设检验的概念。2、掌握正态总体均值的假设检验。3、掌握正态总体方差的假设检验。重点：掌握正态总体均值和方差的假设检验。难点：理解假设检验的基本思想。六、教材与参考书教材《概率论数理统计》第三版）浙江大学盛骤等编，高等教育出版社，2001，12。参考书[1]《概率论与数理统计》，华东师范大学，魏宗书等编，高等教育出版社七、本课程的教学方式本课程的特点是理论性强，思想性强，与相关基础课及专业课联系较多，教学中应注重启发引导学生掌握重要概念的背景思想，理解重要概念的思想本质，避免学生死记硬背。要善于将有关学科或生活中常遇到的问题概念与概率论与数理统计的概念结合起来，使学生体会到学习概率论与数理统计的必要性。注重各教学环节（理论教学、习题课、作业、辅导参考）的有机联系，特别是强化作业与辅导环节，使学生加深对课堂教学内容的理解，提高分析解决问题的能力和运算能力。教学中有计划有目的地向学生介绍学习概率论与5

《概率论与数理统计》教案 数理统计。由于学科特点，本课程教学应突出教师的中心地位，通过教师的努力，充分调动学生的学习兴趣。授课时间第一周 第1、2次课授课章节第一章概率论的基本概念1.1随机试验1.2样本空间、随机事件1.3频率与概率任课教师及职称教学方法与手段课堂教学课时安排4节课使用教材和主要参考书教材：《概率论与数理统计》第三版），浙江大学盛骤、谢式千、潘承毅编，高等教育出版社，2001.12参考书：《概率论与数理统计教程》，魏宗舒等编，高等教育出版社，1983年10月。教学目的与要求：.理解随机试验、样本空间、随机事件、频率、概率等基本概念。.掌握样本空间、随机事件、概率等基本概念。教学重点，难点：样本空间、随机事件、概率等基本概念。《概率论与数理统计》教案教学内容：第一章概率论的基本概念1.1随机试验这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。其典型的例子有：E1：抛一枚硬币，观察正面口（Heads）、反面T（TailS出现的情况。E2:将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。这些实验具有以下特点：可以在相同的条件下重复进行；每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果；进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。1.2样本空间、随机事件一、基本概念定义 将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。样本空间的元素,即E的每个结果，称为样本点。S1: {H,T}S2: {HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}S3：{0,1,2,3}S4：{1,2,3,4,5,6}《概率论与数理统计》教案E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。S5:{0,1,2,3 }S6:{tt0}S7:{（x,y“kTyT1}定义：随机事件：称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件；基本事件：有一个样本点组成的单点集；必然事件：样本空间S本身;不可能事件：空集。我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现.例如：S2中事件A={HHH,HHT,HTH,HTT}表示“第一次出现的是正面” S6中事件B1二{t|t<1000}表示“灯泡是次品” 事件B2={t|t1000}表示 “灯泡是合格品”事件ABB3={t|1500}表示“灯泡是一级品”二、事件间的关系与运算10 包含关系20和事件30 积事件40差事件50 互不相容60 对立事件随机事件的运算规律幂等律:交换律结合律分配律:DeMorgan定律:1.3频率与概率1） 频率的定义和性质《概率论与数理统计》教案定义在相同的条件下，进行了「次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值nA/n称为事件人发生的频率，并记成£(A)。它具有下述性质：0fn(A)1;fn(S)1;若AjA2,,Ak是两两互不相容事件，则fn(A1A2 Ak)"fn(A。与久) fn(A)2) P(A1A2 )P(A1)P(A2)频率的稳定性100P(A);3)概率的定义定义设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为称为事件A的概率，要求集合函数满足下列条件：20P(S)1;30若44,是两两互不相容事件，则1 2性质1P()0;性质2若AjAr,An是两两互不相容事件，则P(A1A2 A)2n P(A1)P(A2)nP(An)性质3ABP(BA)P(B)P(A)P(B)P(A)性质4P(A)1;4)概率的性质与推广10《概率论与数理统计》教案授课时间第二周 第3、4次课授课章节第一章概率论的基本概念1.4等可能概型1.5条件概率任课教师及职称教学方法与手段课堂教学课时安排4节课使用教材和主要参考书教材：《概率论与数理统计》第三版），浙江大学盛骤、谢式千、潘承毅编，高等教育出版社，2001.12参考书：《概率论与数理统计教程》，魏宗舒等编，高等教育出版社，1983年10月。教学目的与要求：.理解古典概型，条件概率、划分等基本概念。.掌握古典概型公式，条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式。教学重点，难点：条件概率的概念及全概率公式、贝叶斯公式。教学内容：4等可能概型生〉活中有这样一类试验，它们的共同特点是：样本空间的兀素只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同比如：足球比赛中扔硬币挑边，围棋比赛中猜先。我们把这类实验称为等可能概型,考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。设S={eye2,叱},由古典概型的等可能性，得P{ei}二P{e2}2P{en}又由于基本事件两两互不相容；所以P{S}P{e}P{e} P{e},11 2 nP{e.}—,i1,2,,n.in11

《概率论与数理统计》教案若事件A包含k个基本事件，即A={e1,e2,・复},则有：例1将一枚硬P(A)kn人包含的基本事件数

P(A)kn人包含的基本事件数

S中基本事件总数币抛掷三次。设：事件A］为“恰有一次出现正面”,事件A2为“至少有一次出现正面”求pA1),pA2。解：根据上一节的记号，E2的样本空间S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,HT,TTH,TTT},n=8,即S2中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生k=7,P(A)=幺=工，

