陕西省咸阳市高新一中2024−2025学年高一下学期第五次质量检测（3月） 数学试卷（含解析）

陕西省咸阳市高新一中2024−2025学年高一下学期第五次质量检测（3月）数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知向量，若，则（

）A． B．20 C． D．2．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（

）A． B．C． D．3．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和4．已知向量，，，若与垂直，则实数λ的值为（

）A． B． C． D．5．正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．56．在中，已知，，则（

）A． B． C．或 D．或7．已知的三内角所对的边分别是，设向量，若，则的形状是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形8．一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里二、多选题（本大题共3小题）9．已知向量，则（

）A． B．向量的夹角为C． D．在上的投影向量是10．的内角的对边分别为，则下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则是钝角三角形C．若，则为等腰三角形D．若，则符合条件的有两个11．已知两个向量和满足，，与的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数可能的取值为（

）A． B． C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知向量，，若，则13．已知向量满足，则．14．已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的.（填：内心，外心，垂心，重心）四、解答题（本大题共5小题）15．已知向量与的夹角为60°，＝1，．(1)求及；(2)求.16．在中，已知，，，解此三角形．17．在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．18．在中，角的对边分别是，其外接圆的半径是1，且向量，互相垂直.(1)求角的大小；(2)求面积的最大值.19．如图，在中，为边上一点，且．(1)设，求实数、的值；(2)若，求的值；(3)设点满足，求证：．

参考答案1．【答案】A【详解】，.故选A．2．【答案】B【详解】由于是边上的中点，则..故选B.3．【答案】B【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案.【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线，和不共线，故A能构成基底，和共线，故B不能构成基底，和不共线，故C能构成基底，根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底，故选B.4．【答案】D【详解】因为，，所以，因为与垂直，所以，解得，故选D．5．【答案】B【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得，在中，由余弦定理可得，所以.故选B.6．【答案】C【详解】设，则，由正弦定理得，，解得，因为，所以，则或，故选C．7．【答案】D【详解】由题意，向量，且，则，故，整理得到，故，故或，即或，故的形状为等腰或直角三角形.故选D.8．【答案】A【详解】依题意，如图，在中，，则，由正弦定理得，即，因此（海里），所以两点间的距离是海里．故选A．9．【答案】BD【详解】对于A，因为，所以，所以，故A错误；对于B，由A可得，又，故，即向量的夹角为.故B正确；对于C，，所以，故C错误；对于D，在上的投影向量是，故D正确.故选BD.10．【答案】ABD【详解】对于A，当时，，根据正弦定理得，整理得，故A正确；对于B，因为，由正弦定理得，所以，因为，所以，即为钝角，所以是钝角三角形，故B正确；对于C，由，由正弦定理可得，即，所以或，所以或，所以是直角三角形或等腰三角形，故C错误；对于D，由正弦定理得，即，因为，所以，为锐角，所以存在满足条件的有两个，D正确.故选ABD．11．【答案】AD【详解】解：因为，，与的夹角为，所以，因为向量与向量的夹角为钝角，所以，且不能共线，所以，解得，当向量与向量共线时，有，即，解得，所以实数的取值范围，所以实数可能的取值为A，D故选AD．12．【答案】【详解】由于，所以，解得.13．【答案】【详解】由，得，有，则．14．【答案】外心【详解】点为所在平面内一点，若，设为的中点，，则有，所以，所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心.15．【答案】(1)2，1；(2).【详解】（1）由题设，则（2）由，所以.16．【答案】；【解析】根据正弦定理解出，从而得到角或．再利用三角形内角和定理算出角的大小，结合分类讨论可得是直角三角形或以为顶角的等腰三角形，进而算出边的大小，得到答案．【详解】解：在中，，，，根据正弦定理，可得．结合为三角形的内角，且，可得或．①当时，，是以为直角顶点的直角三角形，可得；②当时，，中，可得．综上所述，可得、、或、、．17．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为.18．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为互相垂直，所以.将（为外接圆半径）代入上式，得，即，由余