高等代数-4.2矩阵运算_第1页
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文档简介

三、数量乘法一、加法二、乘法四、转置§4.2矩阵的运算1．定义设则矩阵称为矩阵A与B的和，记作．即一、加法说明例如只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.(1)交换律(2)结合律(3)

(4)

定义2．性质3．减法4．性质设则矩阵其中

称为与的积，记为．

1．定义二、乘法①乘积

有意义要求

A的列数＝

的行数.②乘积

中第行第列的元素由的第行乘的第列相应元素相加得到．注意如不存在.例1

线性方程组令则（1）可看成矩阵方程例2设例3故解例4．而无意义．例5．例6．注意③未必．若，称A与B可交换．①一般地，即且时，有可能．②未必有或．2．矩阵乘法的运算规律(5)

(结合律)（分配律)证：1）设令其中

的第

i行第

l

列元素为

的第

i行第

l

列元素为

结合律得证.设为

级方阵．定义称为的次幂.3．矩阵的方幂定义个(3)一般地,性质解:例．设求由此归纳出用数学归纳法证明之.当时，显然成立.假设时成立，则时，故对于任意都有称为矩阵

A与数

k的数量乘积．记作：三、数量乘法1．定义设则矩阵即2．性质注:矩阵的加法与数量乘法合起来,统称为矩阵的

线性运算.(6)若

A为

n

级方阵，(数量矩阵与任意矩阵可交换)设的转置矩阵是指矩阵记作或．

四、转置1．定义2．性质(5)若为方阵，则（3）证：设中

的元素为

从而中的元素为

中的元素为

又的第

i行元素为的第

j列元素为例9已知解法1解法2设

n

级方阵(1)若满足即3．对称矩阵反对称矩阵定义则称

A为对称矩阵；(2)若满足即则称

A为反对称矩阵.性质(2)对称，对称

；

反对称，反对称．(1)

对称对称

;反对称反对称．(3)奇数级反对称矩阵的行列式等于零．为奇数时，

i)对称，积对称吗?

想一想ii)反对称，积反对称吗?

皆为

n

级对称矩阵，证明：例10

已知对称证：若AB对称，则有反过来，若AB=BA，则有所以AB对称.例12

设E为

n

单位

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