2 2n8的可能性相同属于古典概型A］为“恰有一次出现正面”,A］={HTT,HT,TH},事件A2为“至少有一次出现正面”用广{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,HT,k=3,P(A)=k=3,1n8TTH例2一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式：放回抽样第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。不放回抽样第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。分别就上面两种方式求：1)取到的两只都是白球的概率；2)取到的两只球颜色相同的概率；3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率。12《概率论与数理统计》教案解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。设人=，取到的两只都是白球”8=，取到的两只球颜色相同"，C=^^」的两只球中至少有一只是白球”P(A)工P(B)C2qP(C)1PC)1cxTOC\o"1-5"\h\zC2 C2 C2/\42 6 42226 /. L、 226P(A)一0.444P(B) 0.556 P(C)1P(T)1—0.88962 62 62有放回抽取:无放回抽取例3将n只球随机的放入N(Nn)个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率设盒子的容量不限)。例4设有N件产品，其中有口件次品，今从中任取n件，问其中恰有口口)件次品的概率是多少?例5将15名新生随机地平均分配到3个班中去，这15名新生中有3名是优秀生。问：(1每个班各分配到一名优秀生的概率是多少？⑵3名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的。问是否可以推断接待时间是有规定的？L5条件概率 pa0 pR.PAB一、条件概率 PB|A-p^-条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。它所考虑的是事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。设A、B是某随机试验中的两个事件，且 则称为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率,简称为B在A之下的条件概率。13《概率论与数理统计》教案条件概率的性质：(1琲负性：对任意事件B,P(B1A)0(2规范性:P(S|A)0⑶可列可加性：如果随机事件B1,B2,B3,…两两互不相容，则P(B1B2B3…)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+••例1已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求pABPAPB|A该家庭至少有一个男孩的概率.由条件概率的计算公式，我们得这就是两个事件的乘法公式.例2袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止.求取了门次都未取出黑球的概率.例3设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/1Q若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10求透镜落下三次而未打破的概率。定义设S为试验E的样本空间，B1,B2,B3,…,Bn为E的一组事件。若满足：(1)两互不相容；(2)它们的和事件是必然事件。则称B1,B2,B3,…,Bn为样本空间S的一个划分。设S为试验E的样本空间，B1,B2,B3,…,Bn为S的一个划分，A为S的事件，且P(Bi)〉0则有P(A)二.一P(Bi)P(A|Bi)1=1ton14《概率论与数理统计》教案例4某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名.又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85.0.640.45,0.32今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率.2.Bayes公式设S为试验E的样本空间，B1,B2,B3,…,Bn为S的一个划分，A为S的事件,且P(A)〉0，则有p(B|a) m…)，i1,2,,niP(A)n।P(A|B)P(B)j1jj例5某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.020.15 2 0.01 0.80 3 0.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。(1)在仓库中随机的取一只晶体管,求它是次品的概率。(2)在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取到的是次品试分析此次品出自那家工厂的可能性最大?例6对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？1516授课章节第一章概率论的基本概念1.6独立性习题课任课教师及职称教学方法与手段课堂教学课时安排4节课使用教材和主要参考书教材：《概率论与数理统计》第三版)，浙江大学盛骤、谢式千、潘承毅编，高等教育出版社，2001.12参考书：《概率论与数理统计教程》，魏宗舒等编，高等教育出版社，1983年10月。教学目的与要求：.理解事件的独立性的概念。.掌握事件的力独立性的性质。教学重点，难点：事件的独立性的概念。教学内容：1.6独立性一、事件独立性的定义设A、B是两个随机事件，如果则称A与B是相互独立的随 PABPAPB机事件.事件独立性的性质：1)如果事件A与B相互独立，而且P(A)>0,则有P(B|A)=P(B).2)必然事件5与任意随机事件人相互独立；不可能事件①与任意随机事件人相互独立.3)若随机事元与8、人与百、元与百件A与B相互独立，则也相互独立.注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直PAPB0接应用定义中的公式进行计算.例1设事件A与B满足：若事件A与B相互独立，则AB手①；授课时间第二周概率论与数理统计》教案第5、6次课17

《概率论与数理统计》教案若AB二①，则事件A与B不相互独立.此例说明：互不相容与相互独立不能同时成立。二、三个事件的独立性设A、B、C是三个随机事件，如PABPAPBPBC PBPCPAC PAPCPABCPAPBPC设A1，A2， ，A”为口个随机事件，如果下列等式成立：则称A、B、C是相互独立的随机事件独立性式是缺一个等式的PAAPAPA1ijnijijPAAAPAPAPA1ijknijk ijk "的随机事件独立性式是缺一个等式的PAAPAPA1ijnijijPAAAPAPAPA1ijknijk ijk "PAiAiPA1A2 AnPAiPAiP(Ai)1 ii i2PA1PA2 5件.注意在三个事的定义中，四个等imn不可的.即：前三成立不能推出第四个等式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立.”个事件的相互独立性则称A1,A2, ,A”这”个随机事件相互独立.例2设有电路如图，其中1,2,3,为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为P。求L至R为通路的概率。例3要验收一批（100件）乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地抽取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果至少有一件被测试为音色不纯，则拒绝接受这批乐器。设一件音色不纯的乐器被测试出来的概率为0.95,而一件音色纯的乐器被误测为不纯的概率为0.0118《概率论与数理统计》教案如果这件乐器中恰有4件是音色不纯的，问这批乐器被接受的概率是多少？例4袋中装有4个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色.现从袋中任意取出一球，令：A=｛取出的球涂有红色｝B=｛取出的球涂有白色｝C=｛取出的球涂有黑色｝试判断人，B,C的独立性。第一章小结1阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关系及运算。2给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性质。3给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。4给出了随机事件独立性的概念，会利用事件独立性进行概率计算。1920授课章节第二章随机变量及其分布2.1随机变量2.2离散型随机变量及其分布律任课教师及职称教学方法与手段课堂教学课时安排4节课使用教材和主要参考书教材：《概率论与数理统计》第三版)，浙江大学盛骤、谢式千、潘承毅编，高等教育出版社，2001.12参考书：《概率论与数理统计教程》，魏宗舒等编，高等教育出版社，1983年10月。教学目的与要求：.理解随机变量的基本概念。.掌握用随机变量表示事件的方法、离散型随机变量的分布律及性质、常见的几种离散分布。教学重点，难点：随机变量、分布律等基本概念。教学内容：第二章随机变量及其分布2.1随机变量随机变量的概念 XXe eS设E是一个随机试 验，S是其样本空间.我们称样本空间上的函数 丫 丫e:XexXx为一个随机变量，如果对于任意的实数乂，集合都是随机事件, 随机变量常用大写的英文字母乂、Y、Z…或希腊字母、、等来表示。(2)对于随机变量，我们常常关心的是它的取值。我们设立随机变量，是要用随机变量的取值来描述随机事件・例1掷一颗骰子，令*:出现的点数,则X就是一个随机变量.它的取值为1,2,3,4,5,6.则{X4}表示掷出的点数不超过4这一随机事件；《概率论与数理统计》教案第7、8次课授课时间第四周21

