电网络分析选论梁贵书课件

电网络分析选论梁贵书课件1电网络分析选论华北电力大学

电气工程学院电力工程系电工教研室梁贵书

E-Mail:Gshliang@263.net电网络分析选论华北电力大学20绪论电网络理论的内容电网络理论有关的重要学术期刊本课程的教学用书与参考资料本课程的主要内容本课程的成绩评定方式0绪论电网络理论的内容3电网络理论内容电网络理论内容4电网络理论有关的重要学术期刊(国际)[1]IEEETRANSACTIONONCIRCUITSANDSYSTEMS（IEEETRANSACTIONONCIRCUITSTHEORY）（IRETRANSACTIONONCIRCUITSTHEORY）

[2]IEEETRANSACTIONONCOMPUTER-AIDEDANALYSISANDDESIGNFORINTEGRATEDCIRCUITS[3]INTERNATIONALJOURNALOFCIRCUITTHEORY

ANDAPPLICATIONS电网络理论有关的重要学术期刊(国际)[1]IEEETRA5电网络理论有关的重要学术期刊(国内)[1]电子学报

[2]电工技术学报[3]中国电机工程学报[4]电路与系统电网络理论有关的重要学术期刊(国内)6本课程教学用书与参考资料

教学用书[1]梁贵书.电网络分析选论.华电教材科，2003.7

[2]梁贵书.电网络分析选论习题及部分答案.华电电工教研室

参考资料IEEE/IEE及其他期刊的相关学术论文本课程教学用书与参考资料教学用书7本课程主要内容简介元件新体系元件的互联规律性多口网络网络的代数方程动态电路的时域方程简单非线性电路网络函数与稳定性网络的灵敏度分析本课程主要内容简介元件新体系8本课程成绩评定方式

三种方式

[1]期末笔试考试（100%）

[2]撰写小论文（30%）＋期末笔试考试（70%）[3]撰写小论文，并用Powerpoint课堂讲解（100%）备注：论文形成WORD文档（Visio画图）本课程成绩评定方式三种方式9第一章网络理论基础本章主要内容：网络及其元件的基本概念基本代数元件高阶代数元件动态元件分布参数元件

非线性元件的小信号模型网络的互联规律性网络及元件的基本性质

第一章网络理论基础本章主要内容：10§1-1网络及其元件的基本概念实际电路与电路模型器件与元件网络的基本表征量多口元件和多端元件容许信号偶和赋定关系网络及其元件的分类依据★集中性与分布性★时变性与时不变性★线性与非线性

§1-1网络及其元件的基本概念实际电路与电路模型111.实际电路与电路模型

电网络理论是建立在电路模型基础之上的一门科学，它所研究的直接对象并不是实际电路，而是实际电路的模型。实际电路：为了某种目的，把电器件按照一定的方式连接起来构成的整体。电路模型：实际电路的科学抽象，由理想化的网络元件连接而成的整体。1.实际电路与电路模型电网络理论是建122.器件与元件器件(Device)：客观存在的物理实体，是实际电路的组成单元。元件(Element)：理想化的模型,其端子上的物理量服从一定的数学规律,是网络的基本构造单元。2.器件与元件器件(Device)：客观存在的物理实133.网络的基本表征量基本表征量分为三类：基本变量：电压、电流、电荷和磁链基本复合量：功率和能量高阶基本变量：和●基本变量和高阶基本变量又可统一成和两种变量，其中α和β为任意整数。3.网络的基本表征量基本表征量分为三类：基本变量：电14动态关系基本表征量之间存在着与网络元件无关的下述普遍关系：动态关系基本表征量之间存在着与网络元件无关的下述普遍关系154.多口元件和多端元件当流入一个端子(Terminal)的电流恒等于流出另一个端子的电流时,这一对端子称为一个端口(Port)。如果多端元件的端子数为偶数,并且两两能组成端口,则称该多端元件为多口元件。

多端元件和多口元件可以互换n口元件的端口电压、电流列向量4.多口元件和多端元件当流入一个端子(Terminal)的165.容许信号偶和赋定关系可能存在于（多口）元件端口的电压、电流向量随时间的变化或波形称为容许的电压—电流偶,简称容许信号偶(AdmissibleSignalPair),记作3Ω电阻的伏安关系为容许信号偶

｛3,2｝不是容许信号偶元件所有的容许信号偶的集合,称为该元件的赋定关系（ConstitutiveRelation)5.容许信号偶和赋定关系可能存在于（多口）元件端口的电压、17对赋定关系的说明

●完全表征了该元件的端口电气性能

●

区分不同类型元件的基本依据

●

可以用方程、曲线或者一种规定的算法表示

●全局赋定关系与局部赋定关系对赋定关系的说明●完全表征了该元件的端口电气186.网络及其元件的分类依据(1)集中性与分布性

集中元件(LumpedElement)在任何时刻,元件任意两个端子之间的电压都是确定的量。集中元件可用仅含有有限个对端口变量和有限个附加的内部变量的同一时刻瞬时值的代数、常微分和积分运算的方程来描述。分布元件(DistributedElement)6.网络及其元件的分类依据(1)集中性与分布性分布元件19(2)时变性与时不变性

如果对于元件的任一容许信号偶和任一实数T,也是该元件的容许信号偶,则该元件是时不变的,否则称为时变的。●时变元件的赋定关系中显含有时间变量t

u＝R(t)i

时不变元件的赋定关系中不显含时间变量tu＝10i

●电气参数为常量的线性元件是时不变的。

(2)时变性与时不变性如果对于元件的任一容许信号20(3)线性与非线性对于元件的任意两组容许信号偶

●线性特性包含了齐次性和叠加性两种性质及任意两个实常数α和β,如果

也是该元件的容许信号偶,则称该元件是线性的,否则是非线性的。(3)线性与非线性对于元件的任意两组容许信号偶21§1-2基本二端代数元件代数关系定义

η控元件θ＝θ(η)

