北师大版高中数学必修425《从力做功到向量数量积》教案

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从力做的功到向量的数目积（第一课时）

●讲课目的

1．经过实例，正确理解平面向量的数目积的看法，可以运用这一看法求两个向量的数

量积，并能依据条件逆用等式求向量的夹角；

2．掌握平面向量的数目积的5个重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；

3．经过平面向量的数目积的重要性质猜想与证明，培育学生的研究精神和慎重的科学

态度以及实质着手能力；

4．经过平面向量的数目积的看法，几何意义，性质的应用，培育学生的应妄图识.

●讲课要点

平面向量的数目积看法、性质及其应用

●讲课难点

平面向量的数目积的看法，平面向量的数目积的重要性质的理解

●讲课方法

启迪指引式

启迪学生在理解力的做功运算的基础上，逐渐理解夹角、射影及向量的数目积等看法，

并掌握向量的5个重要性质。

●教具准备

多媒体辅助讲课

●讲课过程

讲课环节讲课程序讲课假想

创办情境

新课引入

探

究

问

题

经过前面的学习，我们知道两个向量可以进行加减法运创办问题情境，激发算，两个向量之间能进行乘法运算吗？找找物理学中有学生的学习欲念和要没有两个向量之间的有关乘法运算？求。在物理学中，力F对物体做的功为W|F||s|cos，经过对力做功的剖析功W可以看作是向量F、s的某种运算有关，而这个运引出两个向量的夹算结果的正负与这两个向量的夹角有关。从而引出两个角，过渡比较自然。向量的夹角的看法。1、给出两个向量的夹角的看法，并让学生经过观察发现经过发问，让学生在两个向量的起点时，有向线段所夹的角才为两个向量的思虑问题的过程中，夹角。并让学生议论两个向量的夹角的范围不要忽视对特其余情0180，要修业生解说为何在这个范围。进一况的议论。培育学生步发问学生，假如夹角0、90及180时，两向量慎重的学习态度。的地点关系如何？

师

生

互

动

2、练习：在ABC中已知A=45°，B=50°，C=85°

求以下向量的夹角：

1）AB与AC（2）AB与BC（3）AC与BC的夹角。

3、（1）射影的看法

bcos叫作向量b在a方向上的射影。

并发问：射影是向量还是数目？

给出以下六个图形，让学生指出b在a方向上的射

影，并判断其正负。

BBB

bb

OB1aAB1OaAO(B1)AaOABBOA

及时牢固所学知识，使学生能正确理解两

个向量所成的角的看法。

由于射影是新看法，

所以直接给出射影的

看法，此后经过发问及练习，帮助学生理解射影是一个数目而不是向量，其正负由

这两个向量的夹角来确立

其余，经过对特其余

状况的议论，养学生4、两向量数量积的定义：慎重的学习态度。a与b是非零向量,ababcos，规定:0a0。提示学生注意：ab不可以写成ab或ab的形式。发问学生：两个向量的和与差是向量还是数目？向量的直接给出向理数目积数目积呢？假如数目，其正负如何确立？的定义，经过发问，探究当为锐角时，ababcos>0比较向量和与差的运问当为钝角时，ababcos<0算，理解向量的数目题当90时，ababcos=0积是数目而不是向量，其和由向量的夹当0时，abab角确立。师当180时，abab生

（2）两个向量数目积的几何意义：b与a的数目积等于a互

动的长度a与b在a的方向上的投影bcos的乘积或b的长度b与a在b的方向上的投影acos学习了投影的看法及（3）向量数目积的物理意义：力F与其作用下物体位移及与力对物体做功的s的数目积F?s比较，向量数目积的5、向量数目积的性质几何意义与物理意义练习二，请完成以下练习，并经过观察，看看自己能就比较简单理解了。否发现向量数目积的性质。（1）已知a8，e为单位向量，当它们的夹角为时，求a在e方向上的投影及ae、ea激励学生勇敢猜想，3性质为：表达自己的看法和见（2）已知a2，b3，a与b的交角为90，解，培育学生的研究则ab精神和慎重的科学态度以及实质着手能

性质为：

（3）若a1，b3，a、b共线，则ab

性质为：

（4）已知m3，n4，且mn6，则m与n的

夹角为

性质为：

力。

探

究

所以，平面向量数目积的5个性质为：

问(1)e是单位向量,aeeaacos题*(2)90abab0(3)a//babab*特别地:aaa2a2师或a生*4cosabab互动(5)abab(当且仅当a//b时等号成立)

6、演练反响：判断以下各题能否正确。

(1)若a0,则对任素来量b,有ab0

性质总结概括，让学生特别注意打*的性质，由于在后边的学

习中，这几个性质用

的好多。

(2)a0,ab0,则b0

(3)a0,abbc,则ac

(4)ababa//b

7、教师指引学生从知识、思想方法和研究问题的方法等

方面对本节课所学知识进行总结：

反省概括

这几道题是对数目积公式的进一步正确理解。

依据元认知理论，这

部分先由学生表达，

①平面向量的数目积及其性质；教师进行增补整理，

②理解数目积的运算是不一样样于实数运算的一种新的一方面让学生再次回

运算，注意它们的差别；

③主要题型有：直接求数目积、求向量的模、求两个向量的夹角、判断两向量能否垂直及三角形的形状等。

④意会分类议论、数形联合的思想。

一、课后作业：

1、课本P108习题2-5，1（1）3、4、5

2、已知a2sin15,b4cos15，p和q的夹角

布

是30，则ab=置作二、课后议论

业平面向量数目积，是两个向量之间的一种乘法运算，

它与两个实数之间的乘法运算能否相同满足交换律、分配律、联合律呢？能否给出你的结论的证明？

顾本节课的学习过程，另一方面更是对研究过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思想的反省，可为学生此后解决问题供给经验和教训。

课本习题中的第（11）题直接利用向量数目积公式，第3题利用数目积的性质（3），

第4题利用性质（4）求夹角，第5题观察夹角的看法及数目积公式，增补题是将数目积与三角函数中的二倍角公式联合观察学生，可以查漏补缺，帮助学生复习二倍角

公式。课后议论题是为了下节课学习运算律做准备。

讲课设计设计说明

（1）讲课理念——以教师为主导，学生为主体

讲课矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，所以在讲课中不停指引学生去

思虑，学会去学习。本节课有好多的看法及性质，尽可能给时机让学生参加，所以在讲课过

程中设置各样问题或习题，指引学生去观察，剖析和概括，增强学生的参加意识，教给了学

生获得悉识的门路，使学生真切成了讲课的主体，经过这样，使学生学有所思，思有所获，

产生一种成就感，提升学生的学习兴趣。

（2）讲课方法——启迪指引式

本节课的要点是向量的数目积，环绕这个讲课要点，在讲课过程中素来贯彻“教师为主导、

学生为主体、训练为主线、思想为主攻”，设置各样问题或习题，指引学生去观察，剖析和

概括，逐渐