《概率论与数理统计》教案{X取偶数表示掷出的点数为偶数这一随机事件.例2一批产品有50件，其中有8件次品，42件正品.现从中取出6件，令*:取出6件产品中的次品数.贝子就是一个随机变量.它的取值为0,1,2,…，6,则{X=0}表示取出的产品全是正品这一随机事件； {X1}表示取出的产品至少有一件次品这一随机事件.例3上午8:0厂9:00在某路口观察，令Y:该时间间隔内通过的汽车数，则Y就是一个随机变量.它的取值为0,1,….贝u {Y<100}表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件； {50<Y100表示通过的汽车数大于50辆但不超过100辆这一随机事件.注意Y的取值是可列无穷个!2离散型随机变量及其分布律-.离散型随机变量的概念与性质.离散型随机变量的定义如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷个，则称X为离x个，则称X为离x1，x2， ,xn,的分布PXx取值为 nn1,2,散型随机变量.2.离散型随机变量律设离散型随机变量X的所有可能并设则称上式为离散型随机变量X并设则称上式为离散型随机变量X的分布律.22《概率论与数理统计》教案说明离散型随机变量可完全由其分布律来刻划.即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这些值的概率唯一确定.3.离散型随机变量分布律的性质：对任意的自然数k有pk0;例1从1—10这10个数字中随机取出5个数字，令*:取出的5个数字中的最大值.试求X的分布律.解：X的取值为5,6,7,8,9,10.并且具体写出，即可得X的分布律。, C4 , ° …PXk k5,6, ,10C510例2将1枚硬币掷3次，令*：出现的正面次数与反面次数之差.试求X的分布律.例3设随机变量X的分布律为试求常数c.nPXnc4n1,2,例4设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以*表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求X的分布律.（信号灯的工作是相互独立的）.二、一些常用的离散型随机变量8。皿0成分布如果随机变量X的分布律为PX0 1p,PX1p23《概率论与数理统计》教案则称随机变量X服从参数为p的8。m041分布例515件产品中有4件次品，11件正品.从中取出1件.令15 15*：取出px011，px1二的一件产品中的次品数.则X的取即：X~B1,15.值为0或者1，并且42)二项分布nCkpk1pnkp1pn1nk0Ckpk1pnk0 k0,1, ,nn如果随机变量X的分布律为 PXkCkpk1pnkk0,1, ,nn则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记d、X~B(n,p).分布律的验证⑴.由于0 PXkCkpk1pnkk0,1,np1以及n为自然数，可知⑵.又由二项式定理，可知所以是分布律.例6一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的.某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？24《概率论与数理统计》教案3)Poisson分布如果随机变量X的分布律为其中 为常数，则称随机变PXk—ek0,1,2,k!量X服从参数为2的Poisson分布TOC\o"1-5"\h\zk kTTe e ITk0 k0k ek!可知对任意的自然数k,有⑵又由幂级数的分布律的验证可知对任意的自然数k,有⑵又由幂级数的Poisson分布的应用Poisson分布是概率论中重要的分布之一.自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布.PXk—e k0,1,2,k!例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的.25《概率论与数理统计》教案复习思考题、作业题:习题二：3、4、6、12下次课预习要点.分布函数的概念。.连续型随机变量的定义、连续型随机变量概率密度的性质。实施情况及教学效果分析完成教学内容，学生掌握情况良好。学院审核意见学院负责人签字年月日26

