空间解析几何与向量代数同济六版课件

第八章空间解析几何与向量代数

目录上页下页返回结束向量代数平面与直线空间曲线与曲面：曲线与曲面表示法向量向量运算：加减法，数量积，向量积向量空间直角坐标系平面——法向量直线——方向向量距离，夹角第八章空间解析几何与向量代数目录上页下页1

目录上页下页返回结束§1

向量及其线性运算§2数量积，向量积§3

平面及其方程§4

空间直线及其方程§5

曲面及其方程§6

空间曲线及其方程目录上页下页返回结束§1向量及2

目录上页下页返回结束第一次课四、利用坐标作向量的线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影§1

向量及其线性运算目录上页下页返回结束第一次课四、32.向量的大小(模):1.向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量4.单位向量:3.零向量:一、向量的概念方向任意.记为5.平行向量:方向相同,或相反.(零向量与任何向量平行)6.相等向量:大小相等,方向相同.

目录上页下页返回结束2.向量的大小(模):1.向量:(又称矢量).既有大小,4二、向量的线性运算1.

向量的加减法三角形法则:(1)加法：平行四边形法则：(3)加法满足交换律，结合律见P2.(2)三角形法则可推广到多个向量相加.(4)减法：(5)三角不等式

目录上页下页返回结束二、向量的线性运算1.向量的加减法三角形法则:(1)加法：52.

向量与数的乘法：(1)定义：向量与数λ的乘法记为(2)向量与数的乘法满足结合律,分配律.见P4.(3)则(4)定理1.1：设则

目录上页下页返回结束(5)与同向的单位向量为：2.向量与数的乘法：(1)定义：向量与数λ的乘法6【例1】如果四边形对角线互相平分，则它是解:

如图

M

为四边形ABCD

对角线的交点,则由已知所以所以ABCD为平行四边形.

目录上页下页返回结束【例1】如果四边形对角线互相平分，则它是解:如图M为四7ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系

坐标原点

坐标轴(横轴)(纵轴)(竖轴)

坐标面

卦限(八个)zox面Ⅰ1.空间直角坐标系(右手系)

目录上页下页返回结束ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系坐标原点坐标轴(横轴)8向径在直角坐标系下坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:原点O(0,0,0);(称为点M的坐标)

目录上页下页返回结束向径在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上9坐标轴:坐标面:

目录上页下页返回结束坐标轴:坐标面:目录上页下页返回102.向量的坐标表示(1)设点

M(x,y,z),则分别表示坐标轴x,y,z上的单位向量

目录上页下页返回结束2.向量的坐标表示(1)设点M(x,y,z),则11四、利用坐标作向量的线性运算1.设λ为实数，则

目录上页下页返回结束2.已知两点则四、利用坐标作向量的线性运算1.设λ为实数，则目录123.平行向量对应坐标成比例:【例2】P8例2

目录上页下页返回结束3.平行向量对应坐标成比例:【例2】P8例2目录上13

目录上页下页返回结束【例3】已知两点及实数λ≠-1在直线AB上求一点M,使解:

设M

的坐标为如图所示由已知目录上页下页返回结束【例3】已知14由得定比分点公式:当λ=1时，点

M为AB

的中点,于是得中点公式:

目录上页下页返回结束由得定比分点公式:当λ=1时，点M为AB的中点,15五、向量的模、方向角、投影1.向量的模:设则由勾股定理得有设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则2.两点间的距离公式【例】P10例4,5,6

目录上页下页返回结束五、向量的模、方向角、投影1.向量的模:设则由勾股定理163.方向角与方向余弦(1)夹角:(2)方向角:向量与三坐标轴的夹角,,称为方向角,,的方向余弦(3)方向余弦：

目录上页下页返回结束3.方向角与方向余弦(1)夹角:(2)方向角:向量与三坐标17【例4】P11例8方法2:设则由

目录上页下页返回结束【例4】P11例8方法2:设则由目录上页下页184.向量在轴上的投影(1)定义:过M作平面交轴于设轴上的单位向量为则λ称为在上的投影,记为注：投影λ是一个数，当与同向时为正,反向时为负.

