昆明理工大学-随机时间序列

§9.2随机时间序列分析模型一、时间序列模型的基本概念及其适用性二、随机时间序列模型的平稳性条件三、随机时间序列模型的识别四、随机时间序列模型的估计五、随机时间序列模型的检验经典计量经济学模型与时间序列模型确定性时间序列模型与随机性时间序列模型一、时间序列模型的基本概念及其适用性1、时间序列模型的基本概念

随机时间序列模型（timeseriesmodeling）是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为

Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,t)

建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题：

(1)模型的具体形式(2)时序变量的滞后期(3)随机扰动项的结构例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（t=t），模型将是一个1阶自回归过程AR(1)：Xt=Xt-1+t这里，t特指一白噪声。

一般的p阶自回归过程AR(p)是Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)(1)如果随机扰动项是一个白噪声(t=t)，则称(*)式为一纯AR(p)过程（pureAR(p)process），记为Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(2)如果t不是一个白噪声，通常认为它是一个q阶的移动平均（movingaverage）过程MA(q)：

t=t-1t-1-2t-2--qt-q该式给出了一个纯MA(q)过程（pureMA(p)process）。

将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动平均（autoregressivemovingaverage）过程ARMA（p,q）：

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+

t-1t-1-2t-2--qt-q

该式表明：（1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释。（2）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来。这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。经典回归模型的问题：迄今为止，对一个时间序列Xt的变动进行解释或预测，是通过某个单方程回归模型或联立方程回归模型进行的，由于它们以因果关系为基础，且具有一定的模型结构，因此也常称为结构式模型（structuralmodel）。然而，如果Xt波动的主要原因可能是我们无法解释的因素，如气候、消费者偏好的变化等，则利用结构式模型来解释Xt的变动就比较困难或不可能，因为要取得相应的量化数据，并建立令人满意的回归模型是很困难的。有时，即使能估计出一个较为满意的因果关系回归方程，但由于对某些解释变量未来值的预测本身就非常困难，甚至比预测被解释变量的未来值更困难，这时因果关系的回归模型及其预测技术就不适用了。2、时间序列分析模型的适用性

例如，时间序列过去是否有明显的增长趋势，如果增长趋势在过去的行为中占主导地位，能否认为它也会在未来的行为里占主导地位呢？或者时间序列显示出循环周期性行为，我们能否利用过去的这种行为来外推它的未来走向？

●随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去的变化特征来预测未来的变化趋势。使用时间序列分析模型的另一个原因在于：

如果经济理论正确地阐释了现实经济结构，则这一结构可以写成类似于ARMA(p,q)式的时间序列分析模型的形式。

在这些情况下，我们采用另一条预测途径：通过时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而对时间序列未来行为进行推断。例如，对于如下最简单的宏观经济模型：

这里，Ct、It、Yt分别表示消费、投资与国民收入。

Ct与Yt作为内生变量，它们的运动是由作为外生变量的投资It的运动及随机扰动项t的变化决定的。上述模型可作变形如下：两个方程等式右边除去第一项外的剩余部分可看成一个综合性的随机扰动项，其特征依赖于投资项It的行为。