授课章节第二章随机变量及其分布2.3随机变量的分布函1数2.4连续型随机变量及其概率密度任课教师及职称教学方法与手段课堂教学课时安排4节课使用教材和主要参考书教材：《概率论与数理统计》第三版)，浙江大学盛骤、谢式千、潘承毅编，高等教育出版社，2001.12参考书：《概率论与数理统计教程》，魏宗舒等编，高等教育出版社，1983年10月。教学目的与要求：.理解分布函数的概念。.掌握连续型随机变量的定义、连续型随机变量概率密度的性质。教学重点，难点：分布函数的概念、连续型随机变量概率密度的定义及性质。教学内容：2.3随机变量的分布函数1.概念定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)P(Xx}称为X的分布函数.对于任意的实数2々&]＜々)，有：P{xXx}P{Xx}P{Xx}F(x)F(x).2 1例1一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.2.分布函数的性质分别观察离散型、连续型分布函数的图象，可以看出，分布函数F(x)具有以下基本性质：授课时间第五周概率论与数理统计》教案第9、10次课27《概率论与数理统计》教案10 10 F(x)是一个不减的函数.2030F(x0)F(x)，即F(x)是右连续的FxABarctgx试求常数A、B.2.4连续型随机变量及其概率密度0F(x)1,且F()limF(x)0;F()limF(x)1.x x例2设随机变量X的分布函数为x一.连续型随机变量的概念与性质定义如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使得对于任意实数冬有F(x)x一加七则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度.由定义知道，概率密度f(x)具有以下性质：(2)f(x)dx1.3043040x2f(x)dx.(xx)1 2x1若f(x)在点x处连续，则有F(x)f(x).是连续型随机变量，其密度函数为£乂C4x2x20x20其它(1)求常数(1)求常数C；(2)求P{X>1}.2828《概率论与数理统计》教案二.一些常用的连续型随机变量.均匀分布若随机变量X的密度函数为1fxtaxb则称随机变量X服从区间[a,b上的0其它均匀分布.记作X〜U[a,b].密度函数的验证X服从区间[a,b上的均匀分布，f(x是其密度函数，则有：f(x)a b b0.⑵.fxdxfxdxfxdxfxdx dx由此可知，f(x)5角是密度函baa b a数.例2设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车，如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量.试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率..指数分布如果随机变量X的密度函数为£*exx。其中 为常数,0x0则称随机变量X服从参数为的指数分布.密度函数的验证设X〜参数为的指数分布，f*是其密度函数，则有：⑴.对任意的羽有fx0;29《概率论与数理统计》教案⑵.fxdxfxdxfxdxexdx ex=100 0由此可知，fxexx0确是一密度函数.0x0例3设打一次电话所用的时间X(单位：分钟)是以 为参数的指数随机变量，如果某人刚好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分钟到20分钟的概率。.正态分布1 _x_2如果连续型随机变量X的密度函数为fx-^e22 xv2则称随机变量X服从参数为，2的正态分布.记作乂〜N(, 2).正态分布密度函数的图形性质⑴.曲线关于直线x 对称，这表明：对于任意的卜0,有PhXPXh⑵.当x时，£乂取到最大值f」2x离越远，£乂的值就越小.这表明，对于同样长度的区间，当区间离越远时，随机变量X落在该区间中的概率就越小.⑶.曲线y£乂在乂 处有拐点；曲线y£乂以0乂轴为渐近线.⑷.若固定，而改变的值，贝f乂的图形沿乂轴平行移动，但不改变其形状.因此yfx图形的位置完全由参数所确定.⑸.若固定，而改变的值，由于£乂的最大值为fA2可知，当越小时，yfx图形越陡，因而X落在附近的概率越大；反之，当越大时，yf乂的图形越平坦，这表明乂的取值越分散.3031概率论与数理统计》教案授课时间第六周 第11、12次课授课章节第二章随机变量及其分布2.4连续型随机变量及其概率密度（续）2.5随机变量的函数的分布任课教师及职称教学方法与手段课堂教学课时安排4节课使用教材和主要参考书教材：《概率论与数理统计》第三版），浙江大学盛骤、谢式千、潘承毅编，高等教育出版社，2001.12参考书：《概率论与数理统计教程》，魏宗舒等编，高等教育出版社，1983年10月。教学目的与要求：.理解随机变量的函数的基本概念。.掌握随机变量的函数的分布的求法。教学重点，难点：随机变量的函数的基本概念。教学内容：正态分布的重要性止态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：⑴.正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一,大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的.可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从止念分布.⑶.正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的.正态分布可以作为许多分布的近似分布.标）隹止态分布若0, 1,我们称N0,1为标隹正态分布.标准正态分布的密度函数为x工” x32《概率论与数理统计》教案般正态分布的计算设X~N, 2,则丫-—~N(0,1)Fy(x)P{Xx}P{-——--} (-一)X故对任意的@b,有P{aXb} (b—) (-一).例4设随机变量X〜N2,9,试求：⑴.P1X5;⑵.PX2|6;⑶.PX0.上分位点的定义设X〜N(0,1)，若z满足条件P{Xz} ,0 1,则称点z为标准正态分布的上分位点。2.5随机变量的函数的分布随机变量的函数设X是一随机变量，Y是X的函数，Y=g(X)，贝UY也是一随机变量，当X取x值时，Y取y=g(x)。现在已知随机变量X的分布，要求Y的分布。设X是一连续型随机变量，其密度函数为fXx,再设丫gX是乂的函数，我们假定Y也是连续型随机变量.我们要求的是YgX的密度函数fYy.解题思路⑴.先求YgX的分布函数FYyPYyPgXy fX(x)dxg(x)y⑵.利用YgX的分布函数与密度函数之间的关系求Y gX的密度函数 (y FYyx.0x4.例1设随机变量X具有概率密度：％(X) 8' 'X0,其它.33《概率论与数理统计》教案试求Y=2X+8的概率密度.例2设随机变量X具有概率密度fX(x),x，求Y=X2的概率密度.定理设随机变量X具有概率密度fX(x), x,又设函数g(x)处处可导，且有g(x)0或恒有g(x)0)则Y=g(X)是一fX［h(y)］|h(y)|,y,个连续型随机变量y，其概率密度为fY(y)x 其中Y 0, 其它.h(y)是g(x)的反函数，即xg1(y)h(y),min{g( ),g()},max(g( ),g()}.若f(x)在有限区间值加］以外等于零，则只须假设在［a,b］上恒有g(x)0或恒有g(x)0),此时仍有：这里min{g(a),g(b)},max{g(a),g(b)}.例3设随机变量X~N(,2),试证明乂的线性函数丫aXb(a0)也服从正态分布个随机变量，在区间设电压VAsin，其中A是一个已知的正常数，相角是万,万上服从均匀分布，试求随机变量丫的概率密度.个随机变量，在区间第二章小结1引进了随机变量的概念，要求会用随机变量表示随机事件。2给出了分布函数的定义及性质，要会利用分布函数示事件的概率。3给出了离散型随机变量及其分布率的定义、性质，要会求离散型随机变量的分布率及分布函数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、二项分布、泊松分布。4给出了连续型随机变量及概率密度的定义、性质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀分布、指数分布和正态分布。5会求随机变量的简单函数的分布。34《概率论与数理统计》教案复习思考题、作业题:习题二：24、28、33下次课预习要点.二维随机变量的定义。.二维随机变量的分布函数的概念。.二维离散型随机变量的分布律及性质，二维连续型随机变量的概率密度及性质。.二维随机变量的边缘分布。实施情况及教学效果分析完成教学内容，学生掌握情况良好。学院审核意见学院负责人签字年月日35

授课章节第三章多维随机变量及其分布3.1二维随机变量3.2边缘分布任课教师及职称教学方法与手段课堂教学课时安排4节课使用教材和主要参考书教材：《概率论与数理统计》第三版），浙江大学盛骤、谢式千、潘承毅编，高等教育出版社，2001.12参考书：《概率论与数理统计教程》，魏宗舒等编，高等教育出版社，1983年10月。教学目的与要求：.理解—维随机变量、—维随机变量的分布函数、—维随机变量的边缘分布等基本概念。.掌握—维离散型随机变量的分布律及性质，—维连续型随机变量的概率密度及性质。教学重点，难点：一维连续型随机变量的概率密度及性质、—维随机变量的边缘分布等基本概念。教学内容：第二章多维随机变量及其分布3.1二维随机变量一、二维随机变量的定义设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e},设X=X（e）和Y=Y（e）是定义在S上的随机变量。由它们构成的一个向量（X,Y）,叫做二维随机向量，或二维随机变量。说明：（1）我们应把二维随机变量（X,Y）看作一个整体，因为X与Y之间是有联系的。在几何上，二维随机变 量区丫）可看作平面上的随机点。二维随机变量的例子⑴考察某地区成年男子的身体状况，令X：该地区成年男子的身高；Y:该地区成年男子的体重；授课时间第七周概率论与数理统计》教案第13、14次课36