目录上页下页返回结束4.向量在轴上的投影(1)定义:过M作平面交轴19(2)向量在轴上的投影则(3)投影的性质

目录上页下页返回结束(2)向量在轴上的投影则(3)投影的性质目录上页20【作业】P12Ex8-1 4,5,11,12,14,17,19

目录上页下页返回结束【作业】P12Ex8-1目录上页下页21

目录上页下页返回结束第二次课§2

数量积,向量积一、数量积的数量积等于两向量的长度与它们夹1.De2.1:角的余弦的乘积,记为即:2.由投影性质:目录上页下页返回结束第二次课§222

目录上页下页返回结束3.性质两两之间的数量积4.1110000005.运算规律见P14-15【例5】P15例1目录上页下页返回结束3.性质两23

目录上页下页返回结束6.数量积的坐标表示法设特别：则目录上页下页返回结束6.数量积24

目录上页下页返回结束5.向量夹角余弦的坐标表达式【例6】P16例2目录上页下页返回结束5.向量25

目录上页下页返回结束【例7】试在所确定的平面内找一个与垂直的解：由于∥,故与确定一个平面设单位向量,其中取λ=1，则μ=3故所求的单位向量目录上页下页返回结束【例7】试在26

目录上页下页返回结束二、向量积的向量积是满足下列条件的一个向量，1.De2.2:2.性质:记为与都垂直；构成右手系∥有一个为零向量目录上页下页返回结束二、向量积的27

目录上页下页返回结束两两之间的数量积3.4.运算规律目录上页下页返回结束两两之间的数28

目录上页下页返回结束5.向量积的坐标表示法设则目录上页下页返回结束5.向量积29

目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束30

目录上页下页返回结束解：可取【例8】求与

都垂直的单位向量,其中故所求的单位向量【例9】P19例5目录上页下页返回结束解：可取【例31【作业】P22Ex8-2 1,3,6,7,8

目录上页下页返回结束【作业】P22Ex8-2目录上页下页32

目录上页下页返回结束第三次课§3

平面及其方程一、点法式平面方程给出平面Π上一点P0(x0,y0,z0)及垂直于1.引例1:平面Π的一个向量的法向量),求平面Π的方程.(称为Π解：设P(x,y,z)为Π上任意一点，则由题意有目录上页下页返回结束第三次课§333

目录上页下页返回结束已知点(x0,y0,z0)∈Π,(A,B,C)⊥Π,则2.点法式平面方程【例】P38例1【例10】P38例2点法式方程Π：目录上页下页返回结束已知点(x34

目录上页下页返回结束平面一般方程Π:二.平面的一般方程将点法式方程进行化简并合并同类项,得说明:①D=0,Π过原点；②A=0,Π平行于x轴；③B=0,Π平行于y轴；④C=0,Π平行于z轴；对于④法向量⊥z轴,⊥z轴上的所有向量.【例11】P40例3目录上页下页返回结束平面一般方程35

目录上页下页返回结束三.截距式平面方程设Π与x,y,z轴的截距分别为a,b,c,即:

1.引例2:P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c),P(a,0,0)R(0,0,c)Q(0,b,0)解:设Π:将P,Q,R代入得求平面Π的方程.∴截距式平面方程Π:目录上页下页返回结束三.截距式36

目录上页下页返回结束【例11】求过点解：P1(1,0,-1),P2(-2,1,3)且与向量平行的平面方程Π.又过点P1(1,0,1)，所以Π：即：目录上页下页返回结束【例11】求37

目录上页下页返回结束三.两平面的夹角：(两平面法向量的夹角)锐角1.De2.3:目录上页下页返回结束三.两平面38

目录上页下页返回结束2.性质【例】P41例5【例12】P41例6目录上页下页返回结束2.性质【39

目录上页下页返回结束四.点到平面的距离求P0到π的距离P0N.引例3:任取则由数量积的性质目录上页下页返回结束四.点到平40

目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束41内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式

目录上页下页返回结束2.点到平面的距离内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式目录上423.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:

目录上页下页返回结束3.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:目43【作业】P42Ex8-5 1,2,3,4(单数),5，7，9

目录上页下页返回结束【作业】P42Ex8-5目录上页下页44

目录上页下页返回结束第四次课§4

空间直线及其方程一、直线的一般方程(两平面的交线)二、直线的对称式方程与参数方程引例:求过点M0(x0,y0,z0),且与向量在L上任取一点M

(x,y,z)平行的直线方程L目录上页下页返回结束第四次课§445

目录上页下页返回结束1.对称式方程:由,则对应元素成比例即：(1)当分母有一个为0时,分子也为0;对称式方程(2)当分母有两个为0时,另一个分子任意例如：例如：目录上页下页返回结束1.对称式46

