注岩土力学讲义地基中的应力

第二节地基中的应力计算基础沉降以及对地基进行强度与稳定性分析时，均须知道土（地基）中应力分布。土中应力可分为自重应力和附加应力，现分述如下。一、土中自重应力由于土体自身重力所引起的应力称为自重应力，它一般情况下不产生地基沉降。假定地基是半无限空间体（即具有一个水平界面的无限空间体），当土质均匀时，土的一自重可视为分布面积为无限的荷载。地基内任一竖直面均是对称面，故不存在剪应力和横向变形，只产生竖向变形。地面下任意深度处，土的自重应力分布见图18-7。计算式如下二、基底接触压力（一）在中心荷载作用下，基底压力均匀分布(18-16)(18-17)式中：pk--相应于荷载效应标准组合时，基础底面的平均压力(kPa)；Fk--相应于荷载效应标准组合时，上部结构传至基础顶面的竖向力值(kN)；Gk--基础自重与基础上土的总重(kN)；A--基础底面积(m2)--基础平均埋深；γG--基础及上覆土平均重度，地下水位以上取20kN/m3，地下水位以下取l0kN/m3。如基础为条形（长度大于宽度的10倍），则沿长度方向取1m来计算。此时上式中的Fk、Gk代表每延米内的相应值，A代表条形基础宽度。（二）偏心荷载作用下的基底压力对于单向偏心荷载作用下的矩形基础，基础底面两侧的最大与最小边缘压力pkmax、pkmin按下式计算式中：l——矩形基础的长边(m)，此处l为偏心方向的基础边长(条形基础为b);b——矩形基础的短边(m)；Mk——相应于荷载效应标准组合时，作用于（矩形底面）的力矩(kN﹒m)，W——基础底面的抵抗矩(m3)，；e——偏心距,，视其大小，基底压力分布可呈三角形、梯形、相对三角形。为了减少因地基应力不均匀而引起过大的不均匀沉降，一般要求pkmax/pkmin≤1.5～3。当偏心距e>l/6时（见图18-8），pkmax应按下式计算(18-19)式中：b--垂直于力矩作用方向的基础底面边长；a--合力作用点至基础底面最大压力边缘的距离，。对于条形基础，计算原则同上。三、基底附加应力由于修建建筑物的荷载在其基底处土体上所引起的应力增量，即接触压力与自重应力之差(见图18-9)为P0=pk-σc=pk-γmd(18-20)式中：pk--相应于荷载效应标准组合时基础底面的平均压力(kPa)；P0--基底附加应力；γm--埋深范围内土的加权平均重度，地下水位以下取浮重度(kN/m3)，γm=∑γihi/d；d--基础埋置深度(m)。四、地基中的附加应力由基底附加应力所引起的地基中的应力增量，即基底附加应力向地基中逐渐扩散并逐渐减小的应力，可用通式表达为(18-21)式中：--地基中任意点处竖向附加应力；K--土中附加应力系数，K<l，且与基底处的受荷面积、荷载分布情况、所求点的平面位置、距基底面的深度有关，可分如下各种情况求解，但基本理论为弹性力学方法及等代荷载原则。按荷载在地基各点引起的应力状况，又分为空间问题和平面问题两大类。（一）空间问题1．竖向集中力作用下的附加应力——布辛奈斯克解，地面（或基底）作用竖向集中力P时，离此力作用点竖向距离（深度）为z、径向距离为r处的竖向附加应力为(18-22)式中：K--应力系数，由比值r/z确定。2．均布矩形荷载作用下的附加应力设矩形荷载面的长度和宽度分别为l和b，作用于地基上的竖向均布荷载（如中心荷载作用下的基底附加压力）为P0。以积分法和角点法可求得矩形荷载作用下任意点的地基附加应力。以矩形荷载面角点为坐标原点O(见图18-10)，则在角点O下任意深度z的M点竖向附加应力(18-23)式中：Kc——角点应力系数，由边比m=l/b,及n=z/b确定（b为荷载面的短边）。