如果It是一个白噪声，则消费序列Ct就成为一个1阶自回归过程AR(1)，而收入序列Yt就成为一个(1,1)阶的自回归移动平均过程ARMA(1,1)。二、随机时时间序列模模型的平稳稳性条件自回归移动动平均模型型（ARMA）是随随机时间序序列分析模模型的普遍遍形式，自自回归模型型（AR））和移动平平均模型（（MA）是是它的特殊殊情况。关于这几类类模型的研研究，是时间序列分分析的重点点内容：主要包括模型的平稳稳性分析、模型的识别别和模型的估计计。1、AR(p)模型型的平稳性性条件随机时间序序列模型的的平稳性，可通过它所所生成的随随机时间序序列的平稳稳性来判断断。如果一个p阶自自回归模型型AR(p)生成的的时间序列列是平稳的的，就说该该AR(p)模型是是平稳的，否则，就说该AR(p)模模型是非平平稳的。考虑p阶自自回归模型型AR(p)Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)引入滞后算子（（lagoperator）L：LXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,…,LpXt=Xt-p(*)式变变换为(1-1L-2L2-……-pLp)Xt=t记(L)=(1-1L-2L2-……-pLp),则则称称多多项项式式方方程程(z)=(1-1z-2z2-……-pzp)=0为AR(p)的的特征征方方程程(characteristicequation)。可以以证证明明，，如果果该该特特征征方方程程的的所所有有根根在在单单位位圆圆外外（（根根的的模模大大于于1）），，则则AR(p)模模型型是是平平稳稳的的。。AR(1)模模型型的的平平稳稳性性条条件件。。对1阶阶自自回回归归模模型型AR(1)方程程两两边边平平方方再再求求数数学学期期望望，，得得到到Xt的的方方差差由于于Xt仅与与t相关关，，因因此此，，E(Xt-1t)=0。如如果果该该模模型型稳稳定定，，则则有有E(Xt2)=E(Xt-12)，从从而而上上式式可可变变换换为为：：在稳稳定定条条件件下下，，该该方方差差是是一一非非负负的的常常数数，，从从而而有有||<1。而AR(1)的的特特征征方方程程的根根为为z=1/AR(1)稳稳定定，，即即||<1，，意意味味着着特特征征根根大大于于1。。例AR(2)模型型的的平平稳稳性性。。对AR(2)模型型方程程两两边边同同乘乘以以Xt，，再再取取期期望望得得：：又由由于于于是是同样样地地，，由由原原式式还还可可得得到到于是是方方差差为为由平平稳稳性性的的定定义义，，该该方方差差必必须须是是一一不不变变的的正正数数，，于于是是有有1+2<1,2-1<1,|2|<1这就就是是AR(2)的平平稳稳性性条条件件，或或称称为为平稳稳域域。它它是是一一顶顶点点分分别别为为（（-2,-1），，（（2,-1），，（（0,1）的的三三角角形形。。对应应的的特特征征方方程程1-1z-2z2=0的两两个个根根z1、z2满足足：：z1z2=-1/2,z1+z2=-1/2AR(2)模型型解出出1，2由AR(2)的的平平稳稳性性，，|2|=1/|z1||z2|<1，则则至至少少有有一一个个根根的的模模大大于于1，，不不妨妨设设|z1|>1，有有于是是|z2|>1。由由2-1<1可推推出出同同样样的的结结果果。。对高高阶阶自自回回模模型型AR(p)来说说，多多数数情情况况下下没没有有必必要要直直接接计计算算其其特特征征方方程程的的特特征征根根，，但但有有一些些有有用用的的规规则则可可用用来来检检验验高高阶阶自自回回归归模模型型的的稳稳定定性性：(1)AR(p)模型型稳稳定定的的必必要要条条件件是是：1+2++p<1(2)由于于i(i=1,2,p)可正正可可负负，，AR(p)模型型稳稳定定的的充充分分条条件件是是：：|1|+|2|++|p|<1对于于移移动动平平均均模模型型MR(q)：Xt=t-1t-1-2t-2--qt-q其中中t是一一个个白白噪噪声声，，于于是是2、MA(q)模型型的的平平稳稳性性当滞滞后后期期大大于于q时，，Xt的的自自协协方方差差系系数数为为0。因此此:有限限阶阶移移动动平平均均模模型型总总是是平平稳稳的的。由于于ARMA(p,q)模型型是是AR(p)模型型与与MA(q)模型型的的组组合合：：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q3、ARMA(p,q)模型的平稳性性而MA(q)模型总是平稳稳的，因此ARMA(p,q)模型的平稳性性取决于AR(p)部分的平稳性性。