2025年济南历下区八年级第二学期数学期中考试试题（含答案）

-2025学年第二学期八年级期中教学质量检测数学试题（2025.4）考试时间120分钟满分150分一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.春晚主标识通过视觉元素传达出春晚的主题和寓意。下列主标识中，是中心对称图形的是（）D.2.下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A.(x+2)(x−2)=x2−4B.x2−x−2=(x+1)(x−2)C.x2−x+1=x(x−1)+1D.x2−1=(x−1)23.在平面直角坐标系中，将点E(−2,0)先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点E′，则点E′的坐标是（）A.(0,4)B.(0,−4)C.(−4,−4)D.(−4,4)4.关于平行四边形的性质，下列说法错误的是（）A.对角线互相平分B.对边平行且相等C.对角线相等D.对角相等5.若分式△a2﹣A.2a+2bB.a2+b2C.a2+2ab+b2D.(a−b)26.图1是装满了液体的高脚杯（数据如图所示），图2是用去部分液体后的高脚杯（数据如图所示），则图2中液面AB的宽度为（）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm7.如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D在边BC的延长线上且CD=1，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转60∘得到线段DE，连接AE，则DE的长为（）A.21B.32C.15D.268.我国明代《永乐大典》中记载了“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文。问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，一尺绫布和一尺罗布一共需要120文。问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为（）A.89630﹣x−120=896xB.89630﹣x+120=896xC.896x+1209.如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点C的坐标为(0,3)，点P(1,2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90∘，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，则正方形铁片连续旋转6次后，点P的坐标变为（）A.(17,1)B.(17,2)C.(20,1)D.(20,2)10.如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2，BD=4。以点C为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点E，再分别以点B，E为圆心，大于12BE的长为半径向下作弧，两弧交于点M，作直线CM交AB于点F。记BF长为x，AB长为y。当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（A.xyB.x−yC.x2+y2D.x+y二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.若分式2x2﹣12.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，要使四边形ABCD是行四边形，只需要添加一个条件是。13.若x2−kx+9是一个完全平方式，则k=。14.如图，将四边形ABCD沿射线AD的方向平移10cm得到四边形EFGH，其中∠C=90°，CD=24cm，WG=8cm，则阴影部分的面积为cm2。15.如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC=45∘，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE，BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论中正确的有。①∠A=∠BHE；②CD⊥BD；③HE=2HD；④BH2+BG2=AG2；⑤若点F是CD的中点，则CE=(2−1)BE。三、解答题（本大题共10个小题，共90分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分7分）因式分解：（1）3x2−12；（2）a2b3−4ab2+4b。17.（本小题满分7分）先化简，再求值：(3xx﹣3−xx+318.（本小题满分7分）如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF，求证：AE∥CF。19.（本小题满分8分）（1）解不等式组：2x+5≤3（x+2）①20.（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(−3,2)，B(0,4)，C(0,2)。（1）将△ABC绕点C旋转180∘得到△A1B1C，画出△A1B1C；（2）平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为(1,−4)，画出平移后对应的△A2B2C2；（3）观察发现△A1B1C与△A2B2C2关于某点成中心对称，则该点的坐标为______。21.（本小题满分9分）请根据材料中的信息，解决相关问题：背景知识为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度。相关素材素材一：用电高峰时段（简称峰时）为7：00-23：00，用电低谷时段（简称谷时）为23：00-次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度；素材二：小明家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等；素材三：李老师家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的充电量为180度，电费不超过64元。问题解决问题1：求该市峰时电价与谷时电价；问题2：三月份李老师家的谷时用电量至少为多少度？22.（本小题满分10分）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E为边AD上一点，且AB=AE，连接BE。（1）如图1，求证：BE平分∠ABC；（2）如图2，过点A作AF⊥BE，垂足为F，延长AF，交DC的延长线于点G。若DE=2，求CG的长。图1图223.（本小题满分10分）【阅读材料】类比分数学分式将分式拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题。通过阅读上述材料，解决下列问题：【理解知识】（1）假分式2x+3x【掌握知识】（2）已知x是正整数，当分式x2【应用知识】（3）已知M=abcd是一个四位数，且为正数，由M的前两位数字所组成的两位数记为ab，由M的后两位数字组成的两位数记为cd，若ab比cd小5，且ab的平方能被cd整除，求这个四位数。24.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(−2,5)，B(−2,0)，将线段AB向右平移t个单位长度(t>0)，再向下平移1个单位长度，得到线段CD，其中点A与点C是对应点，点B与点D是对应点，连接AC，BD。（1）判断四边形ABDC的形状，并说明理由；（2）分别连接AD，BC，交点为M，①如图，连接OM，当OM⊥AD时，求t的值；②作与△ABM关于点O成中心对称的△A1B1M1，当点D位于△A1B1M1的内部或边上时，直接写出t的取值范围。25.（本小题满分12分）（一）类比探究已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90∘，点D为平面内一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90∘得到线段AE，连接CE。（1）如图1，当点D在斜边BC上时，线段BD与线段CE的数量关系是______，BD与CE的位置关系是______；（2）如图2，当点D为△ABC的边AB左侧一点时，延长CE，BD交于点M，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；（二）学以致用（3）如图3，已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90∘，点D为△ABC的边BC下方一点，连接AD，BD，CD，若∠BDC=90°，AD=42，求△BDC面积的最大值。