《概率论与数理统计》教案贝U(X,Y)就是一个二维随机变量。对一目标进行射击，令：弹着点与

目标的水平距离；Y：弹着点与目标的垂直距离； 则(X,Y)就是一个二维随机变量。二、二维随机变量分布函数的定义设X,Y是一个二维随机变量，则对于任意一对实数x,y,Fx,yPXx,Yy是x,y的函数,我们称此函数为二维随机变量X,Y的分布函数.二元分布函数的几何意义表示平面上的随机点(X,Y)落在以(x,y)为右上顶点的无穷矩形中的概率。一个重要的公式设：x1x2Px1X xPx1X x2, y1X y2Fx2,%Fx2,1 Fx/'Fy1分布函数具有以下的基本性质(1)F(x,y)是变量x,y的不减函数，即对于任意固定的y,当x1<x2时，F(x1,y)F(x2,y);对于任意固定的x,当y1<y2时，F(x,y1)F(x,y2);0F(x,y)1,且对于任意固定的y,F(,y)0;对于任意固定的x,F(x,)0;F(对于任意固定的x,F(x,)0;F()0;F(,)1;37《概率论与数理统计》教案F（x,y）=F（x+0,y）,F（x,y）=F（x,y+0）,即F（x,y）关于x右连续，关于y也右连续.（4）F（x2,y2）F（x2,y1）F（x1,y1）F（x1,y2）0.说明：上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数具有这四条性质，那么,它一定是某一二维随机变量的分布函数（证明略）.三、「维随机变量的定义设E是一个随机试验，S是其样本空间，XiXieeSi1,2, ,n是该样本空间上的「个随机变量.贝咻尔X],X2， ,XX1e,X2e,,XeeS为样本空间$上的「维随机变量.四、二维离散型随机变量若二维随机变量（X,Y）的取值是有限个或可列无穷个，则称（X,Y）为二维离散型随机变量。（X,Y）为二维离散型随机变量，X的取值为X],x2, ,xi, 丫的取值为y],y2, ,yj,则称PijPXxi,Yyjij12,为二维随机变量（X,Y）的（联合）分布律.二维离散型随机变量联合分布律的性质性质1对任意的（1）,1门=1,…有口口PXxi,Yyj0性质2 pij1 " 1Jij38《概率论与数理统计》教案例1将两个球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中.放入1号盒中的球数；放入2号盒中的球数；试求(X,Y)的联合分布律.例2设随机变量X在1,2,3,四个数中等可能地取值，另一个随机变量Y在1〜X中等可能地取一整数值。试求(X,Y)的分布律。二维离散型随机变量的联合分布函数(X，Y)为二维离散型随机变量，其(联合)分布律为PjPXxi，Yyj i，j1，2，贝U(X，Y)的联合分布函数为…‘」’五、二维连续型随机变量对于二维随机变量(X,Y)分布函数尸&,。，如果存在非负函数£&,丫)，使得对于任意的x,y有F(x,y)yxf(u,v)dudv,则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为X和Y的联合概率密度。按定义，概率密度f(x,y)具有以下性质：f(x,y)0；2)f(u,v)dudvF(,)13)若f(x,y)在点(x,y)连续，则有2F(x,y)f(x,y).xy4)设G是平面上的一个区域，点(X,Y)落在G内的概率为：39

《概率论与数理统计》教案P{（X,Y）G}f（x,y）dxdy.G例3设二维随机变量（X,Y）的密度函数为fx,ycea…x°,y°常0其它数c；（2）求（X,Y）的联合分布函数；（3）求p0X1,0Y2.3.2边缘分布边缘分布的定义如果X,Y是一个二维随机变量，则它的分量X或者Y是一维随机变量，因此，分量X或者Y也有分布.我们称X或者Y的分布为X或者Y关于二维随机变量X,Y的边缘分布.已知联合分布函数求边缘分布函数设二维随机变量（X,Y）的分布函数为F（X,Y）,则分量乂的分布函数为FxxPXxPXx,YFx,同理，Y的分布函数为FYy PYyPX,YyF,y例1已知二维随机变量（工丫）的分布函数为x yFx,yABarctanCarctan' 2 3试求（1）常数4，8,，；（2）X和Y的边缘分布函数。已知联合分布律求边缘分布律（X已知联合分布律求边缘分布律（X,Y）为二维离散型随机变量，其（联合）分布律为P.PX现求分量X的分布律，P分布律为P.PX现求分量X的分布律，P.PXx.xi,Yyji,j12,同理分量Y的分布律为PXx,Yy.jP..j40《概率论与数理统计》教案PjPYyjPXxi，Yyj piji i例2设随机变量X在1,2,3,四个数中等可能地取值,另一个随机变量Y在1〜X中等可能地取一整数值。试求(X,Y)的分布律及X,Y的边缘分布律。已知联合密度函数求边缘密度函数设区丫)是连续型的二维随机变量,函数f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的概率密度，现求随机变量X的边缘密度函数：fx由fx由FxPXxFx，xfu，ydydu得 fXxfx，ydy同理，由Fy同理，由FyyPYyF，yfx，vdxdv得：yfx，ydx设平面区域D是由抛物线y均匀分布.试求随机变量X，x2及直线yx所围，随机变量X，设平面区域D是由抛物线y均匀分布.试求随机变量X，例4设二维随机变量X，Y~N， ， 2， 2，r，试求X及丫的边缘密度函数.12 124142授课章节第三章多维随机变量及其分布3.3条件分布3.4相互独立的随机变量任课教师及职称教学方法与手段课堂教学课时安排4节课使用教材和主要参考书教材：《概率论与数理统计》第三版)，浙江大学盛骤、谢式千、潘承毅编，高等教育出版社，2001.12参考书：《概率论与数理统计教程》，魏宗舒等编，高等教育出版社，1983年10月。教学目的与要求：.理解条件分布、随机变量的独立性等基本概念。.掌握条件密度函数的求解方法，随机变量的独立性的概念。教学重点，难点：条件分布、随机变量的独立性等基本概念。教学内容：3.3条件分布一、离散型随机变量的条件分布律设(XY)是二维离散型随机变量，其分布律为P(X=xi,Y=y.}=p,j,i,j=1,2,.X.,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为：P.PXx. PXx.,Yy. pjj jPjPYyj PXx.,Yyj p.j由条件概率公式自然地引出如i i卜定义：定义：设(X,)是一维离散型随机变量，对于固定的j若P{Y=yj}>0,则称P{Xx|Yy}HX-x.，Y>旦,i1,2,i j P{Yyj} pj为在Y二yj.条件下随机变量X的条件分布律。条件分布律具有分布律的以下特性：10 P{X=xJ=yj}0;授课时间第八周概率论与数理统计》教案第15、16次课43