当AR(p)部分平稳时，，则该ARMA(p,q)模型是平稳的的，否则，不不是平稳的。。最后（1）一个平平稳的时间序序列总可以找找到生成它的的平稳的随机机过程或模型型；（2）一个非非平稳的随机机时间序列通通常可以通过过差分的方法法将它变换为为平稳的，对对差分后平稳稳的时间序列列也可找出对对应的平稳随随机过程或模模型。因此，如果我们将一一个非平稳时时间序列通过过d次差分，，将它变为平平稳的，然后后用一个平稳稳的ARMA(p,q)模型作为它它的生成模型型，则我们就就说该原始时时间序列是一一个自回归单整移移动平均（autoregressiveintegratedmovingaverage））时间序列，，记为ARIMA(p,d,q)。例如，一个ARIMA(2,1,2)时间间序列在它成成为平稳序列列之前先得差差分一次，然然后用一个ARMA(2,2)模型型作为它的生生成模型的。。当然，一个ARIMA(p,0,0)过程程表示了一个个纯AR(p)平稳过程程；一个ARIMA(0,0,q)表示一个纯纯MA(q)平稳过程。。三、随机时间间序列模型的的识别所谓随机时间间序列模型的的识别，就是对于一个个平稳的随机机时间序列，，找出生成它它的合适的随随机过程或模模型，即判断该时时间序列是遵遵循一纯AR过程、还是是遵循一纯MA过程或ARMA过程程。所使用的工具具主要是时间序列的自相关函数（autocorrelationfunction，，ACF）及偏自相关函数数（partialautocorrelationfunction，PACF）。1、AR(p)过程(1)自相关关函数ACF1阶自回归模模型AR(1)Xt=Xt-1+t的k阶滞后自协方差为：=1,2,…因此，AR(1)模型的自相关函数为=1,2,…由AR(1)的稳定性知||<1，因此，k时，呈指数形形衰减，直到到零。这种现象称称为拖尾或称AR(1)有无穷记忆（infinitememory）。注意，<0时，呈振荡衰衰减状。Xt=1Xt-1+2Xt-2+t该模型的方差0以及滞后1期与2期的自协方差差1,2分别为２阶自回归模模型AR(2)类似地,可写写出一般的k期滞后自协方方差：(K=2,3,…)于是,AR(2)的k阶自相关函数数为：(K=2,3,…)其中:1=1/(1-2),0=1如果AR(2)稳定，则则由1+2<1知|k|衰减趋于零零，呈拖尾状状。至于衰减的形形式，要看AR(2)特特征根的实虚虚性，若为实根，则则呈单调或振振荡型衰减，，若为虚根，，则呈正弦波波型衰减。一般地，p阶自回归模型型AR(p)Xt=1Xt-1+2Xt-2+…pXt-p+tk期滞后协方差差为:从而有自相关函数:可见，无论k有多大大，k的计算均与其其１到p阶滞滞后的自相关关函数有关，因此呈拖尾状。如果AR(p)是稳定的的，则|k|递减且趋于于零。其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的的特征根，由由AR(p)平稳的条件件知，|zi|<1;因此，当1/zi均为实数根时时，k呈几何型衰减减（单调或振振荡）；当存在虚数根根时，则一对对共扼复根构构成通解中的的一个阻尼正正弦波项，k呈正弦波衰减减。事实上，自相相关函数是一p阶差分分方程，其通通解为（2）偏自相相关函数自相关函数ACF(k)给出了Xt与Xt-1的总体相关性性，但总体相相关性可能掩掩盖了变量间间完全不同的的隐含关系。。例如，在AR(1)随机过程中，，Xt与Xt-2间有相关性可可能主要是由由于它们各自自与Xt-1间的相关性带带来的:即自相关函数数中包含了这这种所有的““间接”相关关。与之相反，Xt与Xt-k间的偏自相关函数数(partialautocorrelation，，简记为PACF)则是消除了中中间变量Xt-1，…，Xt-k+1带来的间接相相关后的直接接相关性，它它是在已知序序列值Xt-1，…，Xt-k+1的条件下，Xt与Xt-k间关系的度量量。从Xt中去掉Xt-1的影响，则只只剩下随机扰扰动项t，显然它与Xt-2无关，因此我我们说Xt与Xt-2的偏自相关系数数为零，记为在AR(1)中，同样地，在AR(p)过程中，对所有的k>p，Xt与Xt-k间的偏自相关系数数为零。AR(p)的的一个主要特特征是:k>p时，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0即k*在p以后是截尾的的。一随机时间序序列的识别原原则：若Xt的偏自相关函函数在p以后截尾，即即k>p时，k*=0，而它的的自相关函数数k是拖尾的，则则此序列是自自回归AR(p)序列。。