13柱坐标系与球坐标系课件

主备：冯宗明喻浩徐洪燕审核：牟必继外在压力增加时，就应增强内在的动力。

1.3柱坐标系与球坐标系主备：冯宗明喻浩徐洪燕审核：牟必继外在压力1yxz

如图，是单位正方体．以O为原点，分别以射线OA,OC,的方向为正方向，以线段OA,OC,的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．复习回顾：1、空间直角坐标系的相关概念ABCOyxz如图，2oxyzＡabc(a,b,c)经过A点作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于三点，三点在相应的坐标轴上的坐标a,b,c组成的有序实数对（a,b,c)叫做点Ａ的坐标记为：Ａ（a,b,c)2、空间直角坐标系中的点的坐标的表示oxyzＡabc(a,b,c)经过A点作三个平面分别垂直3问题情境

右图是一个圆形体育场，自正东方向起，按逆时针方向等分为十二个扇形区域，顺次记为一区，二区……十二区.我们设圆形体育场第一排与体育中心O的距离为300m，每相邻两排的间距为1m，每层看台的高度为0.6m.现在需要确定第九区第三排正中的位置A，如何描述这个位置？现实生活中，人们经常需要确定空间一个点的位置。如问题情境右图是一个圆形体育场，自正东方向起，4问题情境GPS系统包括三大部分：空间部分-----GPS卫星星座；地面控制部分-----地面监控系统；用户设备部分-----GPS信号接收机。问题情境GPS系统包括三大部分：空间部分-----GPS卫星5问题情境那么怎样确定它们在空间的位置呢?

GPS的空间部分是由24颗工作卫星组成,它位于距地表20200km的上空,均匀分布在6个轨道面上(每个轨道面4颗),轨道倾角为55°。此外,还有4颗有源备份卫星在轨运行。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星,并能保持良好定位解算精度的几何图象。这就提供了在时间上连续的全球导航能力。问题:问题情境那么怎样确定它们在空间的位置呢?GPS6在平面极坐标系的基础上，通过极点O，再增加一条与极坐标系所在平面垂直z轴，这样就建立了柱坐标系。一.柱坐标系yzxo在平面极坐标系的基础上，通过极点O，再增加一条与极坐7其中r≥0,0≤θ＜2π,Z∈R特别地，r=常数，表示的是以z轴为轴的圆柱面；

θ=常数，表示的是过z轴的半平面；

z

=常数，表示的是以与xOy平面平行的平面。设P(x,y,z)是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，Q点的极坐标为(r,θ

),则P的位置可用有序数组(r,θ,

z)表示,(r,θ,

z)叫做点P的柱坐标.QθP(x,y,z)P(r,θ,z)(r,θ)xyzo其中r≥0,0≤θ＜2π,Z∈R特别地，r=常数，表示8

柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.说明：1.这一组公式就是：空间点P的柱坐标(r,θ,Z)向点P的直角坐标(x,y,z)转化公式。二、同一点的柱坐标P(r,θ,Z)和空间直角坐标P(x,y,z)的互化公式：柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标92.通过上面一组公式的变形可得到：空间点P的直角坐标(x,y,z)向点这P的柱坐标(r,θ,Z)转化公式。2.通过上面一组公式的变形可得到：空间点P的直角坐标(x,10试一试设点的直角坐标为(1,-1,1),求它在柱坐标系中的坐标.∴

θ是第二象限角注:求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致点在柱坐标系中的坐标为（，，1）

∴θ=∵x=1>0,y=-1<0试一试设点的直角坐标为(1,-1,1),求它在柱坐标系中的坐111.设P点的柱坐标为，求它的直角坐标.2.设M点的直角坐标为，求它的柱坐标.练习1.设P点的柱坐标为，求它的直角坐标.12思考：点P的柱坐标为(ρ,θ,

z)，(1)当ρ为常数时，点P的轨迹是____(2)当θ为常数时，点P的轨迹是___(3)当z为常数时，点P的轨迹是_____圆柱面半平面平面θxyzoP(ρ,θ,z)(ρ,θ)Q思考：圆柱面半平面平面θxyzoP(ρ,θ,z)(ρ,θ)13试一试

给定一个底面半径为r，高为h的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述圆柱侧面以及底面上点的位置.xyzo注：坐标与点的位置有关试一试给定一个底面半径为r，高为h的圆xyzo注：坐标与142.球坐标系2.球坐标系15思考：在实际生活或科学研究领域，有时需要描述球面上一点的位置，如某市的经纬度：北纬42°，东经119°.思考：在实际生活或科学研究领域，有时需要描述球面上一点的位置16地球的纬度地球的纬度17地球的纬度与经度：地球的纬度与经度：18三、球坐标系的相关概念。θxyzoQPr

建立空间直角坐标系Oxyz.设P(x,y,z)是空间任意一点，记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为j.点P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.则P的位置可用有序数组(r,j,θ)表示，(r,j,θ)叫做点P的球坐标.P(r,j,θ)r,j,θ的取值范围分别是三、球坐标系的相关概念。θxyzoQPr建立空间直角坐19xθyoQP(r,j,θ)rz