θ控元件η＝η(θ)

单调元件元件既是η控的,又是θ控的

多值元件元件既不是η控的,也不是θ控的§1-2基本二端代数元件22一、电阻元件(Resistor)

定义：赋定关系为u和i之间的代数关系的元件分类：1、流控(Currentcontrolled)电阻2、压控(Voltagecontrolled)电阻3、单调电阻4、多值电阻线性非线性一、电阻元件(Resistor)定义：赋定关系为u和231、流控电阻伏安关系

r(·)为单值函数凸电阻VAR：1、流控电阻伏安关系242、压控电阻

伏安关系g(·)为单值函数凹电阻2、压控电阻伏安关系25蔡氏二极管（Chua’sDiode）特性曲线蔡氏二极管（Chua’sDiode）特性曲线263、单调电阻伏安关系和r(·)和g(·)都是单值函数对于任意两组不同容许信号偶和，恒有（1）（2）单增电阻单减电阻严格单增电阻严格单减电阻3、单调电阻伏安关系单增电阻单减电阻严格单增电阻严格单减电27仿射电阻与线性电阻

●仿射电阻或者●线性电阻或

（R和G可正可负）

流控电阻和压控电阻是一般非线性电阻的一个重要子类,单调电阻是压控电阻和流控电阻的一个子类,仿射电阻是单调电阻的一个特例,而线性电阻又是仿射电阻的一个特例。仿射电阻与线性电阻284、多值电阻既不能用表示,也不能用表示的电阻理想二极管

VAR:或4、多值电阻既不能用表示,也不能用29符号电阻伏安关系符号电阻305、零口器和非口器零口器(Nullator)

零口器在任何时刻t,元件上的电压u(t)和电流i(t)都为零。VAR:或者作用：相当于同时开路和短路，伏安特性在u～i平面上对应于原点,即只有平面上的原点是零口器的容许信号偶。注意：零口器提供2个方程。5、零口器和非口器零口器(Nullator)31任何时刻t,元件上的电压u和电流i都是任意值

u＝任意值,i＝任意值或者(u－x)(i－y)＝0(x,y)∈作用：可视为一个具有任意值的电阻元件,它的伏安特性曲线布满整个u～i平面,即平面上任一点都是非口器的容许信号偶。注意：非口器不提供方程。

非口器(Norator)非口器(Norator)32二、电容元件(Capacitor)

定义：赋定关系为u和q之间的代数关系的元件

分类：1、线性电容q＝Cu

时变时不变2、非线性电容（1）压控电容

二、电容元件(Capacitor)定义：赋定关系为u和q33二、电容元件(续)

（2）荷控电容（3）单调电容或

大多数实际电容器属于此类。如变容二极管：（4）多值电容以铁电物质为介质的电容器呈现滞回现象二、电容元件(续)（2）荷控电容34三、电感元件(Inductor)定义：赋定关系为i和Ψ之间的代数关系的元件

分类：1、线性电感时变非时变2、非线性电感（1）流控电感

三、电感元件(Inductor)定义：赋定关系为i和Ψ之35三、电感元件(续)（2）链控电感约夫逊结(JosephsonJunction)（3）单调电感绝大多数线圈的电感模型属于此类，且具有饱和特性。（4）多值电感

铁芯线圈的电感模型属于此类，具有磁滞回线

三、电感元件(续)（2）链控电感36四、忆阻元件(Memristor)定义：赋定关系为Ψ和q之间的代数关系的元件

分类：

（1）荷控忆阻（2）链控忆阻（3）单调忆阻（4）多值忆阻建议符号

四、忆阻元件(Memristor)定义：赋定关系为Ψ和q之37四、忆阻元件(续)在线性情况下与线性电阻等价。线性电路无需忆阻元件对于非线性忆阻系数

记忆电阻(MemoryResistor)四、忆阻元件(续)在线性情况下38五、独立电源(IndependentSources)1.电压源(VoltageSource)非线性电阻非线性电容2.电流源(CurrentSource)

非线性电阻非线性电感五、独立电源(IndependentSources)1.39六、基本二端代数元件小结无记忆(或即时)元件电阻元件不具有记忆特性记忆元件

电容元件、电感元件和忆阻元件都具有记忆特性六、基本二端代数元件小结40§1-3高阶二端代数元件基本二端代数元件的赋定关系：电阻元件电容元件电感元件忆阻元件定义元件用到的变量：

电压电流电压的积分电流的积分推广：电压电流电压的微积分电流的微积分§1-3高阶二端代数元件基本二端代数元件的赋定关系：定义41引入高阶元件(HigherorderElement)的原因

（1）存在许多非线性元件的现象不能用传统的电路元件模拟；（2）仅由传统的电路元件构成的非线性电路会出现死点（ImpassePoint），这种模型是非物理的，不适合用计算机仿真分析；（3）任何一种非线性高阶元件不能仅用传统的和或其他高阶元件综合，因此，彼此都是独立体；（4）仅用传统的电路元件无法建立逻辑上一致的非线性电路综合的基础。引入高阶元件(HigherorderElement)的原42高阶元件(HigherorderElement)

赋定关系为

的二端元件－－(α,β)元件高阶二端代数元件

α和β至少有一个为正时称为高阶二端代数元件

α和β称为端口指数,均为整数元件的阶数为｜α－β｜高阶元件(HigherorderElement)赋定关43一般线性高阶元件对于(α,β)阶线性元件,其赋定关系为

