高一数学人教B版必修1课后强化作业：213 第1课时《函数的单调性的定义》

第二章2.1.3第一、选择题1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是()A．y＝eq\f(1,x2) B．y＝x3C．y＝x0 D．y＝x2[答案]D[解析]∵函数y＝x2的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，∴函数y＝x2在(－∞，0)上为减函数．2．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是RA．a>eq\f(1,2) B．a≤eq\f(1,2)C．a>－eq\f(1,2) D．a<eq\f(1,2)[答案]A[解析]由题意2a－1>0，∴a>eq\f(1,2).3．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是()A.eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D.eq\f(x1－x2,fx1－fx2)>0[答案]C[解析]由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B、D正确；对于C，若x1<x2时，可能有x1＝a或x2＝b，即f(x1)＝f(a)或f(x2)＝f(b)，故C不成立．4．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，－2]上是减函数，则f(1)等于()A．－7 B．1C．17 D．25[答案]D[解析]由题意知eq\f(m,8)＝－2，∴m＝－16.∴f(x)＝4x2＋16x＋5，∴f(1)＝25.5．若函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上()A．必是增函数 B．必是减函数C．是增函数或是减函数 D．无法确定单调性[答案]D[解析]函数f(x)在两个单调增区间的并区间上并不一定是增函数．如图所示．6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则()A．f(1)>f(2) B．f(－a)<f(a)C．f(0)<f(a) D．f(1)<f(2)[答案]A[解析]∵f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，∴f(1)>f(2)，故选A.二、填空题7．已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且m＝f(eq\f(3,4))，n＝f(a2－a＋1)，则m与n的大小关系是____________．[答案]m≥n[解析]a2－a＋1＝(a－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(eq\f(3,4))≥f(a2－a＋1)，∴m≥n.8．已知函数f(x)的图象如图．则f(x)的单调减区间为________，最大值为________，最小值为________．[答案][－3,1]2－3[解析]由图可知f(x)的单调减区间为[－3,1]，最大值为2，最小值为－3.三、解答题9．(2013～2014学年度湖南怀化市怀化三中高一上学期期中测试)证明函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，并求函数f(x)在区间[2,4]上的值域．[证明]设任意x1、x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，∴x2－x1>0.f(x2)－f(x1)＝x2＋eq\f(1,x2)－x1－eq\f(1,x1)＝x2－x1＋eq\f(x1－x2,x1x2)＝(x2－x1)(1－eq\f(1,x1x2))，∵x1≥1，x2>1，∴x1x2>1，∴0<eq\f(1,x1x2)<1，∴1－eq\f(1,x1x2)>0，∴(x2－x1)(1－eq\f(1,x1x2))>0，∴f(x2)>f(x1)．即函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数．∴函数f(x)在区间[2,4]上的最小值为f(2)＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)，最大值为f(4)＝4＋eq\f(1,4)＝eq\f(17,4)，故函数f(x)在区间[2,4]上的值域为[eq\f(5,2)，eq\f(17,4)].一、选择题1．在(－∞，0)上是减函数的是()A．y＝1－x2 B．y＝－eq\f(1,x)C．y＝x－1 D．y＝eq\f(4,x)[答案]D[解析]函数y＝1－x2，y＝－eq\f(1,x)，y＝x－1在区间(－∞，0)上是增函数，函数y＝eq\f(4,x)在(－∞，0)上为减函数，故选D.2．已知函数f(x)＝8＋2x－x2，那么()A．f(x)在(－∞，0)上是减函数B．f(x)是减函数C．f(x)是增函数D．f(x)在(－∞，0)上是增函数[答案]D[解析]函数f(x)＝8＋2x－x2的图象为开口向下，对称轴是x＝1的抛物线，∴函数f(x)在(－∞，0)上是增函数．3．函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上是()A．递减 B．递增C．先减后增 D．先增后减[答案]C[解析]y＝|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2x≥－2,－x－2x<－2))，作出y＝|x＋2|的图象，易知在[－3，－2]上为减函数，在[－2,0]上为增函数．4．已知f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a、b∈R，且a＋b≤0，则有()A．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)C．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)D．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)[答案]A[解析]∵f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a、b∈R，且a＋b≤0，∴a≤－b，b≤－a，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．二、填空题5．若f(x)＝x2＋2mx＋2在(－∞，1]上是减函数，则实数m的取值范围为________．[答案]m≤－1[解析]∵函数f(x)＝x2＋2mx＋2的对称轴为x＝－m，∴要使函数在(－∞，1]上是减函数，应满足－m≥1，∴m≤－1.6．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间为________．[答案](－∞，－eq\f(1,2)][解析]函数y＝x2＋x＋1的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－eq\f(1,2)，∴函数的递减区间为(－∞，－eq\f(1,2)]．三、解答题7．已知函数f(x)＝eq\f(2x－1,x＋1).(1)求f(x)的定义域；(2)证明函数f(x)＝eq\f(2x－1,x＋1)在[1，＋∞)上是增函数．[解析](1)由题意知x＋1≠0，即x≠－1.∴f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．(2)任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝eq\f(2x2－1,x2＋1)－eq\f(2x1－1,x1＋1)＝eq\f(2x2－1x1＋1－2x1－1x2＋1,x2＋1x1＋1)＝eq\f(3x2－x1,x2＋1x1＋1).∵x1<x2，∴x2－x1>0.又∵x1，x2∈[1，＋∞)，∴x2＋1>0，x1＋1>0.∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)．∴函数f(x)＝eq\f(2x－1,x＋1)在[1，＋∞)上是增函数．8．设函数f(x)是R上的单调增函数，F(x)＝f(x)－f(2－x)．求证：函数F(x)在R上是单调增函数．[证明]任取x1、x2∈R，且x1<x2，∵函数f(x)是R上的单调增函数，∴f(x1)<f(x2)，f(2－x1)>f(2－x2)，即f(x1)－f(x2)<0，f(2－x1)－f(2－x2)>0，∴F(x1)－F(x2)＝[f(x1)－f(2－x1)]－[f(x2)－f(2－x2)]＝[f(x1)－f(x2)]＋[f(2－x2)－f(2－x1)]<0，即F(x1)－F(x2)<0，所以F(x1)<F(x2)．∴函数F(x)在R上是单调增函数．9．讨论函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)(a≠eq\f(1,2))在(－2，＋∞)上的单调性．[解析]设x1，x2为(－2，＋∞)内的任意两个实数，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝eq\f(ax2＋1,x2＋2)－eq\f(ax1＋1,x1＋2)＝eq\f(ax2＋1x1＋2－ax1＋1x2＋2,x1＋2x2＋2)＝eq\f(2a－1x2－x1,x1＋2x2＋2).∵x1>－2，x2>－2，x1<x2，∴x1＋2>0，x2＋2>0