《平行线分线段成比例》示范课教学设计【数学九年级上册北师大】

第四章图形的相似4.2平行线分线段成比例一、教学目标 1.探索并掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论.2.会用平行线分线段成比例的事实和推论解决相关的计算和证明问题.3.进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法.4.培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值.二、教学重难点重点：理解并掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论.难点：学会用平行线分线段成比例的事实和推论解决相关的计算和证明问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等.四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情境【情景引入】教师活动：展示常见的梯子图片，提出几何问题：如图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道AD，BE，CF互相平行，若AB=BC，你能猜想出什么结果呢？预设答案：DE=EF.教师活动：进一步说明这是一个常识性问题，肯定同学们的回答正确，进一步提出问题，如何对这一问题进行几何证明，引入本节课内容，说明学习本节课内容后可以解答这个问题.学生从日常生活角度思考问题，并根据经验作答，思考内在原因.通过和学生一起讨论生活中出现的问题，引发学生对平行线分线段成比例的初步思考.环节二探究新知【合作探究】教师活动：提出平行线分线段有关问题，让学生思考并通过计算完成下面几个题目：在下图中，小方格的边长均为1，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n于格点A1，A2，A3，B1，B2，B3.问题（1）：计算与，与，的值，你有什么发现？教师活动：引导学生用勾股定理计算各条线段的长度再求比值.计算步骤如下：先计算线段的长：再计算比值：你发现了什么？问题（2）：将l2向下平移到如图所示的位置，直线m，n与l2的交点分别为A2，B2，你在问题（1）中发现的结论还成立吗？如果将l2平移到其他位置呢？预设答案：同样方法先计算各线段的长，经计算第（1）小问结论仍然成立.问题（3）：在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？教师活动：播放平行线位置变化时，截取线段长度的变化及对应比值变化情况的动画.指导学生注意观察对应线段的比值是否相等.预设答案：得出结论：截得的对应线段成比例.【归纳】教师活动：对上面三个题目内容进行抽象总结，归纳出平行线分线段成比例定理的内容.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.符号语言：当l1∥l2∥l3，则有：可以对应记忆为【拓展】教师活动：讲解说明定理的内容，强调定理涉及的图形情况有多种，展示适用的图形情况：定理适用的几种基本图形【做一做】如图1，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3(如图2），图2中有哪些成比例线段？教师活动：提示两组平行线所夹的图形为平行四边形，平行四边形的对边对应相等.预设答案：依题意知，四边形A1B1B2C2、A1B1B3C3、C2B2B3C3均为平行四边形.故有：A1C2=B1B2、A1C3=B1B3、C2C3=B2B3，则：【延伸】教师活动：将图2中的三角形标注出来并抽离，提出问题：将题目中的三角形单独拿出来，它反映了什么样的几何问题？预设答案：【归纳】教师活动：对上面三角形中涉及的几何内容进行归纳总结，给出平行线分线段成比例定理的推论.平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.符号语言：△ABC中，MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N，则有：【拓展】教师活动：提出问题：平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得的对应线段成比例吗？将问题转换成几何问题展示：如图，已知△ABC，MN∥BC，分别与△ABC的两边BA、CA的延长线于点M、N，求证：提示：做出辅助线，使用平行线分线段成比例定理.预设答案：证明：过A点做MN的平行线l，由平行线分线段成比例定理可得：【归纳】教师活动：对上面三角形中涉及的几何内容进行归纳总结，给出平行线分线段成比例定理的推论的第二种形式.平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交，截得的对应线段成比例.符号语言：MN∥BC，分别与△ABC的两边BA、CA的延长线于点M、N，则有：学生尝试先通过勾股定理计算出各条线段的长度，再进一步计算比值.利用与问题（1）相同的计算方法解决问题（2）.尝试通过问题（1）、（2）的结果总结归纳出相同的结论.思考问题（3），心里预设答案，认真观察老师演示的平行线位置变化时，截取的对应线段长度的变化情况，观察对应线段的比值是否相等.归纳总结，并理解记忆平行线分线段成比例定理的内容.理解“对应线段”的概念，通过比例式中线段的方位记忆定理.了解定理可以使用的几种基本图形，明确“对应线段”的含义.通过平行四边形对应边相等的性质，转化求解对应线段的比例关系.通过上面题目的求解，直接在三角形中找到对应的比例关系通过图形理解记忆平行线段分线段成比例定理推论的内容.参考上面推论的证明方式，思考并尝试完成这一问题的解答证明.借助图形理解记忆平行线分线段成比例推论的另外一种形式，注意两种不同情况下对应线段的变化.引导学生借助方格纸这一工具，通过观察、计算，由特殊到一般地逐步归纳、猜想，进而明确“平行线分线段成比例”的基本事实.问题（1）和问题（2）是两种特殊情况：平行线与两条直线的交点都在格点上，这样便于通过计算得出结论.问题(3）是更一般化的设置，学生无法通过计算得出结论，但可以通过上面的特殊情况大胆归纳、猜测.教师再通过计算工具的演示佐证结果的正确性.引导学生进一步认识到：归纳需要更多的特殊情况作为基础.帮助学生通过图形中线段的对应位置记忆定理.理解对应线段的含义，准确记忆定理内容，并了解定理可使用的不同情况.通过做平行线构造三角形，将平行线分线段成比例的基本事实特殊化，从而得到它的一个推论..这个推论是后面证明相似三角形判定定理的基础.对前面平行线分线段成比例定理使用情况的进一步拓展延伸，巩固定理内容，并培养学生举一反三的能力.培养学生思考问题的全面性和严谨性.环节三应用新知【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例：如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.（1）如果AE=7，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？（2）如果AB=10，AE=6，AF=5.那么FC的长是多少？教师分析：依题意知，EF∥BC，可以使用平行线分线段成比例定理的推论:（1）已知AE、EB、FC，直接套用比例关系式可求出AF的长.（2）已知AB、AE、AF，可先求出AC的长，再由AC与AF的差求出FC.展示完整解题过程：解：（1）∵EF//BC，∴∵AE=7，EB=5，FC=4，∴（2）∵EF//BC，∴∵AB=10，AE=6，AF=5，∴∴明确例题的解法，尝试独立解答，并交流讨论.通过解决例题让学生一方面巩固对推论的理解，另一方面也为后面证明相似三角形的判定定理做铺垫.解题时注意引导学生阅读、理解题意.环节四巩固新知教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式错误的是（）A.B.C.D.2.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式成立的是（）A.B.C.D.3.如图，BC∥DE，AB=15，AC=9，BD=10，AE=______.4.如图，DE∥BC，AB=6，AC=9，AD=2则EC=______.答案：1.D2.C3.解：因为BC∥DE，由平行线分线段成比例定理的推论，得，又AB=15，AC=9，BD=10，解得：CE=6.所以AE=AC+CE=15.4.解：因为DE∥BC，由平行线分线段成比例定理的推论，得，又AB=6，AC=9，AD=2，解得：AE=3.所以EC=AC+AE=12.自主完成练