角点法可用来求矩形荷载面积下地基中任一点的附加应力。其实质有两点，首先以所求点的水平投影为控制点，将荷载平面（或其扩大面）分为若干矩形，求各矩形荷载（有可能为虚拟的）作用下的附加应力，再按等代荷载原则求其代数和，展皿使最终的附加应力为真实荷载作用下的结果。应注意的是，无论如何要使所求点在所划分的若干矩形的公共角点下，求附加应力系数时l、b为每个矩形的长边、短边尺寸。3．矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力利用图18-11可求矩形面积上作用着三角形分布的荷载，在角点下任意深度处M点的附加应力。其系数的选取，应注意角点的位置，在荷载为零处与荷载最大处是不同值，分别用脚标1、2代表。P0为最大荷载。，(18-24)Kt1，、Kt2按l/b、z/b查表确定。4．圆形面积均布荷载作用下地基附加应力(18-25)利用图18-12可求圆心下任意点的附加应力，其系数Kr可根据r/r0、z/r0查相应表格，r0为圆的半径。【例18-5】在相同的地基上，甲、乙两条形基础的埋深相等，基底附加压力相等，基础甲的宽度是基础乙的2倍。在基础中心以下相同深度z(z>0)处基础甲的附加应力与基础乙的附加应力相比：A．>，且>2B．>，且<2C．>，且=2D．>，但与2的关系尚要根据深度z与基础宽度的比值确定解根据土中附加应力计算公式：以，基底附加应力p0不变，只要比较两基础的土中附加应力系数αA和αB即可。沿条形基础长度方向取1m作为研究对象，即b=lm。由题意可知，基础埋深相同，即zA=zB，故zA/b=zB/b。根据矩形面积受均布荷载作用时角，点下应力系数表，当lA=2lB时，(lA/2)/b与zA/b所确定的附加应力系数αA小于2倍的附加应力系数αB[根据(lB/2)/b与zB/b所确定]，即αA<2αB。答案：B（二）平面问题其特点是荷载沿y坐标轴均匀分布而无限延伸，因此与y轴垂直的任何平面上对应点的应力状态都完全相同。1．线荷载线荷载是在半空间表面上一条无限长直线上作用的均布荷载。如图18-13所示，设一个竖向线荷载(kN/m)作用在y坐标轴上，求得地基中任意点M处由引起的竖向附加应力为(18-26)2．均布的条形荷载竖向条形荷载沿宽度方向（图18-14中x轴方向）均匀分布为p0，采用直角坐标表示。取条形荷载的中点为坐标原点，则M(x，z)点的三个附加应力分量为(18-27)实用中只计算垂直附加应力以，其附加应力系数Ksz按z/b、x/b查相应表格。矩形面积均布荷载作用Ub≥10时，可视为条形均布荷载作用。（三）地基附加应力的分布规律讨论(l)不仅发生在荷载面积之下，而且分布在荷载面积外相当大的范围之下；(2)在荷载分布范围内任意点沿垂线的值，随深度越向下越小；(3)在基础底面下任意水平面上，以基底中心点下轴线处的为最大，离其越远越小。图18-15a）、b）为地基附加应力等值线，由方形荷载所引起的，其影响深度要比条形荷载小得多。以=0.lp0的受力区影响范围为例，均布条形荷载下=0.lp0的等值线约在中心下z=6b处通过，而方形荷载下相应深度z仅达2b。图18-15c）、d）分别为条形荷载下的和的等值线图。图中可见的影响范围较浅，所以基底下地基土侧向变形主要发生在浅层；而的最大值出现于荷载边缘，所以位于基础边缘下的土容易发生剪切滑动而出现塑性变形区。【例18-6】关于土的自重应力，下列说法正确的是：A．土的自重应力只发生在竖直方向上，在水平方向上没有自重应力B．均质饱和地基的自重应力为，其中为饱和重度，h为计算位置到地表的距离C．表面水平的半无限空间弹性地基，土的自重应力计算与土的模量没有关系