信号与系统第5章-拉普拉斯变换与系统函数课件

第5章拉普拉斯变换与系统函数引

言5.1拉普拉斯变换5.2拉普拉斯变换的进一步讨论5.3第5章拉普拉斯变换与系统函数引言5.1拉普拉斯变换5单边拉普拉斯变换用于线性系统分析5.4系统函数5.5模拟滤波器设计简介5.6单边拉普拉斯变换用于线性系统分析5.4系统函数5.5模拟滤波5.1引

言

在前面几章中，我们介绍了信号与系统分析中的时域分析技术与频域分析技术，这两种分析工具是日常应用中最为常用的，尤其是频域分析技术。5.1引言在前面几章中，我们

实际上，基于傅里叶变换的频域分析技术使我们能够用正弦激励的稳态响应来了解系统对非周期信号的响应，物理概念非常清晰，因此在信号分析、系统频率响应、系统带宽等问题上，成为不可或缺的必要分析工具。实际上，基于傅里叶变换的频域分析技术使

但是，任何一种分析工具都存在其局限性，基于傅里叶变换的频域分析技术也是如此。

具体来说，它还存在着如下的不足。但是，任何一种分析工具都存在其局限性，（1）对于工程问题中经常遇到的两类因果信号，即t的指数函数et和t的正幂函数t（＞0），傅里叶变换不存在。一个典型的例子是工程中极为常见的斜坡信号t·ε(t)。（1）对于工程问题中经常遇到的两类因果信号，即t的指数函数e（2）在将输出信号频谱求反变换以得到时域输出时，由于傅里叶反变换涉及的是沿虚轴即j轴的无穷积分，往往遇到数学上的困难。（2）在将输出信号频谱求反变换以得到时域输出时，由于傅里叶反（3）在线性系统的瞬变响应分析问题上，通常存在着非零初始条件，这时，傅里叶分析技术将遇到很大的困难。（3）在线性系统的瞬变响应分析问题上，通常存在着非零初始条件（4）在傅里叶分析的框架内，无法提供系统综合工具，也即不能用频域分析工具按给定的指标要求确定系统结构与参数。（4）在傅里叶分析的框架内，无法提供系统综合工具，也即不能用5.2拉普拉斯变换5.2.1概念的引入

在工程中遇到的实际信号通常为因果信号，时间起点t=0作为所考虑问题有意义的参考起点，因此总可假设t＜0时的信号恒为零，这样，傅里叶变换成为（5-1）5.2拉普拉斯变换5.2.1概念的引入（5-1）

式（5-1）的正确性仍以右端积分的存在为前提。

但对实际工程中遇到的两类指数阶信号，即

（n＞0）和

（＞0），上述积分不可积，因此傅里叶分析技术将不再有效。式（5-1）的正确性仍以右端积分的存在

究其原因，是因为上述两类信号当

时，信号幅度不衰减，反而增长，也即信号不收敛。究其原因，是因为上述两类信号当

为克服这一问题，引入收敛因子

（

为实常数），构成

，这样如

取得足够大，就可使

在

时趋于零，使

满足绝对可积的条件，从而使其存在傅里叶变换（5-2）为克服这一问题，引入收敛因子（5-2令

，即

，

，式（5-2）成为（5-3）令，即

这样，式（5-3）将x(t)变换成了复平面S上的一个函数X(s)，称之为x(t)的拉普拉斯（Laplace）变换。符号为

。这样，式（5-3）将x(t)变换成了复

由式（5-2）可见，显然收敛因子

中的

越大越正，就越能保证

的傅里叶变换存在。

记

的最小值为

，则当

时，式（5-3）右端的积分收敛。

因此，称x(t)的拉普拉斯变换的收敛域为（5-4）由式（5-2）可见，显然收敛因子（

如果这一收敛域包含了j轴，也即

，则傅里叶变换

成为拉普

拉斯变换X(s)当

轴的一个特殊情况，

即（5-5）如果这一收敛域包含了j轴，也即（5【例5-1】

求

的拉普拉斯变换。解而前已得到显然【例5-1】求的拉普5.2.2双边拉普拉斯变换

在实际应用中，通常使用单边拉普拉斯变换。

为了概念的完整性，这一小节对双边拉普拉斯变换及其收敛域做一介绍。

这一知识在数字信号处理课程中讨论z变换时将会用到。5.2.2双边拉普拉斯变换在实际应

定义：对于信号x(t)（

），称

为x(t)的双边拉普拉斯变换，符号同前，也为

。（5-6）定义：对于信号x(t)（【例5-2】

设信号可表达为

求其双边拉普拉斯变换。【例5-2】设信号可表达为【例5-3】

因果信号

的双边拉普拉斯变换与单边拉普拉斯变换相同，均为

，收敛域也相同，均为

，即右半平面（包括大半或小半，视

而定）。【例5-3】因果信号【例5-4】

因果信号

与非因果信号

具有相同的双边拉普拉斯变换表达式，但收敛域不同。【例5-4】因果信号图5-1f1(t)、f2(t)的双边拉普拉斯变换及其收敛域图5-1f1(t)、f2(t)的双边拉普拉斯变换及其收敛5.2.3拉普拉斯反变换

双边拉普拉斯变换的反变换表达式的推导要用到复变函数的很多知识，这里不予细述，感兴趣的读者可参看相关书籍。

反变换的表达式为（5-9）5.2.3拉普拉斯反变换双边拉普拉

式中，

的取值应位于X(s)的收敛域内，即满足

。式中，的取值应位于X(s)的

式（5-9）通常称为反演公式，X(s)称为象函数，x(t)称为原函数。反变换的符号为

。式（5-9）通常称为反演公式，X(s)