目录上页下页返回结束2.参数方程:令参数方程(1)方向则3.说明:称为方向向量.(2)m,n,p称为直线L的一组方向数.L方向余弦(3)

的方向余弦称为直线目录上页下页返回结束2.参数方47

目录上页下页返回结束∴直线方程L为【例13】求过点P0(-1,0,2)且垂直于平面Π:x-y+3z+1=0的直线方程L.解:设Π的法向量由从而可取目录上页下页返回结束∴直线方程48

目录上页下页返回结束【例14】将直线L:化为对称式方程.解:设由Π1,Π1的交线均垂直于故可取直线L的目录上页下页返回结束【例14】将49

目录上页下页返回结束不妨取在L上任取一点,不妨取z=0则∴L上一点M0(1,2,0)L的对称式方程为【例14】将直线L:化为对称式方程.目录上页下页返回结束不妨取在L上50

目录上页下页返回结束【例15】求过点P0(-1,4,3)且与L1:都垂直的直线方程

L.L2:解:L1的方向向量L2的方向向量L的方向向量L的直线方程目录上页下页返回结束【例15】求51

目录上页下页返回结束三、两直线的夹角1.计算公式:设【例16】P47例4【例17】P47例5(两直线方向向量的夹角)【例】P45例2目录上页下页返回结束三、两直线的52

目录上页下页返回结束2.性质:目录上页下页返回结束2.性质:53

目录上页下页返回结束四、直线与平面的夹角直线与它在平面上投影直线的夹角L的方向向量:Π的法向量:设目录上页下页返回结束四、直线与平54

目录上页下页返回结束取的距离.过P0作Π⊥L,交L于N,解:【例18】求过点P0(1,1,1)到直线令则代入到①中得t=-1,∴N(0,0,2)P0到L的距离

①②将t=-1代入②得【例19】P47例6目录上页下页返回结束取的距离.过55

目录上页下页返回结束五、平面束方程设且Π1∥Π2,作Π则称Π为过

L的平面束方程，该方程为过

L但除Π2的所有平面方程.【例20】P48例7目录上页下页返回结束五、平面束方561.空间直线方程一般式对称式参数式

内容小结

目录上页下页返回结束1.空间直线方程一般式对称式参数式内容小结目录57直线2.线与线的关系直线夹角公式:

目录上页下页返回结束直线2.线与线的关系直线夹角公式:目录上页58平面:L⊥

L//夹角公式：3.面与线间的关系直线

目录上页下页返回结束平面:L⊥L//夹角公式：3.面与线间的关59【作业】P49Ex8-6 1,2,3,5，7,8，11，13，15

目录上页下页返回结束课堂练习【作业】P49Ex8-6目录上页下页60

目录上页下页返回结束第五次课§5

曲面及其方程一、曲面方程的定义二、一些特殊的曲面方程三、二次曲面目录上页下页返回结束第五次课§561

目录上页下页返回结束一、曲面方程的定义设动点P

(x,y,z)组成的曲面S与三元方程(2)不在S上的任意点都不满足(*)，F

(x,y,z)=0(*),有如下关系:(1)S上的任意一点P都满足方程(*);则称(*)为S的方程.目录上页下页返回结束一、曲面方程62

目录上页下页返回结束二、一些特殊的曲面方程1.球面:与定点M0(x0,y0,z0)保持距离为R的点的轨迹称为球.设轨迹上的点P(x,y,z),则目录上页下页返回结束二、一些特殊632.旋转曲面定义:一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:

目录上页下页返回结束2.旋转曲面定义:一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周64故旋转曲面方程为当绕

z轴旋转时,若点则有则有该点转到(1)yoz面内曲线C:f(y,z)=0(y≥0)绕

z轴旋转一周后所得的曲面方程.