《概率论与数理统计》教案20P(Xi1同样对于固定的iv1p.. 1X|Yy1 -^j——p《概率论与数理统计》教案20P(Xi1同样对于固定的iv1p.. 1X|Yy1 -^j——pij.1PP.1iji1jji1i若P{X=Xj}>0,贝咻尔P.i—j1.PjP{Yy」|Xx}P{XX/Yyj pij.iP{XX.} p.，）1,2,为在X=X1条件下随机变量Y的条件分布律例1―射手进行射击，击中目标的概率为P,射击到击中目标两次为止。设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律以及条件分布律。二、条件分布函数设(',丫)是二维连续型随机变量，由于P{X=x}=0,P{Y=yj}=0不能直接代入条件概率公式，我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概念。定义:给定y,设对于任意固定的正数e,P{y-e<Yy+e}>0,若对于任意实数x,极限limP{Xx|yYy}；imP{Xx,yYy}存在，则称为在10mp{yYy}条件丫=丫下X的条件分布函数写成P{XxY=y}，或记为FXY(xy)则F(x|y)xf^du,

XYE(y)称为在条件丫=丫下X的条件分布函数，而,(x|y)3XY fY(y)则称为在条件丫=y下X的条件密度函数。44

《概率论与数理统计》教案三、连续型随机变量的条件密度函数设X,Y是二维连续型随机变量，其联合密度函数为f(x,y)又随机变量X的边缘密度函数为：fXXfx，ydy随机变量Y的边缘密度函数为：fYfYyfx，ydx则当fY(y)>0时，可得随机变量X在Y=y条件下的条件密度函数为f(x|y)3当fX(x)>0时，可得随机变量Y在X=x条件下的条XY fY(y),X件密度函数为flylx士」条件密度函数的性质性质1.对任意的X有yIx।fxfX卜fX卜xly0性质2.f।xIyxydx1例2设二维随机变量(X,Y)服从圆域:xy.3.4相互独立的随机变量随机x2y21上的均匀分布,试求条件密度函数fxy.3.4相互独立的随机变量随机变量的独立性说明:设X,Y是二维随机变量，其联合分布函数为Fx,y，又随机变量乂的分布函数为F乂，随机变量丫的分布函数为F丫.如果对于任意的七y,有说明:XFx,yFxFyY则称X,Y是相互独立的随机变量.45《概率论与数理统计》教案如果随机变量X如果随机变量X与Y相互独立，则由Fx,yFXXFy丫可知二维随机变量短,丫）的联合分布函数F（x,y）可由其边缘分布函数FXx与FY丫唯一确定.离散型随机变量的独立性设X,Y是二维离散型随机变量，其联合分布律为 pijPXxi,Yyjij1,2,又随机变量乂的分布律为 piPX xi随机变量丫的分布律为 pjPYyj如果对于任意的1如果对于任意的1）有，pijpipj,则称X,Y是相互独立的随机变量.例1将两个球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中.放入1号盒中的球数；放入2号盒中的球数；试判断乂与Y是否相互独立？连续型随机变量的独立性设X,Y是二维连续型随机变量，其联合密度函数为£x,y,又随机变量X的边缘密度函数为fXx,随机变量¥的边缘密度函数为:（y）,如果对于几乎所有的乂,丫都有fx,yffx,yfXxfy则称X,丫是相互独立的随机变量。例2设X,Y是二维连续型随机变量，其联合密度函数为fX,y x23xy0x1,oy2' 0 其它试判断乂与Y是否相互独立？例3（正态随机变量的独立性）设二维随机变量X,Y〜N, , 2, 2,12 12试判断乂与Y是否相互独立？46《概率论与数理统计》教案。维随机变量的独立性设X,X,,X是植隹随机变量，其联合分布函数为Fx,x,,x,又随机变量次的分布函数为Fx,i1,2, ,n.如果对于任意的n维实数组i Xix,x, ,x,有i2Fx,nx, ,xFxFxFx则称X,X1 2X是梢互独立的随机变量.Xnn2 n注意：若X,Y独立f(x),g(是连续函数，则f(X),g(Yfe独立4748授课章节第三章多维随机变量及其分布3.5两个随机变量的函1数的分布习题课任课教师及职称教学方法与手段课堂教学课时安排4节课使用教材和主要参考书教材：《概率论与数理统计》第三版)，浙江大学盛骤、谢式千、潘承毅编，高等教育出版社，2001.12参考书：《概率论与数理统计教程》，魏宗舒等编，高等教育出版社，1983年10月。教学目的与要求：.理解两个变量的函数分布的基本概念。.掌握常见的两个变量的函数分布的求法。教学重点，难点：两个变量的函数分布的基本概念。教学内容：5两个随机变量的函数的分布•和的分布例1设—维离散型随机变量X,Y的联合分布律为P(X=i,Y=j}=(1/i)(1/4),i=1,2,3,4,j令Z=X+Y，试求随机变量Z的分布律。连续型随机变量和的分布设X,Y是二维连续型随机变量，其联合密度函数为fx,y,令2=X+Y,下面计算随机变量ZX丫的密度函数［2.首先计算随机变量ZX丫的分布函数12.zxFzzPZzPXYz fx,ydxdydxfx,ydyxyz作变换：yu*,则有z zFzdxfx,uxdudufx,uxdx令gu fx,uxdx授课时间第九周概率论与数理统计》教案第17、18次课49