说明：1.这一组公式就是：空间点P的球坐标(r,j,θ)向点P的直角坐标(x,y,z)转化公式。四、同一点的球坐标P(r,

j,θ)和空间直角坐标P(x,y,z)的互化公式：xθyoQP(r,j,θ)rz说明：1.这一组公式就是20xθyoQP(r,j,θ)rz2.通过上面一组公式的变形可得到：空间点P的直角坐标(x,y,z)向点P的球坐标

(r,j,θ)转化公式。xθyoQP(r,j,θ)rz2.通过上面一组公式的21试一试例1.设点的球坐标为(2，，)，求它的直角坐标.∴点在直角坐标系中的坐标为(－1,1,－)∵试一试例1.设点的球坐标为(2，，)，求∴22试一试例2.设点P的直角坐标为(2，，4)，求点P的球坐标.(课本：21页例2)∴点P的球坐标为(,,)练习.设M点的直角坐标为,那么它的球坐标是

.试一试例2.设点P的直角坐标为(2，，4)，求∴点P232.设M点的直角坐标为，那么它的球坐标是练习B2.设M点的直角坐标为，那么它的球坐24思考：点P的球坐标为(r,j,θ)，(1)当r为常数时,点P的轨迹是____(2)当

j为常数时，点P的轨迹是____(3)当θ为常数时，点P的轨迹是___以原点为球心，这个常数为半径的球面以原点为顶点，z轴为轴圆锥面或平面或射线过z轴的半平面θxyzoQP(r,j,θ)r思考：以原点为球心，这个常数为半径的球面以原点为顶点，z轴为25数轴平面直角坐标系平面极坐标系空间直角坐标系球坐标系柱坐标系

坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化，从而产生了坐标法.坐标系小结数轴平面直角坐标系平面极坐标系空间直角坐标系球坐标系柱坐标系26小结1.球坐标系学习目标：(1)理解球坐标三个分量的几何意义；(2)能够将球坐标转化为直角坐标.2.将球坐标转化为直角坐标：小结1.球坐标系学习目标：2.将球坐标转化为直角坐标：27谢谢大家谢谢大家28二.球坐标系阅读课本P21-22了解球坐标系的概念以及在球坐标系中点的确定二.球坐标系阅读课本P21-22了解球坐标系的概念以29xyzoPQθrφ设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|=r，OP与OZ轴正向所夹的角为φ.在oxy平面的射影为Q，设P在oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r,j,θ)表示.(r,φ,θ)xyzoPQθrφ设P是空间任意一点，连接OP，记|OP30

我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系).有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，其中xyzoP(r,φ,θ)Qθrφ

空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系.我们把建立上述有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标31空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标32数学运用例1、建立适当的球坐标系，表示棱长为1的正方体。xzABCGDEFO数学运用例1、建立适当的球坐标系，表示棱长为1的正方体。xz33

空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,q,j

)之间的变换关系:建构数学OzjqrP(r,q,j)yxzr≥0,0≤≤,0≤＜2Q空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,34主备：冯宗明喻浩徐洪燕审核：牟必继外在压力增加时，就应增强内在的动力。

1.3柱坐标系与球坐标系主备：冯宗明喻浩徐洪燕审核：牟必继外在压力35yxz

如图，是单位正方体．以O为原点，分别以射线OA,OC,的方向为正方向，以线段OA,OC,的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．复习回顾：1、空间直角坐标系的相关概念ABCOyxz如图，36oxyzＡabc(a,b,c)经过A点作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于三点，三点在相应的坐标轴上的坐标a,b,c组成的有序实数对（a,b,c)叫做点Ａ的坐标记为：Ａ（a,b,c)2、空间直角坐标系中的点的坐标的表示oxyzＡabc(a,b,c)经过A点作三个平面分别垂直37问题情境

右图是一个圆形体育场，自正东方向起，按逆时针方向等分为十二个扇形区域，顺次记为一区，二区……十二区.我们设圆形体育场第一排与体育中心O的距离为300m，每相邻两排的间距为1m，每层看台的高度为0.6m.现在需要确定第九区第三排正中的位置A，如何描述这个位置？现实生活中，人们经常需要确定空间一个点的位置。如问题情境右图是一个圆形体育场，自正东方向起，38问题情境GPS系统包括三大部分：空间部分-----GPS卫星星座；地面控制部分-----地面监控系统；用户设备部分-----GPS信号接收机。问题情境GPS系统包括三大部分：空间部分-----GPS卫星39问题情境那么怎样确定它们在空间的位置呢?

