2023高考真题知识总结方法总结题型突破：39 圆锥曲线中的定点定值问题(学生版)

专题39圆锥曲线中的定点定值问题【高考真题】1．(2022·全国乙理)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－1))两点．(1)求E的方程；(2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．【方法总结】定点问题的常用方法(1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k)；②利用条件找到k与过定点的曲线F(x，y)＝0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．定值问题的常用方法(1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算．【题型突破】1．(2020·全国Ⅰ)已知A，B分别为椭圆E：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，eq\o(AG,\s\up6(→))·eq\o(GB,\s\up6(→))＝8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．2．已知点F(eq\r(2)，0)为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆上异于A，B的任意一点P与A，B两点连线的斜率之积为－eq\f(1,2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点(1,0)的两条弦PQ，MN相互垂直，若eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(PS,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(MT,\s\up6(→))，求证：直线ST过定点．3．(2019·北京)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．4．设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，O为坐标原点，点A(4，0)是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于|OA|，离心率为eq\f(\r(3),2)．(1)求椭圆的方程；(2)直线l：y＝kx＋t与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为M′，点N关于原点O的对称点为N′，若M′，N′满足eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OM′,\s\up6(→))＋μeq\o(ON′,\s\up6(→))(λ＋μ＝1)，求证：直线l过定点．5．已知椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b≥1)的离心率为eq\f(\r(2),2)，它的上焦点到直线bx＋2ay－eq\r(2)＝0的距离为eq\f(\r(2),3)．(1)求椭圆C的方程；(2)过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))的直线l交椭圆C于A，B两点，试探究以线段AB为直径的圆是否过定点．若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．6．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\f(1,2)，左、右焦点分别为F1，F2，点A为椭圆上一点，∠F1AF2＝60°，且S△F1AF2＝eq\r(3)．(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q．请问在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)经过点(2，－1)．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．8．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))满足|PF1|＋|PF2|＝2a，且S△PF1F2＝eq\f(3,2)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点M(4，0)的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且y1y2≠0，问在x轴上是否存在定点N，使得直线NA，NB与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求出定点N的坐标；若不存在，请说明理由．9．设椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，C为椭圆M上的点，且∠ACB＝eq\f(π,3)，S△ABC＝eq\f(\r(3),3)．(1)求椭圆M的标准方程；(2)设过椭圆M右焦点且斜率为k的动直线与椭圆M相交于E，F两点，探究在x轴上是否存在定点D，使得eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))为定值？若存在，试求出定值和点D的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，一顶点坐标为A(0，－2eq\r(2))．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知M，N为椭圆上异于A的两点，且eq\o(AM,\s\up6(→))⊥eq\o(AN,\s\up6(→))，判断直线MN是否过定点？若过定点，求出此点坐标．11．(2020·新高考山东)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，且过点A(2，1)．(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．12．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\f(1,2)，并且经过P点(0，eq\r(3))．(1)求椭圆C的方程；(2)设过点P的直线与x轴交于N点，与椭圆的另一个交点为B，点B关于x轴的对称点为B′，直线PB′交x轴于点M，求证：|OM|·|ON|为定值．13．(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆上有两点A，B，O为坐标原点，且AO⊥BO，证明存在定点M，使得M到直线AB的距离为定值，并求出定值．14．如图，已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1，F为其右焦点，直线l：y＝kx＋m(km<0)与椭圆交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，点A，B在l上，且满足|PA|＝|PF|，|QB|＝|QF|，|OA|＝|OB|(点A，P，Q，B从上到下依次排列)．(1)试用x1表示|PF|；(2)证明：坐标原点O到直线l的距离为定值．15．已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为e，点(1，e)在椭圆E上，点A(a，0)，B(0，b)，△AOB的面积为eq\f(3,2)，O为坐标原点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l交椭圆E于M，N两点，直线OM的斜率为k1，直线ON的斜率为k2，且k1k2＝－eq\f(1,9)，证明：△OMN的面积是定值，并求此定值．16．已知O为坐标原点，过点M(1，0)的直线l与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3．(1)求抛物线C的方程；(2)过点M作直线l′⊥l交抛物线C于P，Q两点，记△OAB，△OPQ的面积分别为S1，S2，证明：eq\f(1,S\o\al(2,1))＋eq\f(1,S\o\al(2,2))为定值．17．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,2)＝1(a＞eq\r(2))的离心率为eq\f(\r(2),2)，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P.(1)若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；(2)设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且AQ∥BM.求证：∠PFQ为定值．18．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,3)，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝eq\f(8,3)．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N为定值．19．设F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，满足MF1⊥MF2，已知△MF1F2的面积为1．(1)求椭圆C的方程；(2)设C的上顶点为H，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R，S两点(异于H)，求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值．2