利用反演公式，可分别求出x(t)的因果部分与非因果部分。

因此，反演公式同样适用于单边拉普拉斯反变换。利用反演公式，可分别求出x(t)的因果5.3拉普拉斯变换的进一步讨论5.3.1定义与说明

式（5-3）已给出了单边拉普拉斯变换的定义，这里重写于下：5.3拉普拉斯变换的进一步讨论5.3.1定义与说明图5-23个不同的信号具有相同的单边拉普拉斯变换图5-23个不同的信号具有相同的单边拉普拉斯变换【例5-5】

求(t)的拉普拉斯变换。解

取为“0+”时，取为“0−”时，，即，即【例5-5】求(t)的拉普拉斯变换。，即，即5.3.2反变换

前已指出，式（5-9）所示的反演公式对信号的因果部分与非因果部分均适用，因此也适用于单边拉普拉斯变换的反变换。

但在这种情况下，为了表明所涉及的是因果信号，拉普拉斯反变换可写为5.3.2反变换前已指出，式（5-（5-11）（5-11）

从物理意义上讲，式（5-11）也可理解为将x(t)视为形如

的幅度随指数形式增长或衰减的正弦波的线性组合。从物理意义上讲，式（5-11）也可理

但与傅里叶变换相比，X(s)不能像

一样具有明确的物理意义，因此，X(s)在这个正弦波线性组合中的作用难

以得到物理解释。但与傅里叶变换相比，X(s)不能像

事实上，由于X(s)是一个复平面上的函数，将其视为一个数学上的变换而不强调其物理意义更易理解。事实上，由于X(s)是一个复平面上的

利用复变函数理论中的围线积分、留数定理和约当（Jordon）引理等知识，反变换表达式（5-11）中原函数x(t)的计算可简化为如下所示的留数计算。（5-12）利用复变函数理论中的围线积分、留数定

对于因果信号x(t)，上式中所涉及的留数是在X(s)的收敛边界

以左的半个S平面（包括收敛边界）中

的奇点处的留数。

实际应用中，

的奇点通常为极点。

随着极点阶数的不同，留数的计算也不同。对于因果信号x(t)，上式中所涉及的留（1）若

是

的一阶极点，则（5-13）（1）若是的（2）若

是

的p阶极点，则（5-14）（2）若是的【例5-6】

求

（

）的拉普拉斯反变换。【例5-6】求【例5-7】

用部分分式展开求

（

）的拉普拉斯反变换。【例5-7】用部分分式展开求5.3.3两类重要函数

在工程问题中，除少数例外，绝大多数实际使用的信号都可用两类函数表示：

①t的指数函数；

②t的正幂。

为此，单独设置本小节对这两类函数做一介绍。5.3.3两类重要函数在工程问题中1．t的指数函数et，其中为常数，可以为实数、虚数或复数

根据定义，显然有（5-15）1．t的指数函数et，其中为常数，可以为实数、虚数或复数推论：（1）令式（5-15）中

，得阶跃信号

的变换为（5-16）推论：（5-16）（2）有始正弦信号

（5-17）（2）有始正弦信号（5-17）（3）有始余弦信号

（5-18）（3）有始余弦信号（5-18）（4）指数衰减正弦

（5-19）（4）指数衰减正弦（5-19）（5）指数衰减余弦类似指数衰减正弦情况可得

（5-20）（5）指数衰减余弦（5-20）

比较（2）、（3）与（4）、（5）还可见（5-21）比较（2）、（3）与（4）、（5）还可

式（5-21）很容易根据定义进行证明。

事实上，这是单边拉普拉斯变换的一个重要性质—调制特性。式（5-21）很容易根据定义进行证明2．t的正幂信号tn，n为正整数根据定义2．t的正幂信号tn，n为正整数

继续上面的分部积分运算得到继续上面的分部积分运算得到

而斜坡信号t的变换为故得（5-22）而斜坡信号t的变换为（5-22）5.3.4单边拉普拉斯变换的主要性质1．线性性若

5.3.4单边拉普拉斯变换的主要性质1．线性性

则对任意常数a，b有（5-23）则对任意常数a，b有（5-23）

通常情况下，收敛域为

，也即

与

收敛域的公共部分，但若有

信号对消，收敛域可能会扩大。通常情况下，收敛域为2．尺度变换若则对

，有从定义出发即可证明。

（5-24）2．尺度变换若（5-24）3．延时性质若则（5-25）3．延时性质若（5-25）【例5-8】

求零阶保持器（S/H）单位冲激响应h(t)的拉普拉斯变换。【例5-9】

求图5-4（a）所示信号的拉普拉斯变换。【例5-8】求零阶保持器（S/H）单位冲激响应h(t)的图5-3零阶保持器单位冲激响应的分解图5-3零阶保持器单位冲激响应的分解图5-4例5-9的信号及其分解图5-4例5-9的信号及其分解4．调制特性若则（5-26）4．调制特性若（5-26）