目录上页下页返回结束故旋转曲面方程为当绕z轴旋转时,若点则有则有该点转到(165(3)xoy面内曲线C:f(x,y)=0绕

x轴旋转一周后所得的曲面方程:(4)xoy面内曲线C:f(x,y)=0绕

y轴旋转一周后所得的曲面方程:(2)yoz面内曲线C:f(y,z)=0绕

y轴旋转一周后所得的曲面方程:

目录上页下页返回结束(3)xoy面内曲线C:f(x,y)=066

目录上页下页返回结束3.柱面平行于定直线,并沿着曲线C移动的直线L

形成的轨迹叫柱面.平行于z轴.圆柱面：抛物柱面：平行于x轴.平行于y轴.目录上页下页返回结束3.柱面67三、二次曲面三元二次方程其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)

目录上页下页返回结束三、二次曲面三元二次方程其基本类型有:椭球面、抛物面、双681.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆

目录上页下页返回结束1.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆目录692.圆锥面,椭圆锥面y=z绕着z轴旋转一周而得的曲面(a,b为正数)在平面z=t上的截痕为圆.在平面z=t上的截痕为椭圆.直纹面

目录上页下页返回结束2.圆锥面,椭圆锥面y=z绕着z轴旋转一周而得70(1).单叶双曲面(a,b,c为正数)直纹面3.双曲面

目录上页下页返回结束(1).单叶双曲面(a,b,c为正数)直纹面3.双71(2).双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线1单叶双曲面-1双叶双曲面(a,b,c为正数)在平面y=y1上的截痕为在平面x=x1上的截痕为在平面z=z1(|z1|>c)上的截痕为

目录上页下页返回结束(2).双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的724.抛物面(1)椭圆抛物面(2)双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当a=b时为绕

z轴的旋转抛物面.

目录上页下页返回结束4.抛物面(1)椭圆抛物面(2)双曲抛物面（鞍形曲面）73【作业】P31Ex8-3 1,2,5，6,8(1,3)

目录上页下页返回结束【作业】P31Ex8-3目录上页下页74

目录上页下页返回结束§5

空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影目录上页下页返回结束§5空间曲75一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组

目录上页下页返回结束一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程76C:表示圆柱面与平面的交线C【例21】画出下列曲线

目录上页下页返回结束C:表示圆柱面与平面的交线C【例21】画出下列曲线目录77表示上半球面与圆柱面的交线C.

目录上页下页返回结束表示上半球面与圆柱面的交线C.目录上页下页78

目录上页下页返回结束P37题1(1)P37题1(2)目录上页下页返回结束P37题79

目录上页下页返回结束P37题1(3)目录上页下页返回结束P37题80

目录上页下页返回结束P37题2(1)目录上页下页返回结束P37题81思考:当|b|<3时,交线情况如何?P37题2(2)对平面y=b当|b|>3时,交线情况如何?

目录上页下页返回结束思考:当|b|<3时,交线情况如何?P37题282二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标

x,y,z表示成参数

t

的函数:称为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为当θ=2π时上升高度,称为螺距

.

目录上页下页返回结束二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表83【例22】

将曲线化为参数方程解:

根据第一方程引入参数θ代入到第二个方程得所以参数方程为

目录上页下页返回结束【例22】将曲线84三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为①消去

z

得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线C´为②消去x得C在yoz

面上的投影曲线方程③消去y得C在zox面上的投影曲线方程

目录上页下页返回结束三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为①消85【例23】求下列曲线的投影曲线方程在

xoy面上的投影曲线方程为

目录上页下页返回结束【例23】求下列曲线的投影曲线方程在xoy面上的投影曲线86所围圆域:在

xoy面上的投影曲线方程为

目录上页下页返回结束所围圆域:在xoy面上的投影曲线方程为目录上页87P37题

7

目录上页下页返回结束P37题7目录上页下页返回结88(4)求曲线绕z

轴旋转的曲面与平面的交线在

xoy平面的投影曲线方程.解：旋转曲面方程为交线为此曲线向xoy

面的投影柱面方程为此曲线在xoy面上的投影曲线方程为,它与所给平面的

目录上页下页返回结束【作业】

Ex8-4

4,

5(1)(4)求曲线绕z轴旋转的曲面与平面的交线在xoy89第八章空间解析几何与向量代数

目录上页下页返回结束向量代数平面与直线空间曲线与曲面：曲线与曲面表示法向量向量运算：加减法，数量积，向量积向量空间直角坐标系平面——法向量直线——方向向量距离，夹角第八章空间解析几何与向量代数目录上页下页90

目录上页下页返回结束§1

向量及其线性运算§2数量积，向量积§3

平面及其方程§4

空间直线及其方程§5

曲面及其方程§6

空间曲线及其方程目录上页下页返回结束§1向量及91

目录上页下页返回结束第一次课四、利用坐标作向量的线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影§1

向量及其线性运算目录上页下页返回结束第一次课四、922.向量的大小(模):1.向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量4.单位向量:3.零向量:一、向量的概念方向任意.记为5.平行向量:方向相同,或相反.(零向量与任何向量平行)6.相等向量:大小相等,方向相同.