答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.春晚主标识通过视觉元素传达出春晚的主题和寓意。下列主标识中，是中心对称图形的是（D）D.2.下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（B）A.(x+2)(x−2)=x2−4B.x2−x−2=(x+1)(x−2)C.x2−x+1=x(x−1)+1D.x2−1=(x−1)23.在平面直角坐标系中，将点E(−2,0)先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点E′，则点E′的坐标是（D）A.(0,4)B.(0,−4)C.(−4,−4)D.(−4,4)4.关于平行四边形的性质，下列说法错误的是（C）A.对角线互相平分B.对边平行且相等C.对角线相等D.对角相等5.若分式△a2﹣A.2a+2bB.a2+b2C.a2+2ab+b2D.(a−b)26.图1是装满了液体的高脚杯（数据如图所示），图2是用去部分液体后的高脚杯（数据如图所示），则图2中液面AB的宽度为（C）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm7.如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D在边BC的延长线上且CD=1，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转60∘得到线段DE，连接AE，则DE的长为（A）A.21B.32C.15D.268.我国明代《永乐大典》中记载了“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文。问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，一尺绫布和一尺罗布一共需要120文。问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为（D）A.89630﹣x−120=896xB.89630﹣x+120=896xC.896x+1209.如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点C的坐标为(0,3)，点P(1,2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90∘，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，则正方形铁片连续旋转6次后，点P的坐标变为（C）A.(17,1)B.(17,2)C.(20,1)D.(20,2)10.如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2，BD=4。以点C为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点E，再分别以点B，E为圆心，大于12BE的长为半径向下作弧，两弧交于点M，作直线CM交AB于点F。记BF长为x，AB长为y。当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（AA.xyB.x−yC.x2+y2D.x+y二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.若分式2x2﹣12.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，要使四边形ABCD是行四边形，只需要添加一个条件是OB=OD。13.若x2−kx+9是一个完全平方式，则k=±6。14.如图，将四边形ABCD沿射线AD的方向平移10cm得到四边形EFGH，其中∠C=90°，CD=24cm，WG=8cm，则阴影部分的面积为168cm2。15.如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC=45∘，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE，BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论中正确的有①④⑤。①∠A=∠BHE；②CD⊥BD；③HE=2HD；④BH2+BG2=AG2；⑤若点F是CD的中点，则CE=(2−1)BE。三、解答题（本大题共10个小题，共90分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分7分）因式分解：（1）3x2−12；（2）a2b3−4ab2+4b。=3（x2﹣4）=b（a2b2﹣4ab+4）=3（x+2）（x﹣2）=b（ab﹣2）217.（本小题满分7分）先化简，再求值：(3xx﹣3−xx+3解原式=2x2=2x+12将x=1代入得1418.（本小题满分7分）如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF，求证：AE∥CF。证明∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AB∥CD∴∠ABE=∠CDF∵BE=DF∴△ABE≌△CDF∴∠AEB=∠CFD∴180°﹣∠AEB=180°﹣∠CFD∴∠AEF=∠CFE∴AE∥CF19.（本小题满分8分）（1）解不等式组：2x+5≤3（x+2）①（1）解不等式①得x≥﹣1解不等式②得x＞3不等式组的解集x＞3（2）1﹣3（x﹣2）=x﹣1x=2经检验x=2是原方程的增根，此方程无解。20.（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(−3,2)，B(0,4)，C(0,2)。（1）将△ABC绕点C旋转180∘得到△A1B1C，画出△A1B1C；（2）平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为(1,−4)，画出平移后对应的△A2B2C2；（3）观察发现△A1B1C与△A2B2C2关于某点成中心对称，则该点的坐标为______。（1）（2）略（3）（2，﹣1）21.（本小题满分9分）请根据材料中的信息，解决相关问题：背景知识为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度。相关素材素材一：用电高峰时段（简称峰时）为7：00-23：00，用电低谷时段（简称谷时）为23：00-次日7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度；素材二：小明家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等；素材三：李老师家的电动汽车用家用充电桩充电，三月份的充电量为180度，电费不超过64元。问题解决问题1：求该市峰时电价与谷时电价；问题2：三月份李老师家的谷时用电量至少为多少度？问题1设谷时电价为x元／度，则峰时电价为（x+0.2）元／度。根据题意，峰时用电量与谷时用电量相等：50x+0.2=解得x=0.3，故峰时电价为0.5元／度，谷时电价为0.3元／度。答：峰时电价为0.5元／度，谷时电价为0.3元／度。问题2设谷时用电量为y度，则峰时用电量为（180-y）度。总电费不超过64元：0.5(180-y)+0.3y≤64解得y≥130。答：三月份李老师家的谷时用电量至少为130度。22.（本小题满分10分）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E为边AD上一点，且AB=AE，连接BE。（1）如图1，求证：BE平分∠ABC；（2）如图2，过点A作AF⊥BE，垂足为F，延长AF，交DC的延长线于点G。若DE=2，求CG的长。图1图2（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC∴□ABCD是平行四边形。∵AB=AE∴∠ABE=∠AEB。又AD∥BC∴∠AEB=∠EBC∴∠ABE=∠EBC即BE平分∠ABC。（2）∵AB=AE，AF⊥BE∴BF=EF∵AB∥CD∴∠ABF=∠CGF，∠BAF=∠G,△ABF≌△GCF(AAS)∴AB=CG∵DE=2∴AD−AE=2，又AB=AE∴CG=223.（本小题满分10分）【阅读材料】类比分数学分式将分式拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题。通过阅读上述材料，解决下列问题：【理解知识】（1）假分式2x+3x【掌握知识】（2）已知x是正整数，当分式x2【应用知识】（3）已知M=abcd是一个四位数，且为正数，由M的前两位数字所组成的两位数记为ab，由M的后两位数字组成的两位数记为cd，若ab比cd小5，且ab的平方能被cd整除，求这个四位数。（1）5x（2）x2+∴x−1=±1或±11∴x=0或2或12或﹣