或当β－α＞0时,与(0,β－α)阶元件等效E型元件一般线性高阶元件对于(α,β)阶线性元件,其赋定关系为44一般线性高阶元件（续）当β－α＜0时,与(α－β,0)阶元件等效D型元件

●(β－α)为偶数时,线性高阶元件为频变电阻

●(β－α)为奇数时,线性高阶元件为频变电抗一般线性高阶元件（续）45频变负阻元件(FDNR)

分类FDNR元件(FrequencyDependentNegativeResistance）FDNG元件(FrequencyDependentNegativeConductance）

（1）FDNG元件赋定关系为或正弦稳态之下,该元件的导纳为频变负阻元件(FDNR)分类46（2）FDNR元件赋定关系或在正弦稳态之下,该元件的阻抗为（2）FDNR元件赋定关系47§1-4代数多口元件分类：

基本代数多口元件高阶和混合代数多口元件

一、基本代数多口元件

n口元件的赋定关系由η和θ之间的代数关系表征,满足F(η,θ)＝0且向量偶(η,θ)∈{(u,i),(u,q),(i,Ψ),(q,Ψ)}

u、i、q、Ψ分别表示n维端口电压、电流、电荷、磁链的列向量。§1-4代数多口元件分类：481、线性多口电阻元件线性双口电阻元件,其传输参数方程矩阵形式1、线性多口电阻元件线性双口电阻元件,其传输参数方程矩阵形49广义阻抗变换器

(GeneralizedImpedanceConverter,GIC)

条件：B＝C＝0功能：伏安关系分类：广义阻抗变换器

(GeneralizedImpedanc50正阻抗变换器(AD＞0)

AD＝1为理想变压器，令变比n＝A2)AD≠1为非理想变压器

——电流变换器或电流变标器(CurrentScalor)。正阻抗变换器(AD＞0)AD＝1为理想变压器，令变比n51

—电压变换器或电压变标器(VoltageScalor)。

—功率变换器或功率变标器(PowerScalor)。一般变标器的方程一般变标器的方程52比例型受控源(AD＝0)

A≠0,D＝0A＝0,D≠0A＝D＝0VCVSCCCS理想运放比例型受控源(AD＝0)A≠0,D＝0A＝0,D≠053负阻抗变换器(AD＜0）A＞0,D＜0

——KV、KI均大于零。称为电流反向型负阻抗变换器。A＜0,D＞0

——

KV、KI均大于零。称为电压反向型负阻抗变换器。负阻抗变换器(AD＜0）A＞0,D＜0A＜0,D＞54广义阻抗逆转器(GII)

条件：A=D=0功能：把阻抗逆转为伏安关系分类：广义阻抗逆转器(GII)条件：A=D=0功能：把阻抗55正阻抗逆转器(BC>0)BC＝1为理想回转器。令回转电导

回转器可将电容转换为电感BC≠1为非理想回转器

——正阻抗逆转器(BC>0)BC＝1为理想回转器。令回转电导56对偶型受控源(BC=0)B≠0,C＝0为电压控制电流源(VCCS)B＝0,C≠0为电流控制电压源(CCVS)B＝0,C＝0为理想运放对偶型受控源(BC=0)B≠0,C＝0为电压控制电流源(V57负阻抗逆转器(BC<0)B＞0,C＜0电压反向型负阻抗逆转器(VNII)

——均大于零

B＜0,C＞0电流反向型负阻抗逆转器(CNII)——

负阻抗逆转器(BC<0)B＞0,C＜0电压反向型负阻58旋转器和反照器

旋转器VARq=0:1:1理想变压器反照器VARq＝45°:回转器q＝90°:电压反向型负阻抗变换器q＝180°:电流反向型负阻抗变换器旋转器和反照器旋转器VARq=0:1:1理想变压器59多口线性电阻元件多口受控源(Multi-PortControlledSource)

多口受控电压源多口受控电流源多口变压器多口环流器电流传输器多口线性电阻元件多口受控源(Multi-PortCont60多口受控源n口受控电压源

n口受控电流源多口受控源n口受控电压源n口受控电流源61(p＋q)口变压器(p＋q)口变压器赋定关系其中(p＋q)口变压器(p＋q)口变压器赋定关系62n口环流器n口环流器赋定关系n口环流器n口环流器赋定关系63电流传输器(CC)CCI的赋定关系为CCII的赋定关系为电流传输器(CC)CCI的赋定关系为CCII的赋定关系为642、非线性电阻多口元件隐式赋定关系

u和i分别为端口电压、电流n维列向量。其中，F(·,·)是由非线性代数函数组成的n维列向量。流控型表示压控型表示混合Ⅰ表示混合Ⅱ表示传输Ⅰ表示传输Ⅱ表示2、非线性电阻多口元件隐式赋定关系流控型表示压控型表示65运算放大器(OperationalAmplifier)转移特性

：开环电压增益(OpenloopVoltageGain),其中Esat称为饱和电压特性方程运算放大器(OperationalAmplifier)转66工作区：负饱和区、正饱和区、线性区理想运放：A→∞，赋定关系运算放大器(续)工作区：负饱和区、正饱和区、线性区运算放大器(续)67虚短接模型（VirtualShortCircuitModel）（工作在线性区）：负饱和模型（工作在负饱和区）：正饱和模型（工作在正饱和区）：运算放大器的模型虚短接模型（VirtualShortCircuitM68跨导运算放大器

(OperationalTransconductanceAmplifier，OTA)