此特性在上一节（式5-21）已经引入，从定义出发即可验证。

由于其中的常数

可以为任何实数、虚数或复数，此性质非常有用。此特性在上一节（式5-21）已经引入，【例5-10】

根据利用调制特性可直接得到【例5-10】根据5．时域微分特性若则当

可变换时（5-27）5．时域微分特性若（5-27）

根据定义，经分部积分操作即可证明此性质。

式（5-27）可推广至高阶导数，这样，时域中的微分运算经变换后将被转换为S域内的代数运算。

因此，这一性质在求解微分方程中非常有用。根据定义，经分部积分操作即可证明此性【例5-11】

电感器上的电压

与

电流

在时域中的关系为【例5-11】电感器上的电压与

设初始电感电流为

，则经拉普拉斯变换后，得（5-28）设初始电感电流为

根据上式，即可得到图5-5（b）所示的S域电感模型。

容易看出，经变换后，电感电压与电流在时域中的微分关系已转换成了代数关系，并计入了初始状态，从而为电路问题的求解带来了极大的方便。根据上式，即可得到图5-5（b）所示图5-5电感电压与电流的关系图5-5电感电压与电流的关系【例5-12】

电容器上的电压

与电流

在时域中的关系为【例5-12】电容器上的电压与电流

设电容器上初始电压为

，则经拉普拉斯变换后，有

或即

相应的S域电容模型如图5-6（b）所示。（5-29）设电容器上初始电压为图5-6电容电压与电流的关系图5-6电容电压与电流的关系6．时域积分特性

时域中对输入信号f(t)的积分运算可表示为

，如图5-7所示。6．时域积分特性时域中对输入信号f(t图5-7时域中的积分运算图5-7时域中的积分运算

由于单边拉普拉斯变换仅关注因果信号或信号的因果部分，积分运算成为由于单边拉普拉斯变换仅关注因果信号或信

对上式右端作拉普拉斯变换，有对上式右端作拉普拉斯变换，有

上式右端第1项在

以及

时均为零，而上式右端第1项在因此，若则有（5-30）因此，若（5-30）

拉普拉斯变换的这一特性把时域中的积分运算也转换成了S域中的代数运算，因此其功用与时域微分特性一样，在求解积分—微分方程时非常有用。拉普拉斯变换的这一特性把时域中的积分运【例5-13】

电容器C上的电压与电容器中电流的时域关系还可表示为

而【例5-13】电容器C上的电压与电容器中电流的时域关系还

因此

对上式两端作拉普拉斯变换并应用时域积分特性得到

与例5-12所得结果相同。因此5.3.5卷积定理

1．时域卷积卷积定理设则

（

）（

）（5-31）5.3.5卷积定理 1．时域卷积卷积定理（

式（5-31）称为时域卷积定理，其

收敛域为

、

的公共部分，通常为

，但如发生

与

之间极点对消，收敛域有可能会扩大。式（5-31）称为时域卷积定理，其

将f2(t)视为系统的单位冲激响应，f1(t)视为输入，则式（5-31）所示的时域卷积定理表明，系统输出的拉普拉斯变换是输入的拉普拉斯变换与系统单位冲激响应的拉普拉斯变换之积。将f2(t)视为系统的单位冲激响应，f【例5-14】

求图5-8所示的半波整流波形x(t)的拉普拉斯变换。【例5-14】求图5-8所示的半波整流波形x(t)的拉普图5-8半波整流波形x(t)图5-8半波整流波形x(t)图5-9单个半周正弦波x1(t)与有始周期冲激串x2(t)图5-9单个半周正弦波x1(t)与有始周期冲激串x2(2．复卷积定理

与时域卷积定理相对应，还有复频域卷积定理，也称复卷积定理。若则

（

）（

）（5-33）2．复卷积定理与时域卷积定理相对应，

式中，

位于

与

的公共收敛域内。

由于

和

的收敛域分别为

和

，而

相当于

，故在p平面上，

应位于如下区域内（5-34）式中，位于

为使上式成立，必须有

这就是式（5-33）右端所示的拉普拉斯变换的收敛域。（5-35）为使上式成立，必须有（5-35）5.4单边拉普拉斯变换用于线性系统分析5.4.1引言

与傅里叶分析不同，使用拉普拉斯变换技术分析线性系统时，所关注的不仅是系统对输入激励信号的响应，而是同时考虑了系统初始状态引起的响应。5.4单边拉普拉斯变换用于线性系统分析5.4.1引言

我们将会看到，在应用拉普拉斯变换的过程中，系统初始条件能被自动地引入，而且，描述系统的时域积分—微分方程将被转换为S域中的代数方程，因而使运算与求解变得十分容易。

在求得S域中的系统输出后，作反变换即可得到时域输出。我们将会看到，在应用拉普拉斯变换的过程5.4.2拉普拉斯变换求解线性微分方程

从数学观点看，LTI系统就是其输入、输出关系可以用常系数积分—微分方程描述的系统，而这一方程的建立则需根据基本的物理定律。5.4.2拉普拉斯变换求解线性微分方程

因此，拉普拉斯变换用于LTI系统分析的实质就是用拉普拉斯变换求解线性微分方程。因此，拉普拉斯变换用于LTI系统分析【例5-15】

系统如图5-10所示，输入为x(t)，求系统输出y(t)。【例5-15】系统如图5-10所示，输入为x(t)，求系图5-10例5-15系统图5-10例5-15系统【例5-16】