《概率论与数理统计》教案即有z《概率论与数理统计》教案即有zFzgudu所以有：FZZ莅gudu即 fzfx,zxdx类似地得，fzzfzy,ydy特别地，当随机变量X与丫相互独立时，有fx，yqx鼻y，此时有xdxxdx或fzzfXzyfydy我们称上式为函数/x与fy的卷积，记作qx*fy。例2设随机变量X与Y相互独立，都服从区间0,1上的均匀分布，令ZXY,试求随机变量2的密度函数.例3设随机变量X与Y相互独立，X〜N0,1,Y〜N0,1,令ZXY,试求随机变量2的密度函数.说明：一般地，我们有如下结论 随机变量X与丫相互独立，且乂~N1, 2,,令Z=X+Y，贝UZ〜N二.其它的分布 (1)先求随机变量函数2gX,Y的分布函数Fzz,(2)再求随机变量函数2gX,Y的密度函数^zFzz。例4设随机变量乂与¥相互独立，乂〜B1,p,Y〜B1,p0p1,令minX,Y,maxX,Y,试求随机变量与的联合分布律及与各自的边缘分布律，并判断与是否相互独立？50《概率论与数理统计》教案第三章小结1要理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。2要理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系，了解条件分布。3掌握二维均匀分布和二维正态分布。4要理解随机变量的独立性。5要会求二维随机变量的和及二维随机变量的极值分布和函数的分布。5152概率论与数理统计》教案授课时间第十周 第19、20次课授课章节第四章随机变量的数字特征4.1数学期望4.2方差任课教师及职称教学方法与手段课堂教学课时安排4节课使用教材和主要参考书教材：《概率论与数理统计》第三版)，浙江大学盛骤、谢式千、潘承毅编，高等教育出版社，2001.12参考书：《概率论与数理统计教程》，魏宗舒等编，高等教育出版社，1983年10月。教学目的与要求：.理解数学期望、方差等基本概念。.掌握数学期望、方差的定义、性质及计算。教学重点，难点：数学期望、方差等基本概念。教学内容：第四章随机变量的数字特征1数学期望1、数学期望定义(1)离散型设离散型随机变量X的分布律为：P{Xxjp「k12，,若级数xkpk绝对收敛，则称级数xkpk的和为随i1 i1机变量X的数学期望。记为EX，即EX= xkpk。k1设连续型随机变量乂的概率密度为(x),若积分xf(x)dx绝对收敛，贝U称积分xf(x)dx的值为X的数学期望。记为EX=xf(x)dx,(2)、连续型数学期望也称为均值。 说明53

《概率论与数理统计》教案(1)X的数学期望刻划了乂变化的平均值.(2)由于随机变量乂的数学期望表示的是随机变量X变化的平均值，因此，只有当级数xjn绝对收敛时，才能保证级数xjn的和与其级数巳匕的求和顺序无关.n1 n1 n1例1设随机变量X服从Cauchy分布，其密度函数为1 1x试求其数学期望。例21x试求其数学期望。例2按规定，火车站每天8:00〜9:00,9:00〜10:都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立，其规律为：到站时间8:10,9:108:30,9:308:50,9:50概率 176 3/6 2/^(1)旅客8:00到站，求他侯车时间的数学期望。(2)旅客8:20到站，求他侯车时间的数学期望。2、随机变量函数的数学期望定理1:设Y=g(X),g(x)是连续函数,(1)若X的分布率为4p(xxk},k=1,2…・且Pkg(xk)绝对收敛,k1则EY= Pkg(xk)k1⑵若X的概率密度为f(x)，且g(x)f(x)dx绝对收敛，贝［|EY= g(x)f(x)dxo定理2:54

