2023年最新的中学生逆向思维巧解数学难题

第中学生逆向思维巧解数学难题中学生逆向思维巧解数学难题(一)

一、数学概念的反问题

例1假设化简|1-某|--的结果为2某-5，求某的取值范围。

分析：原式=|1-某|-|某-4|

根据题意，要化成：某-1-(4-某)=2某-5

从绝对值概念的反方向考虑，推出其条件是：

1-某≤0，且某-4≤0

∴某的取值范围是：1≤某≤4

二、代数运算的逆过程

例2有四个有理数：3,4-6,10，将这四个数进行加减乘除四那么运算(每个数用且只用一次)，使结果为24。请写出一个符合要求的算式。

分析：不妨先设想3某8=24，再考虑怎样从4，-6,10算出8，这样就找到一个所求的算式：

3(4-6+10)=24

类似的，还有：4-(-6某10)÷3;

10-(-6某3+4);3(10-4)-(-6)等。

三、逆向应用不等式性质

例3假设关于某的不等式(a-1)某>a2-2的解集为某<2，求a的值。

分析：根据不等式性质3，从反方向进行分析，得：

a-1<0，且a2-2=2(a-1)

∴所求a值为a=0。

四、逆向分析分式方程的检验

例4方程---=1有增根，求它的增根。

分析：这个分式方程的增根可能是某=1或某=-1

原方程去分母并整理，得某2+m某+m-1=0

如果把某=1代入，能求出m=3;

如果把某=-1代入，那么不能求出m;

∴m的值为3，原方程的增根是某=1。

五、图形变换的反问题

例5△ABC中，AB

分析：我们曾经把梯形剪切后拼成三角形，就是使梯形的一局部绕一条腰的中点旋转180°，此题正好相反。由此得到启发，再应用等腰梯形的性质，得到如下做法：

作AD⊥BC，垂足为D点，在BC上截取DE=BD，连结AE，那么∠AEB=∠B。

过AC中点M作MP∥AE，交BC于P，MD就是所求的剪切线。剪下△MPC，可以拼成等腰梯形ABPQ。

逆向思维的训练(二)

(一)两极颠倒法

在一般情況下，我们遇到或认识了两极中的一极，我们不妨再去有意认识一下与之对立的另一极，一个新的天地就可能展望在我们面前。

鲁人做鞋帽生意

《韩非子》中记载有这样一个故事：鲁国有一个人，非常擅长纺织麻鞋，他的妻子也是织绸缎的能手，他们准备一起到越国做生意。有人劝告他说：“你不要去，不然会失败的。〞鲁人问：“为什么呢?〞那人答复：“你善编鞋，而越人习惯于赤足走路;你妻子善织绸缎，那是用来做帽子的，可越人习惯于披头散发，从不戴帽子，用你擅长的技术，到越国去派不上用场，能不失败吗?〞结果呢，鲁人并没有改变初衷，三五年后，他不但没有失败，反而成了有名的大富翁。

许多事情的成功，问题的解决，常常得益于逆向思维，这个鲁国人的成功，也是如此。

鲁人做鞋帽生意，当然是应该去需求鞋帽的地区，而不该去不习惯穿鞋戴帽的越国;但鲁人那么打破了这种习惯性的思维方式，认为就是因为越人不穿鞋不戴帽，那里才有着广阔的市场前景和巨大的销售潜力，只要改变了越人的粗陋习惯，越国就会变成一个最大的鞋帽市场。鲁国人成功的秘密就在这里，逆向思维帮了他的大忙。

(二)中间融合法

面对两极，人们可以既不持这一极，也不持那一极，而是使两极在中间融合，出现一种既非此又非彼的中间状态。很多创新设想就在中间融合中产生。例如，女士们穿平跟鞋，走路舒适、轻松﹔穿高跟鞋，走路挺胸、气派。但是，为什么只能要么是平跟鞋，要么是高跟鞋，能不能使对立两极在中间融合呢?于是，坡跟鞋被开发出来了。它既不是平跟鞋，又不是高跟鞋，然而又既有平跟鞋的优点，又有高跟鞋的长处。