系统如图5-11所示，开关S由1至2的时刻为

，求系统的输出

。【例5-16】系统如图5-11所示，开关S由1至2的时刻图5-11例5-16的系统图5-11例5-16的系统

由以上两个例子可以看出，用拉普拉斯变换分析线性系统包括了以下4个步骤。由以上两个例子可以看出，用拉普拉斯变换（1）根据物理定律建立描述系统的微分方程或积分—微分方程。（2）对建立起来的方程中的每一项取拉普拉斯变换，得到在S域中描述系统的代数方程。（1）根据物理定律建立描述系统的微分方程或积分—微分方程。（3）从S域方程中求解出系统响应的变换，即象函数。（4）对输出响应的象函数取拉普拉斯反变换，得到系统的时域输出信号。（3）从S域方程中求解出系统响应的变换，即象函数。5.4.3系统函数的概念

现对上节中例5-15和例5-16所得的S域输出作进一步考察。

为了方便，将输出表达式（5-38）和式（5-44）重写于下：5.4.3系统函数的概念现对上节信号与系统第5章--拉普拉斯变换与系统函数课件

从上面两个表达式的结构不难看出，

和

均表征了系统初始条件引起的激励作用，因此如果用

表示这一等效激励，上面的两个式子均可表为如下的形式：（5-47）从上面两个表达式的结构不难看出，对于式（5-38），有对于式（5-44），有对于式（5-38），有

由式（5-47）可见，若系统输入x(t)改变，X(s)将随之改变；若系统初始条件发生变化，

就将跟着变化。由式（5-47）可见，若系统输入x(

但H(s)不会随系统输入及初始条件

的改变发生变化，因此H(s)应仅由系统的结构与参数决定，即H(s)表征了系统本身，反映了系统的全部性质。但H(s)不会随系统输入及初始条件

在系统分析中，H(s)被称为系统函数，其定义为（5-48）在系统分析中，H(s)被称为系统函数

即系统函数是系统处于零初始条件时，输出信号的拉普拉斯变换Y(s)与输

入信号的拉普拉斯变换X(s)之比。即系统函数是系统处于零初始条件时，输出

在系统处于零初始条件或即零状态时，若输入信号为

，则其输出为系统的单位冲激响应h(t)，因此式（5-48）表明（5-49）在系统处于零初始条件或即零状态时，若

即系统单位冲激响应h(t)与系统函数H(s)构成了一对拉普拉斯变换对

若H(s)的收敛域包含了j轴，则系统的频率响应（5-50）（5-51）即系统单位冲激响应h(t)与系统函数H

但若H(s)的收敛域不包括j轴，则上式不成立。如对于积分器

，其频率响应为但若H(s)的收敛域不包括j轴，则上而系统函数

这时式（5-51）所示的关系并不成立。

初学者在这一点上很容易出错，因此一定要予以注意。而系统函数5.4.4电路的S域模型

在5.4.2节中曾指出，对于比较复杂的系统，往往涉及列写联立微分方程组的情况，这时，如能把系统的时域结构转换成S域结构，也即构成系统的S域模型，就可据此在S域中直接列写出描述系统行为的联立代数方程组，从而避免先列写出联立微分方程组后再作变换的

麻烦。5.4.4电路的S域模型在5.4.

在多回路电路的瞬态响应分析中，这一方

法通常十分有效。

对于由集中参数元件R、L、C构成的电路，为要得到电路的S域模型，首先要对这3种电路

元件得到其S域模型，也即要将各元件时域电压电流关系变换为S域的关系，然后据此得到各元件在S域中的结构。在多回路电路的瞬态响应分析中，这一方（1）电感器L

其时域电压电流关系为（1）电感器L其时域电压电流关系为

两边取拉普拉斯变换得

上式也可写成（5-52）（5-53）两边取拉普拉斯变换得（5-52）（5-53（2）电容器C

其时域电压电流关系为

类似得到S域的电压电流关系（5-54）（2）电容器C其时域电压电流关系为（5-54或

对式（5-52）～式（5-55），都可根据其电压电流关系构成一个S域模型。（5-55）或（5-55）

图5-12所示为电阻器、电感器和电容器的S域元件模型，其中图5-12（a）已在5.3.4节中的例5-11、例5-12见过，其中由初始条件引起的等效源为电压源，而图5-12（b）则是这里所给出的S域模型，其中等效源为电流源。图5-12所示为电阻器、电感器和电容图5-12电阻器、电感器和电容器的S域元件模型图5-12电阻器、电感器和电容器的S域元件模型

对于电阻器R，则由于其电压电流具有线性关系

因此，其S域模型与时域模型相同，仍为R。对于电阻器R，则由于其电压电流具有线性

电路遵循的基本物理定律即基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律在S域中的形式不变。电路遵循的基本物理定律即基尔霍夫电流

其原因为，这两个定律中涉及的量是流入任一节点的各个电流之和及任一回路中各支路电压之和。

根据拉普拉斯变换的线性性质，这两个定律的形式不会改变，即仍然有其原因为，这两个定律中涉及的量是流入任

类似地，戴维宁定理和诺顿定理也可直接用于电路的S域模型。（5-56）（5-56）

根据以上的分析可知，在电路分析中采用S域模型将比采用时域模型更为合理，一是可以避免列写积分—微分方程或联立微分方程组而后进行变换的麻烦，二是可以在S域内对电路结构进行选择或作等效变换，使之与所采用的电路分析方法相适应。根据以上的分析可知，在电路分析中采用