GPS的空间部分是由24颗工作卫星组成,它位于距地表20200km的上空,均匀分布在6个轨道面上(每个轨道面4颗),轨道倾角为55°。此外,还有4颗有源备份卫星在轨运行。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星,并能保持良好定位解算精度的几何图象。这就提供了在时间上连续的全球导航能力。问题:问题情境那么怎样确定它们在空间的位置呢?GPS40在平面极坐标系的基础上，通过极点O，再增加一条与极坐标系所在平面垂直z轴，这样就建立了柱坐标系。一.柱坐标系yzxo在平面极坐标系的基础上，通过极点O，再增加一条与极坐41其中r≥0,0≤θ＜2π,Z∈R特别地，r=常数，表示的是以z轴为轴的圆柱面；

θ=常数，表示的是过z轴的半平面；

z

=常数，表示的是以与xOy平面平行的平面。设P(x,y,z)是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，Q点的极坐标为(r,θ

),则P的位置可用有序数组(r,θ,

z)表示,(r,θ,

z)叫做点P的柱坐标.QθP(x,y,z)P(r,θ,z)(r,θ)xyzo其中r≥0,0≤θ＜2π,Z∈R特别地，r=常数，表示42

柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.说明：1.这一组公式就是：空间点P的柱坐标(r,θ,Z)向点P的直角坐标(x,y,z)转化公式。二、同一点的柱坐标P(r,θ,Z)和空间直角坐标P(x,y,z)的互化公式：柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标432.通过上面一组公式的变形可得到：空间点P的直角坐标(x,y,z)向点这P的柱坐标(r,θ,Z)转化公式。2.通过上面一组公式的变形可得到：空间点P的直角坐标(x,44试一试设点的直角坐标为(1,-1,1),求它在柱坐标系中的坐标.∴

θ是第二象限角注:求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致点在柱坐标系中的坐标为（，，1）

∴θ=∵x=1>0,y=-1<0试一试设点的直角坐标为(1,-1,1),求它在柱坐标系中的坐451.设P点的柱坐标为，求它的直角坐标.2.设M点的直角坐标为，求它的柱坐标.练习1.设P点的柱坐标为，求它的直角坐标.46思考：点P的柱坐标为(ρ,θ,

z)，(1)当ρ为常数时，点P的轨迹是____(2)当θ为常数时，点P的轨迹是___(3)当z为常数时，点P的轨迹是_____圆柱面半平面平面θxyzoP(ρ,θ,z)(ρ,θ)Q思考：圆柱面半平面平面θxyzoP(ρ,θ,z)(ρ,θ)47试一试

给定一个底面半径为r，高为h的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述圆柱侧面以及底面上点的位置.xyzo注：坐标与点的位置有关试一试给定一个底面半径为r，高为h的圆xyzo注：坐标与482.球坐标系2.球坐标系49思考：在实际生活或科学研究领域，有时需要描述球面上一点的位置，如某市的经纬度：北纬42°，东经119°.思考：在实际生活或科学研究领域，有时需要描述球面上一点的位置50地球的纬度地球的纬度51地球的纬度与经度：地球的纬度与经度：52三、球坐标系的相关概念。θxyzoQPr

建立空间直角坐标系Oxyz.设P(x,y,z)是空间任意一点，记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为j.点P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.则P的位置可用有序数组(r,j,θ)表示，(r,j,θ)叫做点P的球坐标.P(r,j,θ)r,j,θ的取值范围分别是三、球坐标系的相关概念。θxyzoQPr建立空间直角坐53xθyoQP(r,j,θ)rz

说明：1.这一组公式就是：空间点P的球坐标(r,j,θ)向点P的直角坐标(x,y,z)转化公式。四、同一点的球坐标P(r,

j,θ)和空间直角坐标P(x,y,z)的互化公式：xθyoQP(r,j,θ)rz说明：1.这一组公式就是54xθyoQP(r,j,θ)rz2.通过上面一组公式的变形可得到：空间点P的直角坐标(x,y,z)向点P的球坐标

(r,j,θ)转化公式。xθyoQP(r,j,θ)rz2.通过上面一组公式的55试一试例1.设点的球坐标为(2，，)，求它的直角坐标.∴点在直角坐标系中的坐标为(－1,1,－)∵试一试例1.设点的球坐标为(2，，)，求∴56试一试例2.设点P的直角坐标为(2，，4)，求点P的球坐标.(课本：21页例2)∴点P的球坐标为(,,)练习.设M点的直角坐标为,那么它的球坐标是

.试一试例2.设点P的直角坐标为(2，，4)，求∴点P572.设M点的直角坐标为，那么它的球坐标是练习B2.设M点的直角坐标为，那么它的球坐58思考：点P的球坐标为(r,j,θ)，(1)当r为常数时,点P的轨迹是____(2)当

j为常数时，点P的轨迹是____(3)当θ为常数时，点P的轨迹是___以原点为球心，这个常数为半径的球面以原点为顶点，z轴为轴圆锥面或平面或射线过z轴的半平面θxyzoQP(r,j,θ)r思考：以原点为球心，这个常数为半径的球面以原点为顶点，z轴为59数轴平面直角坐标系平面极坐标系空间直角坐标系球坐标系柱坐标系