输出电流

非线性函数f(·)为具有饱和特性的单增奇函数跨导运算放大器

(OperationalTranscon69理想跨导运放理想跨导运放（工作在线性区）

——Gm称为跨导增益

理想跨导运放理想跨导运放（工作在线性区）70双极型晶体管NPN型直流埃伯尔斯-莫尔模型(Ebers-MollModel,EM模型)

Ies、Ics、ar、af均为元件常数,Uf为温度的电压当量。

ar、af∈(

0，1)双极型晶体管NPN型71MOS场效应管(MOSFET)N沟道增强型MOSFET在直流情况下的压控表示

MOSFET分为N沟道和P沟道两种器件每种器件又分为增强型和耗尽型两种类型MOS场效应管(MOSFET)N沟道增强型MOSFET72漏极特性②尖断区③反向区④截止区①线性区K为器件参数

漏极特性②尖断区③反向区④截止区①线性区K为器件参数73二、高阶代数多口元件赋定关系且端口指数之差大于1；端口指数相同混合代数元件(MixedorderAlgebraicElement)赋定关系各端口的端口指数不同二、高阶代数多口元件赋定关系且端口指数之差大于1；端口指74线性高阶代数多口元件在线性的情况下相应的相量方程对应的s域方程代表起始条件的贡献时域方程线性高阶代数多口元件在线性的情况下相应的相量方程对应的s域方75变类器(mutator)分类L-R、C-R、L-C、M-R、M-L、M-C

每一类都有Ⅰ型和II型两种。II型L-R变类器的赋定关系I型L-R变类器的赋定关系i2和q2前加负号,而其它量前为正号。变类器(mutator)分类II型L-R变类器的赋定关系I76变类器的受控源表示仅用线性基本代数元件来实现变类器高阶变类器

变类器的受控源表示仅用线性基本代数元件来实现变类器高阶77§1-5动态元件和分布参数元件定义：凡是赋定关系不能写成代数元件的赋定关系形式的集中参数元件统称为动态元件(DynamicElement)。

区分代数元件和动态元件的依据：动态元件：uk和ik同时以几个不同的阶次出现

注意：赋定关系可有多种表达式，但只要有一种赋定关系属于代数元件的赋定关系，该元件就应归于代数元件例二端元件二端电容－－代数元件分类：

基本动态元件高阶动态元件混合动态元件

一、动态元件§1-5动态元件和分布参数元件定义：凡是赋定关系78基本动态元件

状态方程

(η,θ)∈(u,i),(u,q),(i,Ψ),(q,Ψ)｝为端口变量x为内部变量

分类：R型、C型、L型和M型

端口方程的元件称为基本动态元件；定义：凡是赋定关系为

基本动态元件状态方程(η,θ)∈(u,i),(u,q),79高阶和混合动态元件

凡不能用

为端口变量X为状态变量或称内部变量

高阶和混合动态元件的赋定关系一般表示式状态方程端口方程描述的动态元件统称为高阶和混合动态元件高阶和混合动态元件凡不能用80二、分布参数元件定义：凡是不属于集中参数元件的元件统称为分布参数元件（DistributedElements）。描述分布参数元件的方程中含有偏微分、时延等集中参数元件方程中不允许的运算。典型的分布参数元件：

传输线（TransmissionLines）

描述传输线的方程：电报方程（Telegrapher’sEquations）二、分布参数元件定义：凡是不属于集中参数元件的元件统称为分布81传输线的分类单导体传输线方程

分别为传输线单位长度电阻、电感、电导

和电容。

（1）按传输线导体数目划分

传输线的分类单导体传输线方程分别为传输线单位长度电阻、电感、82传输线的分类（续）多导体传输线方程[n+1条传输线，第n+1条为参考线（ReferenceLine）]分别为传输线单位长度的n阶电阻、电感、

电导和电容矩阵。

传输线的分类（续）多导体传输线方程[n+1条传输线，83传输线的分类（续）非均匀单导体传输线方程分别为传输线单位长度电阻、电感、电导

和电容。

（2）按传输线单位长度参数划分1传输线的分类（续）非均匀单导体传输线方程分别为传输线单位长度84传输线的分类（续）非均匀多导体传输线方程分别为传输线单位长度的n阶电阻、电感、

电导和电容矩阵。

传输线的分类（续）非均匀多导体传输线方程分别为传输线单位长度85传输线的分类（续）频变单导体传输线方程（2）按传输线单位长度参数划分2传输线的分类（续）频变单导体传输线方程（2）按传输线单位长度86传输线的分类（续）频变多导体传输线方程传输线也有线性与非线性之分。传输线的分类（续）频变多导体传输线方程传输线也有线性与非线性87广义传输线

存在问题：

传统的均匀传输线方程是在无限长假定的基础上获得的，并未进行任何数学推导就推广到了无限长非均匀传输线单位长度（分布）串联阻抗

单位长度（分布）并联导纳对于实际的有限长非均匀传输线，上述描述需要进一步改进。一个简单的原因是，当传输线具有不连续点（discontinuity）时，即具有不同的和时，不连续点不仅产生局部反射，而且还产生局部辐射。当工作频率较高时，局部辐射变得较强，上述方程无法描述这一点。为了克服这一缺点，引入了广义传输线（GeneralizedTransmissionLines）方程。广义传输线存在问题：单位长度（分布）串联阻抗单位长度（88广义传输线（续）广义传输线方程和分别为单位长度串联电压源和并联电流源的系数；方程中出现的新的两项代表了非均匀线的局部辐射效应。广义传输线（续）广义传输线方程和分别为单位长89§1-6、非线性元件的小信号模型设基本代数n口元件的赋定关系为雅可比矩阵称为基本代数n口元件的增量参数矩阵或增量赋定矩阵工作于直流工作点Q时