例如，L、C元件的S域电压源模型便于列写电路的回路方程，而其电流源模型则便于列写节点方程。例如，L、C元件的S域电压源模型便于【例5-17】

图5-13所示电路起始于稳态，在t=0时开关断开。求调谐回路中电感两端的电压uL(t)。【例5-17】图5-13所示电路起始于稳态，在t=0时开图5-13单调谐回路中的电感电压图5-13单调谐回路中的电感电压图5-14图5-13电路的初始等效电路图5-14图5-13电路的初始等效电路图5-15t≥0时图5-13电路的S域模型图5-15t≥0时图5-13电路的S域模型5.5系统函数5.5.1系统函数的代数结构与零极点5.4.3节已经引入了系统函数H(s)概念，其定义为5.5系统函数5.5.1系统函数的代数结构与零极点

即系统函数是系统初始条件为零时，输出信号与输入信号两者的拉普拉斯变换之比。

根据定义不难看出，H(s)也间接地反映了系统输出信号与输入信号在时域上的联系。即系统函数是系统初始条件为零时，输出信

因此，系统函数是一个有量纲的量，物理含义视具体物理问题而定。

另一方面，系统函数并不能反映出系统的物理结构，因为对同一个物理问题来说，相同的系统函数也可以用不同的物理结构来实现。因此，系统函数是一个有量纲的量，物理

但是，只要系统函数相同，这些不同的物理结构所构成的系统就具有相同的输入输出关系。

因此，系统函数完全表征了系统本身的性质。但是，只要系统函数相同，这些不同的物理

还需指出的是，系统函数的概念只适用于LTI系统，不适用于时变系统及非线性系统。

对于任一LTI系统，输入信号x(t)与输出信号y(t)之间的关系可用常系数线性微分方程描述，即还需指出的是，系统函数的概念只适用于（5-57）（5-57）

因此，LTI系统的系统函数具有如下的有理分式函数代数结构（5-58）因此，LTI系统的系统函数具有如下的有

式中，N(s)为s的m阶多项式，称为分子多项式；D(s)为s的n阶多项式，称为分母多项式。

对于实际系统而言，所有系数

、

均为实数，且通常有

，而式（5-58）表示的系统被称为n阶系统。式中，N(s)为s的m阶多项式，称为

对式（5-58）的分子多项式N(s)和分母多项式D(s)进行因式分解，式（5-58）成为（5-59）对式（5-58）的分子多项式N(s)

式中，

是分子多项式N(s)的根，

是分母多项式D(s)的根。

在有多个根相同时，也即出现重根或高阶根时，式（5-59）中分子、分母中相应的因子项会发生归并。式中，

在

时，

，因此称

为系统函数H(s)的零

点；在

时，

，因此称

为系统函数H(s)的极点。

在N(s)或D(s)有重根时，称H(s)

有高阶零点或高阶极点。在时，

式（5-59）表明，若系统函数的零点、极点已知时，系统函数H(s)已被决定，至多只差一个常数比例因子。式（5-59）表明，若系统函数的零点

由于这一常数比例因子的作用不随时域参数t而改变，故不会影响系统的动态性能和行为，因此，系统性质也就完全取决于系统函数的零极点。由于这一常数比例因子的作用不随时域参数

把系统函数的零点和极点描绘在S平面中，用“〇”标记零点，用“×”标记极点，就得到了系统的零极点分布图，简称零极点图。把系统函数的零点和极点描绘在S平面中，5.5.2极点分析

系统函数的极点包含了系统的时域响应形式及稳定性的信息，本小节对此做一分析。

由于实际应用中遇到的系统函数

通常有

，因此H(s)可展开为部分分式的形式。5.5.2极点分析系统函数的极点1．单极点情况此时，H(s)的部分分式展开表达式为

（5-60）1．单极点情况此时，H(s)的部分分式展对上式两端作拉普拉斯反变换，得到（5-61）对上式两端作拉普拉斯反变换，得到（5-6也即H(s)的每个极点在时域上对应一项形为的单位冲激响应项（5-62）也即H(s)的每个极点在时【例5-18】在5.4.4节例5-17中，对于给定的数值条件，得到了现将其视为某系统的传输函数，求此系统的单位冲激响应。【例5-18】在5.4.4节例5-17中，对于给定的数值2．高阶极点情况此情况对应于分母多项式D(s)的根具有重根。设在处具有r个重根，则D(s)中存在着这一因子。此时，H(s)的部分分式展开表达式将与式（5-60）不同，而成为2．高阶极点情况此情况对应于分母多项式（5-64）（5-64）因此，系统单位冲激响应中相应于此高阶极点的项为因此，系统单位冲激响应中相应于此高阶极显然，仅当，上述各项才能随而趋于消失。需要特别指出的是，此时，即使，也只有最后一项在时保持不变，其余各项仍将趋于无穷，因此系统不稳定。显然，仅当换言之，如系统在j轴有极点，则仅当为一阶极点时系统才是临界稳定的。换言之，如系统在j轴有极点，则仅当为在为复极点时，也仍将是H(s)的r阶复极点，且H(s)的部分分式展开式相应项的系数也仍具共轭关系。在为复极点时，也仍因此，这一对高阶极点所对应的单位冲激响应项将具和的形式。因此，这一对高阶极点所对应的单位冲激响综上所述，H(s)的极点分析提供了判别系统稳定性的一个有效方法，避免了在时域中求取h(t)而后再作判断的麻烦。综上所述，H(s)的极点分析提供了判由于H(s)的极点就是其分母多项式D(s)的根，所以D(s)通常被称为是H(s)的特征多项式，而（5-65）由于H(s)的极点就是其分母多项式D则被称为是系统的特征方程，其根称为特征根。因此，系统函数H(s)的极点也就是系统的特征根。则被称为是系统的特征方程，其根称为特这样，系统稳定性问题就归结为求系统的特征根，在D(s)为S的高阶多项式情况下，这将涉及高阶代数方程的求根问题。这样，系统稳定性问题就归结为求系统的由于高阶方程根的求解并非易事，所以工程中广泛使用了可以避开直接求特征根的罗斯-霍尔维茨（Ruth-Hurwich）稳定性准则，有些书中也称之为劳斯稳定判据。由于高阶方程根的求解并非易事，所以工程从使用的角度而言，掌握这一准则相当简单，有兴趣的读者可参看相关书籍。从使用的角度而言，掌握这一准则相当简单5.5.3其他相关问题简述1．H(s)的零点2．从H(s)求取H(j)3．系统的自由响应和强迫响应5.5.3其他相关问题简述1．H(s)的零点图5-16图解求取H