在实际识别时时，由于样本本偏自相关函函数rk*是总体偏自相相关函数k*的一个估计，，由于样本的的随机性，当当k>p时，rk*不会全为0，而是在0的上下波动。。但可以证明明，当k>p时，rk*服从如下渐近近正态分布:rk*~N(0,1/n)式中n表示样本容量量。因此，如果计计算的rk*满足需指出的是，我们就有95.5%的把握判断原原时间序列在在p之后截尾。对MA(1)过程2、MA(q)过过程可容易地写出出它的自协方差系数数：于是，MA(1)过程的的自相关函数为：可见，当k>1时，k>0，即Xt与Xt-k不相关，MA(1)自自相关函数是是截尾的。MA(1)过程可以等价价地写成t关于无穷序列列Xt，Xt-1，…的线性组合的的形式：或（*）(*)是一个AR()过程，它的偏偏自相关函数数非截尾但却却趋于零，因因此MA(1)的的偏自相关函函数是非截尾尾但却趋于零零的。注意:(*)式只有当||<1时才有意义，，否则意味着着距Xt越远远的X值，对Xt的的影响越大，，显然不符合合常理。因此，我们把||<1称为MA(1)的可逆性性条件（invertibilitycondition）或可逆逆域。其自协方差系数数为一般地，q阶移动平均过过程MA(q)相应的自相关函数为可见，当k>q时，Xt与Xt-k不相关，即存存在截尾现象象，因此，当k>q时，，k=0是MA(q)的一个个特征。于是：可以根据据自相关关系数是是否从某某一点开开始一直直为0来来判断MA(q)模型型的阶。。与MA(1)相仿，可可以验证证MA(q)过程的偏偏自相关关函数是是非截尾尾但趋于于零的。。MA(q)模型的识识别规则则：若随机序序列的自自相关函函数截尾尾，即自自q以后后，k=0（k>q）；而而它的偏偏自相关关函数是是拖尾的的，则此此序列是是滑动平平均MA(q)序列。。同样需要要注意的的是：在实际际识别时时，由于于样本自自相关函函数rk是总体自自相关函函数k的一个估估计，由由于样本本的随机机性，当当k>q时，rk不会全为为0，而是在在0的上下波波动。但但可以证证明，当当k>q时，rk服从如下下渐近正正态分布布:rk~N(0,1/n)式中n表示样本本容量。。因此，如果计算算的rk满足：我们就有95.5%的把握握判断原原时间序序列在q之后截尾尾。ARMA(p,q)的自相关关函数，可以看看作MA(q)的自相关关函数和和AR(p)的自相关关函数的的混合物物。当p=0时，它具具有截尾尾性质；当q=0时，它具具有拖尾尾性质；；当p、q都不为0时，它具具有拖尾尾性质从识别上上看，通通常：ARMA(p，q)过程的偏偏自相关关函数（（PACF）可能在p阶滞后前前有几项项明显的的尖柱（（spikes），但从从p阶滞后项项开始逐逐渐趋向向于零；；而它的自相相关函数数（ACF）则是在q阶滞后前前有几项项明显的的尖柱，，从q阶滞后项项开始逐逐渐趋向向于零。。3、ARMA(p,q)过过程四、随机机时间序序列模型型的估计计AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模模型的估估计方法法较多，，大体上分分为3类类：（1）最最小二乘乘估计；；（2）矩矩估计；；（3）利利用自相相关函数数的直接接估计。下面有选选择地加加以介绍绍。结构阶数模型识别确定估计参数⒈AR(p)模型的的YuleWalker方方程估计计在AR(p)模型的识识别中，，曾得到到利用k=-k，得到如如下方程程组：此方程组组被称为为YuleWalker方程组。该方程组组建立了了AR(p)模模型的模模型参数数1,2,,p与自相关关函数1,2,,p的关系，，利用实际际时间序序列提供供的信息息，首先求得自相相关函数数的估计计值然后利用YuleWalker方程组组，求解解模型参参数的估估计值由于于是从而可得得2的估计值值在具体计计算时，，可用样本本自相关关函数rk替代。⒉MA(q)模型的的矩估计计将MA(q)模型的自自协方差差函数中中的各个个量用估估计量代代替，得得到：首先求得自协协方差函函数的估估计值，，(*)是一个包包含(q+1)个待估参参数(*)的非线性性方程组组，可以以用直接法或迭代法求解。常用的迭迭代方法法有线性迭代代法和Newton-Raphsan迭代代法。（1）MA(1)模型型的直接接算法对于MA(1)模型，，（*））式相应应地写成成于是或有于是有解解由于参数数估计有有两组解解，可根根据可逆逆性条件件|1|<1来判断选选取一组组。（2）MA(q)模型型的迭代代算法对于q>1的MA(q)模型型，一般般用迭代代算法估估计参数数：由（*））式得第一步，给出的一组初初值，比比如代入（**）式，计计算出第第一次迭迭代值（**））第二步，将第一一次迭代代值代入入（**）式，计计算出第第二次迭迭代值按此反复复迭代下下去，直直到第m步的迭代代值与第第m-1步的迭代代值相差差不大时时（满足足一定的的精度）），便停停止迭代代，并用用第m步的迭代代结果作作为（**）的近似似解。