《概率论与数理统计》教案若(X,Y)是二维随机变量，g(x,y)是二元连续函数，Zg(x,y).若(X,Y)的分布律为P{Xx,Yy}P，且 g(x.,y.)P..绝对收敛；则EZ= g(x.,y.)P。i,j1 i,j1.若(X,Y)的概率密度为f(x,y),且g(x,y)f(x,y)dxdy绝对收敛，贝［|：EZ=g(x,y)f(x,y)dxdy。例3设风速丫在(0,止服从均匀分布，又设飞机机翼受到的正压力亚是丫的函数：WkV2,(k〉0)；求EW。例4设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X(吨)，它在［2000,400上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需浪费保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。I)Ec=c,c是常数，若aXb,3I)Ec=c,c是常数，若aXb,3、数学期望的性质则aEXb,II)EcX=cEX,c是常数,III)E(aX+bY)=aEX+bEYIV)若x,独立，则EXY二EXEY例5对N个人进行验血，有两种方案:(1)对每人的血液逐个化验，共需N次化验;55《概率论与数理统计》教案(2)将采集的每个人的血分成两份，然后取其中的一份，按k个人一组混合后进行化验(设N是k的倍数)，若呈阴性反应，则认为k个人的血都是阴性反应，这时k个人的血只要化验一次；如果混合血液呈阳性反应，则需对k个人的另一份血液逐一进行化验，这时k个人的血要化验k+1次；假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是P且各次化验结果是相互独立的。试说明适当选取女可使第二个方案减少化验次数。4.2方差1、定义设X是随机变量，直(XEX)2存在，称其为随机变量X的方差，记作DX,Var(X)即：DX=Var(X)=e(XEX)2。称为标)隹差。DXE(XEX)2 (xEX)2p,离散型。i ii1DX(xEX)2f(x)dx, 连续型。方差也可由下面公式求得：DXEX2EX2证明：DXEXEX2EX2 2EXXEX2EX2 2EXEXEX2EX22EX2EX2EX2EX2565758授课章节第四章随机变量的数字特征4.2方差（续）4.3协方差及相关系数4.4矩、协方差矩阵任课教师及职称教学方法与手段课堂教学课时安排4节课使用教材和主要参考书教材：《概率论与数理统计》第三版），浙江大学盛骤、谢式千、潘承毅编，高等教育出版社，2001.12参考书：《概率论与数理统计教程》，魏宗舒等编，高等教育出版社，1983年10月。教学目的与要求：.理解协方差、相关系数的基本概念。.掌握协方差、相关系数的性质。教学重点，难点：协方差、相关系数等基本概念。教学内容：4.2万差（续）3、定理定理：（切比晓夫不等式）设随机变量*有数学期望EX ,方差口乂 2,对任意＞0,不等式P{|X |} 2/2或P{|X |}1 2/2恒成立。说明：这个不等式给出了随机变量X的分布未知情况下，事件{1X 1}的概率的一种估计方法。4.3协方差及相关系数1、定义称COV（X,Y）=E（X-EX）（Y-EY）=EXY-EXEY 为随机变量X,Y的协方差.而COV（X,X）=DX.XYC0Vr_（蜉为随机变量X,Y的相关系数。授课时间第十一周概率论与数理统计》教案第21、22次课59《概率论与数理统计》教案是一个无量纲的量；若=0,称X,YXY不相关，此时COV(X,Y)=0X。定理：若X，丫独立，则X,Y不相关。证明：由数学期望的性质有 E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)又E(X-EX)=0, E(Y-EY)=0所以E(X-EX)(Y-EY)=0。即COV(X,Y)=0注意：若E(X-EX)(Y-EY)0,即EXY-EXEY0，则X，Y一定相关，且*，丫一定不独立。2、协方差的性质COV(X,Y)=COV(Y,X);2)COV(aX,bY)=abCOV(X,Y)3)COV(X+Y,Z)=COV(Y,Z)+COV(X,Z)4)若X,Y不相关，贝U：EXY=EXEY,D(aX+bY)0DXb2DY3、相关系数的性质。IxyI1.|XYI1存在常数@,"使P{Y=a+bX}=1.说明相关系数是表征随机变量X与丫之间线性关系紧密程度的量.当IXYl1时，乂与丫之间以概率1存在着线性关系；当IX』越接近于0时，乂与丫之间的线性关系越弱;当|x』0时，乂与丫之间不存在线性关系不相关.60《概率论与数理统计》教案例设X,Y是二个随机变量，已知DX 1,DY4,covX,Y1记X2Y，2XY，试求：^4.4矩、协方差矩阵]、定义若EXk存在，称之为乂的女阶原点矩。若£尊£乂派存在，称之为X的k阶中心矩。若E(XEX)k(YEY)1存在，称之为X和Y的k+l阶混合中心矩。所以EX是一阶原点矩，DX是二阶中心矩，协方差Cov(X,Y)是二阶混合中心矩。1)维随机变量(X,,X)服从n维正态分布X,,X2、n维正态分布的性质的任意线性组合41n收服从一维正态分布。”2)若(X,,X)服从n维正态分布，Y,,丫是X,(j1,,n)的线性函数，则与，Yn)也服从正态分布。j3)若(X],,X)服从n维正态分布，则X],,X相互独立Xj汽两两不相关。 n例：(1)设X,Y独立，X~N1,4),Y〜N(2,9),求2X-Y的分布。(X,Y)〜N(1,2;4,9;0.5),求2X-Y的分布。第四章小结1阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望和方差。2要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。3给出了契比雪夫不等式，要会用契比雪夫不等式作简单的概率估计。4引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的性质与计算。5要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价性。6给出了矩与协方差矩阵。6162授课章节第五章第一节大数定律任课教师及职称教学方法与手段课堂教学课时安排2使用教材和主要参考书教材：《概率论数理统计》第三版)浙江大学盛骤等编，高等教育出版社参考书：《概率论与数理统计》，华东师范大学，魏宗书等编，高等教育出版社教学目的与要求：了解大数定理的客观背景，掌握挈比雪夫定理的特殊定理，伯努利大数定理，辛钦定理教学重点，难点：挈比雪夫定理的特殊定理，伯努利大数定理，教学内容：在实践中，不仅事件发生的频率具有稳定性，还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。定义1设Y1,,Yn,是随机变量序列，&@是一个常数；若对任意任意 0,有:limP{|Yna111n则称Y],,Yn，.依概率收敛于a，记为limP{|Yna1}1on1定义2设Xj,xn,是随机变量序列，令匕nnXk，若存在常数序列^,,an,使对任意0，k1有limP{工an1}1，或1imP{|YnanI}0,则称{XJ服从大数定律。n n定理1若乂「Pa，YnPb，g(X,y)在点(a,b)连续，贝U：g(Xn,Yn)Pg(a,b)。定理2(切比晓夫定理的特殊情况)设随机变量X1,,Xn,相互独立，且具有相同的数学期望及方差，EXk ,DX 2,k1,2,,令Y1n5,则：对任意的 0,k k nn kk1有：limP{|Y |} limP{|1nx |}1或limP{|1nx |}0: 0 n nk1k n %1k证：E(L°XJ-"EX -" ,D "X)—"DX —n2 2。由切比n kn kn n kn2 kn2 nk1 k1 k1 k1 k1晓夫不等式得：P{|n Xk 1)1n2,当n 时，P(|-Xk |}1。k1 k1授课时间第十二周《概率论与数理统计》教案第旦次课63

《概率论与数理统计》教案定理3（贝努里大数定律）设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，贝U：对任意的0,0,有limP{|

np|}1或limP{|f

n nv0在第k次试验中人不发生1

证：令X ,k证：令k1,在第k次试验中人发生1,2,,nXk,且X1,,Xn相互独立k1同服从于（0D分布，故EXp,DXkp1p),1,2,,n,由定理2有,1nlimP{|一1,即limP1|1。此定理说明了频率的稳定性定理4（辛钦大数定律）设X1，,Xn,相互独立同分布，且具有数学期望EXk ，k1,2,,n,，贝U：对有limP{|—1 } 1注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。6465授课章节§2.中心极限定理任课教师及职称教学方法与手段课堂教学课时安排4使用教材和主要参考书教材：《概率论数理统计》第三版）浙江大学盛骤等编，高等教育出版社参考书：《概率论与数理统计》，华东师范大学，魏宗书等编，高等教育出版社教学目的与要求：了解中心极限定理的客观背景，掌握二个中心极限定理及其应用教学重点，难点：独立同分布的中心极限定理，李亚普诺夫