(j)的示意图图5-16图解求取H

(j)的示意图【例5-19】设系统函数为设系统初始松弛，①，；②，。求系统输出y(t)。【例5-19】设系统函数为解此题中，系统输出y(t)是系统的零状态响应。解此题中，系统输出y(t)是系统的零状态响应。5.6模拟滤波器设计简介5.6.1引言前已所述，可实现的系统函数H(s)通常总具如下形式：（5-68）5.6模拟滤波器设计简介5.6.1引言（5-68）本节以低通滤波器为例，说明如何给出滤波器指标，然后根据指标要求来寻求合适的H(s)，也即寻求合适的分子、分母多项式系数，使H(s)的频率特性满足要求。本节以低通滤波器为例，说明如何给出滤波之所以以低通滤波器为例，是因为其他滤波器（高通、带通、带阻）都是在低通原型滤波器基础上作频率变换得到的。之所以以低通滤波器为例，是因为其他滤波所谓原型滤波器是指其频率特性中的通带频率取为归一化频率c=1rad/s，实际滤波器参数则根据原型滤波器进行频率变换得到。所谓原型滤波器是指其频率特性中的通带频5.6.2指标给定我们此前已指出，理想低通滤波器是个非因果系统，因而是物理上不可实现的。5.6.2指标给定我们此前已指出对于物理上可实现的系统而言，其幅频特性与相频特性并不是相互独立的，它们必须遵循希尔伯特（Hillbert）变换关系以及佩利-维纳（Paley-Wiener）关系。对于物理上可实现的系统而言，其幅频特在实际工程问题中，滤波问题中通常主要关注的是幅频特性，因此，滤波器的设计指标均是关于幅度特性的要求给出的，而将相位特性随后处理，必要时再予以改善校正。在实际工程问题中，滤波问题中通常主要关下面我们再从H(s)的可实现形式即式（5-57）出发，对理想低通滤波器的可实现性作一考察。下面我们再从H(s)的可实现形式即式由图5-17可知，理想低通滤波器的幅频特性在通带内内是一常数，在止带中则要求为零。由图5-17可知，理想低通滤波器的幅但由H(s)的表达式可见，可供调节的系数只有个，因此要使所有频率处的幅频特性满足理想特性显然是不可能的。但由H(s)的表达式可见，可供调节的例如，使的系数只有m个，这样就最多只能产生m个传输零点，即只能在m个值处使，因而无法做到在时恒为零。例如，使的因此，实际滤波器的幅频特性要求通常以容差方式给出，也即以幅频特性的允许误差方式给出，如图5-18所示。图中，幅频特性的容差以幅度平方特性的方式给出，其原因在随后的分析中即可明白。因此，实际滤波器的幅频特性要求通常以容图5-17理想低通滤波器的幅频特性与相频特性图5-17理想低通滤波器的幅频特性与相频特性

