2023届湖南省浏阳市高考考前提分数学仿真卷含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数且的图象恒过定点，则函数图象以点为对称中心的充要条件是()A． B．C． D．2．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．3．已知向量，，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．4．已知椭圆的右焦点为F，左顶点为A，点P椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．5．函数的图象大致是（）A． B．C． D．6．已知，则下列不等式正确的是（）A． B．C． D．7．复数的虚部为（）A．—1 B．—3 C．1 D．28．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于、两点，与轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（）A． B．2 C． D．39．已知函数若对区间内的任意实数，都有，则实数的取值范围是(）A． B． C． D．10．设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（）A． B．0 C．1 D．311．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（）A． B． C． D．12．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若为假，则实数的取值范围为__________.14．已知函数，则________；满足的的取值范围为________.15．函数的定义域是____________．（写成区间的形式）16．已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明.18．（12分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的，当时，都有恒成立，求最大的整数.（参考数据：）19．（12分）已知函数.（1）设，求函数的单调区间，并证明函数有唯一零点.（2）若函数在区间上不单调，证明：.20．（12分）设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．21．（12分）如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为等边三角形，且点P在底面上的射影为的中点G，点E在线段上，且.（1）求证：平面.（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知函数，.（1）判断函数在区间上的零点的个数；（2）记函数在区间上的两个极值点分别为、，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

由题可得出的坐标为，再利用点对称的性质，即可求出和.【详解】根据题意，，所以点的坐标为，又，所以.故选：A.【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.2．C【解析】

根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.【详解】双曲线,双曲线的渐近线方程为，故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.3．C【解析】

求出，进而可求,即能求出向量夹角.【详解】解：由题意知，.则所以，则向量与的夹角为.故选:C.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式进行计算.4．C【解析】

不妨设在第一象限，故，根据得到，解得答案.【详解】不妨设在第一象限，故，，即，即，解得，（舍去）.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力.5．A【解析】

根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.【详解】当时，，由在递增，所以在递增又是增函数，所以在递增，故排除B、C当时，若，则所以在递减，而是增函数所以在递减，所以A正确，D错误故选：A【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.6．D【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项．【详解】已知，赋值法讨论的情况：（1）当时，令，，则，，排除B、C选项；（2）当时，令，，则，排除A选项.故选：D.【点睛】比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题．7．B【解析】

对复数进行化简计算，得到答案.【详解】所以的虚部为故选B项.【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.8．B【解析】

过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，由和抛物线的定义可求得，利用抛物线的性质可构造方程求得，进而求得结果.【详解】过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，由抛物线解析式知：，准线方程为.，，，，由抛物线定义知：，，，.由抛物线性质得：，解得：，.故选：.【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.9．C【解析】分析：先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间内的任意实数，都有，得到关于a的不等式组，再解不等式组得到实数a的取值范围.详解：由题得.当a＜1时，，所以函数f（x）在单调递减，因为对区间内的任意实数，都有，所以，所以故a≥1，与a＜1矛盾，故a＜1矛盾.当1≤a<e时，函数f(x)在[0,lna]单调递增，在(lna,1]单调递减.所以因为对区间内的任意实数，都有，所以，所以即令，所以所以函数g(a)在（1，e）上单调递减，所以，所以当1≤a<e时，满足题意.当a时，函数f(x)在(0,1)单调递增,因为对区间内的任意实数，都有，所以,故1+1，所以故综上所述，a∈.故选C.点睛：本题的难点在于“对区间内的任意实数，都有”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.10．C【解析】

先根据奇偶性，求出的解析式，令，即可求出。【详解】因为、分别是定义在上的奇函数和偶函数，，用替换，得，化简得，即令，所以，故选C。【点睛】本题主要考查函数性质奇偶性的应用。11．D【解析】

由，可求出等比数列的通项公式，进而可知当时，；当时，，从而可知的最小值为，求解即可.【详解】设等比数列的公比为，则，由题意得，，得，解得，得.当时，；当时，，则的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12．B【解析】

根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可．【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到，此时与函数的图象重合，则，即，，当时，取得最小值为，故选：．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

由为假，可知为真，所以对任意实数恒成立，求出的最小值，令即可.【详解】因为为假，则其否定为真，即为真，所以对任意实数恒成立，所以.又，当且仅当，即时，等号成立，所以.故答案为：.【点睛】本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题.14．【解析】