目录上页下页返回结束2.向量的大小(模):1.向量:(又称矢量).既有大小,93二、向量的线性运算1.

向量的加减法三角形法则:(1)加法：平行四边形法则：(3)加法满足交换律，结合律见P2.(2)三角形法则可推广到多个向量相加.(4)减法：(5)三角不等式

目录上页下页返回结束二、向量的线性运算1.向量的加减法三角形法则:(1)加法：942.

向量与数的乘法：(1)定义：向量与数λ的乘法记为(2)向量与数的乘法满足结合律,分配律.见P4.(3)则(4)定理1.1：设则

目录上页下页返回结束(5)与同向的单位向量为：2.向量与数的乘法：(1)定义：向量与数λ的乘法95【例1】如果四边形对角线互相平分，则它是解:

如图

M

为四边形ABCD

对角线的交点,则由已知所以所以ABCD为平行四边形.

目录上页下页返回结束【例1】如果四边形对角线互相平分，则它是解:如图M为四96ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系

坐标原点

坐标轴(横轴)(纵轴)(竖轴)

坐标面

卦限(八个)zox面Ⅰ1.空间直角坐标系(右手系)

目录上页下页返回结束ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系坐标原点坐标轴(横轴)97向径在直角坐标系下坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:原点O(0,0,0);(称为点M的坐标)

目录上页下页返回结束向径在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上98坐标轴:坐标面:

目录上页下页返回结束坐标轴:坐标面:目录上页下页返回992.向量的坐标表示(1)设点

M(x,y,z),则分别表示坐标轴x,y,z上的单位向量

目录上页下页返回结束2.向量的坐标表示(1)设点M(x,y,z),则100四、利用坐标作向量的线性运算1.设λ为实数，则

目录上页下页返回结束2.已知两点则四、利用坐标作向量的线性运算1.设λ为实数，则目录1013.平行向量对应坐标成比例:【例2】P8例2

目录上页下页返回结束3.平行向量对应坐标成比例:【例2】P8例2目录上102

目录上页下页返回结束【例3】已知两点及实数λ≠-1在直线AB上求一点M,使解:

设M

的坐标为如图所示由已知目录上页下页返回结束【例3】已知103由得定比分点公式:当λ=1时，点

M为AB

的中点,于是得中点公式:

目录上页下页返回结束由得定比分点公式:当λ=1时，点M为AB的中点,104五、向量的模、方向角、投影1.向量的模:设则由勾股定理得有设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则2.两点间的距离公式【例】P10例4,5,6

目录上页下页返回结束五、向量的模、方向角、投影1.向量的模:设则由勾股定理1053.方向角与方向余弦(1)夹角:(2)方向角:向量与三坐标轴的夹角,,称为方向角,,的方向余弦(3)方向余弦：

目录上页下页返回结束3.方向角与方向余弦(1)夹角:(2)方向角:向量与三坐标106【例4】P11例8方法2:设则由

目录上页下页返回结束【例4】P11例8方法2:设则由目录上页下页1074.向量在轴上的投影(1)定义:过M作平面交轴于设轴上的单位向量为则λ称为在上的投影,记为注：投影λ是一个数，当与同向时为正,反向时为负.

目录上页下页返回结束4.向量在轴上的投影(1)定义:过M作平面交轴108(2)向量在轴上的投影则(3)投影的性质

目录上页下页返回结束(2)向量在轴上的投影则(3)投影的性质目录上页109【作业】P12Ex8-1 4,5,11,12,14,17,19

目录上页下页返回结束【作业】P12Ex8-1目录上页下页110

目录上页下页返回结束第二次课§2

数量积,向量积一、数量积的数量积等于两向量的长度与它们夹1.De2.1:角的余弦的乘积,记为即:2.由投影性质:目录上页下页返回结束第二次课§2111

目录上页下页返回结束3.性质两两之间的数量积4.1110000005.运算规律见P14-15【例5】P15例1目录上页下页返回结束3.性质两112

目录上页下页返回结束6.数量积的坐标表示法设特别：则目录上页下页返回结束6.数量积113

目录上页下页返回结束5.向量夹角余弦的坐标表达式【例6】P16例2目录上页下页返回结束5.向量114

目录上页下页返回结束【例7】试在所确定的平面内找一个与垂直的解：由于∥,故与确定一个平面设单位向量,其中取λ=1，则μ=3故所求的单位向量目录上页下页返回结束【例7】试在115