和为直流工作点的值加入小信号后

§1-6、非线性元件的小信号模型设基本代数n口元件的赋定关90n＝1，二端元件如果元件的赋定关系为隐式,即F(η,θ)＝0

则元件在工作点Q处的线性化方程为n＝1，二端元件如果元件的赋定关系为隐式,即91式中如果非奇异,则式中如果非奇异,则92对于高阶和混合代数元件或者对于高阶和混合代数元件或者93动态元件的小信号模型动态元件的赋定关系(1)(2)在平衡点动态元件的小信号模型动态元件的赋定关系(1)(2)在平衡点94对方程(1)取线性化可得线性化方程为(3)对式(3)取拉氏变换,得对方程(1)取线性化可得线性化方程为(3)对式(3)取拉氏变95为平衡点Q的线性化动态元件的增量矩阵

在缓变小信号工作状态下,s＝0,则由为平衡点Q的线性化动态元件的增量矩阵在缓变小信号工作状96由式（3）得

在缓变小信号δθ作用下的增量δη为动态元件的“直流”小信号模型。由式（3）得97§1-7器件造型定义对实际电路和系统构造模型本质上是对实际电路和系统中的器件构造模型,称为器件造型(DeviceModeling)或器件建模。器件建模的方法（1）直接法直接研究事物本身或直接置身于事物之中去研究事物的性质及运动和发展规律

（2）间接法通过间接的手段而不是直接对事物本身去研究

§1-7器件造型定义98一、器件建模的基本要求基本要求：(1)合理性(WellPosedness)(2)模拟性(SimulationCapability)(3)定性相似性(QualitativeSimilarity)(4)预测性(PredictiveAbility)(5)结构稳定性(StructuralStability)::模型参数仅仅取决于器件本身,而与外部电路无关。一、器件建模的基本要求基本要求：99二、器件建模的具体方法物理法步骤:(1)器件的物理分析和分解(2)物理方程的建立(3)方程的简化和求解(4)非线性网络综合二、器件建模的具体方法物理法1002.黑箱法步骤：(1)实验观察(2)构造数学模型(3)模型验证(4)非线性网络综合2.黑箱法步骤：101基于人工神经网络的黑箱法步骤：(1)实验观察，形成样本(2)构造人工神经网络模型(3)模型验证结论：1.每一个压控(N型)负阻器件其模型为由一个电容与N型负阻并联,在较高频率时,还可能需要其它贮能元件。2.每一个流控(S型)负阻器件其模型为电感与S型负阻的串联,在较高频率时,还可能需要其它贮能元件。基于人工神经网络的黑箱法步骤：102三、电路模型的体系和类型根据信号幅度的大小不同分全局模型局部模型线性增量模型根据频率范围不同分

交流模型直流模型低频模型中频模型高频模型。三、电路模型的体系和类型根据信号幅度的大小不同分低频模型103四、非线性特性的近似表示法多项式表示法分段线性化表示法

非线性表示的元件例题对于多变量分段线性函数,其全局规范分段线性化表示为——四、非线性特性的近似表示法多项式表示法非线性表示的元件104§1-8图论的基本知识图(Graph)图是拓扑（Topological）图的简称节点和支路的一个集合::未赋以方向的图称为无向图。只有部分支路赋以方向的图称为混合图。所有支路都赋以方向的图称为有向图::图并不反映支路之间的耦合关系。§1-8图论的基本知识图(Graph)105二端元件的图三端元件的图双口元件的图元件的图二端元件的图三端元件的图双口元件的图元件的图106连通图连通图如果图G中的任何两个节点之间都至少存在一条路径，则G称为连通图(ConnectedGraph)，否则称为非连通图。铰链图由电路中的多口元件造成的非连通图，可以把不连通的各部分中的任一节点(一部分只能取一个节点)之间假设有一条短路线相连。把这些假设短路线连接的节点合并成一个节点，这样所得的图称为铰链图(HingedGraph)。连通图连通图107铰链图示例可断图若将连通图G中的一个节点移去后(把一个节点移去意味着把它以及与它相连的支路全部移去)所得子图不再连通，则称该节点为可断节点。含有可断节点的图称为可断图(SeparableGraph)。铰链图原图铰链图示例可断图铰链图原图108子图如果图G1中的每个节点和每条支路都是G图中的一部分，则称G1为G的子图(Subgraph)。回路线树星树子图如果图G1中的每个节点和每条支路109回路、树和割集回路(Loop)(1)是连通的(2)Gl的每个节点都连接着两条支路。树(Tree)(1)Gt是连通的；(2)Gt包含的所有节点；(3)Gt不包含回路。回路、树和割集回路(Loop)110补树余树或补树图G中对应树T的余子图称为余树或补树(Cotree).树支和连支构成树的支路称为树支(TreeBranchorTwig)其余的支路称为连支(ChordorLink)。补树余树或补树111补树图补树图若连通图G存在树的补树T也是G的一个树，则称为补树图(ComplementarytreeGraph),或具有补树结构(ComplementarytreeStructure)。2-树

移去树中的任一支路后所得子图称为图G的2-树(2-tree)。生成子图(SpanningSubgrapn)

包含图G所有节点的子图。::

树和2-树均为生成子图。

补树图补树图补树图2-树生成子图(SpanningSubgrap112割集割集(Cutset)：一组支路(1)移去这组支路后，图变为两个分别连通的子图(2)任意留下这组支路中的一条支路，图仍然是连通的。::割集是把一个连通图分成两个连通的子图所需的最少支路。割集割集(Cutset)：一组支路113基本回路与基本割集

基本回路(FundamentalLoop)