首先由分段函数的解析式代入求值即可得到，分和两种情况讨论可得；【详解】解：因为，所以，∵，∴当时，满足题意，∴；当时，由，解得.综合可知：满足的的取值范围为.故答案为：；.【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题.15．【解析】

要使函数有意义，需满足，即，解得，故函数的定义域是．16．-1【解析】

讨论三种情况，a＜0时,根据均值不等式得到a（﹣a）≤﹣14，计算等号成立的条件得到答案.【详解】已知关于x的不等式（ax﹣a1﹣4）（x﹣4）＞0，①a＜0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＜0，其中a0，故解集为（a，4），由于a（﹣a）≤﹣14，当且仅当﹣a，即a＝﹣1时取等号，∴a的最大值为﹣4，当且仅当a4时，A中共含有最少个整数，此时实数a的值为﹣1；②a＝0时，﹣4（x﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a＝0不符合条件；③a＞0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＞0，其中a4，∴故解集为（﹣∞，4）∪（a，+∞），整数解有无穷多，故a＞0不符合条件；综上所述，a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；（2），证明见解析.【解析】

（1）求出，对分类讨论，分别求出的解，即可得出结论；（2）由（1）得出有两解时的范围，以及关系，将，等价转化为证明，不妨设，令，则，即证，构造函数，只要证明对于任意恒成立即可.【详解】（1）的定义域为R，且.由，得；由，得.故当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）由（1）知当时，，且.当时，；当时，.当时，直线与的图像有两个交点，实数t的取值范围是.方程有两个不等实根，，，，，，即.要证，只需证，即证，不妨设.令，则，则要证，即证.令，则.令，则，在上单调递增，.，在上单调递增，，即成立，即成立..【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.18．（1）（2）2【解析】

（1）先求得切点坐标，利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程.（2）对分成，两种情况进行分类讨论.当时，将不等式转化为，构造函数，利用导数求得的最小值（设为）的取值范围，由的得在上恒成立，结合一元二次不等式恒成立，判别式小于零列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】（1）已知函数，则处即为，又，，可知函数过点的切线为，即.（2）注意到，不等式中，当时，显然成立；当时，不等式可化为令，则，，所以存在，使.由于在上递增，在上递减，所以是的唯一零点.且在区间上，递减，在区间上，递增，即的最小值为，令，则，将的最小值设为，则，因此原式需满足，即在上恒成立，又，可知判别式即可，即，且可以取到的最大整数为2.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.19．（1）为增区间；为减区间.见解析（2）见解析【解析】

（1）先求得的定义域，然后利用导数求得的单调区间，结合零点存在性定理判断出有唯一零点.（2）求得的导函数，结合在区间上不单调，证得，通过证明，证得成立.【详解】（1）∵函数的定义域为，由，解得为增区间；由解得为减区间.下面证明函数只有一个零点：∵，所以函数在区间内有零点，∵，函数在区间上没有零点，故函数只有一个零点.（2）证明：函数，则当时，，不符合题意；当时，令，则，所以在上单调增函数，而，又∵区间上不单调，所以存在，使得在上有一个零点，即，所以，且，即两边取自然对数，得即，要证，即证，先证明：，令，则∴在上单调递增，即，∴①在①中令，∴令∴，即即，∴.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.20．（1）；（2）见解析.【解析】

（I）结合离心率，得到a,b,c的关系，计算A的坐标，计算切线与椭圆交点坐标，代入椭圆方程，计算参数，即可．（II）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,N的坐标，设出切线方程，结合圆心到切线距离公式，得到m,k的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示，结合三角形相似，证明结论，即可．【详解】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为知，，∴椭圆的方程可设为.易求得，∴点在椭圆上，∴，解得，∴椭圆的方程为.(Ⅱ)当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，由(Ⅰ)知，，，∴.当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，，∴，即.联立直线和椭圆的方程得，∴，得.∵，∴，，∴.综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点，都有.在中，由与相似得，为定值.【点睛】本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难．21．（1）证明见解析（2）【解析】

（1）由等腰梯形的性质可证得,由射影可得平面,进而求证；（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用数量积求解即可.【