目录上页下页返回结束二、向量积的向量积是满足下列条件的一个向量，1.De2.2:2.性质:记为与都垂直；构成右手系∥有一个为零向量目录上页下页返回结束二、向量积的116

目录上页下页返回结束两两之间的数量积3.4.运算规律目录上页下页返回结束两两之间的数117

目录上页下页返回结束5.向量积的坐标表示法设则目录上页下页返回结束5.向量积118

目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束119

目录上页下页返回结束解：可取【例8】求与

都垂直的单位向量,其中故所求的单位向量【例9】P19例5目录上页下页返回结束解：可取【例120【作业】P22Ex8-2 1,3,6,7,8

目录上页下页返回结束【作业】P22Ex8-2目录上页下页121

目录上页下页返回结束第三次课§3

平面及其方程一、点法式平面方程给出平面Π上一点P0(x0,y0,z0)及垂直于1.引例1:平面Π的一个向量的法向量),求平面Π的方程.(称为Π解：设P(x,y,z)为Π上任意一点，则由题意有目录上页下页返回结束第三次课§3122

目录上页下页返回结束已知点(x0,y0,z0)∈Π,(A,B,C)⊥Π,则2.点法式平面方程【例】P38例1【例10】P38例2点法式方程Π：目录上页下页返回结束已知点(x123

目录上页下页返回结束平面一般方程Π:二.平面的一般方程将点法式方程进行化简并合并同类项,得说明:①D=0,Π过原点；②A=0,Π平行于x轴；③B=0,Π平行于y轴；④C=0,Π平行于z轴；对于④法向量⊥z轴,⊥z轴上的所有向量.【例11】P40例3目录上页下页返回结束平面一般方程124

目录上页下页返回结束三.截距式平面方程设Π与x,y,z轴的截距分别为a,b,c,即:

1.引例2:P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c),P(a,0,0)R(0,0,c)Q(0,b,0)解:设Π:将P,Q,R代入得求平面Π的方程.∴截距式平面方程Π:目录上页下页返回结束三.截距式125

目录上页下页返回结束【例11】求过点解：P1(1,0,-1),P2(-2,1,3)且与向量平行的平面方程Π.又过点P1(1,0,1)，所以Π：即：目录上页下页返回结束【例11】求126

目录上页下页返回结束三.两平面的夹角：(两平面法向量的夹角)锐角1.De2.3:目录上页下页返回结束三.两平面127

目录上页下页返回结束2.性质【例】P41例5【例12】P41例6目录上页下页返回结束2.性质【128

目录上页下页返回结束四.点到平面的距离求P0到π的距离P0N.引例3:任取则由数量积的性质目录上页下页返回结束四.点到平129

目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束130内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式

目录上页下页返回结束2.点到平面的距离内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式目录上1313.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:

目录上页下页返回结束3.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:目132【作业】P42Ex8-5 1,2,3,4(单数),5，7，9

目录上页下页返回结束【作业】P42Ex8-5目录上页下页133

目录上页下页返回结束第四次课§4

空间直线及其方程一、直线的一般方程(两平面的交线)二、直线的对称式方程与参数方程引例:求过点M0(x0,y0,z0),且与向量在L上任取一点M

(x,y,z)平行的直线方程L目录上页下页返回结束第四次课§4134

目录上页下页返回结束1.对称式方程:由,则对应元素成比例即：(1)当分母有一个为0时,分子也为0;对称式方程(2)当分母有两个为0时,另一个分子任意例如：例如：目录上页下页返回结束1.对称式135

目录上页下页返回结束2.参数方程:令参数方程(1)方向则3.说明:称为方向向量.(2)m,n,p称为直线L的一组方向数.L方向余弦(3)

的方向余弦称为直线目录上页下页返回结束2.参数方136

目录上页下页返回结束∴直线方程L为【例13】求过点P0(-1,0,2)且垂直于平面Π:x-y+3z+1=0的直线方程L.解:设Π的法向量由从而可取目录上页下页返回结束∴直线方程137