只含有一条连支的回路（单连支回路）::基本回路数＝连支数

基本割集(FundamentalCutset)只含有一条树支的割集（单树支割集）::基本割集数＝树支数

基本回路与基本割集基本回路(Fundamen114§1-9图的矩阵表示及其性质有向图拓扑性质的描述：（1）关联矩阵(IncidenceMatrix)（2）回路矩阵(LoopMatrix)（3）割集矩阵(CutsetMatrix)§1-9图的矩阵表示及其性质有向图拓扑性质的描述：115一、关联矩阵任一元素aij定义为Aa的秩定理:对于任意n个节点、b条支路的有向连通图，它的关联矩阵Aa中有(n－1)个线性无关的行，即Aa的秩为(n－1)。(增广）关联矩阵Aa

一、关联矩阵任一元素aij定义为Aa的秩(增广）关联矩116关联矩阵（续）(降阶)关联矩阵A若把Aa中的任一行划去(相当于相应的节点选作参考点)，剩下的(n－1)×b矩阵足以表征有向图中支路与节点的关联关系，并且(n－1)行是线性无关的。这种(n－1)×b阶矩阵称为降阶(Reduced)关联矩阵，简称关联矩阵。::关联矩阵A的任何阶方子矩阵A0，detA0为0、1或－1

幺模矩阵(UnimodularMatrix)

一个矩阵如果它的每个方子矩阵的行列式值均为＋1、－1或0，则称该矩阵为单模矩阵或幺模矩阵.关联矩阵（续）(降阶)关联矩阵A117有关的定理对于n个节点的连通图G，G的关联矩阵A的一个(n－1)阶子方阵非奇异的充分必要条件是此子方阵的列对应图G的一个树的树支。::一个树的关联矩阵是非奇异的，且大子矩阵(MajorSubmatrix)

一个秩为n的n×m矩阵的大子矩阵定义为该矩阵阶数为n的非奇异子矩阵。

::At为大子矩阵。有关的定理对于n个节118树的数目的计算方法比内—柯西(Binet-Cauchy)定理设矩阵B为m×n阶矩阵，C是n×m阶矩阵，且m＜n，则det(BC)＝的对应大子式的乘积结论：

设图G是连通的，其关联矩阵为A，则全部树的数目为。即树的数目的计算方法比内—柯西(Binet-Cauchy)定119二、基本回路矩阵Bf

任一元素bij定义

基本回路的方向与其关联的连支的方向相同。::回路矩阵的性质连通图G的回路矩阵的一个l×l子矩阵是大子矩阵的充分必要条件是:此子矩阵的列与图G的一个补树对应。二、基本回路矩阵Bf任一元素bij定义基本回路的120三、基本割集矩阵Qf任一元素qij定义为基本割集的方向与其关联的树支的方向相同。::割集矩阵的性质:连通图G的割集矩阵的一个大子矩阵与G的树具有一一对应关系。三、基本割集矩阵Qf任一元素qij定义为基本割集的方向121四、树的路径矩阵定义：树T的路径与各树支的关联关系矩阵P，称为树的路径矩阵（PathMatrix）。

任意元素pij定义为::矩阵P的特点：每行的非零元素具有相同的符号。四、树的路径矩阵定义：::矩阵P的特点：每行的非零元素具有122路径矩阵示例与性质

示例路径矩阵示例与性质示例123五、矩阵A、Bf和Qf之间的关系对于任一连通图，在支路排列顺序相同的情况下，矩阵A、Bf和Qf满足正交关系(OrthogonalityRelations):

对于选定的树，按先连支、后树支的顺序对支路编号则或者或者五、矩阵A、Bf和Qf之间的关系对于任124矩阵A、Bf和Qf之间的关系（续）即同理矩阵A、Bf和Qf之间的关系（续）即同理125§1-10网络的互联规律性★★★§1-10网络的互联规律性★★★126一、基尔霍夫定律

基尔霍夫电流定律(KCL)：电荷守恒基尔霍夫电压定律(KVL)

：能量守恒

表示矩阵KCL=0=0KVL=0定律基尔霍夫定律的矩阵形式

一、基尔霍夫定律表示矩阵KCLKVL定律127二、特勒根定理

功率守恒定律对于一个具有n个节点、b条支路的网络，令ub和ib分别表示支路电压列向量和支路电流列向量，且各支路的电压和电流采用关联参考方向，则或者二、特勒根定理功率守恒定律或者128功率守恒定律的证明同理或者扩展：KVL：利用KCL：利用KCL：功率守恒定律的证明同理或者扩展：KVL：利用KCL：利用KC1292.拟功率守恒定理设网络N和具有相同的拓扑结构(即),支路电压列向量和支路电流列向量分别为ub、

ib和、,则有或者2.拟功率守恒定理设网络N和1303.微分特勒根定理设网络N和具有相同的拓扑结构，在t时刻，的支路电压和电流分别为和，N的支路电压和电流的变化量分别为和，则或者一条支路3.微分特勒根定理设网络N和具有131功率守恒定律的证明同理KVL：利用KCL：(1)-(2)得（1）（2）或者功率守恒定律的证明同理KVL：利用KCL：(1)-(2)132三、基尔霍夫定律和特勒根定理的广义形式

线性变换变换称为线性的，是指对于任意实数α和β::常用线性变换

反变换(1)傅立叶变换

正变换

三、基尔霍夫定律和特勒根定理的广义形式线性变换::常用线133常用线性变换（续）

(2)

相量变换

(3)

拉普拉斯变换

或反变换正变换

正变换

反变换(4)

