2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛

精选优质文档-----倾情为你奉上精选优质文档-----倾情为你奉上专心---专注---专业专心---专注---专业精选优质文档-----倾情为你奉上专心---专注---专业2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案及评分标准讲明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设7分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题〔此题总分值56分，每题7分。〕1．复数满足，那么0．2．设，，那么的值域为．3．设等差数列的前n项和为，假设，那么中最大的是．4．O是锐角△ABC的外心，，假设，且，那么．5．正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分不是棱A1D1和CC1的中点．那么四面体的体积为．6．设，且，，那么符合条件的共有1600组．〔注：顺序不同视为不同组．〕7．设，那么的最小值为．8．设p是给定的正偶数，集合的所有元素的和是．二、解答题〔此题总分值64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。〕9．设数列满足，，其中．〔1〕证明：对一切，有；〔2〕证明：．证明〔1〕在关系式中，令，可得；令，可得①令，可得②由①得，，，，代入②，化简得．------------------------------------------7分〔2〕由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此．因此．因为，因此．------------------------------------------14分10．求不定方程的正整数解的组数．解令，，，那么．先考虑不定方程满足的正整数解．，，．----------------------------------5分当时，有，此方程满足的正整数解为．当时，有，此方程满足的正整数解为．因此不定方程满足的正整数解为．------------------------------------------10分又方程的正整数解的组数为，方程的正整数解的组数为，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为．------------------------------------------15分11．抛物线C：与直线l：没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．(1)证明：直线AB恒过定点Q；(2)假设点P与〔1〕中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：．证明(1)设，那么．由得，因此．因此抛物线C在A点处的切线方程为，即．设，那么有．设，同理有．因此AB的方程为，即，因此直线AB恒过定点．------------------------------------------7分(2)PQ的方程为，与抛物线方程联立，消去y，得．设，，那么①要证，只需证明，即②由①知，②式左边=．故②式成立，从而结论成立．------------------------------------------15分12．设为正实数，且．证明：．证明因为，要证原不等式成立，等价于证明=1\*GB3①----------------5分事实上，=2\*GB3②----------------10分由柯西不等式知=3\*GB3③----------------15分又由知=4\*G