85随机变量数字特征

第八章初等概率论随机事件随机事件的概率随机变量及其分布随机变量的数字特征§5随机变量的数字特征

随机变量的分布函数、概率分布，能够全面完整地描述随机变量的概率性质和分布情况，但它们比较烦琐、复杂、不容易看出分布的主要特征，也不便于进行随机变量之间的比较，而且在许多实际问题中，有时我们只需要知道随机变量的一些主要数字特征，并不需要详细了解可能难以确定的随机变量的分布情况。

随机变量的这些数字特征不仅在一定程度上可以简单刻划出随机变量的基本性态，而且可以用数理统计的方法估计出它们。因此，对它们的研究在理论上、实际上都有重要意义。一、数学期望(均值)---数据的中心

一门课程，平时成绩p占20%，期末成绩m占80%，某生平时得90分，期末得82分，则该生该课程的总成绩z为平时成绩p和期末成绩m的加权平均，即1、从加权平均到数学期望

一般地，一组数在一组权下的加权平均为这里一般要求权数满足。直径(mm)9899100102件数1423

定义1

离散型随机变量的概率分布为如果级数对应的极限存在，则称级数对应的极限为的数学期望或均值，即

当权数都非负时，作为某离散型随机变量取值时出现的概率。

定义2

连续型随机变量的分布密度为如果广义积分对应的极限存在，则称广义积分对应的极限为的数学期望或均值，即

离散型随机变量中的作用在连续型随机变量中与表达式即微元相对应。因此例1句子中共8个单词，其中5个单词含3个字母，其余3个单词分别含2个字母、4个字母、9个字母。因此，的概率分布为解：在句子“THEGIRLPUTONHERBEAUTIFULREDHAT”中随机地取一单词，用表示取到的单词所包含的字母个数，求。例2已知连续型随机变量的分布密度为求。解：2、常见分布的数学期望

二项分布

泊松分布几何分布均匀分布指数分布正态分布

3、数学期望的性质二、方差—数据的分散程度

一门课程，三次考试成绩a、b、c各占总成绩z的1/3。甲得分为70分、80分、90分，乙得分为60分、80分、100分，可计算出两人期末总成绩z都为80分。但如何进一步评价两人该课程成绩的好坏呢？1、方差的概念

注意到乙成绩起伏较大，因此我们可以用通过各次成绩与期末总成绩的偏离程度来揭示两人成绩的差异。计算得，甲为200，乙为800，显然乙的大。与观察相吻合。

将上述衡量数据分散程度的方法用于离散型随机变量，即研究随机变量取值对数学期望的偏离情况。

定义3

离散型随机变量的概率分布为如果级数对应的极限存在，则称此极限为的方差，即并称为的标准差或均方差。

离散型随机变量中的作用在连续型随机变量中与表达式即微元相对应。因此

定义4

连续型随机变量的分布密度为如果广义积分对应的极限存在，则称此极限为的方差，即并称为的标准差或均方差。例3已知为离散型或连续型随机变量，证明：证明：由方差的定义和数学期望的性质，有显然这是方差的计算公式，对离散型尤其方便。例4解：同时掷两枚骰子，用表示出现的最大点数，求和。因为{}={两颗骰子的点数都为或其中一颗点数为，另一颗点数不大于}例5已知连续型随机变量的分布密度为求。解：2、常见分布的方差

二项分布

指数分布几何分布均匀分布指数分布