其它线性变换

一维变换：取增量、取共轭、小波变换多维变换：派克变换、相模（解耦）变换、相序变换等

常用线性变换（续）(2)相量变换(3)拉普拉斯变换134基尔霍夫定律和特勒根定理的广义形式变换域的KCL方程和KVL方程记为

由基本回路矩阵和基本割集矩阵表示的基尔霍夫定律的广义形式

特勒根定理的广义形式

基尔霍夫定律和特勒根定理的广义形式变换域的KCL方程和KVL135多口网络的特勒根定理

设n口网络的端口电流列向量ip为，端口电压列向量为up，内部b条支路的电压、电流列向量分别为ub和ib，则由特勒根定理得

变换域n口网络的特勒根定理为即标量方程形式为

或者多口网络的特勒根定理设n口网络的端口电流列向136四、着色边定理（ColoredBranchTheorem）

给定一有向图G,任取一条支路着成深绿色，其它支路任意着上红色、蓝色或绿色(至少有1条支路着绿色）。由此得到的图称为有向着色图(DirectedColoredGraph)。则下述两条中有且仅有一条成立:

(1)存在一个由深绿色支路及绿色支路和／或红色支路形成的回路,该回路中所有绿色支路的方向皆相同,即它们的方向都与回路的方向一致或相反。(2)存在一个由深绿色支路及绿色支路和／或蓝色支路形成的割集,该割集中所有绿色支路的方向皆相同,即它们的方向都与割集方向一致或相反。

四、着色边定理（ColoredBranchTheorem137着色边定理示例形成定理中的割集不存在定理中的回路！不存在定理中的割集！着色边定理示例形成定理中的割集不存在定理中的回路！不存138着色边定理的备注有向图中支路的着色是任意的,但只能有一条支路着成深绿色。(2)有向图中至少有一条支路着绿色。但是,红色支路集和蓝色支路集可以是空集（有向着色图中不存在红色支路和／或蓝色支路）。(3)定理中所提到的那种回路和割集并不是唯一的。

着色边定理的备注有向图中支路的着色是任意的,但只能有一条支139推论：回路－割集不相容原理::同方向回路(SimilarityDirectedLoop)该回路中的所有支路的方向皆相同,即它们的方向都与回路的方向一致或相反。::同方向割集(SimilarityDirectedCutset)该割集中的所有支路的方向皆相同,即它们的方向都与割集的方向一致或相反。回路—割集不相容原理（Loop-CutsetExclusionProperty）：

设为有向图中的任一支路,则存在下述两种互不相容的可能:属于一同方向回路;(2)属于一同方向割集。二者必有一个存在,但不能同时存在。推论：回路－割集不相容原理::同方向回路(Similarit140回路－割集不相容原理示例属于同方向回路

属于同方向割集

回路－割集不相容原理示例属于同方向回路属于同方向割集141§1-11网络及元件的基本性质电路(Circuit)、网络(Network)

电路是为了某种目的将元件有机地相互连结而成的整体。着眼于支路电压、电流。

电路也称为（电）网络。着眼于端口电压、电流系统(System)

按照特定规律结合起来的，具有确定功能的，各部分相互联系、相互依存、相互作用的整体。着眼于输入－输出之间的关系§1-11网络及元件的基本性质电路(Circuit142网络及元件的基本性质陈述网络性质的三种方式根据组成网络的元件－－传统型

根据网络方程根据输入－输出关系－－端口型

只讨论端口型网络及元件的基本性质陈述网络性质的三种方式只讨论端口型143一、无源性和有源性定义：如果一个线性时不变元件对于任意容许信号偶及任意的时间t，恒有为t0时刻元件储存的能量。则称该元件是无源的，否则称为有源的。式中一、无源性和有源性定义：为t0时刻元件储存的能量。则称该144时不变电阻元件的无源判据对于线性时不变电阻元件,当且仅当对于任意的容许信号偶和任意时刻t,恒有该电阻元件才是无源的。证明：1充分性由于电阻元件不储存能量，故2

必要性电阻元件是无源的若取直流信号，则必为一组容许信号偶。有源，相矛盾。假设论断不真，则至少存在一个时刻成立时不变电阻元件的无源判据对于线性时不变电阻元件,当且仅当对145无源性示例例1

例2

例3

例4无源元件当式中的等号只有在u和i同时为零时才成立时,电阻元件称为严格无源的(StrictlyPassive)。⊙正值电阻、正值电容、正值电感⊙理想变压器、回转器⊙伏安特性曲线位于第一、三象限的二端电阻有源元件⊙独立源、负值电阻、负值电容、负值电感⊙受控源、运放、跨导、负阻抗变换器⊙伏安特性曲线部分位于第二或四象限的二端电阻无源性示例例1例2例3146可用能量(AvailableEnergy)对于时不变元件在工作点Q的所有容许信号偶和所有

，可用能量定义为sup表示取上确界无源性的一般定义对于时不变非线性元件，若在任何工作点Q的可用能量均是有限的，则该元件是无源的，否则称为有源的。可用能量(AvailableEnergy)对于时不变元件147非能的(Nonenergic)

一个元件，如果对于任何容许信号偶则称该元件是非能的，否则称为能量的。非能元件既不消耗能量，也不存储能量⊙理想变压器、回转器、循环器非能的(Nonenergic)一个元件，如果对于任何容许148二、无损性与有损性定义：如果一个n口元件对于所有有限的，从t0到∞平方可积的容许信号偶，亦即在所有初始时刻t0之下有或则称该元件是无损的，否则就是有损的。二、无损性与有损性定义：如果一个n口元件对于所有有限的149三、互易性、反互易性和非互易性定义：如果线性时不变元件对于任意两组容许信号偶和，恒有“*”为卷积符号或者则称该元件是互易的(Reciprocal)