图5-18低通滤波器频率响应幅度平方特性的容差图图5-18低通滤波器频率响应幅度平方特性的容差图1．通带指标在通带内，希望该频率范围内的所有信号分量都能接近无损地通过，因此指标以通带内允许的最大起伏（波纹）γ给出，且用分贝表示（dB）（5-69）1．通带指标在通带内，希望该频率范围内式中，为通带内幅频特性的最大值，为通带内幅频特性的最小值。式（5-69）还可写成（dB）（5-70）式中，为通带内幅频特性在图5-18中，A2max=1，，因此式（5-70）相当于式中，1表征了通带内幅频特性的允许误差。（5-71）在图5-18中，A2max=1，若1=2dB，可算得，从而Amin=0.7943；=3dB，则Amin=0.7079；=1dB，则Amin=0.8912。若1=2dB，可算得2．止带指标在止带内，幅频特性应接近于零，因此滤波器的止带指标是可以容忍的最小衰减δ，也以分贝表示（dB）（5-72）2．止带指标在止带内，幅频特性应接近即止带内的幅度平方特性在0与之间变动。即止带内的幅度平方特性在0与2表征了止带内幅频特性的起伏。需要说明的是，在某些滤波器设计方法中，无须涉及1、2这两个参数，而在另外一些设计方法中，1、2将是设计过程中的有用参数。2表征了止带内幅频特性的起伏。若=−20dB，则止带内可接受的最小衰减至少为，即止带内的信号分量应至少衰减10倍，此时相应的2=0.0101。若=−20dB，则止带内可接受的最5.6.3滤波器系统函数的求取给定指标后，所需完成的任务就成为从给定的幅度特性指标出发，找出物理上可实现的系统函数H(s)。这一幅度指标通常以幅度平方特性给出。5.6.3滤波器系统函数的求取给这一任务分成两个部分：（1）根据给定的幅度平方特性选用合适的|H(j)|2表达式；（2）从|H(j)|2的表达式出发寻求物理可实现的滤波器系统函数H(s)。这一任务分成两个部分：1．|H(j)|2的形式2．从选定的|H(j)|2表达式出发寻求稳定的H(s)1．|H(j)|2的形式图5-19以原点为中心象限对称分布的极点图5-19以原点为中心象限对称分布的极点从|H(s)|2中分离得到稳定的H(s)的步骤如下。（1）将选定的幅度平方函数|H(j)|2表达式中的以代替，得到|H(s)|2。从|H(s)|2中分离得到稳定的H(s（2）求出|H(s)|2的所有极点。（3）把|H(s)|2左半平面的极点划归H(s)，右半平面的极点划归H(−s)。（2）求出|H(s)|2的所有极点。（4）j轴上的每对二阶共轭极点分成两对一阶共轭极点，分划给H(s)和H(−s)各得一对。由此得到的H(s)就是所求的滤波器系统函数。（4）j轴上的每对二阶共轭极点分成两对一阶共轭极点，分划给5.6.4滤波器的巴特沃思逼近设计在滤波器设计中，设计者可根据具体需求选用不同类型的幅度平方特性函数表达式进行逼近。5.6.4滤波器的巴特沃思逼近设计下面以最简单的巴特沃思（Butterworth）逼近设计为例，介绍根据幅度平方函数求取H(s)的方法。下面以最简单的巴特沃思（Butter巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数为（5-76）巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数为（将上式与式（5-74）进行比较，可知此时式（5-74）分子多项式中各系数除外均为零，而分母多项式仅取两项。将上式与式（5-74）进行比较，可知图5-20巴特沃思滤波器的幅频特性|A(j)|曲线图5-20巴特沃思滤波器的幅频特性|A(j)|曲线【例5-20】求截止频率c=1rad/s的三阶巴特沃思原型低通滤波器的系统函数。【例5-20】求截止频率c=1rad/s的三阶巴特沃思图5-21N=3时H

(s)H

(−s)的极点分布图5-21N=3时H

(s)H

(−s)的极点分布图5-22N=2时H(s)H(-s)的极点分布图5-22N=2时H(s)H(-s)的极点分布本章小结本章介绍了基于拉普拉斯变换的复频域分析方法，即S域分析方法。本章小结本章介绍了基于拉普拉斯从工程中常见的有始信号即因果信号作用于LTI系统出发，主要介绍了拉普拉斯变换的定义、收敛域、主要性质及反变换的求取；单边拉普拉斯变换用于求解线性常系数微分方程；电路的S域模型；系统函数及其零、极点分析等。从工程中常见的有始信号即因果信号作用于这些基本内容所涉及的概念和运算是必须理解和熟练掌握的。这些基本内容所涉及的概念和运算是必须此外，本章还简要介绍了模拟滤波器设计的初步知识，其目的是用于具体说明系统函数在系统实现中的作用，同时也为后续课程“数字信号处理”中的数字滤波器的设计提供所需的预备知识。此外，本章还简要介绍了模拟滤波器设计的通过本章的学习，可以看到复频域分析把信号通过系统的分析从j轴推广到了S平面，有效地克服了本章引言中指出的频域分析方法的弱点。通过本章的学习，可以看到复频域分析把但是，需再次强调指出的是，任何一种分析工具有其适用性，也都有其局限性，因此，复频域分析方法并不能完全替代频域分析方法。但是，需再次强调指出的是，任何一种分析事实上，凡涉及信息传输的问题，由于基于傅里叶分析的频域分析方法能够通过正弦激励的稳态响应来了解系统对非周期信号的响应，可以形成信号频谱、信号带宽和系统频率特性、系统带宽等具有清晰物理意义的概念，因此此类问题的主要分析工具仍是傅里叶分析技术，即频域分析。事实上，凡涉及信息传输的问题，由于基另一方面，在控制工程中，必然会涉及系统的状态和动态特性，因此基于拉普拉斯变换的S域分析方法就成为首选。另一方面，在控制工程中，必然会涉以后将会见到，在“数字信号处理”中，由于信号处理问题中既涉及了信号通过系统的分析，又涉及了系统的实现，因此频域分析和复频域分析这两种分析方法均会用到。以后将会见到，在“数字信号处理”中，由第5章拉普拉斯变换与系统函数引

言5.1拉普拉斯变换5.2拉普拉斯变换的进一步讨论5.3第5章拉普拉斯变换与系统函数引言5.1拉普拉斯变换5单边拉普拉斯变换用于线性系统分析5.4系统函数5.5模拟滤波器设计简介5.6单边拉普拉斯变换用于线性系统分析5.4系统函数5.5模拟滤波5.1引

言

在前面几章中，我们介绍了信号与系统分析中的时域分析技术与频域分析技术，这两种分析工具是日常应用中最为常用的，尤其是频域分析技术。5.1引言在前面几章中，我们

实际上，基于傅里叶变换的频域分析技术使我们能够用正弦激励的稳态响应来了解系统对非周期信号的响应，物理概念非常清晰，因此在信号分析、系统频率响应、系统带宽等问题上，成为不可或缺的必要分析工具。实际上，基于傅里叶变换的频域分析技术使