目录上页下页返回结束【例14】将直线L:化为对称式方程.解:设由Π1,Π1的交线均垂直于故可取直线L的目录上页下页返回结束【例14】将138

目录上页下页返回结束不妨取在L上任取一点,不妨取z=0则∴L上一点M0(1,2,0)L的对称式方程为【例14】将直线L:化为对称式方程.目录上页下页返回结束不妨取在L上139

目录上页下页返回结束【例15】求过点P0(-1,4,3)且与L1:都垂直的直线方程

L.L2:解:L1的方向向量L2的方向向量L的方向向量L的直线方程目录上页下页返回结束【例15】求140

目录上页下页返回结束三、两直线的夹角1.计算公式:设【例16】P47例4【例17】P47例5(两直线方向向量的夹角)【例】P45例2目录上页下页返回结束三、两直线的141

目录上页下页返回结束2.性质:目录上页下页返回结束2.性质:142

目录上页下页返回结束四、直线与平面的夹角直线与它在平面上投影直线的夹角L的方向向量:Π的法向量:设目录上页下页返回结束四、直线与平143

目录上页下页返回结束取的距离.过P0作Π⊥L,交L于N,解:【例18】求过点P0(1,1,1)到直线令则代入到①中得t=-1,∴N(0,0,2)P0到L的距离

①②将t=-1代入②得【例19】P47例6目录上页下页返回结束取的距离.过144

目录上页下页返回结束五、平面束方程设且Π1∥Π2,作Π则称Π为过

L的平面束方程，该方程为过

L但除Π2的所有平面方程.【例20】P48例7目录上页下页返回结束五、平面束方1451.空间直线方程一般式对称式参数式

内容小结

目录上页下页返回结束1.空间直线方程一般式对称式参数式内容小结目录146直线2.线与线的关系直线夹角公式:

目录上页下页返回结束直线2.线与线的关系直线夹角公式:目录上页147平面:L⊥

L//夹角公式：3.面与线间的关系直线

目录上页下页返回结束平面:L⊥L//夹角公式：3.面与线间的关148【作业】P49Ex8-6 1,2,3,5，7,8，11，13，15

目录上页下页返回结束课堂练习【作业】P49Ex8-6目录上页下页149

目录上页下页返回结束第五次课§5

曲面及其方程一、曲面方程的定义二、一些特殊的曲面方程三、二次曲面目录上页下页返回结束第五次课§5150

目录上页下页返回结束一、曲面方程的定义设动点P

(x,y,z)组成的曲面S与三元方程(2)不在S上的任意点都不满足(*)，F

(x,y,z)=0(*),有如下关系:(1)S上的任意一点P都满足方程(*);则称(*)为S的方程.目录上页下页返回结束一、曲面方程151

目录上页下页返回结束二、一些特殊的曲面方程1.球面:与定点M0(x0,y0,z0)保持距离为R的点的轨迹称为球.设轨迹上的点P(x,y,z),则目录上页下页返回结束二、一些特殊1522.旋转曲面定义:一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:

目录上页下页返回结束2.旋转曲面定义:一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周153故旋转曲面方程为当绕

z轴旋转时,若点则有则有该点转到(1)yoz面内曲线C:f(y,z)=0(y≥0)绕

z轴旋转一周后所得的曲面方程.

目录上页下页返回结束故旋转曲面方程为当绕z轴旋转时,若点则有则有该点转到(1154(3)xoy面内曲线C:f(x,y)=0绕

x轴旋转一周后所得的曲面方程:(4)xoy面内曲线C:f(x,y)=0绕

y轴旋转一周后所得的曲面方程:(2)yoz面内曲线C:f(y,z)=0绕

y轴旋转一周后所得的曲面方程:

目录上页下页返回结束(3)xoy面内曲线C:f(x,y)=0155

目录上页下页返回结束3.柱面平行于定直线,并沿着曲线C移动的直线L

形成的轨迹叫柱面.平行于z轴.圆柱面：抛物柱面：平行于x轴.平行于y轴.目录上页下页返回结束3.柱面156三、二次曲面三元二次方程其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)

目录上页下页返回结束三、二次曲面三元二次方程其基本类型有:椭球面、抛物面、双1571.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆

目录上页下页返回结束1.椭球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆目录1582.圆锥面,椭圆锥面y=z绕着z轴旋转一周而得的曲面(a,b为正数)在平面z=t上的截痕为圆.在