。如果恒有则称该元件是反互易的(Antireciprocal)。（频域）或者三、互易性、反互易性和非互易性定义：如果线性时不变元件150相互互易如果两个端口数目相同的线性元件，对于它们的任意端口容许信号偶和恒有则称这两个元件是相互互易的。例题::非线性互易元件的任何组合仍具有工作点处的互易性，或称局部对称性(对称的雅可比矩阵)。或者相互互易如果两个端口数目相同的线性元151四、因果性与非因果性一个初始条件为零的物理网络，在相同的输入(原因)下将产生相同的输出(效果)，这种特性就称为因果性。对于一个网络，在施加激励前没有响应，只有在激励施加后才有响应，这个特性称为起因性。四、因果性与非因果性一个初始条件为零的物理网络，在相同的输152五、无增益特性网络的每一组解均满足下列两条性质:(1)网络N中任一对节点之间的电压幅值小于或等于所有独立电源两端电压的幅值之和;(2)流入每一元件任一端钮的电流的幅值小于或等于流过所有独立电源电流的幅值之和。::充分必要条件:N中的每一个n端电阻元件满足无增益判据(NoGainCriterion):对于每一个直流工作点Q,存在一个由(n－1)个线性正值二端电阻组成的n端连通网络具有相同的工作点。五、无增益特性网络的每一组解均满足下列两条性质:153六、网络解的存在性与唯一性充分条件：如果电路不含纯电压源回路和纯电流源割集，则该电路的解存在并且唯一。定理：线性电阻电路解的存在性和唯一性设线性电阻电路由电路方程描述，则当且仅当时，该电路具有唯一解。六、网络解的存在性与唯一性充分条件：154欧姆型矩阵

一个n阶方阵F，如果在复数域中对每一个非零n维列向量X有电路无解示例——“H”代表共轭转置。则称其为欧姆型矩阵。欧姆型矩阵电路无解示例——“H”代表共轭转置。则称其为欧姆155隧道二极管电路多解示例隧道二极管电路多解示例156定理：

设N是一个既不包含有仅由独立电压源和受控电压源组成的回路，又不包含有仅由独立电流源和受控电流源组成的割集的网络。N′是把N中所有独立电源置零后得到的网络，如果N′的支路导纳矩阵为欧姆型，则网络N拥有唯一解。结论：设N是一个含有独立电源的RLCM网络，当且仅当网络没有仅由电压源组成的回路和没有仅由电流源组成的割集时，该网络拥有唯一解。THEEND定理：THEEND157例题集例试写出如图所示连续分段线性函数的规范形式。

例题集例试写出如图所示连续分段线性函数的规范形式。158解图中所示函数的转折点为各段的斜率为则解图中所示函数的转折点为159则分段线性函数的规范形式为返回(back)则分段线性函数的规范形式为返回(back)160

例1

已知一双口电阻元件的伏安关系为式中R1和R2均为正值。试求该元件为无源元件的条件。

解该元件吸收的功率为当时，R是对称正定的，p(t)≥0，该双口电阻元件是无源的。返回(back)例1已知一双口电阻元件的伏安关系为返回(back)161例2设双口电感元件的电感矩阵为证明该元件是无源元件的充分必要条件是对称正定。证明：1°必要性的证明双口电感元件的伏安关系为例2设双口电感元件的电感矩阵为162该元件在时刻t吸收的能量为该元件在时刻t吸收的能量为163（1）先说明元件是有源的。假定则可得取（1）先说明元件是有源的。164这表明,当时，双口电感元件是有源元件。因此，元件无源时，L为对称矩阵。，应有要使（2）当时这表明,当时，双口电感元件是有1652°充分性的证明返回(back)因L对称正定，所以W(t)≥0，并且只有在i=0时，

W(t)=0.因此，L为对称正定矩阵时，该双口电感元件一定为无源元件。2°充分性的证明返回(back)因L对称正定，166例3试说明受控源是有源元件。返回(back)解以VCVS为例说明，其它受控源可作类似讨论。将VCVS的控制支路加一电压源，受控支路接一正值电阻。

t时刻受控源吸收的功率为故VCVS是有源元件。例3试说明受控源是有源元件。返回(back)解以V167例4证明仅由无源元件组成的多口网络是无源的，并且这只是一个充分条件。（无源封闭性）证明:设多口网络由个无源元件组成，这些元件可以是二端的，也可以是多端的。令｛uk，ik｝表示第k个元件的容许信号偶(k＝1，2，…，l)，则对于网络内部的容许信号偶｛ub，ib｝，有由于元件是无源的，对于所有k，都有例4证明仅由无源元件组成的多口网络是无源的，并证明:168返回(back)而t时刻多口网络吸收的功率为到t时刻多口网络吸收的能量为这表明该多口是无源的。这种特性称为封闭性。返回(back)而t时刻多口网络吸收的功率为到t时刻多口网169例4证明仅由互易元件组成的多口网络一定是互易封闭性的；但互易多口网络可含有非互易元件。证明设和是多口网络端口的任意两组容许信号偶，相应的两组内部支路容许信号偶为和。设多口网络由l个元件组成，每个元件相应的容许信号偶为和(k=1,2,…,l)，则由特勒根定理得例4证明仅由互易元件组成的多口网络一定是互易封证明设170由于所有元件都是互易的，所以，对于所有k返回(back)因此根据定义，该多口网络是互易的。由于所有元件都是互易的，所以，对于所有k返回(back)因此171非线性表示的元件1.幂多项式表示法2.分段线性化(Piece-wiseLinear)法。非线性表示的元件1.幂多