微分方程课件

一、问题的提出1一、问题的提出122微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:

联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义3微分方程:例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导微分方程的阶:

微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.一阶微分方程高阶(n)微分方程4微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最一阶微分方程高阶微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：三、主要问题-----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.5微分方程的解:微分方程的解的分类：三、主要问题-----求方(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:

微分方程的积分曲线.通解的图象:

积分曲线族.初始条件:

用来确定任意常数的条件.6(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:77初值问题:

求微分方程满足初始条件的解的问题.8初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.8第二节可分离变量的微分方程其一般形式又如其方程可分解成为称为可分离变量的微分方程9第二节可分离变量的微分方程其一般形式又如其方程可分解成为(2)是(1)的通解10(2)是(1)的通解101111例3:一曲线通过点(2,3).他在两坐标轴间的任意切线段均被切点平分，求这曲线。12例3:一曲线通过点(2,3).他在两坐标轴间121313141415151616171718181919二.可化为齐次的方程20二.可化为齐次的方程2021212222232324242525

262627272828

叫做对应于(1)的一阶齐次线性微分方程第四节一阶线性微分方程一.线性方程叫做一阶线性微分方程29叫做对应于(1)的一阶齐次线性微分方程第四节一阶线性微分离变量后30分离变量后30将C换为X的函数v(x)利用常数变易法来求非齐次线性方程(1)的通解31将C换为X的函数v(x)利用常数变易法来求非齐次线性方程(13232二.伯努利方程33二.伯努利方程33343435353636373738383939404041414242434344444545第七节二阶常系数齐次线性微分方程46第七节二阶常系数齐次线性微分方程464747484849495050我们来试一下,51我们来试一下,51525253535454555556565757585859596060第八节二阶常系数非齐次线性微分方程61第八节二阶常系数非齐次线性微分方程6162626363646465656666676768686969707071717272737374747575767677777878

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80808181828283838484858586868787888889899090919192929393949495959696979798989999100100101101102102103103104104105105106106107107108108109109110110111111112112一、问题的提出113一、问题的提出11142微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:

联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义115微分方程:例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导微分方程的阶:

微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.一阶微分方程高阶(n)微分方程116微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最一阶微分方程高阶微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：三、主要问题-----求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.117微分方程的解:微分方程的解的分类：三、主要问题-----求方(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:

微分方程的积分曲线.通解的图象:

积分曲线族.初始条件:

用来确定任意常数的条件.118(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:1197初值问题:

求微分方程满足初始条件的解的问题.120初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.8第二节可分离变量的微分方程其一般形式又如其方程可分解成为称为可分离变量的微分方程121第二节可分离变量的微分方程其一般形式又如其方程可分解成为(2)是(1)的通解122(2)是(1)的通解1012311例3:一曲线通过点(2,3).他在两坐标轴间的任意切线段均被切点平分，求这曲线。124例3:一曲线通过点(2,3).他在两坐标轴间1212513126141271512816129171301813119二.可化为齐次的方程132二.可化为齐次的方程201332113422135231362413725

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叫做对应于(1)的一阶齐次线性微分方程第四节一阶线性微分方程一.线性方程叫做一阶线性微分方程141叫做对应于(1)的一阶齐次线性微分方程第四节一阶线性微分离变量后142分离变量后30将C换为X的函数v(x)利用常数变易法来求非齐次线性方程(1)的通解143将C换为X的函数v(x)利用常数变易法来求非齐次线性方程(114432二.伯努利方程145二.伯努利方程33146341473514836149371503815139152401534115442155431564415745第七节二阶常系数齐次线性微分方程158第七节二阶常系数齐次线性微分方程4615947160481614916250我们来试一下,163我们来试一下,51164521655316654167551685616957170581715917260第八节二阶常系数非齐次线性微分方程173第八节二阶常系数非齐次线性微分方程611746217563176641776517866179671806818169182701837118472185731867418775188761897719078

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192801938119482195831968419785198861998720088201