⒊ARMA(p,q)模型型的矩估估计在ARMA(p,q)中共有有(p+q+1)个待待估参数数1,2,,p与1,2,,q以及2，其估计计量计算算步骤及及公式如如下：第一步，估计1,2,,p是总体自自相关函函数的估估计值，，可用样样本自相相关函数数rk代替。第二步，，改写模型型，求1,2,,q以及2的估计值值将模型改写为：：令于是(*)可以写成成：(*)构成一个个MA模型。按按照估计计MA模型参数数的方法法，可以以得到1,2,,q以及2的估计值值。⒋AR(p)的最小小二乘估估计假设模型型AR(p)的参数估估计值已已经得到到，即有有残差的平平方和为为：(*)根据最小小二乘原原理，所所要求的的参数估估计值是是下列方方程组的的解：即j=1,2,…,p(**)解该方程程组，就就可得到到待估参参数的估估计值。。为了与AR(p)模型的YuleWalker方程估计计进行比比较，将将(**)改写成：：j=1,2,…,p由自协方方差函数数的定义义，并用用自协方方差函数数的估计计值代入，上上式表示示的方程程组即为为：或j=1,2,…,pj=1,2,…,p解该方程程组，得得到：即为参数数的最小小二乘估估计。YuleWalker方程程组的解解比较发现现，当n足够大时时，二者者是相似似的。2的估计值值为：需要说明明的是，，在上述模模型的平平稳性、、识别与与估计的的讨论中中，ARMA(p,q)模型中均均未包含含常数项项。如果包含含常数项项，该常常数项并并不影响响模型的的原有性性质，因为通通过适当当的变形形，可将将包含常常数项的的模型转转换为不不含常数数项的模模型。下面以一一般的ARMA(p,q)模型为例例说明。。对含有常常数项的的模型方程两边边同减/(1-1--p)，则可得得到其中五、模型型的检验验由于ARMA(p,q)模型型的识别别与估计计是在假假设随机机扰动项项是一白白噪声的的基础上上进行的的，因此此，如果估计计的模型型确认正正确的话话，残差差应代表表一白噪噪声序列列。如果通过过所估计计的模型型计算的的样本残残差不代代表一白白噪声，，则说明明模型的的识别与与估计有有误，需需重新识识别与估估计。在实际检检验时，，主要检检验残差差序列是是否存在在自相关关。1、残差差项的白白噪声检检验可用QLB的统计量量进行2检验：在给定定显著性性水平下下，可计计算不同同滞后期期的QLB值，通过过与2分布表中中的相应应临界值值比较，，来检验验是否拒拒绝残差差序列为为白噪声声的假设设。若大于相相应临界界值，则则应拒绝绝所估计计的模型型，需重重新识别别与估计计。2、AIC与SBC模模型选择择标准另外一个个遇到的的问题是是，在实实际识别别ARMA(p,q)模型时时，需多多次反复复偿试，，有可能能存在不不止一组组（p,q）值值都能通通过识别别检验。。显然，增加p与与q的阶阶数，可可增加拟拟合优度度，但却同时时降低了了自由度度。因此，对可能的的适当的的模型，，存在着着模型的的“简洁洁性”与与模型的的拟合优优度的权权衡选择择问题。。其中，n为待估估参数个个数（p+q+可能存存在的常常数项）），T为为可使用用的观测测值，RSS为为残差平平方和（（Residualsumofsquares））。在选择可可能的模模型时，，AIC与SBC越小小越好显然，如如果添加加的滞后后项没有有解释能能力，则则对RSS值的的减小没没有多大大帮助，，却增加加待估参参数的个个数，因因此使得得AIC或SBC的值值增加。。需注意的的是：在不同模模型间进进行比较较时，必必须选取取相同的的时间段段。常用的模模型选择择的判别别标准有有：赤池信息息法（Akaikeinformationcriterion，简记为AIC）与施瓦兹贝贝叶斯法法（SchwartzBayesiancriterion，简记为SBC）：由第一节节知：中中国支出出法GDP是非非平稳的的，但它它的一阶阶差分是是平稳的的，即支支出法GDP是是I(1)时间间序列。。可以对经经过一阶阶差分后后的GDP建立立适当的的ARMA(p,q)模型。。记GDP经一阶阶差分后后的新序序列为GDPD1，该该新序列列的样本本自相关关函数图图与偏自自相关函函数图如如下：例9.2.3中国支出出法GDP的ARMA(p,q)模模型估计计。图形：样本自相相关函数数图形呈呈正弦线线型衰减减波，而而偏自相相关函数数图形则则在滞后后两期后后迅速趋趋于0。。因此可初步判判断该序序列满足足2阶自自回归过过程AR(2)。