但是，任何一种分析工具都存在其局限性，基于傅里叶变换的频域分析技术也是如此。

具体来说，它还存在着如下的不足。但是，任何一种分析工具都存在其局限性，（1）对于工程问题中经常遇到的两类因果信号，即t的指数函数et和t的正幂函数t（＞0），傅里叶变换不存在。一个典型的例子是工程中极为常见的斜坡信号t·ε(t)。（1）对于工程问题中经常遇到的两类因果信号，即t的指数函数e（2）在将输出信号频谱求反变换以得到时域输出时，由于傅里叶反变换涉及的是沿虚轴即j轴的无穷积分，往往遇到数学上的困难。（2）在将输出信号频谱求反变换以得到时域输出时，由于傅里叶反（3）在线性系统的瞬变响应分析问题上，通常存在着非零初始条件，这时，傅里叶分析技术将遇到很大的困难。（3）在线性系统的瞬变响应分析问题上，通常存在着非零初始条件（4）在傅里叶分析的框架内，无法提供系统综合工具，也即不能用频域分析工具按给定的指标要求确定系统结构与参数。（4）在傅里叶分析的框架内，无法提供系统综合工具，也即不能用5.2拉普拉斯变换5.2.1概念的引入

在工程中遇到的实际信号通常为因果信号，时间起点t=0作为所考虑问题有意义的参考起点，因此总可假设t＜0时的信号恒为零，这样，傅里叶变换成为（5-1）5.2拉普拉斯变换5.2.1概念的引入（5-1）

式（5-1）的正确性仍以右端积分的存在为前提。

但对实际工程中遇到的两类指数阶信号，即

（n＞0）和

（＞0），上述积分不可积，因此傅里叶分析技术将不再有效。式（5-1）的正确性仍以右端积分的存在

究其原因，是因为上述两类信号当

时，信号幅度不衰减，反而增长，也即信号不收敛。究其原因，是因为上述两类信号当

为克服这一问题，引入收敛因子

（

为实常数），构成

，这样如

取得足够大，就可使

在

时趋于零，使

满足绝对可积的条件，从而使其存在傅里叶变换（5-2）为克服这一问题，引入收敛因子（5-2令

，即

，

，式（5-2）成为（5-3）令，即

这样，式（5-3）将x(t)变换成了复平面S上的一个函数X(s)，称之为x(t)的拉普拉斯（Laplace）变换。符号为

。这样，式（5-3）将x(t)变换成了复

由式（5-2）可见，显然收敛因子

中的

越大越正，就越能保证

的傅里叶变换存在。

记

的最小值为

，则当

时，式（5-3）右端的积分收敛。

因此，称x(t)的拉普拉斯变换的收敛域为（5-4）由式（5-2）可见，显然收敛因子（

如果这一收敛域包含了j轴，也即

，则傅里叶变换

成为拉普

拉斯变换X(s)当

轴的一个特殊情况，

即（5-5）如果这一收敛域包含了j轴，也即（5【例5-1】

求

的拉普拉斯变换。解而前已得到显然【例5-1】求的拉普5.2.2双边拉普拉斯变换

在实际应用中，通常使用单边拉普拉斯变换。

为了概念的完整性，这一小节对双边拉普拉斯变换及其收敛域做一介绍。

这一知识在数字信号处理课程中讨论z变换时将会用到。5.2.2双边拉普拉斯变换在实际应

定义：对于信号x(t)（

），称

为x(t)的双边拉普拉斯变换，符号同前，也为

。（5-6）定义：对于信号x(t)（【例5-2】

设信号可表达为

求其双边拉普拉斯变换。【例5-2】设信号可表达为【例5-3】

因果信号

的双边拉普拉斯变换与单边拉普拉斯变换相同，均为

，收敛域也相同，均为

，即右半平面（包括大半或小半，视

而定）。【例5-3】因果信号【例5-4】

因果信号

与非因果信号

具有相同的双边拉普拉斯变换表达式，但收敛域不同。【例5-4】因果信号图5-1f1(t)、f2(t)的双边拉普拉斯变换及其收敛域图5-1f1(t)、f2(t)的双边拉普拉斯变换及其收敛5.2.3拉普拉斯反变换

双边拉普拉斯变换的反变换表达式的推导要用到复变函数的很多知识，这里不予细述，感兴趣的读者可参看相关书籍。

反变换的表达式为（5-9）5.2.3拉普拉斯反变换双边拉普拉

式中，

的取值应位于X(s)的收敛域内，即满足

。式中，的取值应位于X(s)的

式（5-9）通常称为反演公式，X(s)称为象函数，x(t)称为原函数。反变换的符号为

。式（5-9）通常称为反演公式，X(s)

利用反演公式，可分别求出x(t)的因果部分与非因果部分。

因此，反演公式同样适用于单边拉普拉斯反变换。利用反演公式，可分别求出x(t)的因果5.3拉普拉斯变换的进一步讨论5.3.1定义与说明

式（5-3）已给出了单边拉普拉斯变换的定义，这里重写于下：5.3拉普拉斯变换的进一步讨论5.3.1定义与说明图5-23个不同的信号具有相同的单边拉普拉斯变换图5-23个不同的信号具有相同的单边拉普拉斯变换【例5-5】

求(t)的拉普拉斯变换。解

取为“0+”时，取为“0−”时，，即，即【例5-5】求(t)的拉普拉斯变换。，即，即5.3.2反变换

前已指出，式（5-9）所示的反演公式对信号的因果部分与非因果部分均适用，因此也适用于单边拉普拉斯变换的反变换。

但在这种情况下，为了表明所涉及的是因果信号，拉普拉斯反变换可写为5.3.2反变换前已指出，式（5-（5-11）（5-11）

从物理意义