新广东高考数学理科步步高二轮复习热点突破71排列组合与二项式定理(含答案解析)

第1讲排列、组合与二项式定理热点一两个计数原理例1(1)将1,2,3，，9这列从上到下分别依次增大．当

9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一3,4固定在图中的地址时，填写空格的方法为()A．6种B．12种C．18种D．24种(2)若是一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为()A．240B．204C．729D．920思想启迪(1)先确定数字1,2,9的地址，再分步填写空格；(2)按中间数进行分类．答案(1)A(2)A剖析(1)∵每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1,2,9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6,7,8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有2×3＝6种结果，应选A.(2)分8类，中间间数为2时，有1×2＝2种；中间间数为3时，有2×3＝6种；中间间数为4时，有3×4＝12种；中间间数为5时，有4×5＝20种；中间间数为6时，有5×6＝30种；中间间数为7时，有6×7＝42种；中间间数为8时，有7×8＝56种；中间间数为9时，有8×9＝72种．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240种．思想升华(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步中间又可能用到分类加法计数原理．对于复杂的两个原理综合使用的问题，可合适列出表示图或表格，使问题形象化、直观化．(1)(2014大·纲全国)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同样的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种(2)已知函数f(x)＝ln(x2＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为()A．8B．9C．26D．27答案(1)C(2)B剖析(1)由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C62C51＝75(种)．(2)因为值域为{0,1,2}即ln(x2＋1)＝0?x＝0，ln(x2＋1)＝1?x＝±e－1，ln(x2＋1)＝2?x＝±e2－1，所以定义域取值即在这5个元素中采用，①当定义域中有3个元素时，C11C21C21＝4，②当定义域中有4个元素时，C11C43＝4，③当定义域中有5个元素时，有一种情况．所以共有4＋4＋1＝9(个)这样的函数．热点二排列与组合例2(1)(2014·庆重)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出序次，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72B．120C．144D．168数列{an}共有12项，其中a1＝0，a5＝2，a12＝5，且|ak＋1－ak|＝1，k＝1,2,3，，11，则满足这种条件的不同样数列的个数为()A．84B．168C．76D．152思想启迪(1)将不能够相邻的节目插空安排；(2)考虑数列中项的增减变化次数．答案(1)B(2)A剖析(1)先安排小品节目和相声节目，尔后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的序次有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对212于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A2C3A3＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A43＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．(2)∵|ak＋1－ak|＝1，k＝1,2,3，，11，∴前一项总比后一项大1或小1，a1到a5中4个变化必然有3升1减，a5到a12中必然有5升2减，是组合的问题，∴C41×C72＝84.思想升华解排列、组合的应用题，平时有以下路子：以元素为主体，即先满足特别元素的要求，再考虑其他元素．以地址为主体，即先满足特别地址的要求，再考虑其他地址．先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不吻合要求的排列或组合数．(1)在航天员进行的一项太空实验中，先后要推行6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C推行时必定相邻，则实验序次的编排方法共有()A．24种B．48种C．96种D．144种(2)从0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是________(用数字作答)．答案(1)C(2)60剖析(1)第一安排A有2种方法；第二步在节余的5个地址采用相邻的两个排B，C，有4种排法，而B，C地址互换有2种方法；第三步安排节余的3个程序，有A33种排法，共有2×4×2×A33＝96(种)．(2)0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，且为偶数，有两种情况：一是当0在个位的四位偶数有A43＝24(个)；二是当0不在个位时，先从2,4中选一个放在个位，再从余下的三个数选一个放在首位，应有A12A13A23＝36(个)，故共有四位偶数60个．热点三二项式定理例3(1)在(a＋x)7张开式中x4的系数为35，则实数a的值为________．(2)若是(1＋x＋x2)(x－a)5(a为实常数)的张开式中所有项的系数和为0，则张开式中含x4项的系数为________．思想启迪(1)利用通项公式求常数项；(2)可用赋值法求二项张开式所有项的系数和．答案(1)1(2)－5剖析r7－rr443(1)通项公式：Tr＋1＝C7ax，所以张开式中x的系数为C7a＝35，解得a＝1.25的张开式中所有项的系数和为25＝0，∴a＝(2)∵令x＝1得(1＋x＋x)(x－a)(1＋1＋1)(1－a)25253434－(x－1)4，1，∴(1＋x＋x)(x－a)＝(1＋x＋x)(x－1)＝(x－1)(x－1)＝x(x－1)其张开式中含x4项的系数为C34(－1)3－C04(－1)0＝－5.思想升华(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项张开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；②Tr＋1是张开式中的第

r＋1项，而不是第

r项；③公式中，

a，b的指数和为

n且

a，b不能够任意颠倒地址；④对二项式(a－b)n张开式的通项公式要特别注意符号问题．在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，典方法．(1)(2014·湖北)若二项式(2x＋a)7的张开式中xA．25B.42C．1D.4

是办理组合数问题、系数问题的经184，则实数a等于()x3的系数是(2)(2014浙·江)在(1＋x)6(1＋y)4的张开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)等于()A．45B．60C．120D．210答案(1)C(2)C剖析(1)二项式(2x＋a)7的张开式的通项公式为xTr＋1＝Cr7－rarr7－rr7－2r，7(2x)·()＝C72axx令7－2r＝－3，得r＝5.1525＝84，解得a＝1.故张开式中x3的系数是C72an因为f(m，n)＝C6C4，所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)C36C04＋C26C14＋C16C24＋C06C34＝120.1．排列、组合应用题的解题策略在解决详尽问题时，第一必定弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”也许“分步”的详尽标准是什么．区分某一问题是排列问题还是组合问题，要点看选出的元素与序次可否有关．若互换某两个元素的地址对结果产生影响，则是排列问题；若互换任意两个元素的地址对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与采用元素的序次有关，组合问题与采用元素的序次没关．(3)排列、组合综合应用问题的常见解法：①特别元素(特别地址)优先安排法；②合理分类与正确分步；③排列、组合混杂问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小企业”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转变法．2．二项式定理是一个恒等式，对待恒等式平时有两种思路一是利用恒等定理

(两个多项式恒等，则对应项系数相等

)；二是赋值．这两种思路相结合可以使得二项张开式的系数问题瓜熟蒂落．别的，通项公式主要用于求二项式的指数，

求满足条件