自相关函函数与偏自相关关函数的函数值：：相关函数数具有明明显的拖拖尾性；；偏自相关关函数值值在k>2以后后，可认为：：偏自相关关函数是是截尾的的。再次次验证了了一阶差差分后的的GDP满足AR(2)随机机过程。。设序列GDPD1的模型形形式为有如下YuleWalker方方程：解为：用OLS法回归归的结果果为：（7.91)(-3.60)r2=0.8469R2=0.8385DW=1.15有时，在在用回归归法时，，也可加加入常数数项。本例中加加入常数数项的回回归为：：（1.99）（（7.74））（（-3.58））r2=0.8758R2=0.8612DW.=1.22模型检验验下表列出出三模型型的残差差项的自自相关系系数及QLB检验值。。模型1与模型3的残差项项接近于于一白噪噪声，但但模型2存在4阶滞后相相关问题题，Q统计量的的检验也也得出模模型2拒绝所有有自相关关系数为为零的假假设。因因此:模型1与与3可作作为描述述中国支支出法GDP一一阶差分分序列的的随机生生成过程程。用建立的的AR(2)模型对中中国支出出法GDP进行外推推预测。。模型1可作如下下展开：：于是，当当已知t-1、t-2、t-3期的GDP时，就可可对第t期的GDP作出外推推预测。。模型3的预测式式与此相相类似，，只不过过多出一一项常数数项。对2001年中中国支出出法GDP的预预测结果果（亿元元）预测值实实际值值误误差模型397160959331.28%由于中国人均均居民消消费（CPC））与人均均国内生生产总值值（GDPPC）这两两时间序序列是非非平稳的的，因此此不宜直直接建立立它们的的因果关关系回归归方程。。但它们都都是I(2)时时间序列列，因此可可以建立立它们的的ARIMA(p,d,q)模型。。下面只建建立中国人均均居民消消费（CPC））的随机时时间序列列模型。。中国人均均居民消消费（CPC））经过二二次差分分后的新新序列记记为CPCD2，其自自相关函函数、偏偏自相关关函数及及Q统计计量的值值列于下下表：中国人均均居民消消费的ARMA(p,q)模模型在5%的的显著性性水平下下，通过过Q统计计量容易易验证该该序列本本身就接接近于一一白噪声声，因此此可考虑采用用零阶MA(0)模型型:由于k=2时，，|r2|=|-0.29|>因此,也也可考虑虑采用下下面的MA模型型：当然，还还可观察察到自相相关函数数在滞后后4、5、8时时有大于于0.2的函数数值，因因此，可可考虑在在模型中中增加MA(4)、MA(5)、MA(8)。不同模型型的回归归结果列列于表9.2.5。可以看出出:在纯MA模型中中，模型型4具有有较好的的性质，，但由于于MA(5)的的t检验验偏小，，因此可可选取模模型3。。最后，给出出通过模型型3的外推推预测。模型3的展展开式为：：即由于t表示预测期期的随机扰扰动项，它它未知，可可假设为0，于是t期的预测测式为:为模型3中中滞后2期期与滞后4期的相应应残差项的的估计值。。表9.2.6列出了了采用模型型3对中国国居民人均均居民消费费水平的2期外推预预测。为了对照，，表中也同同时列出了了采用§2.10的的模型的预预测结果。。9、静静夜夜四四无无邻邻，，荒荒居居旧旧业业贫贫。。。。12月月-2212月月-22Saturday,December24,202210、雨中黄叶树树，灯下白头头人。。08:00:4108:00:4108:0012/24/20228:00:41AM11、以我独沈久久，愧君相见见频。。12月-2208:00:4108:00Dec-2224-Dec-2212、故人人江海海别，，几度度隔山山川。。。08:00:4108:00:4108:00Saturday,December24,202213、乍见翻疑疑梦，相悲悲各问年。。。12月-2212月-2208:00:4108:00:41December24,202214、他乡生白白发，旧国国见青山。。。24十二二月20228:00:41上上午08:00:4112月-2215、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。。十二月228:00上午午12月-2208:00December24,202216、行动出成果果，工作出财财富。。2022/12/248:00:4108:00:4124December202217、做前，能够够环视四周；；做时，你只只能或者最好好沿着以脚为为起点的射线线向前。。8:00:41上午8:00上上午08:00:4112月-229、没有失败，，只有暂时停停止成功！。。12月-2212月-22Saturday,December24,202210、很很多多事事情情努努力力了了未未必必有有结结果果，，