(三)反弹琵琶法

反证法就是反弹琵琶法。其特点在于，不是直接证明命题，而是从反面来论证。即先假设原命题的结论不能成立，提出一个相反的结论，然后证明这个相反的结论不能成立，从而证明原来的结论是正确的。运用反证法的步骤是：①作出需证明的命题的否认结论。②从这个否认结论出发，用符合逻辑的方法来进行推理，从而引出矛盾的结论;或与命题的条件相矛盾，或与暂设假定相矛盾，或与公理、定义、定理相矛盾。③排除否认的结论，肯定命题原来的结论正确。

孙膑智胜魏惠王

孙膑是战国时著名兵家，至俄国求职，魏惠王心胸狭窄，忌其才华，成心刁难，对孙膑说：“听说你挺有才能，如能使我从座位上走下来，就任用你为将军。〞魏惠王心想：我就是不起来，你又奈我何!孙膑想魏惠王赖在座位上，我不能强行把他拉下来，把皇帝拉下马是死罪。怎么办呢?只有用逆向思维法，让他自动走下来。于是，孙膑对魏惠王说：“我确实没有方法使大王从宝座上走下来，但是我却有方法使您坐到宝座上〞。魏惠王心想，这还不是—回事，我就是不坐下，你又奈我何!便乐呵呵地从座位上走下来。孙膑马上说：“我现在虽然没有方法使您坐回去，但我己经使您从座位上走下来了。〞魏惠王方知上当，只好任用他为将军。

“反弹琵琶〞实际是利用对立互补关系，实行迂回战术。某国王一贯自我标榜不但是个至高无上的权威，而且更是个“大慈大悲〞的救世主。他在处决犯人之前，要恩赐一个时机，叫他们去抽生死签，如果抽到“活〞字，就可幸免一死。有一次，一个囚犯行将处决，他的冤家买通狱吏，把两张纸都写上“死〞。不料有人把此消息透漏给犯人，犯人闻后眉开眼笑地说：“啊!我可以死里逃生了。〞国王宣布抽签后，犯人抽出一张签，二话不说便吞入腹中。这下在场的人慌了手脚，因为谁也搞不清楚犯人吞下的是“死〞还是“活〞。只听国王大声斥喝：“笨蛋，你们只要看一看剩下的那张纸签就是了。〞显然剩下来的是“死〞签，由此反证犯人吞下的是“活〞签。聪明的犯人巧用反证法，死里逃生了。

(四)换位法

换位法就是将考察的命题颠倒过来，创造新事物的创造方法。

在动物园里，把动物关在笼子里，游人在园内欣赏动物是一般常规。但是在野生动物园里，动物是放牧式的，为了防止狮虎对人的袭击和伤害，却让游人坐到封闭的汽车内去进行参观游玩，却又别有一番情趣。

生产玩具的厂家，其设计一般都追求色彩鲜艳、造型美观可爱而赢得顾客的喜爱，然而美国鬼才公司却设计了一种外皮皱巴巴丑恶的玩具狗，这种一反常态的构思，是一种风格迥异的丑狗，丑中还透出一丝憨态，从而引起人们的猎奇心，觉得花几个钱抱一只奇异的狗回家是值得的。不出所料，皱皮狗成为市场上的畅销产品。

兰米尔，他创造充气电灯泡也是采用此法。当时的电灯泡有个致命伤，钨丝通电后容易发脆，使用不久灯泡壁就会变黑。一般人都认为要克服这个毛病必须大大提高灯泡的真空度。兰米尔的想法却与众不同，他不是忙于提高灯泡的真空度，而是分别将氢气、氮气、二氧化碳、氧气和水蒸气等充人灯泡，研究它们在高温低压下与钨丝的作用。当他发现